g, wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{xn}⊂S(x0)h n→∞lim xn= x0

Granice i ci¡gªo±¢ dla funkcji jednej zmiennej

Def. (Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie)

Niech x0 ∈ R oraz niech f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu x⁰. Liczb¦ g nazy- wamy granica wªa±ciw¡ funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy

x→xlim0

f (x) = g, wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_{xn}⊂S(x0)h

n→∞lim x_n= x₀) ⇒ ( lim

n→∞f (x_n) = g)
i .

Def.(Warunek Heinego na ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie)

Funkcj¦ f : D → R, D ⊂ R nazywamy ci¡gª¡ w punkcie x0 ∈ Dwtedy i tylko wtedy, gdy

∀_xn:N→D lim

n→∞x_n= x₀ ⇒ lim

n→∞f (x_n) = f (x₀). Nieci¡gªo±¢ I rodzaju:

Funkcja f ma w punkcie x0 nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:

a)skok, gdy: lim

x→x⁻₀

f (x) 6= lim

x→x⁺₀

f (x), b)luka, gdy: lim

x→x⁻₀

f (x) = lim

x→x⁺₀

f (x) 6= f (x₀). Nieci¡gªo±¢ II rodzaju:

Funkcja f ma w punkcie x0nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim

x→x⁻₀

f (x), lim

x→x⁺₀

f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.

Twierdzenie Darboux

Funkcja ci¡gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d¡ warto±¢ po-

±redni¡ pomi¦dzy dwoma swymi warto±ciami.

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a^x−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log_a(1+x)

x = log_ae, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a_x
x

= e^a, a ∈ R f ) lim

x→0(1 + x)^1x = e g) lim

x→0

(1+x)^a−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctg x

x = 1 Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos²α − sin²α, c) sin²α = ^1−cos₂^2α, d) cos²α = ^1+cos₂ ^2α,

e) sin α + sin β = 2 sin ^α+β₂ cos^α−β₂ , f) sin α − sin β = 2 sin^α−β₂ cos^α+β₂ , g) cos α − cos β = −2 sin ^α+β₂ sin^α−β₂ , h) cos α = sin ^π₂ − α

i) a²− b² = (a − b)(a + b), j) a³− b³ = (a − b)(a²+ ab + b²).

Zadania

1. W oparciu o denicj¦ Heine'go granic funkcji wykaza¢, »e:

(a) lim

x→3 x²−9

x−3 = 6 (b) lim

x→−2 x³+8

x+2 = 12 (c) lim

x→+∞

4x+1

3x+2 = ⁴₃ (d) lim

x→+∞

4−x²

x+2 = −∞

2. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:

a) b) c)

d) e) f)

3. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punk- cie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granice te nie istniej¡:

a) b) c)

d) e) f)

4. Wykaza¢ na podstawie denicji Heine'go, »e nie istniej¡ granice funkcji:

(a) lim ^|x|, (b) lim2^x−21 , (c) limcos¹, (d) lim sin√

x, (e) lim4^1x.

5. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):

(a) lim

x→∞

2x−5

3x−4 (b) lim

x→−∞

4x+1

x²−x+1 (c) lim

x→∞

x³−8x x²−4

(d) lim

x→∞

x√ x+3 5x√

x+x (e) lim

x→∞

√x−1 1−6√³

x (f ) lim

x→1 x³−1 x⁴−1

(g) lim

x→2 x³−8

x²−4 (h) lim

x→5

x²−4x−5

x²−5x (i) lim

x→1

x⁴−3x+2 x⁵−4x+3

(j) lim

x→4

√x−2

x−4 (k) lim

x→3

x³+x²−12x

(x−3)² (l) lim

x→∞

√4x²+ x −√

4x²+ 1 (m) lim

x→−∞x +√

x²+ 4x + 3 (n) lim

x→0

√3

1+x−√³ 1−x

x (o) lim

x→4

√x−2

√x−3−1

(p) lim

x→0 sin 6x

3x (q) lim

x→0 sin 5x

sin 2x (r) lim

x→0 sin²x 1−cos x

(s) lim

x→0 sin²2x

1−cos 4x (t) lim

x→^π₄

cos x−sin x

cos 2x (u) lim

x→^π₄

sin(^2x−π2)

