Rozdział 6 Ciągłość

(1)

Rozdział 6 Ciągłość

6.1 Granica funkcji

Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność.

Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x₀ ∈ R.

Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:

(i) x₀ jest punktem skupienia zbioru X,

(ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x − x₀| < δ zachodzi |f (x) − a| < ε.

Fakt ten zapisujemy lim

x→x0

f (x) = a lub lim_x→x₀f (x) = a lub f (x) → a, gdy x → x₀. Uwaga 6.1.1. Niech f : X → R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ R.

Definicję Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie x₀ można zapisać następująco:

x→xlim0

f (x) = a ⇔ ∀_ε>0 ∃_δ>0 ∀_x∈X (0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f (x) − a| < ε).

Powyższy warunek jest równoważny następującemu

x→xlim0 f (x) = a ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (0 < |x − x₀| 6 δ ⇒ |f(x) − a| 6 ε),

Nie można natomiast zmienić warunku ε > 0 na ε > 0, warunku δ > 0 na δ > 0 ani opuścić warunku 0 < |x − x0|.

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x₀ ∈ R.

Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:

(i) x₀ jest punktem skupienia zbioru X,

(ii) dla każdego ciągu (x_n)_n∈N ⊂ X takiego, że x_n 6= x₀ dla n ∈ N oraz lim_n→∞ x_n = x₀ zachodzi lim

n→∞f (x_n) = a.

Pokażemy teraz, że powyższe dwie definicje są równoważne 121

(2)

Twierdzenie 6.1.2. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz niech a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) a jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x₀, (b) a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x0.

Dowód. Ad. (a) ⇒ (b) Weźmy dowolny ciąg (xn)_n∈N⊂ X \{x₀} taki, że lim

n→∞xn= x₀. Pokażemy, że lim

n→∞ f (x_n) = a. Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ a jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x0, więc istnieje δ > 0, że dla x ∈ X takich, że 0 < |x − x₀| < δ zachodzi |f (x) − a| < ε. Ponieważ x_n6= x₀ dla n ∈ N oraz lim_n→∞x_n= x₀, więc istnieje N ∈ R takie, że dla n > N zachodzi 0 < |xⁿ− x0| < δ i w konsekwencji

|f (x_n) − a| < ε. Reasumując lim

n→∞f (x_n) = a. To daje, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x₀.

Ad. (b) ⇒ (a) Przypuśćmy przeciwnie, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x₀ lecz nie jest granicą w sensie Cauchy’ego. Wtedy istnieje ε > 0, że dla każdego δ > 0 istnieje x ∈ X dla którego 0 < |x − x₀| < δ oraz |f (x) − a| > ε. W szczególności, dla każdego n ∈ N zbiór Xn = {x ∈ X : 0 < |x − x₀| < ¹_n oraz |f (x) − a| > ε} jest niepusty. Stosując teraz Aksjomat wyboru (¹) istnieje ciąg (x_n)_n∈N⊂ X taki, że x_n∈ X_n dla n ∈ N. Wtedy lim_n→∞ xn= x₀ oraz |f (xn) − a|> ε, w szczególności ciąg (f (xⁿ))_n∈N nie jest zbieżny do a. To przeczy definicji granicy w sensie Heinego i kończy dowód. W świetle twierdzenia 6.1.2 nie ma znaczenia, którą definicję granicy funkcji przyjmie- my. Powinniśmy jednak zdecydować się na jadną z nich.

Definicja granicy funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech a, x₀ ∈ R. Mówimy, że liczba a ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą w sensie Cauchy’ego funkcji f w punkcie x₀.

Z definicji dostajemy, że granica funkcji w punkcie jest własnością lokalną, to znaczy zależy od tej funkcji tylko w dowolnie małym otoczeniu punktu. Mianowicie mamy Wniosek 6.1.3. Niech a, x₀ ∈ R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X ⊂ R. Wów- czas a jest granicą funkcji f : X → R w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U ⊂ R punktu x0, liczba a jest granicą funkcji f |_{U ∩X} w punkcie x₀.

Wobec twierdzenia 6.1.2 możemy teraz przenieść pewne własności granicy ciągów na przypadek granicy funkcji. Z własności 4.2.4(a) dostajemy natychmiast

Wniosek 6.1.4. (jednoznaczność granicy funkcji). Jeśli a, a⁰ ∈ R są granicami funk- cji f w punkcie x0, to a = a⁰.

