FJ.4 Sprawdzanie rozkładów statystycznych dla rozpadów jądrowych.
Opracowały: Teresa Kwiecińska, Maria Podgórna
I. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie wzorów opisujących rozkłady prawdopodobieństwa w przypadku rozpadów promieniotwórczych. Zadanie polega na wielokrotnej rejestracji rozpadów gama w jednakowych odcinkach czasu dla przypadku gdy:
1. Liczba rejestrowanych rozpadów w zadanym odcinku czasu jest mniejsza od 10 , 2. gdy liczba zarejestrowanych rozpadów jest dużo większa od 10. Jako detektor kwantów gama służy licznik scyntylacyjny. W pierwszym przypadku rejestrujemy rozpady promieniotwórcze izotopów znajdujących się w naszym otoczeniu (tzw. promieniowanie tła). W drugim stosujemy źródło promieniotwórcze Co-60.
II. Wymagania do kolokwium:
1. Zjawisko rozpadu promieniotwórczego. Rodzaje rozpadów.
2. Różniczkowa i całkowa postać prawa rozpadu.
3. Rozkład Poissona, rozkład Gaussa.
III. Literatura zalecana:
[1] J. Araminowicz, K.Małuszyńska, M.Przytuła - Laboratorium fizyki jądrowej.
[2] Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz.III - Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1997.
IV. Wstęp teoretyczny:
W pomiarach fizycznych chodzi często o to, aby znaleźć wartość jak najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Przez wartość rzeczywistą N mierzonej wielkości rozumiemy granicę, do której dąży średnia wartość n0 wszystkich pomiarów, jeżeli liczba pomiarów dąży do nieskończoności. W przypadku pomiarów długości, czy masy ciała intuicyjnie czujemy, że istnieją wartości rzeczywiste tych wielkości, a wykonując dostatecznie dużo dokładnych pomiarów możemy otrzymać wynik bardzo do nich zbliżony.
W przypadku zdarzeń statystycznych, takich jak rozpad promieniotwórczy jąder atomowych, liczba rozpadających się jąder w jednostce czasu (więc również liczba emitowanych cząsteczek) podlega fluktuacjom. Nie można zatem mówić o rzeczywistej liczbie rozpadów w tym znaczeniu, w którym posługujemy się mówiąc o wartości rzeczywistej długości czy masy.
Załóżmy, że dokonujemy wielokrotnie pomiaru długości danego przedmiotu. Wyniki pomiarów będą się powtarzać. Narysujmy zależność częstości pojawiania się danego wyniku od jego wartości. Częstość ta będzie równa liczbie powtórzeń podzielnej przez liczbę wszystkich pomiarów. Otrzymany rozkład wyników symetryczny względem średniej wartości mierzonej wielkości. Wyrażenie, które go opisuje znane jest jako rozkład Gaussa i ma następującą postać:
P(ni) nazywany gęstością prawdopodobieństwa, a występujące dwa parametry to wartość średnia n0 i odchylenie standardowe σ.
Inaczej sytuacja wygląda w przypadku wielokrotnych pomiarów liczby rozpadów jąder promieniotwórczych w ustalonym przedziale czasu. Rozpad promieniotwórczy ma charakter spontaniczny i podlega prawom statystyki. Oznacza to, że liczba cząsteczek emitowanych w wyniku rozpady w jednostce czasu, a więc również liczba impulsów elektrycznych rejestrowanych przez układ pomiarowy zmienia się w sposób przypadkowy (każdy impuls elektryczny odpowiada zarejestrowaniu cząstki pochodzącej z rozpadu promieniotwórczego).
Wyniki wielokrotnie powtarzanych pomiarów wykazują odchylenia zwane fluktuacjami statystycznymi.
Można wykazać teoretycznie, ze rozkład wyników doświadczalnych w przypadku takich zjawisk daje się opisać następującą funkcją analityczną, zwaną rozkładem Poissona:
Rozkład Poissona daje prawdopodobieństwo P(ni) tego, że w danym odstępie czasu będzie miało miejsce ni zdarzeń (rozpadów promieniotwórczych), gdy średnia wartość ze wszystkich pomiarów wynosi n0. Inaczej P(ni) jest prawdopodobieństwem, że w danym odstępie czasu nastąpi ni rozpadów promieniotwórczych, gdy średnia wartość wszystkich zarejestrowanych rozpadów wynosi n0. Wartość średnia wszystkich zarejestrowanych rozpadów wynosi n0. Wartość średnia n0 jest jedynym parametrem charakteryzującym rozkład Poissona, czyli jednoznacznie określa rozrzut wartości doświadczalnych.
Rozkład Poissona jest nieciągły (liczba rozpadów może być tylko liczba całkowitą) i asymetryczną. Asymetrię rozkładu widać szczególnie dla n0<10 (Rys.1).
Ze wzrostem wartości n0 rozkład Poissona staje się coraz bardziej symetryczny i dla n0>>10 osiąga symetrię. Można pokazać, że dla n0>>10 rozkład Poissona przybiera postać:
Porównajmy przybliżoną postać rozkładu Poissona dla przypadku, gdy n0>>10 (wzór 3) ze wzorem (1) opisującym rozkład Gaussa. Dla wygody porównania przytaczamy jeszcze raz:
Łatwo zauważyć analogię wzorów (1) i (3). Wzór (3) jest rozkładem Gaussa dla konkretnej wartości σ, a mianowicie dla 𝜎 =√ 𝑛0. Inaczej można powiedzieć, że dla dużych wartości n0
rozkład Poissona można przybliżyć rozkładem Gaussa, takim dla którego 𝜎 =.√ 𝑛0.
