Prosta i płaszczyzna w przestrzeni
Wybrane wzory i informacje
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0) o wektorze wodzącym ~r0i równoległej do wektora ~v = [a, b, c] :
• postać parametrycznego prostej w R3
l :
x = x0 + at y = y0+ bt z = z0+ ct,
gdzie t ∈ R;
• postać kierunkowa prostej:
l : x − x0
a = y − y0
b = z − z0 c .
Prosta przechodząca przez dwa różne punkty P0(x0; y0; z0) i P1(x1; y1; z1)
• równanie w postaci parametrycznej
l :
x = x0 + t(x1− x0) y = y0+ t(y1− y0) z = z0+ t(z1− z0),
gdzie t ∈ R.
• równanie w postaci kierunkowej
l : x − x0
x1− x0 = y − y0
y1− y0 = z − z0
z1− z0.
Równanie płaszcyzny przechodzącej przez punkt P0 = (x0, y0, z0) o wektorze normalnym ~n = [A, B, C] :
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Niech P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) i P3 = (x3, y3, z3) będą trzema ustalonymi niewspółlin- iowymi punktami i P = (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π. Wówczas równanie na wyznaczenie płaszczyzny:
Albo wektor normalny tej płaszczyzny wyznaczamy z
−−→P1P2 ×−−→
P1P3 =
~i ~j ~k
x2− x1 y2 − y1 z2− z1 x3− x1 y3 − y1 z3− z1 .
Odległość punktu P0 = (x0, y0, z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
d(P0, π) = |Ax0+ By0+ Cz0+ D|
√A2+ B2+ C2 .
Rozważmy teraz dwie równoległe płaszczyzny π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 oraz π2 : Ax + By + Cz + D2 = 0. Wzór na odległość pomiędzy nimi ma postać:
d(π1, π2) = |D2− D1|
√A2+ B2 + C2.
Odległość punktu P0 = (x0, y0, z0) od prostej k : przechodzącej przez punkt P1 = (x1, y1, z1) o wektorze ~v wyraża się wzorem:
d(P0, k) = |−−→
P0P1× ~v|
|~v| .
Wzór na odległość pomiędzy dwiema prostymi skośnymi k i l o wektorach odpowiednio ~v, ~u i przechodzącymi odpowiednio przez punkty P0 i P1 ma postać:
d(k, l) = |(~v, ~u,−−→
P0P1)|
|~v × ~u| .
Wzór na odległość punktu P0 od płaszczyzny przechodzącej przez P1 o wektorze normalnym ~n ma postać:
d(P1, π) = |−−→
P0P1◦ ~n|
|~n| .
Zadania na ćwiczenia
1. Znajdź równanie płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkt P0 = (3, 1, −2) i równoległej do płaszczyzny 2x−y+3z+5 = 0;
b) przechodzącej przez dwa punkty P1 = (0, 2, 1), P2 = (−1, 0, 1) i prostopadłej do płaszczyzny o równaniu x + y − z = 0;
c) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 3, 5), P2 = (1, 0, −1), P3 = (0, 4, 1);
d) prostopadłej do wektora −→
AB, gdzie A = (1, 4, −2), B = (5, −2, 2) i przechodzącej przez środek odcinka AB;
e) przechodzącej przez punkt P0 = (, 2−, 1, 0) i równoległej do płaszczyzny w której leży trójkąt ABC, gdzie A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (−1, −3, 5);
f) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 3, 1) i równoległej do wektorów ~u = [1, 1, 0], ~v = [0, 1, 1];
g) przechodzącej przez punkt P0 = (6, 2, −1) i prostopadłej do prostej
(4x − 3y + 2z + 5 = 0
−5x + 8y − 7z + 2 = 0;
h) zawierającej punkt P0 = (1, −2, 3) i prostopadłej do płaszczyzn o równaniach x − 3y + 2z − 7 = 0, 2x − 2y − z + 3 = 0;
i) przechodzącej przez punkt P0 = (4, 2, −1) i oś Ox;
j) zawierającej punkty P1 = (4, 0, −1) i P2 = (2, 3, 1) i równoległej do osi Oy;