Z własności 4.2.4(b) i twierdzenia 6.1.2 dostajemy

Wniosek 6.1.5. (o granicach dwóch funkcji). Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz a, b ∈ R. Jeśli

x→xlim0

f (x) = a, lim

x→x0

g(x) = b oraz f (x) 6 g(x) dla x ∈ X \ {x0}, to a6 b.

1dla rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych Y_n = X_n× {n}, n ∈ N.

(3)

6.1. GRANICA FUNKCJI 123 Z twierdzenia o trzech ciągach 4.2.6 i twierdzenia 6.1.2 dostajemy natychmiast Wniosek 6.1.6. (o trzech funkcjach). Niech f, g, h : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x₀ – punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ R. Jeśli

x→xlim0

f (x) = a, lim

x→x0

h(x) = a oraz f (x) 6 g(x) 6 h(x) dla x ∈ X \ {x0}, to lim

x→x0 g(x) = a.

Z twierdzeń 4.2.9, 4.3.4 i 6.1.2 mamy

Wniosek 6.1.7. (o działanich na granicach funkcji). Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x⁰ – punktem skupienia zbioru X oraz a, b ∈ R. Niech

x→xlim0 f (x) = a, lim

x→x0 g(x) = b.

Wówczas:

(a) lim

x→x0

(f (x) + g(x)) = a + b.

(b) lim

x→x0

(f (x) − g(x)) = a − b.

(c) lim

x→x0

(f (x)g(x)) = ab.

(d) Jeśli b 6= 0 oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ X \ {x₀}, to lim

x→x0

f (x) g(x) = ^a_b. (e) Jeśli a > 0 oraz f (x) > 0 dla x ∈ X \ {x₀}, to lim

x→x0 (f (x))^g(x)= a^b. (f) Jeśli a = 0 i b > 0 oraz f (x) > 0 dla x ∈ X \ {x0}, to lim

x→x0 (f (x))^g(x) = 0.

Z własności 4.2.10 i twierdzenia 6.1.2 mamy

Wniosek 6.1.8. Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupie- nia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ograniczoną oraz lim

x→x0

f (x) = 0, to lim

x→x0

(f (x)g(x)) = 0.

Z twierdzenia 6.1.2 i własności granicy ciągu dostajemy Wniosek 6.1.9. Niech a, x₀ ∈ R oraz n ∈ N. Wówczas:

(a) lim

x→x0

x^a = x^a₀, gdy x₀ > 0, (b) lim

x→0x^a = 0, gdy a > 0 (²), (c) lim

x→x0

√n

x = √ⁿ

x₀, gdy n jest liczbą nieparzystą, (d) lim

x→x0 |x| = |x₀|, (e) lim

x→x0 a^x = a^x⁰, gdy a > 0,

2liczba 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji x 7→ x^a.

(4)

(f) lim

x→x0

log_ax = log_ax₀, gdy a > 0, a 6= 1 oraz x₀ > 0, (g) lim

x→x0

sin x = sin x₀, lim

x→x0

cos x = cos x₀, (h) lim

x→x0 tg x = tg x₀, gdy cos x₀ 6= 0, (i) lim

x→x0

ctg x = ctg x₀, gdy sin x₀ 6= 0,

Dowód. Części (a), (b) i (e) wynikają z twierdzenia 4.3.4, część (f) – z twierdzenia 4.3.3, część (d) – z wniosku 4.2.11, części (g) – z wniosku 5.10.6.

Ad. (h) Jeśli cos x₀ 6= 0, to w myśl wniosku 5.10.8, x₀ jest punktem skupienia dziedziny funkcji tg . Wówczas z wniosku 5.10.9 dostajemy lim

x→xn

tg x = tg x₀, czyli mamy (h).

Część (i) dowodzimy analogicznie jak część (h).

Pozostało udowodnić (c). Rozważymy trzy przypadki:

Dla x0 > 0, tezę (c) dostajemy z części (a), gdy a = _n¹.

Dla x₀ < 0 mamy −x₀ > 0 oraz z własności pierwiastka nieparzystego stopnia do- stajemy √ⁿ

x₀ = −√ⁿ

−x₀. Wówczas dla dowolnego ciągu (x_k)^∞_k=1 takiego, że lim

k→∞x_k = x₀ mamy lim

k→∞ (−x_k) = −x₀, więc istnieje N ∈ N takie, że dla k > N zachodzi −xk > 0.

