Czarne dziury

Krzysztof Golec–Biernat

IFJ PAN

(17 kwietnia 2021)

Wersja robocza nie do dystrybucji

Kraków/Rzeszów

2015-20

1 Czarne dziury 4

1.1 Współrzędne Schwarzschilda . . . 4

1.2 Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina . . . 5

1.3 Współrzędne Kruskala . . . 7

1.4 Wnętrze horyzontu Schwartzschilda . . . 10

1.5 Diagram Penrose’a . . . 12

1.6 Zadania . . . 15

2 Rozwiązania ze stałą kosmologiczną 16 2.1 Przestrzeń de Sittera . . . 16

2.2 Przestrzeń anty-de Sittera . . . 19

A Jednostki Plancka 21 A.1 Entropia czarnej dziury . . . 23

A.2 Wzór Bekensteina-Hawkinga . . . 24

3

Czarne dziury

1.1 Współrzędne Schwarzschilda

Rozwia

‘zanie próżniowych równań Einsteina¹

Rµν= 0 (1.1)

na zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu masy zostało znalezione

‘

przez Schwarzschilda w postaci sferycznie symetrycznej metryki ds²=

 1 −r_s

r



dt²− dr²

1 − r_s/r− r²dΩ₂. (1.2) gdzie r ­ r_s i t ∈ (−∞, ∞) oraz

dΩ2= dθ²+ sin²θdφ² (1.3) jest metryką na dwuwymiarowej sferze. Promień

r_s= 2GM (1.4)

gdzie M to masa układu grawitacyjnego, to promień Schwarzschilda.

Dla masy M równej masie Słońca promień r_s≈ 3 km, a więc znajduje się wewnątrz rozkładu masy. Jeżeli jest na odwrót to mamy wtedy do czynienia z czarną dziurą, gdyż cały rozkład masy znajduje się w obszarze ograniczonym promieniem Schwartzschilda.

1Kontrakcja próżniowych równań Einsteina Rµν−¹₂gµνR = 0 z tensorem g^µν daje skalar krzywizny R = 0.

4

Asymptotycznie, dla r → ∞, otrzymujemy płaską czasoprzestrzeń Min- kowskiego,

ds²= dt²− dr²− r²dΩ². (1.5) natomiast dla ustalonego r, otrzymujemy metrykę dwuwymiarowej sfery S² w każdej chwili czasu. Dowolny punkt r = const w takiej przestrzeni to dwuwymiarowa sfera o tym promieniu.

Metryka (1.2) jest osobliwa dla r = r_s. Jest to osobliwość pozorna, którą można usunąć wprowadzając nowe, nieosobliwe w tym punkcie współrzędne.

Trójwymiarowa powierzchnia r = r_snazywa się horyzontem Schwartzschilda.

1.2 Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Ustalmy katy (θ, φ) i napiszmy metrykę Schwarzschilda w postaci ds²=

 1 −r_s

r



dt²− dr² (1 − r_s/r)²

!

(1.6) Wprowadźmy zmienną

r^∗= r + r_sln |r/r_s− 1| (1.7) i policzmy jej różniczkę. Dla r > r_s otrzymujemy

dr^∗= dr + dr

r/r_s− 1 = dr

1 − r_s/r (1.8)

natomiast dla r < r_s mamy taki sam wzór dr^∗= dr − dr

1 − r/r_s = dr

1 − r_s/r (1.9)

Tym samym, po wprowadzeniu zmiennej r^∗ metryka (1.6) przyjmuje postać ds²=

 1 −rs

r



dt²− dr^∗2 (1.10)

zarówno dla r > r_s jak i r < r_s. Rozszerzyliśmy więc przy pomocy zmiennej r^∗ parametryzację (1.2) do wnętrza horyzontu Schwartzschilda. Nowa pa- rametryzacja jest wciąż osobliwa dla r = r_s. Pojawiła się także osobliwość r = 0, która ma charakter fizyczny, gdyż skalar krzywizny R = ∞ w tym punkcie.

r

v-r

-6 -4 -2 0 2 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Rys. 1.1: Promienie świetlne w zmiennych (˜t = v − r, r) dla r_s= 1

Wprowadźmy zmienną adwansowaną v w miejsce zmiennej t

v = t + r^∗= t + r + r_sln |r/r_s− 1| (1.11) gdzie v ∈ (−∞, ∞). Dla r → ∞, człon logarytmiczny w zmiennej r^∗ można pominąc w stosunku do r i wtedy

˜t ≡ v − r ≈ t (1.12)

jest zmienną czasową dla r  r_s. Licząc metrykę (1.10) w zmiennych (v, r^∗), otrzymujemy

ds²=

 1 −rs

r



(dv − dr^∗)²− dr^∗2

=

 1 −rs

r



dv(dv − 2dr^∗) . (1.13)

gdzie r jako funkcję r^∗ można wyliczyć z róznania (1.7).

