2.2 Udowodnić, że jeżeli f (x) = (x−x0)(x−x1) . . . (x−xp), to [x0, x1, . . . , xn; f ] = 0 dla n þ p. Jaka jest wartość tego ilorazu, gdy n = p + 1?
2007, 2008, 2009, 2011, 2012
Definicja ilorazu różnicowego:
[xl, xl+1, . . . , xl+k; f ] = Øl+k
i=l
f(xi) rl+k
j=l
jÓ=i
(xi− xj)
Trochę inaczej niż w rozwia- zanie.pdf, ale o wiele prościej
Dowód. Z definicji wynika zatem, że przy założeniu n þ p, każdy składnik sumy będzie równy 0, gdyż ponieważ wartość f (x) w punktach x0, x1, . . . , xnwynosi 0. Zatem wartość całej sumy, a tym samym ilorazu różnicowego wyniesie 0.
Dla n = p + 1, n − 1 pierwszych składników powyższej sumy będzie równych 0, natomiast składnik n-ty będzie wyglądał następująco (przyjmując p = n − 1):
f(xn) rp
j=0(xn− xj) = (xn− x0)(xn− x1) . . . (xn− xp) (xn− x0)(xn− x1) . . . (xn− xp) = 1
Ostatecznie wartość ilorazu różnicowego [x0, x1, . . . , xn; f ] = 0 dla n = p + 1 to 1.
2.3 Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h interpoluje funkcję f w węzłach x1, x2, . . . , xn, to funkcja
g(x) + x0 − x xn− x0
[g(x) − h(x)]
interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x0, x1, . . . , xn (funkcje g i h nie muszą być wielomianami).
2007, 2008, 2008z, 2011z, 2012z, 2012
Dowód.
Oznaczmy przez k(x) funkcję:
k(x) = g(x) + x0− x
xn− x0 [g(x) − h(x)]
1. Dla x = x0:
k(x0) = g(x0) + x0− x0
xn− x0[g(x0) − h(x0)] (13)
= g(x0) + 0 · [g(x0) − h(x0)]
= g(x0)
2. Dla x = xn:
k(xn) = g(xn) +x0− xn xn− x0
[g(xn) − h(xn)] (14)
= g(xn) − 1 · [g(xn) − h(xn)]
= g(xn) − g(xn) + h(xn)
= h(xn)
3. Dla x = xi(i = 1, 2, . . . , n − 1):
g(xi) = h(xi), zatem
k(xi) = g(xi) + x0− xi
xn− x0 [g(xi) − h(xi)] (15)
= g(xi) − x0− xi xn− x0
· 0
= g(xi)
Ponieważ funkcja g(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h interpoluje funkcję f w węźle xn, zatem na podstawie równań (13), (14) i (15) funkcja k(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn.
2.4 Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn−1, a funkcja h jest funkcją taką, że h(xi) = δin(0 þ i þ n), to istnieje stała c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x0, x1, . . . , xn
2007, 2008, 2012
Wstęp:
• Symbol Kronecker’a:
δij =
I 1, i= j 0, iÓ= j Dowód.
Oznaczmy przez k(x) następującą funkcję:
k(xi) = g(xi) + c · h(xi) = g(xi) + c · δin
Dla i = 0, 1, . . . , n − 1, wartość symbolu Kronecker’a δinwynosi 0, gdyż i Ó= n, zatem k(xi) = g(xi), z czego wynika, że dla i = 0, 1, . . . , n − 1 funkcja k(x) interpoluje funkcję f w punktach x0, x1, . . . , xn−1.
Być może to po- winno być przez negację, że taka stała nie istnieje i dojść do sprzecz- ności..
Dla i = n, wartość symbolu Kronecker’a δin wynosi 1, a więc k(xn) = g(xn) + c. Ponieważ funkcja k(x) ma interpolować funkcję f (x) w węźle xn, zatem k(xn) = f (xn). Znając wartość funkcji interpolowanej f (x) i funkcji g(x) w węźle xn, można wyliczyć c na podstawie wzoru:
c= f (xn) − g(xn)
Istnieje zatem taka stała c, dla której funkcja k(x) = g(x) + c · h(x) interpoluje funkcję f w węzłach x0, x1, . . . , xn.
3 Zadania
3.1 Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x oraz przedziału [x] = [−12,32] pokazać, że roz- szerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?