Zatem z twierdzenia 4.3.4 mamy lim

k→∞

√n

x_k = lim

k→∞ (−√ⁿ

−x_k) = −√ⁿ

−x₀ = √ⁿ

x₀, co daje tezę w tym przypadku.

Niech teraz x0 = 0. Ponieważ −^qⁿ|x| 6 √ⁿ

x 6 ^qⁿ|x|, więc dla dowolnego ciągu (xk)^∞_k=1 takiego, że lim

k→∞ xk = 0 mamy −^qⁿ|xk| 6 √ⁿ

xk 6 ^qⁿ|xk|. Z wniosku 4.2.11 wynika, że

k→∞lim |xk| = 0, z twierdzenia 4.3.4 zaś, że lim

k→∞

qn

|xk| = 0. W konsekwencji twierdzenie o trzech ciągach daje, że lim

k→∞

√n

x_k = 0, czyli mamy (c) w tym przypadku. Z twierdzenia 6.1.2 i wniosków 4.5.4(d) i 5.10.6(c) dostajemy

Wniosek 6.1.10. Zachodzą następujące:

(a) lim

x→0(1 + x)^x¹ = e, (b) lim

x→0 sin x

x = 1.

Granica maksimum i minimum rodziny funkcji

Udowodnimy twierdzenie o granicy maksimum i minimum rodziny funkcji. Zacznijmy od definicji.

Definicja maksimum i minimum rodziny funkcji. Niech f1, ..., fn : X → R, gdzie n ∈ N, będzie rodziną funkcji.

Funkcję max(f1, ..., fn) : X → R określoną wzorem

max(f1, ..., fn)(x) = max{f1(x), ..., fn(x)} dlax ∈ X nazywamy maksimum rodziny funkcji f1, ..., fn.

Funkcję min(f1, ..., fn) : X → R określoną wzorem

min(f₁, ..., f_n)(x) = min{f₁(x), ..., f_n(x)} dlax ∈ X nazywamy minimum rodziny funkcji f₁, ..., f_n.

(5)

6.2. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 125

Twierdzenie 6.1.11. Niech f₁, ..., f_n : X → R, gdzie X ⊂ R i n ∈ N będzie rodziną funkcji oraz niech x0∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli lim

x→x₀fj(x) = gj, gdzie gj ∈ R dla j = 1, ..., n, to (6.1) lim

x→x0

max(f1, ..., f_n)(x) = max{g1, ..., g_n} oraz lim

x→x0

min(f1, ..., f_n)(x) = min{g1, ..., g_n}.

Dowód. Zastosujemy zasadę indukcji. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Dla n = 2 teza wynika z wniosku 4.2.12 i równoważności definicji Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji (twierdzenie 6.1.2).

Załóżmy, że teza zachodzi dla rodziny n funkcji. Rozważmy rodzinę f1, ..., fn+1: X → R i niech g^j= lim

x→x0

f_j(x) dla j = 1, ..., n + 1. Łatwo sprawdzamy, że

max{f1(x), ..., fn+1(x)} = max{max{f1(x), ..., fn(x)}, fn+1(x)} dla x ∈ X.

Zatem stosując założenie indukcyjne i przypadek n = 2 dostajemy pierwszą część (6.1) dla n + 1. Analo- gicznie dowodzimy drugą część (6.1) dla n + 1. Reasumując, zasada indukcji kończy dowód.

6.2 Granice jednostronne funkcji

Definicja . Dla zbioru X ⊂ R oraz liczby x0 ∈ R określamy zbiory X_x⁻₀ = {x ∈ X : x < x0}, X_x⁺₀ = {x ∈ X : x > x0}.

Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X ⊂ R, f : X → R oraz niech a, x0 ∈ R.

Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x₀, gdy a jest granicą funkcji f |_X⁻

x0 w punkcie x0 (³). Fakt ten zapisujemy a = lim

x→x⁻₀

f (x).

Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy a jest granicą funkcji f |_X⁺

x0 w punkcie x₀ (⁴). Fakt ten zapisujemy a = lim

x→x⁺₀

f (x).