Należy sobie uświadomić, że wzór Poissona jest słuszny dla wszystkich przypadków tzn.
zarówno małych jak i bardzo dużych n0, ale stosowanie go dla dużych wartości może, ze względu na występujące w nim wyrażenia matematyczne stwarzać problemy rachunkowe. W takich przypadkach wygodniej jest posługiwać się postacią przybliżoną.
V. Wykonanie ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest doświadczalne (lub modelowe) sprawdzenie wzorów opisujących rozkłady prawdopodobieństwa w przypadku rozpadów promieniotwórczych. Zadanie polega na wielokrotnej rejestracji rozpadów gamma w jednakowych odcinkach czasu dla
przypadków gdy:
1. liczba rejestrowanych rozpadów w zadanym odcinku czasu jest mniejsza od 10, 2. liczba rejestrowanych rozpadów jest dużo większa od 10.
Jako detektor kwantów gamma służy licznik scyntylacyjny. W pierwszym przypadku
rejestrujemy rozpady promieniotwórcze izotopów znajdujących się w naszym otoczeniu (tzw.
promieniowanie tła). W drugim stosujemy źródło promieniotwórcze Co-60 (lub inne).
Nie zmieniając warunków pracy ustalonych na początku, wykonujemy w obu przypadkach po 200-250 pomiarów liczby impulsów, każdy w czasie 10s.
VI. Opracowanie wyników:
Ad.1/n0<10.
Wyniki wielokrotnych pomiarów liczby impulsów umieszczamy w tabelce i opracowujemy według załączonego wzoru (patrz Tab. 1). Następnie sporządzamy histogram odkładając na osi odciętych wartości ni, zaś na osi rzędnych odpowiednie wartości mi/k, gdzie k oznacza sumaryczna liczbę pomiarów.
Wielkość mi/k można ilościowo porównać z wielkością prawdopodobieństwa wyliczoną ze wzoru Poissona (1). Aby to zrobić musimy najpierw wyliczyć wartość średnią n0 liczby
impulsów, a następnie wyliczyć wartość P(ni) dla odpowiednich wartości ni. Otrzymane w ten sposób wartości P(ni) nanosimy na wcześniej sporządzony histogram i porównujemy kształt obu wykresów. Przykładowe przestawienie tak opracowanych wyników przedstawia Rys.1.
Mając wyliczone wartości P(ni) możemy wyliczyć liczbę przypadków odpowiadających danej liczbie zdarzeń, wynikającą ze wzoru Poissona:
𝑚𝑖 = 𝑃(𝑛𝑖) × 𝑘 Wyniki wszystkich obliczeń umieszczamy w tabelce (Tab.1).
Tabela 1. n0<10 (dane przykładowe, niekompletne) k=251, n0=2,478
Ad.2./n0>>10
W tym przypadku opracowanie wyników pomiarów jest podobne do poprzedniego. Różnica związana jest z dużą wartością ni. Na początku należy wyliczyć średnią wartość liczby impulsów n0, a następnie zdefiniować szerokość przedziału Δni, który będzie stanowił podstawę histogramu. Δni powinno być dużo mniejsze od n0. Z pomiarów znajdujemy liczbę przypadków mi dla każdego przedziału. Przykładowe dane umieszczone są w Tabeli 2.
Sporządzamy histogram odkładając na osi rzędnych odpowiadające im częstości występowania mi/k.
Na tak wykonany histogram należy nanieść wartości prawdopodobieństwa wyliczone z przybliżonego wzoru Poissona (wzór 3). Zauważmy, że wzór ten jest wyrażeniem na prawdopodobieństwo wystąpienia danego ni. Z doświadczenia otrzymaliśmy prawdopodobieństwo mi/k nie dla jednej wartości ni, a dla wszystkich wartości ni z danego przedziału. I tak prawdopodobieństwo dla pierwszego przykładowego przedziału z Tab.2 będzie równe sumie prawdopodobieństw wyliczonych dla wszystkich możliwych wartości z tego przedziału (a więc P(1121)+P(1122)+…+P(1140)). Wyniki przeprowadzonego w ten sposób opracowania przedstawia Tabela 2 i Rys.2.
Porównanie wartości prawdopodobieństwa otrzymanego z pomiarów (mi/k) z wartościami wyliczonymi teoretycznie [P(ni,ni+Δni)] pozwala stwierdzić w jakim stopniu rozkłady teoretyczne opisują badane zjawisko.
Przykłady w tabelach i na rysunkach pochodzą ze sprawozdań studentów fizyki AP.
Tabela 2. n0>>10 (dane przykładowe, niekompletne) Δni=20, k=250, n0=1201,24
VI. Bibliografia:
[1] J. Araminowicz, K.Małuszyska, M.Przytuła – Laboratorium fizyki jądrowej.
[2] Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz. III – Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1997.
[3] T. Hilczer, „Ćwiczenia z fizyki jądrowej” UAM Poznań 1975.
[4] J. M. Massalski, „Detekcja promieniowania jądrowego”, PWN, Warszawa 1959.
VII. Inne uwagi:
Środki ostrożności podczas pracy ze źródłem promieniowania:
Podczas pracy ze źródłem promieniowania:
1) Źródło podaje i odbiera prowadzący zajęcia.
2) Należy ograniczyć do minimum czas kontaktu ze źródłem.
3) W pokoju w którym znajduje się źródło promieniowania mogą przebywać jedynie osoby, które wykonują ćwiczenie.
4) Miejsce w którym znajduje się źródło promieniowania powinno być oznaczone odpowiednim symbolem.
