1. Wyznacz jawny wzór ci ¾ agu fa n g n 2N danego rekurencyjnie (a) a n = 7 n 5 a n 1 ; dla n > 0 i a 0 = 1:

Matematyka dyskretna - Rekurencje

1 Rekurencje

1. Wyznacz jawny wzór ci ¾ agu fa n g n 2N danego rekurencyjnie (a) a n = 7 ⁿ 5 a n 1 ; dla n > 0 i a 0 = 1:

(b) a _n = _n+1 ⁿ a _{n 1} ; dla n > 0 i a ₀ = 1:

(c) a _n = a _{n 1} + _n(n+3) ¹ ; dla n > 0 i a ₀ = 0:

(d) a n = a n 1 + lg(1 + _n ¹ ); dla n > 0 i a 0 = 0

(e) na _n = (n + 2)a _{n 1} + 3n(n + 1)(n + 2); dla n > 0 i a ₀ = 0:

(f) a n = 3 ^{n 1} 2 ⁿ⁺¹ a n 1 ; dla n > 0 i a 0 = 1:

(g) a _n = ⁿ⁺¹ _n a _{n 1} ; dla n > 0 i a ₀ = 1:

(h) a n = a n 1 + lg(1 + n); dla n > 0 i a 0 = 0 (i) a _n = a _{n 1} + _n

³ +n ; dla n > 0 i a ₀ = 0:

(j) (n + 2) a n = na n 1 + 2 dla n > 0 i a 0 = 0:

(k) na n = (n + 1) a n 1 + 3n; dla n > 0 i a 0 = 0:

2. Rozwi ¾ a· z nast ¾ epuj ¾ ace rekurencje:

(a) a _n = 3a _{n 1} 2a _{n 2} ; dla n > 1 i a ₀ = 0; a ₁ = 1:

(b) 2a n = 8a n 1 8a n 2 ; dla n > 1 i a i = i + 1; dla i = 0; 1:

(c) a _n = 2a _{n 1} + a _{n 2} 2a _{n 3} dla n > 2 i trzech ró· znych zestawów warunków pocz ¾ atkowych i. a _i = 3; dla i = 0; 1; 2:

ii. a 0 = a 2 = 2; a 1 = 2:

iii. a 0 = 1; a 1 = 3, a 2 = 9:

(d) a _n = 6a _{n 1} 12a _{n 2} 8a _{n 3} dla n > 2 i a ₀ = 0; a ₁ = 2; a ₂ = 4:

3. Wyznacz jawn ¾ a posta´c ci ¾ agu danego rekurencj ¾ a niejednorodn ¾ a (a) a _n = 3a _{n 1} 2a _{n 2} + 6; dla n > 1 i a ₀ = 0; a ₁ = 1:

(b) a n = 4a n 1 4a n 2 + 7; dla n > 1 i a i = i + 1; dla i = 0; 1:

(c) a _n = 5a _{n 1} 8a _{n 2} + 4a _{n 3} + 8; dla n > 2 i a ₀ = 0; a ₁ = 1; a ₂ = 4:

(d) a n = ¹ ₂ a n 1 + 4a n 2 2a n 3 4; dla n > 2 i a i = i; dla i = 0; 1; 2:

4. Korzystaj ¾ ac z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej wyznacz asymptotycznie dok÷ adne oszacowanie poni· zszych rekurencji. (Zgodnie z notacj ¾ a przyj ¾ et ¾ a w twierdzeniu o rekurencji uniwersalnej, symbol ⁿ _b ; gdzie b > 1;

oznacza ⁿ _b lub ⁿ _b :) (a) T (n) = 8T ⁿ ₂ + n ² : (b) T (n) = 8T ⁿ ₂ + n ³ : (c) T (n) = 8T ⁿ ₂ + n ⁴ : (d) T (n) = 3T ⁿ ₉ + n lg n:

(e) T (n) = 4T ₁₆ ⁿ + p n + (lg n) ²²² 4:

1

(f) T (n) = 27T ⁿ ₃ + (n + p n) ² (g) T (n) = 4T ⁿ ₂ + n:

(h) T (n) = 4T ⁿ ₂ + n ² : (i) T (n) = 4T ⁿ ₂ + n ³ :

(j) T (n) = 9T ⁿ ₃ + n

lg n 3:

(k) T (n) = 3T ⁿ ₃ + n + (lg n) ¹²³⁴ + 2:

(l) T (n) = 2T ⁿ ₂ + n ² lg n 2:

5. Sprawd´z, czy mo· zna zastotowa´c twierdzenie o rekurencji uniwersalnej, gdy T (n) = 3T (n=3) + _{lg n} ⁿ : 6. Czas dzia÷ ania algorytmu A jest opisany rekurencj ¾ a T (n) = 7T ( ⁿ ₂ ) + n ² : Algorytm konkurencyjny e A dzia÷ a

w czasie e T (n) = a e T ( ⁿ ₄ ) + n ² : Porównaj czasy dzia÷ ania obu algorytmów (w asymptotycznym sensie) w zale· zno´sci od warto´sci liczby a:

2