Uwaga 6.2.1. Niech f : X → R będzie funkcją oraz x0 ∈ R. Wprost z definicji dostajemy:

(a) Jeśli x₀ jest punktem skupienia zbioru X_x⁻₀, to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 można zapisać w notacji Cauchy’ego:

(6.2) ∀_ε>0∃_δ>0∀_x∈X (x < x₀ ∧ |x − x₀| < δ ⇒ |f (x) − a| < ε) lub równoważnie w notacji Heinego:

∀_(x

n)_n∈N⊂X_x0⁻ ( lim

n→∞x_n= x0 ⇒ lim

n→∞f (x_n) = a).

(b) Jeśli x₀ jest punktem skupienia zbioru X_x⁺₀, to fakt, że liczba a ∈ R jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x₀ można zapisać w notacji Cauchy’ego:

(6.3) ∀_ε>0∃_δ>0∀_x∈X (x0 < x ∧ |x − x₀| < δ ⇒ |f (x) − a| < ε) lub równoważnie w notacji Heinego:

∀_(x_n₎

n∈N⊂X_x0⁺ ( lim

n→∞x_n= x₀ ⇒ lim

n→∞f (x_n) = a).

3wtedy x₀ jest punktem skupienia zbioru X_x⁻

0.

4wtedy x₀ jest punktem skupienia zbioru X_x⁺

0.

(6)

Twierdzenie 6.2.2. (związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów Xx⁻0 i X_x⁺

0 oraz a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) lim

x→x0 f (x) = a, (b) lim

x→x⁻₀

f (x) = a oraz lim

x→x⁺₀

f (x) = a.

Dowód. Ad. (a) ⇒ (b) Ponieważ lim

x→x0 f (x) = a, więc z definicji mamy (6.4) ∀_ε>0∃_δ>0∀_x∈X (0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f (x) − a| < ε).

Stąd dostajemy natychmiast (6.2) i (6.3), czyli mamy (b).

Ad. (b) ⇒ (a) Ponieważ lim

x→x⁻₀

f (x) = a oraz lim

x→x⁺₀

f (x) = a, więc można założyć, że w (6.2) i (6.3) dla ustalonego ε istnieje ta sama δ > 0 (przez wybranie mniejszej z nich).

Zatem z (6.2) i (6.3) wynika (6.4), co daje (a).

Granica funkcji w punkcie nie musi istnieć, odnosi się to również do granic jednostronnych. Jednak przy dodatkowym założeniu mamy

Twierdzenie 6.2.3. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, będzie funkcją monotoniczną i ograniczoną.

(a) Jeśli x₀ ∈ R jest punktem skupienia zbioru Xx⁻0, to istnieje granica lim

x→x⁻₀

f (x).

(b) Jeśli x0 ∈ R jest punktem skupienia zbioru Xx⁺0, to istnieje granica lim

x→x⁺₀

f (x).

Dowód. Ponieważ dla funkcji malejącej f mamy, że −f jest funkcją rosnącą, więc wystarczy rozważyć przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech więc f : X → R będzie funkcją rosnącą.

Ad. (a) Niech A = {f (x) : x ∈ X_x⁻

0}. Wówczas A jest zbiorem niepustym i ograni- czonym, więc a = sup A jest liczbą rzeczywistą. Pokażemy, że a = lim

x→x⁻₀

f (x). Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Wówczas a − ε < a, więc z określenia sup A, istnieje x⁰ ∈ X_x⁻

0, że a − ε < f (x⁰). Niech δ = x₀− x⁰. Ponieważ x⁰ ∈ X_x⁻₀, więc x⁰ < x₀, zatem δ > 0. Weźmy dowolny x ∈ X taki, że x < x0 i |x − x0| < δ. Wtedy x ∈ X_x⁻₀, zatem f (x) − a 6 0 < ε.

Z drugiej strony x > x⁰, więc z założenia, że f jest funkcją rosnącą mamy f (x)> f (x⁰) i w konsekwencji −ε < f (x⁰) − a6 f (x) − a. Reasumując mamy |f (x) − a| < ε dla x ∈ X takich, że x < x0 i |x − x0| < δ. To daje (a).