Stożek świetlny, ds²= 0, promieni poruszających się radialnie z ustalo- nymi kątami (θ, φ) jest zdefiniowany przez równania

dv = 0 lub dv − 2dr^∗= 0 (1.14)

Pierwsze równanie prowadzi do warunku

v = const => ˜t ≡ v − r = −r + const (1.15) skąd wynika

d˜t

dr = −1 (1.16)

Linie świata promieni świetlnych w przestrzeni (˜t, r) są pokazane w tym przypadku jako linie proste na Rysunku 1.1. Z względu na warunek (1.16), poruszają się one w kierunku osobliwości r = 0, przenikając przez horyzont Schwartzschilda działający jako błona półprzepuszczalna w jedną stronę.

Drugie równanie daje

v − 2r^∗= const => ˜t ≡ v − r = r + 2rsln |r/r_s− 1| + const (1.17) skąd wynika

d˜t

dr = sgn(r − r_s) r + rs

|r − r_s| (1.18)

Linie świata centralnie poruszających się promieni świetlnych to krzywe na Rysunku 1.1. Warunek (1.18) oznacza, że promienie na zewnątrz horyzon- tu Schwartzschilda oddalają się od niego do r = ∞, natomiast promienie świetlne wewnątrz horyzontu dążą do osobliwości r = 0.

W punktach przecięcia prostych i krzywych na Rysunku 1.1 otrzymujemy stożki świetlne, zorientowane zgodnie z opisem ruchu promieni świetlnych.

1.3 Współrzędne Kruskala

Rozszerzmy współrzędne Eddingtona-Finkelsteina wprowadzając nowe współ- rzędne

u⁰= t − r^∗

v⁰= t + r^∗ (1.19)

gdzie u⁰, v⁰∈ (−∞, ∞), w których metrykę Schwartzschilda przyjmuje postać ds²=

 1 −r_s

r



du⁰dv⁰. (1.20)

Transformacja (1.19) jest zdefiniowana dla wszystkich wartości r > 0 z wy- jątkiem r = r_s, dla której to wartości r jest ona osobliwa.

v u

u=0 (r=r

s t = +

∞)

v=0 (r=r

s t = -

∞)

t=const r=const

Rys. 1.2: Rozmaitość Schwarzschilda dla r ­ r_s we współrzędnych Kruskala (1.26) z u ¬ 0 i v ­ 0.

Aby się pozbyć tej osobliwości wyliczmy z definicji zmiennej

r^∗= r + r_sln |r/r_s− 1| (1.21) dla r > r_s,

1 −r_s r =r_s

r exp

r^∗− r r_s



=r_s r exp

−r r_s

 exp

v⁰− u⁰ 2r_s



. (1.22)

skąd otrzymujemy metrykę (1.20) w postaci ds²=rs

r exp

−r r_s

  exp

−u⁰ 2r_s

 exp

 v⁰ 2r_s

 du⁰dv⁰



. (1.23) Po wprowadzeniu zmiennych Kruskala

u = − exp

−u⁰ 2r_s



, v = exp

 v⁰ 2r_s



(1.24) dostajemy metrykę

ds²=4r_s³ r exp

−r r_s



du dv . (1.25)

która jest nieosobliwa dla r = r_s, gdyż wykorzystując (1.19) i (1.21), otrzy- mujemy

u = − rr

rs

− 1 exp

r − t 2r_s



¬ 0 v =

rr

r_s− 1 exp

r + t 2r_s



­ 0 (1.26)

i dla r = r_s mamy u = v = 0. Mnożąc obie zmienne dostajemy uv =

 1 − r

rs

 exp

 r rs



(1.27) skąd można wyliczyć r > r_sjako funkcję uv by podstawić ją do (1.25). Linie stałego t i r są pokazane na Rysunku 1.2 w obszarze r ­ r_s. Dzieląc zmienne (1.26) przez siebie

u

v = − exp



−t rs



(1.28) dostajemy u → 0 dla t → ∞ oraz v → 0 dla t → −∞. Stąd oznaczenie wartości czasu t dla tych linii na Rysunku 1.2.