2007p
f(x) = 1
2 − x+ 1
2 + x= 4
4 − x · x = 4
4 − x2, |x| < 2 Wstęp:
1.2.3 Dowód - zbędne na egzaminie
Niech x0, x1, . . . , xn będą węzłami interpolacji funkcji f takie, że znane są wartości f (x0) = y0, f(x1) = y1, . . . , f(xn) = yn Można zdefiniować funkcję li:
li(x)def= Ùn
j=0
jÓ=i
x− xj
xi− xj, i= 0, 1, . . . , n
są to wielomiany stopnia n, takie że δij - symbol Kro-
necker’a
li(xj) = δij =
I1 dla i = j 0 dla i Ó= j Stąd wynika, że
Ln(x) = Øn
i=0
f(xi)li(xi) = Øn
i=0
f(xi) Ùn
j=0
jÓ=i
x− xj
xi− xj
(1)
jest wielomianem stopnia co najwyżej n przyjmującym w węzłach interpolacyjnych xi war- tości f (xi), co dowodzi istnienia rozwiązania. Wzór (1) nazywamy wzorem interpolacyjnym Lagrange’a.
1.2.4 Wykazanie jednoznaczności rozwiązania
Załóżmy, że istnieją dwa tożsamościowo różne wielomiany L1n(x) i L2n(x) stopnia n, przyj- mujące w węzłach x0, x1, . . . , xn takie same wartości. Niech L3n(x) = L1n(x) − L2n(x) będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej n (co wynika z własności odejmowania wielomia- nów). (*)
Ponieważ L1n(x) i L2n(x) w węzłach xi : i ∈ 0, 1, . . . , n interpolują tę samą funkcję, to L1n(xi) = L2n(xi), a więc L3n(xi) = 0 (węzły interpolacji są pierwiastkami L4n(x)). Ale każdy niezerowy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że L3n(x) ma n+1 pierwiastków, to L3n(x) musi być wielomianem tożsamościowo równym zeru. A ponieważ
L3n(x) = L1n(x) − L2n(x) ≡ 0 to
L1n(x) ≡ L2n(x) co jest sprzeczne z założeniem, że L1n(x) i L2n(x) są różne.
1.3 Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite’a. Co można o nim po- wiedzieć?
2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2009, 2011, 2011z, 2012z, 2012
Zadanie interpolacyjne Hermite’a polega na znalezieniu dla danej funkcji f oraz k + 1 węzłów x0, x1, . . . , xk wielomianu Hn stopnia nie większego niż n, takiego że
Hn(j)(xi) = f(j)(xi), i= 0, 1, . . . , k; j= 0, 1, . . . , mi− 1 (2) czyli że w węzłach interpolacji pochodne rzędu j tego wielomianu są równe pochodnym funkcji intepolowanej, przy czym
Øk
i=0
mi= n + 1, mi∈ N Liczbę mi nazywamy krotnością węzła xi.
Właściwości:
• Jeżeli ∀0þiþkmi = 1, to interpolacja Hermite’a sprowadza się do interpolacji Lagrange’a.
• Zadanie interpolacyjne Hermite’a (2) ma jednoznaczne rozwiązanie.
1.4 Sformułować zadanie interpolacji wymiernej. Co można o nim powie- dzieć?
1.4.1 Sformułowanie zadania.
2005
Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej Wmn postaci
Wmn(x) = qm
k=0akxk qn
k=0bkxk,
w której stopień licznika jest równy co najwyżej m, a stopień mianownika - co najwyżej n, spełniającej dla danych węzłów xii wartości funkcji w tych węzłach f (xi)(i = 0, 1, . . . , m + n) warunki
Wmn(xi) = f (xi).
1.4.2 Co można o nim powiedzieć?
Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwiązalne.
Prawie każde rozwiązanie powyższego układu jest rozwiązaniem układu Øm
k=0
akxki − f (xi) Øn
k=0
bkxki = 0, i= 0, 1, . . . , m + n
1.5 Sformułować zadanie interpolacji trygonometrycznej. Co można o nim powiedzieć?
2006
1.5.1 Sformułowanie zadania.
Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie 2π wielomianu trygonometrycznego:
Tn(x) = β0+ β1exi+ β2e2xi...+ βn−1e(n−1)xi, (3) eαi = cos α + i sin α (wzór Eulera; i oznacza jednostkę urojoną), takiego że:
Tn(xk) = f (xk), k= 0, 1, ..., n − 1. (4) Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach zespolonych. Współczynniki βk w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
1.5.2 Co można o nim powiedzieć?
Jeżeli dana jest funkcja g o okresie T , tj. g(y + T ) = g(y), to dokonując zmiany zmiennej według zależności x = 2πT y otrzymamy f (x) = g(yT2π), a więc funkcję okresową o okresie 2π.