Ad. (b) Podobnie jak w (a), biorąc B = {f (x) : x ∈ X_x⁺

0} oraz b = inf B dostajemy, że b ∈ R. Podobnie, z definicji kresu dolnego oraz założenia, że f jest funkcją rosnącą otrzymujemy lim

x→x⁺₀

f (x) = b.

Podamy szczególną wersję warunku Heinego istnienia granicy jednostronnej.

(7)

6.2. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 127 Twierdzenie 6.2.4. Niech f : [a, b) → R. Następujące warunki są równoważne:

(a) Istnieje granica lim

x→b⁻f (x) (⁵).

(b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (xn)^∞_n=1 ⊂ [a, b) takiego, że lim

n→∞xn = b istnieje skończona granica lim

n→∞f (x_n).

Dowód. Implikacja (a)⇒(b) wynika definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.

Udowodnimy implikację (b)⇒(a). Niech (x_n)^∞_n=1 ⊂ [a, b) będzie ściśle rosnącym cią- giem takim, że lim

n→∞x_n = b oraz, wobec (b), niech A ∈ R będzie takie, że lim_n→∞f (x_n) = A.

Pokażemy, że lim

x→b f (x) = A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε₀ > 0 takie, że dla każ- dego δ ∈ [a, b) istnieje x ∈ (δ, b), że |f (x) − A| > ε0. Wtedy b jest punktem skupienia zbioru {x ∈ [a, b) : |f (x) − A|> ε0}, więc istnieje ciąg (y_j)^∞_j=1 ⊂ [a, b), gdzie lim

j→∞y_j = b, że zachodzi

(6.5) |f (y_j) − A|> ε0 dla j = 1, 2, ...

Wybierzmy teraz podciągi (xn_k)^∞_k=1 oraz (yj_k)_k=1^∞ odpowiednio ciągów (xn)^∞_n=1oraz (yj)^∞_j=1 takie, że

(6.6) yj_k < xn_k < y_j⁰_k+1 dla k = 1, 2, ... (⁶).

Weźmy ciąg (γ_n)^∞_n=1 określony wzorami

γ_2k = y_j_k oraz γ_2k+1 = x_n_k dla k = 0, 1, ...

Z (6.6) dostajemy, że (γ_k)^∞_k=1 ⊂ [a, b) jest ciągiem ściśle rosnącym. Ponadto lim

n→∞ γ_n = b oraz, wobec założenia, istnieje B ∈ R takie, że B = lim_n→∞ f (γ_n). W szczególności z określenia A i B mamy

B = lim

k→∞f (γ_2k+1) = lim

k→∞f (x_n_k) = A, zatem lim

k→∞ f (y_j_k) = lim

k→∞f (γ_2k) = A. To przeczy (6.5) i kończy dowód. Analogicznie jak twierdzenia 6.2.4, dowodzimy

Twierdzenie 6.2.5. Niech f : (a, b] → R. Następujące warunki są równoważne:

x→a⁺ f (x).

(b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x_n)^∞_n=1 ⊂ (a, b] takiego, że lim

n→∞x_n = a istnieje skończona granica lim

n→∞f (x_n).

5skończona, tzn. istnieje g ∈ R takie, że lim

x→b⁻f (x) = g, por. dalej istnienie granicy niewłaściwej.

6Na przykład kładąc X = {(n, j) ∈ N × N : xn > y_j} i biorąc funkcję F : X × N → X określoną wzorem F (n, j, k) = (p, q), gdzie q = min{m ∈ N : m > k ∧ ym > x_n} oraz p = min{m ∈ N : m >

k ∧ (m, q) ∈ X}, ciąg ((x_n_k), (y_j_k))^∞_j=1 określony indukcyjnie przez dowolny (n, j) ∈ X oraz funkcję F spełnia powyższe warunki.

(8)

6.3 Granice niewłaściwe

Definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz niech x₀ ∈ R.

Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w punkcie x₀, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) x₀ jest punktem skupienia zbioru X,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x−x⁰| < δ zachodzi f (x) > A.

x→x0

f (x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→x0

f (x) = −∞ (⁷).

Granice +∞ i −∞ nazywamy granicami niewłaściwymi funkcji w punkcie x₀. Granice określone w punkcie 6.1 nazywamy granicami właściwymi funkcji.