Linie promieni świetlnych poruszających się radialnie są zdefiniowane poprzez warunek ds²= 0, skąd wynikają równania

u = const < 0 , v = const > 0 (1.29) które odpowiadają liniom równoległym do linii u = 0 oraz v = 0 na Rysunku 1.2. Każda z tych linii może być sparametryzowana czasem asymptotycznym t. Na przykład, linia zerowa v = C > 0 ma postać

n(t) ≡ (−Ce^−t/rs, C) (1.30) gdzie użyliśmy relację (1.28). Różniczkując po t otrzymujemy wektor stycz- ny do tej linii, którego kierunek pokazuje kierunek poruszania się promieni świetlnych

dn dt = C

r_se^−t/rs, 0

!

(1.31) co oznacza, że promień świetlny porusza się wzdłuż osi v = C w stronę ro- snących wartości t, czyli w stronę horyzontu u = 0 (r → r_s). Dla linii zerowej u = const, promień oddala się od horyzontu v = 0 (r = rs) do przestrzennej nieskończoności, r → ∞, patrz Rysunek 1.2.

Zauważmy, że metryka (1.25) z warunkami (1.27) i (1.28) jest symetrycz- na ze względu na zamianę u → −u i v → −v, która prowadzi do parametry- zacji lewego klina na Rysunku 1.2, odpowiadająca wartościom

u = rr

rs

− 1 exp

r − t 2r_s



­ 0 v = −

rr

r_s− 1 exp

r + t 2r_s



¬ 0 (1.32)

Linie stałego t są przedłużeniem linii z prawego klina i dlatego kierunek biegu czasu asymptotycznego t w lewym klinie jest odwrócony w stosunku do prawego klina. W związku z tym oba kliny nie komunikują się ze sobą przy pomocy sygnałów świetlnych.

1.4 Wnętrze horyzontu Schwartzschilda

Pozostaje do rozważenia wnętrze horyzontu Schwartzschilda, r < r_s. Zapisz- my w tym celu metrykę (1.20) w postaci

ds²=

r_s r − 1

h

dr^∗2− dt²ⁱ (1.33)

i wprowadźmy zmienne

u⁰= r^∗− t

v⁰= r^∗+ t (1.34)

gdzie u⁰, v⁰∈ (−∞, +∞), w których ds²=

r_s r − 1



du⁰dv⁰ (1.35)

Licząc z definicji (1.21) rs

r − 1 =rs

r exp

r^∗− r rs



=rs

r exp

−r rs

 exp

u⁰+ v⁰ 2r_s



(1.36) otrzymujemy

ds²=r_s r exp

−r r_s

  exp

 u⁰ 2r_s

 exp

 v⁰ 2r_s

 du⁰dv⁰



(1.37) Wprowadzając zmienne Kruskala

u = exp

 u⁰ 2r_s



, v = exp

 v⁰ 2r_s



(1.38)

v u

u=0

v=0 U

V

r=0

r=0

I II

III

IV

Rys. 1.3: Maksymalnie rozszerzona rozmaitość Schwarzschilda w zmiennych Kruskala. Pokazane hiperbole to linie stałego r.

znajdujemy metrykę (1.25) w klinie II na Rysunku 1.3 ds²=4r³_s

r exp

−r rs



du dv (1.39)

Wykorzystując definicję (1.34), znajdujemy u =

r 1 − r

r_s exp

r − t 2r_s



> 0 v =

r 1 − r

r_s exp

r + t 2r_s



> 0 (1.40)

Ich iloczyn to warunek (1.27) uv =

 1 − r

r_s

 exp

 r r_s



(1.41) który pozwala wyliczyć r < r_s jako funkcję uv by je podstawić we wzorze (1.39). Dla r = r_s dostajemy linie u = 0 i v = 0, co zapewnia ciągłość para-

metryzacji (u, v) przy przejściu przez horyzont Schwartzschilda. Hiperbola uv = 1 na Rysunku 1.3 odpowiada fizycznej osobliwości r = 0.