Bez zmniejszania ogólności możemy zatem rozważać tylko funkcje o okresie 2π.
Istnieje dokładnie jeden wielomian (3) spełniający warunki (4)
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
e x∈ (−∞, 0)
3x2 x∈ [0, 1)
3
2(x − 1)2+ 2a(x − 1) + b x∈ [1, 3)
g x∈ [3, +∞)
• Druga pochodna:
S′′(x) =
0 x∈ (−∞, 0)
6x x∈ [0, 1)
3(x − 1) + 2a x∈ [1, 3)
0 x∈ [3, +∞)
• Warunki:
– S′′(0+) = S′′(0−) ⇒ 0 = 6 · 0
– S′′(1−) = S′′(1+) ⇒ 2a = 6 ⇒ a = 3
– S′′(3−) = S′′(3+) ⇒ 6 + 2a = 0 ⇒ a = −3 sprzeczne z powyższym
Ostatecznie nie istnieją takie parametry, dla których funkcja S(x) może być w przedziale [0, 3) naturalną funkcją sklejaną.
3.14 Dla jakich wartości a, b, c i d funkcja S(x) jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego?
2007, 2008, 2008z, 2011z, 2012z, 2012
S(x) =
1 − 2x x∈ (−∞, −3)
a+ bx + cx2+ dx3 x∈ [−3, 4)
157 − 32x x∈ [4, ∞)
• Z definicji funkcja sklejana stopnia trzeciego musi być ciągła i posiadać ciągłe pochodne rzędu 1, 2
• Dla podanej funkcji
S(x) =
1 − 2x x∈ (−∞, −3)
a+ bx + cx2+ dx3 x∈ [−3, 4)
157 − 32x x∈ [4, ∞)
należy sprawdzić jej ciągłość w węzłach:
S(−3−) = S(−3+) S(−3−) = 1 − 2 · (−3) = 7 S(−3+) = a + (−3) · b + 9 · c + (−27) · d
a− 3b + 9c − 27d = 7 (21)
S(4−) = S(4+)
S(4−) = a + 4 · b + 16 · c + 64 · d S(4+) = 157 − 32 · (4) = 29
a+ 4b + 16c + 64d = 29 (22)
• Pierwsza pochodna:
S′(x) =
−2 x∈ (−∞, −3)
b+ 2cx + 3dx2 x∈ [−3, 4)
32 x∈ [4, ∞)
Co daje nam następujące zależności:
S′(−3−) = S′(−3+)
S′(−3−) = −2
S′(−3+) = b + 2 · (−3) · c + 3 · 9 · d
b− 6c + 27d = −2 (23)
S′(4−) = S′(4+)
S′(4−) = b + 2 · 4 · c + 3 · 16 · d S′(4+) = 32
b+ 8c + 48d = 32 (24)
• Druga pochodna:
S′(x) =
0 x∈ (−∞, −3)
2c + 6dx x∈ [−3, 4)
0 x∈ [4, ∞)
I wynikające z niej zależności:
S′′(−3−) = S′′(−3+)
S′′(−3−) = 0 S′′(−3+) = 2c − 18d
2c − 18d = 0 (25)
S′′(4−) = S′′(4+) S′′(4−) = 2c + 24d
S′′(4+) = 0
2c + 24d = 0 (26)
Rozwiązując układ równań (25) i (26) otrzymamy c = 0 i d = 0. Podstawiając te wyniki do równania (24) otrzymujemy b = 32, a z równania (23) b = −2. Otrzymujemy tym samym sprzeczność, a więc nie istnieją takie wartości parametrów a, b, c i d, dla których funkcja S(x) byłaby funkcją sklejaną stopnia trzeciego.