Uwaga 6.3.1. Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas łatwo dostajemy

x→xlim0

f (x) = +∞ ⇔ ∀_A>0∃_δ>0∀_x∈X (0 < |x − x₀| < δ ⇒ f (x) > A),

x→xlim0

f (x) = −∞ ⇔ ∀_A<0∃_δ>0∀_x∈X (0 < |x − x₀| < δ ⇒ f (x) < A).

Ponadto granica niewłaściwa jest określona jednoznacznie. Dokładniej, jeśli lim

x→x0 f (x) = a oraz lim

x→x0 f (x) = +∞, to a = +∞. Analogicznie dla granicy lim

x→x0 f (x) = −∞.

Bazpośrednio z definicji granicy niewłaściwej funkcji mamy

Wniosek 6.3.2. Niech f : X → R, X ⊂ R oraz x⁰ będzie punktem skupienia zbioru X.

Wówczas a ∈ {−∞, +∞} jest granicą funkcji f : X → R w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U ⊂ R punktu x0, element a jest granicą funkcji f |_{U ∩X} w punkcie x0.

Analogicznie jak w przypadku granic właściwych dowodzimy następujące własności:

Własność 6.3.3. (warunek Heinego dla granicy niewłaściwej). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a ∈ {−∞, +∞}. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) a jest granicą funkcji f w punkcie x₀,

(b) dla każdego ciągu (x_n)_n∈N ⊂ X takiego, że x_n 6= x₀ dla n ∈ N oraz lim_n→∞ x_n = x₀ zachodzi lim

n→∞f (x_n) = a (⁸).

Z własności 6.3.3 i własności granic niewłaściwych ciągów dostajemy

7Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w punkcie x0, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) x0 jest punktem skupienia zbioru X,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że 0 < |x−x0| < δ mamy f (x) < A.

8warunek ten nazywamy definicją Heinego granicy niewłaściwej.

(9)

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 129 Wniosek 6.3.4. (o granicach niewłaściwych dwóch funkcji). Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X oraz niech f (x) 6 g(x) dla x ∈ X \ {x0}.

(a) Jeśli lim

x→x0

f (x) = +∞, to lim

x→x0

g(x) = +∞.

(b) Jeśli lim

x→x0

g(x) = −∞, to lim

x→x0

f (x) = −∞.

Wniosek 6.3.5. (o działaniach na granicach niewłaściwych). Niech f, g : X → R, gdzie X ⊂ R, będą funkcjami, x0 – punktem skupienia zbioru X. Wówczas:

(a) Jeśli lim

x→x0

f (x) = +∞, to lim

x→x0

(−f (x)) = −∞.

(b) Jeśli lim

x→x0

f (x) = +∞ oraz lim

x→x0

g(x) = +∞, to lim

x→x0

(f (x) + g(x)) = +∞.

(c) Jeśli lim

x→x0

f (x) = +∞ oraz lim

x→x0

g(x) = a, gdzie a > 0, to lim

x→x0

(f (x)g(x)) = +∞.

(d) Jeśli lim

x→x0

f (x) = +∞, to lim

x→x0

1 f (x) = 0.

Wniosek 6.3.6. Niech f : X → R oraz x0 będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli f (x) > 0 dla x ∈ X \ {x₀} oraz lim

x→x0

f (x) = 0, to lim

x→x0

1

f (x) = +∞.

Definicja granicy niewłaściwej lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie.

Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz x⁰ ∈ R. Niech Xx⁻0 = {x ∈ X : x < x0} i X_x⁺₀ = {x ∈ X : x > x₀}.

Mówimy, że +∞ jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x₀, gdy +∞ jest granicą funkcji f |_X⁻

x0 w punkcie x0 (⁹). Fakt ten zapisujemy lim

x→x⁻₀

f (x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→x⁻₀

f (x) = −∞ (¹⁰).

Mówimy, że +∞ jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy +∞ jest granicą funkcji f |_X⁺

x0 w punkcie x₀. Fakt ten zapisujemy lim

x→x⁺₀

f (x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→x⁺₀

f (x) = −∞ (¹¹).

Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 6.2.2 dostajemy

Własność 6.3.7. (związek granicy niewłaściwej z granicami jednostronnymi).

Niech f : X → R, X ⊂ R, będzie funkcją, x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbiorów Xx⁻0

i X_x⁺₀ oraz a ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) lim

x→x0

f (x) = a, (b) lim

x→x⁻₀

f (x) = a oraz lim

x→x⁺₀

f (x) = a.