Linie równoległe do linii u = 0 i v = 0, określone warunkiem

u = const > 0, , v = const > 0 (1.42) to linie promieni świetlnych poruszających z ustalonymi wartościami ką- tów (θ, φ). Abu odpowiedzieć w którym kierunku dążą promienie świetlne zauważmy że zmienna r może być użyta do numerowania położenie na tra- jektorii zerowej, gdyż każda taka trajektoria przecina hiperbolę (1.41) tylko raz. Dla linii zerowej v = C > 0, mamy trajektorię

n(r) = 1 − r/r_s

C e^r/rs, C

!

(1.43)

gdzie użyliśmy relację (1.41). Licząc pochodną po r, otrzymujemy dn

dr = − r

Cr_s²e^r/rs, 0

!

(1.44)

co oznacza, że promień świetlny porusza się wzdłuż osi v = C w stronę malejących wartości r, czyli w stronę istotnej osobliwości r = 0. Taki sam wniosek otrzymujemy dla trajektorii zerowych u = const, patrz Rysunek 1.3.

Zamieniając u → −u oraz v → −v w wzorach (1.40) otrzymujemy para- metryzację klina IV na Rysunku 1.3. Tym razem promienie świetlne poru- szają się w kierunku osobliwości r = 0 w tym klinie.

Podsumowanie parametryzacji Kruskala znajdujemy w Tablicy 1.1.

1.5 Diagram Penrose’a

W poprzednich rozdziałach skonstruowaliśmy maksymalne rozszerzenie roz- maitości Schwartzschilda przy pomocy współrzędnych (u, v) ∈ R², które de- finiuje rozmaitość Kruskala z metryką

ds²= Φ²(r) du dv − r²dΩ₂ (1.45) gdzie czynnik konforemny

Φ²(r) =4r³_s r exp

−r r_s



(1.46)

Obszar Promień u v I r ­ rs −^q_r^r

s− 1 exp^nr−t_2r

s

o¬ 0 ^q_r^r

s− 1 exp^nr+t_2r

s

o­ 0

II r ¬ r_s ^q1 −_r^r

s exp^nr−t_2r

s

o­ 0 ^q1 −_r^r

s exp^nr+t_2r

s

o­ 0

III r ­ r_s ^q_r^r

s− 1 exp^nr−t_2r

s

o­ 0 −^q_r^r

s− 1 exp^nr+t_2r

s

o¬ 0

IV r ¬ rs −^q1 −_r^r

s exp^nr−t_2r

s

o¬ 0 −^q1 −_r^r

s exp^nr+t_2r

s

o¬ 0

Tablica 1.1: Współrzędne Kruskala maksymalnie rozszerzonej rozmaitości Schwarzschilda. Numeracja obszarów odnosi się do Rysunku 1.3.

natomiast r > 0 wyliczymy z warunku uv =

 1 − r

rs

 exp

 r rs



(1.47) Dla ustalonych katów (θ, φ) linie promieni świetlnych są określone równa- niami: u = const lub v = const.

Tak otrzymaną przestrzeń można skompaktyfikować konforemnie przy pomocy transformacji

u = 2 arc tg u , v = 2 arc tg v (1.48) gdzie u, v ∈ [−π, π]. W nowych zmiennych metryka (1.45) przyjmuje postać

ds²= Φ²(r)(1 + tg²(u/2))(1 + tg²(v/2))

4 du dv − r²dΩ₂. (1.49) Wartościom u, v = ±π odpowiadają współrzędne u, v = ±∞, tym samym nie- skończoność czasoprzestrzenna jest reprezentowana przez brzeg skompakty- fikowanej rozmaitości Kruskala. Istotna osobliwość (r = 0) to zbiór wartości u i v, które spełniają warunek

u + v = ±π . (1.50)

v

u r=0

r=0 u=0

u =−π u=

π

π v=

v=

−π

Ι ΙΙ

ΙΙΙ

IV

v= 0

Rys. 1.4: Maksymalnie rozszerzona, skompaktyfikowana rozmaitość Kruska- la na diagramie Penrose’a. Kropkowane linie to linie świata fotonów.

Wszelkie relacje przyczynowe są zachowane, w szczególności geodezyjne zero- we nie ulegają zmianie i są dla ustalonych katów θ i φ opisywane równaniami u = const lub v = const.