Znalezienie współczynników sprowadza się zatem do rozwiązania układu równań liniowych:
2 w1 0 · · · · · · · 0 u1 u2 2 w2 0 · · · · · · · · · 0
0 u3 2 w3 · · · · · · · · · 0 ... ... ... ... . .. ... ... ... 0 · · · un−1 2 wn−1 wn 0 · · · · 0 un 2
c1 c2 c3 ... cn−1
cn
=
v1 v2 v3 ... vn−1
vn
gdzie
un= hn−1 hn−1+ h0 wn= h0
hn−1+ h0
vn= 3
hn−1+ h0
3f(x1) − f (xn)
h0 −f(xn) − f (xn−1) hn−1
4
a pozostałe wielkości ui, wi i vi (i = 1, 2, . . . , n − 1) są określone jak w (10), (11) i (12) Macierz ta jest macierzą zbliżoną do trójdiagonalnej, różni się od niej jedynie o niezerowe elementy u1 i wn. W celu rozwiązania takiego układu równań, macierz można rozłożyć na iloczyn LU np. metodą eliminacji Gaussa. Chcąc rozwiązać układ równań Ax = d, wystarczy rozwiązać kolejno dwa układy równań Ly = d i U x = y.
1.8 Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu pod- stawowego.
2005, 2006, 2007, 2007p, 2008, 2008z, 2011, 2011z, 2012z, 2012
Algorytm eliminacji Gaussa jest algorytmem rozwiązywania układu n równań z n niewiado- mymi.
Układ równań
a1,1x1+ a1,2x2+ · · · + a1,nxn= b1 a2,1x1+ a2,2x2+ · · · + a2,nxn= b2
. . .
an,1x1+ am,2x2+ · · · + an,nxn= bn
przekształcany jest do postaci A(1)x= b(1)
a1,1 . . . a1,n ... ... ... an,1 . . . an,n
x1
... xn
=
b1
... bn
Przed wykonaniem algorytmu dla wygody warto kolumny podpisać kolejnymi zmiennymi, a wiersze wyrazami wolnymi. Ułatwia to orientację w zmianach w układzie równań podczas zamiany kolumn (zmiana kolejności zmiennych) oraz wierszy (zmiana kolejności wyrazów wolnych). Wyrazy wolne podlegają tym samym operacjom co reszta macierzy.
Algorytm zaczynamy od macierzy W = A;
1. W macierzy W znajdź element s o maksymalnej wartości bezwzględnej.
2. Zamień wiersze macierzy W tak aby s znajdowała się w pierwszym wierszu.
3. Zamień kolumny macierzy W tak aby s znajdowała się na pozycji (1, 1).
4. Odejmij od każdego z pozostałych wierszy wiersz pierwszy pomnożony przez ww1i,1
,1, gdzie ito numer wiersza.
5. Nową macierzą W jest macierz W bez pierwszego wiersza i pierwszej kolumny.
6. Jeżeli otrzymałeś macierz zerową → STOP - brak jednoznacznego rozwiązania.
7. Jeżeli wykonałeś n iteracji utwórz z odrzuconych wierszy, kolumn i etykiet macierz kwadratową o rozmiarze n i przejdź do odczytywanie kolejnych zmiennych.
8. Wróć do punktu 1.
Otrzymujemy macierz górnotrójkątną postaci:
i1 i2 . . . in q1,1 q1,2 . . . q1,n
0 q2,2 . . . q2,n ... ... . .. ... 0 0 . . . qn,n
=
c1 c2 ... cn
gdzie i1, i2, . . . , in to zapamiętane przez nas indeksy zmiennych w oryginalnej macierzy, a c1, c2, . . . , cn to przekształcone wyrazy wolne. Wartości zmiennych odczytujemy w następu- jący sposób:
1. Z ostatniego wiersza wyznaczamy
xin = cn qn,n
2. W analogiczny sposób, znając już wartości xi+1, xi+2, . . . , xnobliczamy kolejne wartości xi
xia = ca−qnk=a+1(xik· qa,k) qa,a
1.9 Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio okre- ślona? Jak można zastosować jej rozkład A = LLT do rozwiązania ukła- du równań liniowych Ax = b?
2006, 2007, 2007p, 2008, 2008p, 2009, 2010p, 2011, 2012
1.9.1 Definicja macierzy dodatnio określonej:
Zespoloną macierz A stopnia n nazywamy dodatnio określoną, gdy:
1. jest macierzą hermitowską, tj. A = AH( ¯AT) 2. xHAx >0 dla wszystkich wektorów x ∈ Cn, xÓ= 0.