9wtedy x0 jest punktem skupienia zbioru X_x⁻

0.

10Mówimy, że −∞ jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy −∞ jest granicą funkcji f |_X−

x0 w punkcie x0.

11Mówimy, że −∞ jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy −∞ jest granicą funkcji f |_X+ x0

w punkcie x₀.

(10)

Podobnie jak twierdzenie 6.2.3 dowodzimy

Własność 6.3.8. (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X → R, X ⊂ R, będzie funkcją monotoniczną.

(a) Jeśli x₀ ∈ R jest punktem skupienia zbioru Xx⁻0, to istnieje granica lim

x→x⁻₀

f (x).

(b) Jeśli x₀ ∈ R jest punktem skupienia zbioru Xx⁺0, to istnieje granica lim

x→x⁺₀

f (x).

Definicja granicy funkcji w nieskończoności. Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz niech a ∈ R.

Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) zbiór X jest nieograniczony z góry,

(b) dla każdego ε > 0 istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi

|f (x) − a| < ε.

x→+∞f (x) = a. Analogicznie określamy lim

x→−∞f (x) = a (¹²).

Definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R.

Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi f (x) > A.

x→+∞f (x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→+∞f (x) = −∞ (¹³).

Mówimy, że +∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(a) zbiór X jest nieograniczony z dołu,

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi f (x) > A.

x→−∞f (x) = +∞. Analogicznie określamy lim

x→−∞f (x) = −∞ (¹⁴).

Uwaga 6.3.9. Dla granic funkcji w +∞ i w −∞ zachodzą analogiczne własności do własności 6.3.3 i wniosków 6.3.4, 6.3.5, 6.3.6.

Z odpowiednich własności granicy ciągów (twierdzenia 4.4.6 i 4.4.7) dostajemy

12Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(b) dla każdego ε > 0 istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi |f (x) − a| < ε.

13Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w +∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x > δ zachodzi f (x) < A.

14Mówimy, że −∞ jest granicą funkcji f w −∞, gdy zachodzą dwa warunki:

(b) dla każdego A ∈ R istnieje δ ∈ R, że dla każdego x ∈ X, x < δ zachodzi f (x) < A.

(11)

6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 131 Wniosek 6.3.10. Niech a ∈ R. Wówczas mamy:

(a) lim

x→+∞ x^a= +∞, gdy a > 0, (b) lim

x→+∞ x^a= 0, gdy a < 0, (c) lim

x→−∞ x^a= −∞, gdy a ∈ N jest liczbą nieparzystą, (d) lim

x→−∞ x^a= +∞, gdy a ∈ N jest liczbą parzystą, (e) lim

x→+∞ a^x = +∞ oraz lim

x→−∞a^x = 0, gdy a > 1, (f) lim

x→+∞ a^x = 0 oraz lim

x→−∞a^x = +∞, gdy 0 < a < 1, (g) lim

x→+∞ log_ax = +∞ oraz lim

x→0⁺ log_ax = −∞, gdy a > 1, (h) lim

x→+∞ log_ax = −∞ oraz lim

x→0⁺ log_ax = +∞, gdy 0 < a < 1.

Z wniosku 4.5.4 dostajemy

Wniosek 6.3.11. Dla każdego y ∈ R,

x→+∞lim

1 + y x

x

= e^y lim

x→−∞

1 + y x

x

= e^y.

Analogicznie jak twierdzenia 6.2.4 dowodzimy wersję warunku Heinego dla granic nie- właściwych.

Twierdzenie 6.3.12. Niech f : [a, +∞) → R. Następujące warunki są równoważne:

x→+∞f (x) (właściwa lub niewłaściwa).

(b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (xn)^∞_n=1 ⊂ [a, +∞) takiego, że lim

n→∞ xn = +∞

istnieje granica lim

n→∞f (x_n) (skończona lub nieskończona).

W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone.

Twierdzenie 6.3.13. Niech f : (−∞, b] → R. Następujące warunki są równoważne:

x→−∞f (x) (właściwa lub niewłaściwa).

(b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x_n)^∞_n=1 ⊂ (−∞, b] takiego, że lim

n→∞x_n = −∞

istnieje granica lim

n→∞f (x_n) (skończona lub nieskończona).