Skompaktyfikowana rozmaitościa

‘ Kruskala, jest pokazana na Rys. 1.4 w formie diagramu Penrose’a. Każdy punkt na tym diagramie jest dwu- wymiarową sferą. Linie przerywane to istotne osobliwości, natomiast linie u = 0 i v = 0 to horyzont Schwarzschilda. Linie kropkowane to linie świata promieni świetlnych.

Nieskończoność casoprzestrzenna jest reprezentowana przez brzeg obsza- ru, u = ±π i v = ±π. Odcinki otwarte tego brzegu to nieskończoność zerowa, do której dążą promienie świetlne. Horyzont Schwarzschildau = v = 0 two- rzy brzeg obszaru czasoprzestrzeni, z którego można wysłać sygnały świetlne do zerowej nieskończoności w przyszłości.

Punkty wspólny odcinków v = π i u = 0 oraz v = −π i u = 0 to nie- skończonoci czasowe, dokąd dążą linie czasowe w odpowiednich obszarach.

Podobnie, punkty wspólne odcinków v = π i u = −π oraz v = −π i u = π to nieskończoność przestrzenna w odpowiednich obszarach. Rozważając linię u + v = 0, która odpowiada warunkowi t = 0 w obszarach I i III, otrzymujemy most Einsteina-Rozena, łączący dwie asymptotycznie płaskie nieskończo- ności przestrzenne.

1.6 Zadania

1. Udowodnić, że obrazem istotnej osobliwości, u · v = 1, sa

‘ na diagramie Kruskala-Penrose’a odcinki liniiu + v = ±π .

Rozwiązania ze stałą kosmologiczną

2.1 Przestrzeń de Sittera

Czasoprzestrzeń de Sittera to maksymalnie symetryczna przestrzeń o stałej dodatniej krzywiźnie. Jest ona rozwiązaniem próżniowych równań Einsteina z dodatnią stałą kosmologiczną Λ > 0,

R_µν= Λg_µν. (2.1)

Statyczna, sferycznie symetryczna metryka w tej przestrzeni jest zdana przez ds²= 1 −r²

l²

!

dt²− dr²

1 −^r_l2² − r²dΩ²₂, (2.2) gdzie dΩ²₂= dθ²+ sin²θdφ² jest metryka na dwuwymiarowej sferze oraz

l = r3

Λ. (2.3)

W przyjętych współrzędnych metryka de Sittera posiada osobliwość (hory- zont de Sittera) dla r = l. Jest to pozorna osobliwość, gdyż skalar krzywizny w tym punkcie (tak jak i w całej przestrzeni) jest skończony i wynosi

R = 12

l² . (2.4)

Pozorność horyzontu staje się oczywista przy definicji przestrzeni de Sit- tera jako powierzchni w pięciowymiarowej przestrzeni Minkowskiego, M^(1,4), dS₄=ⁿx ∈ M^(1,4): −(x₀)²+ (x₁)²+ (x₂)²+ (x₃)²+ (x₄)²= l^2o. (2.5)

16

Rys. 2.1: Parametryzacja przestrzeni dS₄ przy pomocy przecięć z płaszczy- znami stałego x⁰. Dla każdego przecięcia otrzymujemy przestrzeń euklide- sową E₃.

Metryka na tej powierzchni jest metryką indukowaną z metryki przestrzeni Minkowskiego

ds²= [dx²₀− dx²₁− dx₂²− dx²₃− dx²₄] dS4

. (2.6)

Wprowadzając współrzędne zgodne z równaniem (2.5),

r²= x²₂+ x²₃+ x²₄ (2.7) oraz

x₀=^pl²− r²sinh(t/l) x1=^pl²− r²cosh(t/l) x2= r cos θ

x3= r sin θ cos φ

x₄= r sin θ sin φ (2.8)

gdzie r < l, otrzymamy metrykę (2.2).

