SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 1 1. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór: (a)

SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 1 1. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:

(a) |z − 2| ¬ Imz + 3 (b) Re(z(1 + i)) ¬ 1

(c) Rez + i z − i ¬ 1 (d) Imz + 1

z + 3 ­ 0 (e) |z − 1| ­ |Rez|

(f) Rez + 1¯ z ­ 1

2. Rozwiązać równanie : (a) z ¯z + z − ¯z = 3 + 2i (b) z⁴ + 3z²− 4 = 0

(c) z⁶ = 1 − i

√3 + i

(d) z⁴ = (1 + i)¹⁶ (−1 +√

3i)¹²

(e) (z³+ 8)(z² + 4z + 13) = 0 (f) (z³+ i)(z²+ iz − 2 − 6i) = 0

3. Dla funkcji f (z) znaleźć u(x, y) , v(x, y) (f = u + iv , z = x + iy) (a) f (z) = z²+ 4i

(b) f (z) = ¹_z (c) f (z) = ^z+2i_z−i (d) f (z) = (1 + i)z

(e) f (z) = iz³

(f) f (z) = 4|z|²+ 3iz

4. Mając dane u(x, y) , v(x, y) , znaleźć funkcję f (z) (f = u + iv , z = x + iy) (a) u = x²− y² , v = −2xy

(b) u = x − y , v = x²+ y² (c) u = _x2+y^{y 2} , v = _x2+y^{x 2}

5. Narysować obraz obszaru D : f (D)

(a) f (z) = 2z − 1 , D : trójkąt ∆ABC , gdzie A = 0 , B = i , C = −1 + i (b) f (z) = 2z² , D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 2

(c) f (z) = 1

z , D : 0 ¬ x ¬ 1 , −1 ¬ y ¬ 0

(d) f (z) = z²+ 1

z , D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 1 6. Obliczyć granicę:

(a) lim

n→∞

2n + 4i 3ni − 7

ⁿ

(b) lim

n→∞

2n³+ in²− 5n in³− 2n + 6 (c) lim

n→∞

2n³+ in²− 5n in³− 2n + 6

7. Obliczyć:

(a) sin(π + 3i) (b) e^2−πi

(c) sinh(2i) (d) ln(1 + i)

(e) ln(−1) (f) eⁱ (g) i¹⁺ⁱ