1. Narysuj krzywą obojętności a)

Zadania z ekonomii matematycznej SSE2/1 (2017/2018) Lista 1

1. Narysuj krzywą obojętności a)

_{1 2}

min 

₁

, 2

₂



4 ) 1 ,

( x x x x

u  , jeśli u  4 ;

b) u ( x

₁

, x

₂

)  min  3 x

₁

 x

₂

, x

₁

 3 x

₂

 przechodzącą przez punkt   4 , 2 ; c) u  x

1

, x

2

  min  x

1

 7 x

2

, 4 x

1

 x

2

 , jeśli u  x

₁

, x

₂

  6 .

2. Oblicz pochodne cząstkowe:

1 2 1

, ) (

x x x u



 i

2 2 1

, ) (

x x x u



 oraz iloraz

2 2 1

1 2

1

, ) ( , )

(

x x x u x

x x u







 ,

gdy:

a) ^{u ( x}

₁

^{, x}

₂

^{) }  ^{7 x}

₁

^{ 5}  ^x

₂

^{ 3}  ^{; b)}   



 



 



 1

2 5 3 ) ,

(

_{1 2 1}

x

²

x x

x

u ;

c) u  x

₁

, x

₂

  x

₁

 x

₁

x

₂

 x

₂

 6 ; d) u ( x

₁

, x

₂

)  x

₁³

x

₂⁵

; e)

⁴ ₂⁷

1 1 2 1

, )

( x x x x

u  ;

f)

³

1 2 4 1 1 2

1

, ) 2

( x x x x

u  ; g)  

2^{31 4}

3 1 1 2

1

,  





 



 

 x x x

x

u ; h)

_{1 2 1}

ln

₂

3 ln 1 6 ) ,

( x x x x

u   .

2. Rozwiąż zadanie

a)  

8 2

2 2 1

max 1

2 1

2 ,₂ 1

1





 



 



 

x x

x x

x

x

b)

9 3

1 max

2 1

2 2 1 , ₂ 1

1









 x x

x x x x

x x

c)

5 4 3 max

2 1

4 , 0 2 6 , 0 ,₂ 1

1



 x x

x x

x

x

d)   

I x p x p

x x

x x









2 2 1 1

2

,

3

1

1 2

max

2

1

p

₁

, p

₂

, I  0 .

3. Znajdź optymalny koszyk  ^{x x}

1

,

2

 , jeśli:

Funkcja użyteczności Ograniczenie budżetowe a) u  x

1

^, x

2

   x

1

 ¹  x

2

 ³  x

₁

 2 x

₂

 6

b)   ²  ⁴ 

2

,

₂

1

_{1 2}

1

 



 



 

 x x

x x

u 2 x

₁

 x

₂

 10

c)   3  3 

3

,

₂

1

_{1 2}

1

 



 



 

 x x

x x

u 3 x

₁

 x

₂

 30

d)     



 



 



 2

4 2 1

,

_{2 1 2}

1

x x x

x

u x

₁

 2 x

₂

 20

e) u  x

₁

, x

₂

  2 x

₁²¹

x

₂⁴¹

₃ ^{1 x}

¹

^{ 5 x}

²

^{ 3} f) u  x

₁

, x

₂

  x

₁¹²

x

₂

^x

¹

^{ 2 x}

²

^{ 6}

4. Dane jest ograniczenie budżetowe p

₁

x

₁

 p

₂

x

₂

 I , p

₁

, p

₂

, I  0 . Znajdź funkcje popytu ^x

₁

 ^p

₁

^{, p}

₂

^{, I}  ^{i x}

₂

 ^p

₂

^{, p}

₁

^{, I}  dla funkcji użyteczności postaci:

a)    ²  ¹ 

3

,

₂

1

_{1 2}

1

x  x  x 

x

u , b) u  x

₁

, x

₂

  3 x

₁⁴¹

x

₂⁶¹

,

c) u  x

₁

, x

₂

  x

₁³

x

₂

, d) u  x

₁

, x

₂

  a ln x

₁

 ( 1  a ) ln x

₂

, a  ( 0 , 1 ) ,

e)  