Do parametryzacji przestrzeni de Sittera dS₄ możemy także użyć global- nych współrzędnych

(t, θ, θ₁, φ) , (2.9)

gdzie

t ∈ (−∞, ∞), θ, θ₁∈ (0, π), φ ∈ (0, 2π] , (2.10) związanych ze współrzędnymi kartezjańskimi poprzez równania, patrz Rys. ??,

x₀= l sinh(t/l)

x₁= l cosh(t/l) sin θ sin θ₁cos φ x2= l cosh(t/l) sin θ sin θ₁sin φ x3= l cosh(t/l) sin θ cos θ₁ x₄= l cosh(t/l) cos θ ,

dla których metryka indukowana przestrzeni de Sittera to

ds²= dt²− l²cosh²(t/l)dΩ²₃ (2.11) gdzie dΩ²₃ to metryka na sferze trójwymiarowej,

dΩ²₃= dθ²+ sin²θ dθ₁²+ sin²θ sin²θ₁dφ²

= dθ²+ sin²θ dΩ²₂. (2.12)

Metryka (2.11) ma postać metryki Freedmana-Robertsona-Walkera, opisu- jącej sferycznie symetryczny, skończony Wszechświat, z czynnikiem skali

a(t) = l cosh(t/l). (2.13)

Ze względu na zależność a(t) od czasu nie jest to metryka statyczna. Zapisz- my ją w postaci

ds²= l²cosh²(t/l) dt²

l²cosh²(t/l)− dθ²− sin²θ dΩ²₂

!

(2.14) Poszukajmy zmiennej σ takiej, że

dσ = d(l/t)

cosh(t/l) (2.15)

gdyż wtedy metryka (2.14) jest konforemna z metryką Minkowskiego ds²= Ω²(t) (dσ²− dθ²− sin²θ dΩ²₂) (2.16) gdzie Ω²(t) = l²cosh²(t/l). Całkując obustronnie (2.15) otrzymujemy

σ = 2 arc tg(tgh(t/2l)) (2.17) lub

tg(σ/2) = tgh(t/2l) (2.18)

Ponieważ t ∈ (−∞, ∞) to σ ∈ (−π/2, π/2). Diagram Penrose’a jest kwadra- tem (σ, θ) ∈ [−π/2, π/2] × [0, π].

Rys. 2.2: Przestrzeń AdS₅ przecięta płaszczyznami x₄+ x₅= Re^v > 0. Tyl- ko połowa AdS₅ ma takie przecięcia. Każda część wspólna przecięcia jest przestrzenią Minkowskiego M₄. Granica v → +∞ odpowiada przestrzennej nieskończoności AdS₅, gdzie definiuje się zasadę korespondencji AdS/CFT.

2.2 Przestrzeń anty-de Sittera

Rozważmy 6-wymiarową przestrzeń Minkowskiego, M^(2,4), z dwoma czasami x₀ i x₅ z metryką

ds²= dx²₀− dx²₁− dx²₂− dx²₃− dx²₄+ dx²₅. (2.19) 5-wymiarowa przestrzeń anty-de Sittera AdS₅ jest zdefiniowana jako nastę- pująca powierzchnia w tej przestrzeni

AdS₅=ⁿx ∈ M^(2,4): x²₀− x²₁− x₂²− x²₃− x²₄+ x²₅= R^2o (2.20) Przestrzeń ta ma stałą i dodatnią krzywiznę. Metryka w tej przestrzeni jest metryka indukowana z przestrzeni M^(2,4),

ds²= [dx²₀− dx²₁− dx²₂− dx²₃− dx²₄+ dx²₅]

AdS5

(2.21) Przestrzeń anty-de Sitera jest maksymalnie symetrycznym rozwiązaniem próżniowych równań Einsteina w 5-ciu wymiarach z ujemną stałą kosmolo- giczną, Λ < 0. Grupa anty-de Sittera, zachowująca metrykę tej przestrzeni, jest grupa izometrii SO(2, 4) przestrzeni zanurzającej M^(2,4).

AdS nie jest czasoprzestrzenią globalnie hiperboliczną. W takich prze- strzeniach znajomość równań ruchu i danych początkowych nie jest wystar- czająca do wyznaczenia ewolucji wielkości fizycznych. Brak globalnej hiper- boliczności przestrzeni AdS jest spowodowany istnieniem brzegu w prze- strzennej nieskończoności, przez który może dopływać informacja do układu fizycznego opisywanego równaniami ruchu. Na tym fakcie jest oparta słynna korespondencja AdS/CFT.

