Analiza matematyczna 1
zadanie domowe nr 3 1. Narysuj wykresy funkcji sin(arcsin x), arcsin(sin x).
2. Wyra¹ sin t oraz cos t za pomoc¡ tg t.1 Czy mo»na to zrobi¢ jednoznacznie? Zapisz w prostszy sposób sin(arctg x) oraz cos(arctg x).
3. Uzasadnij, »e sin t = 1+(tg2 tgt2t
2)2 oraz cos t = 1−(tg1+(tg2tt)2 2)2.1
4. Podaj przykªad funkcji f i g takich, »e f(g(x)) = x zachodzi dla ka»dego x z dziedziny g, ale nie dla wszystkich x z dziedziny f mamy g(f(x)) = x.
5.∗ Narysuj wykres funkcji
f (x) = x − 1
π arcctg(ctg(πx)).
Jak si¦ ma ta funkcja do bxc?
6.∗ Udowodnij, »e je±li f i g1 s¡ funkcjami wzajemnie odwrotnymi oraz f i g2 s¡ funkcjami wzajemnie odwrotnymi, to g1 = g2.
7.∗ Funkcj¦ wymiern¡ f nazywa si¦ uªamkiem prostym, je±li jest:
(a) jednomianem, tj. f(x) = c · xn dla pewnych c ∈ R, n ∈ N;
(b) uªamkiem prostym pierwszego rodzaju, tj. f(x) = (x+b)c n dla pewnych b, c ∈ R, n ∈ N; lub (c) uªamkiem prostym drugiego rodzaju, tj. f(x) = (x2+ax+b)cx+d n dla pewnych a, b, c, d ∈ R, n ∈ N,
gdzie trójmian x2+ ax + b nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Zasadnicze twierdzenie algebry (zbyt trudne, by dowód mógª by¢ podany na algebrze) mówi o tym, »e ka»dy wielomian mo»na zapisa¢ w postaci iloczynu funkcji liniowych i trójmianów kwadratowych. Wynika z niego (dowód b¦dzie najprawdopodobniej podany na algebrze), »e ka»d¡
funkcj¦ wymiern¡ mo»na zapisa¢ w postaci sumy uªamków prostych. Twierdzenie to umo»liwi nam w przyszªo±ci podanie algorytmu caªkowania funkcji wymiernych.
Zadanie na dzi±: zapisz w postaci sumy uªamków prostych funkcj¦ wymiern¡ x41+1.
Mateusz Kwa±nicki
1Te wzory przydadz¡ si¦ w przyszªo±ci do caªkowania