k) płaszczyzn równoległych do płaszczyzny −6x − 3y − 2z + 2 = 0 i odległych od niej o 5;
l) zawierającej punkt (2, 0, −7), która jest prostopadła do płaszczyzny x + 5z = 0 i jed- nocześnie równoległa do prostej x−12 = −1y = z−23 ;
m) przechodzącej przez oś Oy i tworzącej z płaszczyzną 2x + 5y + z + 4 = 0 kąt π3;
n) przechodzącej przez punkty P1 = (1, −3, 4), P2 = (2, 0, −1) i prostopadłej do płaszczyzny xOz;
2. Znajdź równanie prostej
a) przechodzącej przez punkty P1 = (1, 0, 2) i P2 = (2, −1, 1);
b) przechodzącej prze punkt P0 = (1, 3, −4) i równoleglej do wektora ~u = [−3, 0, 1];
c) przechodzącej przez punkt P0 = (5, −2, 0) i prostopadłej do płaszczyzny 2x+6y−2z+5 = 0;
d) przechodzącej przez punkt P0 = (−1, 1, 1) i prostopadłej do wektorów ~u = [2, 0, −1] i
~
v = [−3, 2, 1],
e) przechodzącej przez środek układu współrzędnych i równoległej do prostej
(3x + y = 0 x − 2z + 5 = 0;
x = 2 + 3t
g)
(3x + 5y − 4z − 1 = 0
4x + y + z + 1 = 0 w postaci kanonicznej i parametrycznej;
h) przecinającej proste:
(x − y + z = 1
2x + y − z = −2 i
x = 2 − 3t y = t
z = −1 + 2t
pod kątem prostym;
i) przechodzącej przez punkt A = (1, 2, 1) i przecinającej dwie proste: x−11 = y+3−2 = z−12 i
x−2
2 = y−21 = z3;
j) przechodzącej przez punkt P0 = (−2, 0, 1) przecinającą prostą l1 : x−11 = y2 = z+23 i prostopadłą do prostej l2 : x+22 = y−24 = z+11 .
3. Znaleźć punkt wspólny prostej :x+21 = y−22 = z+1−1 i płaszczyzny −x + 2y + 3 − 5 = 0.
4. Znaleźć rzut prostokątny
a) punktu P0 = (4, −3, 1) na płaszczyznę o równaniu x + 2y − z − 3 = 0;
b) prostej l : x+21 = y−1−2 = z1 na płaszczyznę 2x − z + 3 = 0;
c) prostej l1 : x2 = y3 = z1 na płaszczyznę π, która to przechodzi przez prostą l2 :
(2x + 3y + z − 8 = 0 x + 4y − 2z + 3 = 0;
5. Obliczyć odległość
a) punktu P0 = (5, −8, 1) od płaszczyzny 4x − 3z − 2 = 0;
b) punktu P0 = (2, −1, 1) od prostej x+11 = y−1−1 = z2;
c) prostych równoległych π1 : 3x − 4y + 11z − 2 = 0 i π2 : 3x − 4y + 11z + 3 = 0;
6. Oblicz miarę kąta między
a) prostą l1 przechodzącą przez punkty A = (3, 0, −1) i B = (2, −1, 2) a prostą zawierającą punkty l2 C = (−2, 1, 1) i D = (3, 1, 3);
b) między prostą
x = −2 + 3t y = 1
z = t
a płaszczyzną daną równaniem 2x − y + z − 1 = 0;
c) płaszczyznami π1 : x − y − 2z − 4 = 0 i π2 : 2x + y − z − 5 = 0;
7. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu P0 = (3, 0, 1) względem prostej x−52 =
y+1
1 = z+23 .
8. Zbadaj wzajemne położenie prostych l1 i l2 w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia, równanie płaszczyzny do której należą:
a) l1 : x−94 = y+2−3 = z1 i l2 : −2x = y+79 = z−22 .
b) l1 :
x = 3 − 2t y = 2 + t z = 1 − 3t
i l2 :
x = −1 − 4t y = 1 + 2t z = 3 − 6t c) l1 :
(2x + 3y − z − 1 = 0
x + y − 3z = 0 i l2 :
(x + 5y + 4z − 3 = 0 x + 2y + 2z − 1 = 0 d) l1 :
(2x + y − z = 0
x + 2y − 3z = 0 i l2 :
(2x + y + z − 3 = 0 x + y + 2z − 2 = 0.
9. Zbadaj wzajemne położenie płaszczyzny π i prostej l w zależności od przypadku wyznacz odległość, punkt przecięcia:
a) l :
x = 13 + 8t y = 1 + 2t z = 4 + 3t
i π : x + 2y − 4z − 20 = 0
b) l :
x = 2 + t y = −1 − 2t z = 3 − t
i π : x + 2y − z + 5 = 0
c) l :
(x − y + z − 1 = 0
x + 3y − 3z − 1 = 0 i π : x + y − z − 1 = 0