Przecinając przestrzeń AdS₅ płaszczyznami

x₄+ x₅= Re^v> 0 , v ∈ (−∞, ∞) (2.22) otrzymujemy jako część wspólną przestrzeń Minkowskiego M^(1,3) (zwana braną). Pokrywamy w ten sposób połowę przestrzeni AdS₅ współrzędnymi zadanymi przez (x₀, x₁, x₂, x₃, v), dla których metryka AdS₅ to

ds²= e^v(dx²₀− dx²₁− dx²₂− dx²₃) − dv². (2.23) W granicy v → +∞ otrzymujemy brzeg przestrzeni AdS₅, odpowiadający jej przestrzennopodobnej nieskończoności. Na tym brzegu definiuje się ko- respondencję między grawitacją w AdS₅, a kwantową teorią konforemną na brzegu.

Jednostki Plancka

Istnieja

‘ trzy podstawowe stałe przyrody o wymiarch

[~] = E · t , [c] = l/t , [G] = E · l/m², (A.1) gdzie E jest energia

‘, t czasem, l odległościa

‘, a m masa

‘. W układzie jednostek, w którym c = ~ = 1, mamy

[t] = [l] = cm = GeV⁻¹, [E] = cm⁻¹= GeV , [G] = cm²= GeV⁻². (A.2) Stała o wymiarze masy zbudowana ze stałych ~, c i G to masa_‘ Plancka

Mpl= s

~c

G ' 1.2 · 10¹⁹ GeV

c² = 2.2 · 10⁻⁵g . (A.3) Wyrażenie o wymiarze energii to energia Plancka.

E_pl= M_plc² = s

~c⁵

G ' 1.2 · 10¹⁹GeV . (A.4) Podobnie, stała

‘o wymiarze długości jest długościa

‘ Plancka

R_pl= s

G~

c³ ' 1.6 · 10⁻³³cm , (A.5) Natomiast stała o wymiarze czasu to czas Plancka

t_pl=r_pl c =

s G~

c⁵ ' 5.4 · 10⁻⁴⁴s . (A.6) 21

Porównuja

‘c przy ustalonej odległości energie grawitacyjna

‘i elektrostatyczna

‘

dwóch ciał o masie Plancka M_pl i ładunku elementarnym e, dostajemy E_G

E_e =GM_pl² e² =~c

e² = 1

α_em ≈ 137.036 (A.7)

Energia grawitacyjna jest wie

‘c dużo wie

‘ksza niż energia elektromagnetyczna, niezależnie od odległości

EG E_e! (A.8)

Pomijaja

‘c czynnik 3/5, energia grawitacyjna kuli o masie i promieniu Planc- ka to

E_pl=GM_pl² R_pl =

s

~c⁵

G = M_plc², (A.9)

Dla ciał o masie i promieniu Plancka energia spoczynkowa jest głównie po- chodzenia grawitacyjnego.

Rozważmy ciało o masie M . Długość fali Comptona dla tego ciała wynosi λc= ~

M c (A.10)

natomiast promień Schwarzschilda to rs=2GM

c² (A.11)

Policzmy stosunek tych dwóch wielkości λ_c

rs

=

 ~ M c

 c² 2GM

!

= 1 2

~c GM² = 1

2 M_pl²

M² (A.12)

Dla ciał makroskopowych z masą M  M_pl comptonowska długość fali λ_c r_s, a wie

‘c zjawiska kwantowe nie odgrywaja

‘wie

‘kszej roli. Dla cza

‘stek

doste

‘pnych w współczesnych eksperymentach M  M_pl i wtedy λ_c r_s. Dominuja

‘ wie

‘c zjawiska kwantowe, a efekty grawitacyjne można zaniedbać.

Najciekawszym jest przypadek, gdy masa M = M_pl, gdyż wtedy

λ_c= R_pl=¹₂r_s (A.13)

Czarna dziura o masie Plancka jest w pełni obiektem kwantowych, którego własności powinny być opisywane kwantową teoria grawitacji. Gęstość masy dla takiej czarnej dziury wynosi

ρ_pl=Mpl

R³_pl = c² G²~

= 5.4 · 10⁹³ g

cm³ (A.14)

Jak duża jest to gęstość? W obserwowanym Wszechświecie znajduje się okolo N ≈ 10⁷⁸nukleonów (protonów lub neutronów) o masie m ≈ 10⁻²⁴g. Gęstość Plancka odpowiada zgromadzeniu całej masy w objętości

V ≈ 10⁻⁵⁴/ρ_pl≈ 10⁻¹⁴⁸cm³ (A.15) Odpowiada to długości l ≈ 10⁻⁵cm.