π−4x

(v) lim

x→^π₂ cos x

2x−π (w) lim

x→0

sin 4x−sin 5x

sin x (x) lim

x→∞ 1 + ³_x
x

(y) lim

x→∞ 1 −²_x
x

(z) lim

x→∞

2x+3 2x+5

x

(a) lim

x→−∞ 1 −_5x²
x

(b) lim

x→−∞log₇

3x²−4 x−7



(c) lim

x→−∞sin

−3x² x³+1



(d) lim

x→0 2^x−1

x

(e) lim

x→0 arctg x

tg x (f ) lim

x→0 ln(1+x)

e^x−1 (g) lim

x→0

arcsin 2x arcsin 3x

(h) lim

x→0 3^x−2^x

x (i) lim

x→0 e^x−1 sin 5x.

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech funkcjach wykaza¢:

(a) lim

x→∞

x²+sin x

x²−cos x = 1 (b) lim

x→3(x − 3) cos_x−3¹ = 0 (c) lim

x→∞

3[x]

2x−5 = ³₂. 7. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch funkcjach wykaza¢:

(a) lim

x→+∞−x²+ 2 cos x = −∞ (b) lim

x→0⁺ 1

2x−sin x = +∞.

8. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

(a) lim

x→1 x+1

x−1 (b) lim

x→0 sin x

|x| (c) lim

x→1

|x−1|³

x³−x² (d) lim

x→3[x]

9. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:

a) b) c)

d) e) f)

10. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :

a) b) c)

d) e) f)

11. W oparciu o denicj¦ Heine'go ci¡gªo±ci funkcji wykaza¢ ci¡gªo±¢ poni»szych funkcji we wska- zanych punktach:

a) f(x) = 1 − 2x + 3x²; x₀ = 1, b) f(x) = x²; dla x ≤ 3

3x; dla x > 3 x₀ = 3.

12. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:

(a) f (x) = x²− 2x + 1 dla x > 0

3^x dla x ≤ 0 (b) f (x) =







2^x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2

(c) f (x) =

( x²−3x

|x−3| dla x 6= 3

3 dla x = 3 (d) f (x) =

 ^√_1+x−1

x dla x 6= 0

0 dla x = 0

(e) f(x) =

 _{sin x}

x ; dla x 6= 0

0; dla x = 0 (f) f(x) =

 _x³₋₁

x²−1; dla x ∈ R − {−1, 1}

1; dla x ∈ {−1, 1}

(g) f(x) =







1

5(2x²+ 3); dla x ≤ 1 6 − 5x; dla 1 < x < 3

x − 3; dla x ≥ 3 h) f(x) = sin_x¹; dla x 6= 0 1; dla x = 0

13. Dobra¢ parametry a, b tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _x²_−4x+3

x−3 dla x 6= 3

a dla x = 3 (b) f (x) = ax + 3 dla x < 1 2x²+ x + 2 dla x ≥ 1

(c) f (x) = ax + 1 dla x ≤ ^π₂

sin x + b dla x > ^π₂ (d) f (x) =







2^x dla x ∈ [0; 2)

ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)²+ x + b dla x ∈ [10; 20) (e) f(x) =

 ^√_1+x−1

x ; dla x 6= 0 a; dla x = 0

14. Wykaza¢, »e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja f (x) = 1

x − a + 1

x − b + 1 x − c ma co najmniej dwa pierwiastki.

15. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2^x− x² przyjmuje warto±¢ w = ₁₀¹ na przedziale D = [1, 3].

16. Pokaza¢, »e równanie 3 sin²x − 2 cos³x = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [^π₆;^π₃].