Wyznacz energię wewnętrzną i pojemność cieplną układu N rozróżnial- nych, nieoddziałujących oscylatorów harmonicznych

Elementy fizyki statystycznej

Ćwiczenia nr 8.

Rozkład kanoniczny 12 grudnia 2016

1. Wyznacz średnią energię u, energię swobodną f oraz entropię s związaną z kwantowym oscylatorem harmonicznym. Przyjmij, że oscylator jest w równowadze termodynamicznej z wielkim zbiornikiem ciepła o tempera- turze T .

Wskazówki:

i. Dozwolone poziomy energetyczne kwantowego oscylatora harmonicz- nego są opisane wzorem: εn = ¹₂+ n

~ω, dla n = 0, 1, 2, . . . . ii. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego jest równa

P∞

n=0qⁿ= _1−q¹ , dla |q| < 1.

Odpowiedź:

f = 1

2~ω + kT ln(1 − e^−β~ω),

s = k

 β~ω

e^β~ω− 1 − ln(1 − e^−β~ω)

 ,

u =  1

2+ 1

e^β~ω− 1



~ω.

2. Wyznacz energię wewnętrzną i pojemność cieplną układu N rozróżnial- nych, nieoddziałujących oscylatorów harmonicznych. Załóż, że energia pojedynczego oscylatora jest równa

εi= 1

2mp²_i +mω²

2 x²_i, (1)

gdzie (xi, pi) oznaczają odpowiednio położenie i pęd oscylatora, m jego masę, natomiast ω częstość. Przyjmij, ze temperatura T badanego układu jest znana.

Wskazówka: Ponieważ rozważane oscylatory są jednowymiarowe, dlatego objętość elementarnej komórki w przestrzeni fazowej badanego układu jest równa h^N, nie zaś h^3N.

Odpowiedź: hEi = N kT , CV = N k.

1