Dla rzeczywistej macierzy A stopnia n mamy uproszczone warunki:
A≡ AT ∧ ∀x ∈ Rn: (x Ó≡ 0 ⇒ xTAx >0)
1.9.2 Jak można zastosować rozkład Choleskiego takiej macierzy do rozwiązania układu równań liniowych?
W metodzie Choleskiego rozwiązujemy dwa układy równań liniowych z macierzami trójkąt- nym. Rozkład rzeczywistej macierzy A na iloczyn LLT wykonujemy na podstawie następu- jących wzorów:
1.16 Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A−1
2007, 2008, 2009, 2011, 2012
Do wyznaczania macierzy A−1 stosuje się metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego. Algorytm składa się z dwóch etapów:
1. wyznaczamy rozkład LU macierzy A (uwzględniając ewentualne przestawienia wierszy macierzy A)
2. rozwiązujemy n razy układ równań
LU x(i) = e(i), i= 1, 2, . . . , n gdzie e(i) oznacza i-ty wersor w przestrzeni Rn, tj.
e(i) = [0, . . . , 1 üûúý
i-ta pozycja
, . . . ,0]T
Rozwiązania x(i) są kolumnami macierzy A−1, przy czym należy ustawić je w kolejności wynikającej z przestawień wierszy macierzy. Można też równocześnie rozwiązywać n układów równań z prawymi stronami równymi e(i) (i = 1, 2, . . . , n).
1.17 Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami.
W jaki sposób można rozwiązać powstały układ Haara? W jakim przypadku zagadnienie to jest interpolacją wielomianową?
Rozwiązanie: W aproksymacji średniokwadratowej dla funkcji F (x) określonej na przedziale 2007p, 2009, 2011, 2012
[a,b] minimalizujemy ||F (x) − f (x)||, czyli szukamy minimum całki:
||F (x) − f (x)|| = Úb
a
w(x)[F (x) − f (x)]2dx
gdzie: w(x) jest funkcją wagową F(x) jest funkcją aproksymowaną
f(x) jest funkcją aproksymującą
natomiast dla funkcji F (x) danej na dyskretnym zbiorze argumentów będziemy poszukiwać minimum sumy:
||F (x) − f (x)|| = Øm
i=0
w(xi)[F (xi) − f (xi)]2 przy czym w(xi) ÿ 0 dla i = 0, 1, ..., m Niech:
1. funkcja y = F (x) przyjmuje na pewnym zbiorze X=x0, x1, ..., xm wartości y0, y1, ..., ym 2. ϕi(x), i = 0, 1, ..., n oznacza układ funkcji bazowych podprzestrzeni Xn+1
Poszukujemy takiej funkcji f (x), która będzie najlepszym przybliżeniem średniokwadroto- wym funkcji F (x) na zbiorze X tj. funkcji:
f(x) = Øm
i=0
aiϕi(x)
ai są tak określone, by minimalizować
Przyjmijmy:
H(a0, a1, ..., an) = Øm
j=0
w(xj)[F (xj) − Øn
i=0
aiϕi(xj)]2 = Øm
j=0
w(xj)R2j
Obliczamy współczynniki ai:
∂H
∂ak = −2 Øm
j=0
w(xj)[F (xj) − Øn
i=0
aiϕi(xj)]ϕk(xj) = 0
Otrzymaliśmy w ten sposób układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi aizwany ukła- dem normalnym. Jeżeli jako funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów xi (i = 0, 1, ..., n) to po przekształceniach otrzymamy wówczas układ normalny w postaci:
Øn
i=0
αikai = βk
Objaśnienie do powyższych wzorów:
w(x) jest ustalona z góry i taka, że w(xj) > 0 dla j = 0, 1, ..., m Rj - odchylenie w punkcie xj
k= 0, 1, ..., n
αik=qmj=0xi+kj , βk=qmj=0F(xj)xkj Jeżeli:
1. n þ m i punkty x0, x1, ..., xn są różne, to wyznacznik układu jest różny od zera, a więc układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie
2. n = m, to wielomian aproksymacyjny f (x) pokrywa się z wielomianem interpolacyjnym dla punktów x0, x1, ..., xn i wówczas H = 0
2 Dowody
2.1 Wykazać, że jeśli x oznacza liczbę maszynową, to dla dowolnego natu- ralnego k jest f l(xk) = xk(1 + ε)k−1, gdzie |ε| < eps.