A.1 Entropia czarnej dziury

Entropia Bekensteina-Hawkinga czarnej dziury jest proporcjonalna do po- wierzchni A jej horyzontu

S = k 4

A

R²_pl. (A.16)

Definicja ta posiada aspekt kwantowy ze wzgle

‘du na to, że długość Planc- ka zawiera stała

‘~, natomiast, jak pokażemy poniżej, powierzchnia horyzon- tu jest określona przez wzór klasyczny.

Czarna dziura o masie M jest opisywana sferycznie symetrycznym roz- wia‘zaniem Schwartschilda równań Einsteina z promieniem horyzontu

r_s= 2M G

c² = 2R_pl

M_plM. (A.17)

Jest to relacja klasyczna, gdyż stała Plancka nie pojawia sie

‘ w współczyn- niku proporcjonalności 2G/c². Powierzchnia horyzontu jest proporcjonalna

‘

do kwadratu masy czarnej dziury, gdyż A = 4πr_s² = 16 πR²_pl

M_pl²M². (A.18)

I tym razem jest to relacja klasyczna, w której nie wyste

‘puje ~. Podstawiaja_‘c ja‘do wzoru na entropie

‘, otrzymujemy S = 4 πk M²

M_pl² . (A.19)

Wykorzystuja

‘c naste

‘pnie wzór (??), znajdujemy S = k2πr_s

λc

. (A.20)

Entropia czarnej dziury jest wie

‘c proporcjonalna do długości okre

‘gu o pro- mieniu Schwarzschildaa wyrażonej w jednostkach długości Comptona czar- nej dziury. Dla czarnej dziury z masa

‘ M = M_pl entropia wynosi

S_pl= 4πk . (A.21)

A.2 Wzór Bekensteina-Hawkinga

Wprowadźmy dla uproszczenia zapisu układ jednostek ~ = c = G = k = 1, w którym jednostki Plancka maja

‘wartość numeryczna

‘równa

‘jeden, a wzór (A.18) przyjmuje postać

A = 16 πM². (A.22)

Sta‘d, zmiana masy czarnej dziury prowadzi do zmiany powierzchni jej ho- ryzontu zgodnie ze wzorem

dM = 1

32πM dA . (A.23)

Interpretuja

‘c ten wzór jako pierwsza

‘ zasade

‘ termodynamiki dla czarnych dziur

dM = T dS , (A.24)

otrzymujemy zwia

‘zek dla entropii

S = µA (A.25)

oraz temperature

‘

T = 1

32πµM, (A.26)

gdzie µ jest dowolnym współczynnikiem liczbowym, którego nie można wy- prowadzić w teorii klasycznej.

Hawking pokazał, wykorzystuja

‘c argumenty kwantowe, że czarna dziura emituje promieniowanie termiczne o temperaturze

T_H= 1

8πM . (A.27)

Sta‘d wartość współczynika w definicji entropii µ =1

4. (A.28)

W ten sposób otrzymaliśmy podejście termodynamiczne do czarnej dziury jako obiektu posiadaja

‘cego entropie

‘ i temperature

‘, który promieniuje ener- gie‘ o rozkładzie termicznym.

Czarna dziura pochłaniaja

‘c materie

‘ zwie

‘ksza swój horyzont i w efek- cie entropie

‘. Uogólnione drugie prawo termodynamiki mówi, że sumaryczna zmiana entropii materii i czarnej dziury jest zawsze dodatnia. Oprócz po- chłaniania materii, czarna dziura również promieniuje. Drugie prawo termo- dynamiki jest również słuszne, gdy uwzgle

‘dniony jest ten proces.

Po wprowadzeniu jednostek Plancka temperatura Hawkinga to T_H = 1

8πk M_pl

M E_pl. (A.29)

Dla czarnej dziury z masa

‘ M = Mpl energia cieplna promieniowania Haw- kinga jest zwia

‘zana z energia

‘Plancka w naste

‘puja

‘cy sposób:

E_H= k T_H = 1

8πE_pl  E_pl. (A.30) Jest wie

‘c ona znacznie mniejsza od energii Plancka.