Stany własne hamiltonianu w 1D, metoda
strzałów
B. Szafran, lab. MOFiT 2020/2021
7 pa´zdziernika 2020
Poni˙zej podane s ˛a zadania, ze wskazaniem wyniku do uzyskania. Pod koniec zaj˛e´c prosz˛e spakowa´c ´zródła oraz rysunki / tabele i wysła´c na adres: bszafran@agh.edu.pl. Prosz˛e nie wysyła´c du˙zych plików z danymi, tylko rysunki uzyskane na ich podstawie.
1
Rozwi ˛
azanie dokładne
Mamy niesko´nczon ˛a studni˛e potencjału o długo´sci L dla x ∈ (0, L). W jej ´srodku b˛edzie obecny dodatkowy potencjał V (x). Równanie HΨ = EΨ dla
H = −¯h
2
2m
d2
dx2+ V (x), (1)
rozwi ˛a˙zemy metod ˛a ró˙znic sko´nczonych na siatce N + 1 równoodległych punktów
xi= i∆x, gdzie ∆x = L/N , i = 0, 1, . . . N .
Oznaczamy Ψi= Ψ(xi) oraz Vi = V (xi). Zdyskretyzowane równanie
Schroedin-gera z ilorazem ró˙znicowym, który zast˛epuje drug ˛a pochodn ˛a mo˙zna przekształci´c do formy pozwalaj ˛acej wylicza´c warto´sci funkcji falowej w kierunku rosn ˛acego indeksu:
Ψi+1= − 2m ¯ h2 (E − Vi)∆x 2Ψ i− Ψi−1+ 2Ψi, . (2)
Równanie (2) pozwala wyliczy´c rozwi ˛azanie w całym pudle je´sli znamy warto´sci w dwóch kolejnych punktach. Przyjmujemy Ψ0= 0 (funkcja falowa znika w punkcie
x = 0, gdzie wstawiona jest niesko´nczona bariera), oraz Ψ1= 1 (mo˙zemy tak zrobi´c,
ze wzgl˛edu na to, ˙ze funkcje własne s ˛a okre´slone co do stałej multiplikatywnej). Za-kładaj ˛ac warto´s´c E wyliczymy Ψ dla dowolnego x. Akceptowalne fizycznie s ˛a tylko te energie, dla których ΨN = Ψ(L) = 0 znika (niesko´nczona bariera).
2
O jednostkach tu i na nast˛epnych zaj˛eciach
Do rachunków przyjmujemy L = 100 nm. W programie wykorzystamy jednostki ato-mowe. Przeliczenie długo´sci na jednostki atomowe: L[nm] = L[nm
ab][ab] =
L 0.05292[ab],
gdzie [ab] to atomowa jednostka długo´sci (promie´n Bohra). W programie wstawiamy
L = 100/.05292.
Przyjmiemy, ˙ze masa no´snika odpowiada pasmowej masie efektywnej elektronu w GaAs m = 0.067m0, m0– masa elektronu w pró˙zni jest jednostk ˛a masy w układzie
atomowym, tak ˙ze w programie wstawiamy m = 0.067. ¯h jest jednostk ˛a działania w jednostkach atomowych, tak ˙ze w jej miejsce wpisujemy 1 w programie.
Wstawiaj ˛ac potencjał Vi wyra˙zony w meV przeliczamy go na jednostki atomowe
dziel ˛ac warto´s´c przez 27211.6 (podwojona warto´s´c energii wi ˛azania elektronu w ato-mie H wyra˙zona w meV). Program b˛edzie liczył energie w jednostkach atomowych. Nale˙zy je przemno˙zy´c przez 27211.6 przed wydrukiem aby pokaza´c wyniki w meV.
3
Przyj ˛a´c N = 100 oraz V = 0. Narysowa´c ΨN(E) dla E ∈ (0, 35meV). (10pkt)
Nast˛epny wykres: Prosz˛e wybra´c jedno z miejsc zerowych: narysowa´c funkcj˛e fa-low ˛a dla E blisko miejsca zerowego, oraz dla warto´sci zwi˛ekszonych i zmniejszonych o 5%. Fukcj˛e falow ˛a przed narysowaniem normalizujemy (nale˙zy policzy´c całk˛e C z kwadratu funkcji falowej po całej długo´sci pudła, a nast˛epnie wydzieli´c funkcj˛e falow ˛a przez√C). (10 pkt). C liczymy tak: C = Z L 0 dx|Ψ(x)|2' ∆x N X i=0 Ψ2i (3)
Przed narysowaniem funkcji falowej wykonujemy operacje normowania funkcji falowej tak: Ψi≡ Ψi √ C (4) dla i = 0, 1, . . . N.
4
Napisa´c program, który znajduje dokładne miejsca zerowe ΨN(E) metod ˛a bisekcji.
Znale´z´c warto´sci własne z dokładno´sci ˛a do 0.001 meV. Porówna´c wyniki z dokładny-mi: Ei= i
2¯h2π2
2mL2 (30pkt).
Zwi˛ekszy´c N do 300, porówna´c i sprawdzi´c, na ile poprawia si˛e dokładno´s´c. (10 pkt).
5
Zostawiamy N = 300. Wprowadzamy barier˛e potencjału do ´srodka układu: Vi = 0
poza i = N/2 gdzie wstawiamy potencjał VN/2 = −W . Narysowa´c 7 najni˙zszych
miejsc zerowych w funkcji W od 0 do 3 eV. (10 pkt). Narysowa´c funkcje falowe 5
najni˙zszych stanów dla W = 1 eV Gdzie zlokalizowany jest stan podstawowy? Wy-ja´sni´c do jakich energii zbiegaj ˛a wyniki dla wysokiego W (10 pkt). Zilustrowa´c jak zmieniaj ˛a si˛e funkcje falowe w zale˙zno´sci od W dla 2 najni˙zszych stanów energetycz-nych (10 pkt). Dlaczego energie stanów o parzystym i słabo zale˙z ˛a od W ? (odpowied´z udokumentowa´c) (10 pkt).