2²

2 1 2

1

, x x x

x

u   , f)  

4 2 1

2 2 1

1 2

1

,  



 

 

 x x x

x

u ,

g) u ( x

1

, x

2

)  4 min  4 x

1

 x

2

, x

1

 4 x

2

 , h) ^{u x x} 

1

,

2

  min  4 ^x

1

 ^{x x}

2

,

1

 7 ^x

2

 . 5. Rozwiąż zadanie

a)

3 1 2 3 1 1

2 2 1 , ₂ 1

1

min

x x u

x p x

x

p

x





b)

2 1 2 4 1 1

2 2 1 ,₂ 1

1

min

x x u

x p x p

x x





0 , ,

₂

1

p u 

p .

6. Dane są funkcje użyteczności:

a) u  x

₁

, x

₂

 

³

x

₁

x

₂

 1 ; b) u  x

₁

, x

₂

  x

₁

x

₂

; c) u  x

₁

, x

₂

  ( x

₁

x

₂

)

²

 4 ;

d)  

2 1 2 1

, 1

x x x

x

u  ; e) u  x

₁

, x

₂

  e

^2x1x21

; f) u  x

₁

, x

₂

  e

^x1x2

 2 ; g) ^u  ^x

₁

^{, x}

₂

 ^{ 3 ln x}

₁

^{ ln x}

₂

^{; h) u}  ^x

₁

^{, x}

₂

 ^{ ln( x}

₁

^{ x}

₂

^{) ; i) u}  ^x

₁

^{, x}

₂

 ^{ cos( x}

₁

^x

₂

^{) ;}

j) u  x

1

, x

2

  e ^

^ln4x1x2

^

³

; k) u  x

1

, x

2

  2 ( x

1

 x

2

)

⁵

; l) u  x

1

, x

2

  x

1

x

2

 ( x

1

 x

2

)

²

.

Które z tych funkcji opisują jedną i tę samą relację preferencji? Odpowiedź uzasadnij.

7. Dla funkcji użyteczności

A) u  x

₁

, x

₂

  x

₁¹²

 x

₂²¹

, B) u  x

₁

, x

₂

  2 x

₁²¹

x

₂⁴¹

, C) u  x

₁

, x

₂

  Ax

₁^c

x

₂^d

, A , c , d  0 , D) u  x

₁

, x

₂

  ( 1  a ) ln x

₁

 a ln x

₂

, a  ( 0 , 1 ) ,

a) Wyznacz funkcję popytu konsumenta kierującego się daną funkcją użyteczności oraz wyznacz wszystkie jej charakterystyki (popyt krańcowy prosty, popyt krańcowy krzyżowy, elastyczność cenową prostą, elastyczność cenową krzyżową, popyt krańcowy względem dochodu, elastyczność względem dochodu).

b) Znajdź pośrednią funkcję użyteczności ^{v p I}   , . Korzystając z tożsamości Roy’a wyznacz funkcję popytu konsumpcyjnego ^   ^{p I , .}

c) Sprawdź, czy funkcje ^   ^{p I , i v p I}   , są dodatnio jednorodne stopnia zero.

d) Sprawdź, czy krańcowa stopa substytucji towaru pierwszego przez drugi w optymalnym koszyku jest równa stosunkowi cen tych towarów.

e) Sprawdź, czy krańcowa użyteczność dochodu w optymalnym koszyku, czyli ^  

 v p I

I

, jest

równa ^  

 u x

x

ⁱ

x  x p

ⁱ

 1

dla i  1 2 , .

f) Wyznacz funkcję kompensacyjnego popytu ^{f p u}   , oraz funkcję wydatków konsumenta

 

e p u , .