2009, 2011
Wstęp:
• f l(α) oznacza wartość wyrażenia α w arytmetyce zmiennopozycyjnej,
• eps oznacza dokładność maszynową.
Dowód indukcyjny.
1. Dla k = 1:
wartość wyr. w ar. zm. dla l.
maszynowej to ta liczba
f l(x) = x Dla k = 2 z definicji wynika, że:
f l(x2) = f l(x · x) = (x · x)(1 + ε) = x2(1 + ε) 2. Jeżeli przyjmiemy, że f l(xk−1) = xk−1(1 + ε)k−2 to:
f l(xk) = f l(xk−1· x) = (f l(xk−1) · x)(1 + ε) = xk−1(1 + ε)k−2x(1 + ε) = xk(1 + ε)k−1 Wniosek: na mocy zasady indukcji matematycznej można stwierdzić, że podane twierdzenie jest prawdziwe.
Następnie korzystamy ze wzoru ma macierz Gausa–Seidla:
MGS = −(D + L)−1U.
D+ L =
1 0 0 1 1 0 2 2 1
(D + L)−1=
1 0 0
−1 1 0
0 −2 1
−(D + L)−1=
−1 0 0
1 −1 0
0 2 −1
−(D + L)−1U =
0 −2 2
0 2 −3
0 0 2
Odejmujemy od wynikowej macierz macierz λ ∗ I
MGS− λI =
−λ −2 2
0 2 − λ −3
0 0 2 − λ
Wyznaczamy wielomian i jego pierwiastki
MGS− λI = -- -- -- -
−λ −2 2
0 2 − λ −3
0 0 2 − λ
-- -- -- -
= −λ ∗ (2 − λ)2
λ= 0 ∨ λ= 2
Stąd widzimy, że ρ(MGS) = 2 > 0, a więc metoda nie gwarantuje zbieżności.
3.24 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pier- wiastków rzeczywistych wielomianu:
2007, 2008, 2008p, 2008z, 2010p, 2011z, 2012z, 2012
w(x) = x3− 2x2− 5x + 5
3.24.1 Wstęp:
UWAGA: zwrócić uwagę na nawia-
sy! Aby obliczyć liczbę pierwiastków rzeczywistych metodą Sturma w przedziale [a, b) należy postępować wg następujących kroków:
1. p0(x) = p(x)
2. p1(x) = −(p(x))′ [pochodna pierwszego stopnia z p(x) pomnożona przez -1]
3. pi(x) = c · pi−2modpi−1 [reszta z dzielenia dwóch poprzedzających wielomianów przez siebie, ewentualnie pomnożona przez jakąś dodatnią stałą c]
4. jeśli pi jest równe 0, postępujemy zgodnie z algorytmem pokazanym w zadaniu nr 24.
3.24.2 Rozwiązanie p0(x) = x3− 2x2− 5x + 5 p1(x) = −3x2+ 4x + 5
−13x + 29
− 3x2+ 4x + 5" x3 − 2x2 − 5x + 5
− x3+43x2 +53x
−23x2− 103x + 5
2
3x2 −89x−109
− 389x+359 p2(x) = 38x − 35
−383x+ 144447 38x − 35"− 3x2 + 4x + 5
3x2− 10538x
47
38x + 5
−4738x+ 16451444
8865 1444
p3(x) = −1
3.24.3 Zmiany znaków
x 0 inf
p0(x) + + p1(x) + - p2(x) - + p3(x) - -
3.24.4 Liczba pierwiastków w x= 0
Z uwagi na fakt, że musimy znaleźć liczbę pierwiastków dodatnich, bierzemy pod uwagę przedział (0, inf). Nie jest to jednak zgodne z treścią zadania, gdyż 0 nie jest dodatnie.
Zatem musimy sprawdzić, czy w 0 jest jakiś pierwiastek i ewentualnie odjąć go od końcowego wyniku.
w(0) = 0 5 Ó= 0 Brak pierwiastków w punkcie 0.
3.24.5 Liczba dodatnich pierwiastków rzeczywistych
|3 − 1| − 0 = 2
3.25 Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby pierwiastków rze- czywistych wielomianu.
2007, 2008, 2008p, 2010p,
p(x) = x3+ x2− x − 1 2012