W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone.

(12)

6.4 Funkcje ciągłe

Poniższa definicja ciągłości pochodzi od Cauchy’ego.

Definicja funkcji ciągłej. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz x0 ∈ R.

Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀, gdy zachodzą warunki:

(i) x₀ ∈ X,

(ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x ∈ X takiego, że |x − x₀| < δ zachodzi |f (x) − f (x₀)| < ε.

Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X.

Definicję ciągłości funkcji w punkcie możemy sformułować następująco:

Twierdzenie 6.4.1. (topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji w punkcie).

Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R, oraz niech x0 ∈ X. Następujące warunki są równoważne:

(i) funkcja f jest ciągła w punkcie x0.

(ii) dla każdego otoczenia W ⊂ R punktu f (x0) istnieje otoczenie U ⊂ R punktu x0

takie, że f (X ∩ U ) ⊂ W .

Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀. Wówczas z definicji ciągłości funkcji w punkcie mamy

(6.7) ∀_ε>0 ∃_δ>0 ∀_x∈X (|x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x₀)| < ε).

Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ > 0 spełnia powyższe. Oznaczając

W = {y ∈ R : |y − f (x0)| < ε} oraz U = {x ∈ R : |x − x0| < δ},

z powyższego dostajemy, że jeśli x ∈ X i x ∈ U , to f (x) ∈ W , czyli f (X ∩ U ) ⊂ W i zachodzi (ii).

Odwrotnie, zakładając (ii), dla dowolnego ε > 0, biorąc otoczenie W = {y ∈ R :

|y − f (x₀)| < ε} punktu f (x₀), istnieje otoczenie U = {x ∈ R : |x − x0| < δ}, gdzie δ > 0, takie że f (X ∩ U ) ⊂ W . Zatem dla x ∈ X takich, że |x − x0| < δ mamy x ∈ X ∩ U , więc f (x) ∈ W , czyli |f (x) − f (x₀)| < ε. To daje (6.7). Analogicznie jak równoważność definicji Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji w punkcie (twierdzenie 6.1.2) dowodzimy

Twierdzenie 6.4.2. (warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie). Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ X. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) f jest funkcją ciągłą w punkcie x₀. (b) dla każdego ciągu (x_n)^∞_n=1 ⊂ X, jeśli lim

n→∞x_n = x₀, to lim

n→∞f (x_n) = f (x₀) (¹⁵).

Wprost z definicji funkcji ciągłej w punkcie oraz granicy funkcji w punkcie mamy

15warunek ten nazywamy definicją Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

(13)

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 133 Twierdzenie 6.4.3. (związek ciągłości z granicą). Niech f : X → R, X ⊂ R, oraz x₀ ∈ X.

(a) Jeśli x0 jest punktem izolowanym zbioru X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x0. (b) Jeśli x₀ jest punktem skupienia zbioru X, to

funkcja f jest ciągła w punkcie x₀wtedy i tylko wtedy, gdy lim

x→x0 f (x) = f (x₀).

Dowód. Ad. (a) Jeśli x₀ jest punktem izolowanym zbioru X, to istnieje otoczenie U0

punktu x₀ takie, że X ∩ U₀ = {x₀}. Zatem dla dowolnego otoczenia W ⊂ R punktu f(x0) mamy f (X ∩ U₀) = {f (x₀)} ⊂ W . To, wraz z twierdzeniem 6.4.1 daje część (a).

Ad. (b) Niech x0 będzie punktem skupienia zbioru X.

To daje, że lim

x→x0

f (x) = f (x₀).

Załóżmy teraz, że lim

x→x0

Z twierdzenia 6.4.3 i własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.7) dostajemy Wniosek 6.4.4. (działania na funkcjach ciągłych). Niech f, g : X → R, X ⊂ R, oraz x0 ∈ X.

(a) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x₀, to f + g, f − g, f g oraz ^f_g przy dodatkowym założeniu g(x) 6= 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciągłymi w punkcie x0.

(b) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to f + g, f − g, f g oraz ^f_g przy dodatkowym założeniu g(x) 6= 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciągłymi.

Z powyższego wniosku, łatwą indukcją dostajemy

Wniosek 6.4.5. Niech f₁, ..., f_n : X → R, gdzie X ⊂ R, n ∈ N oraz niech x0 ∈ X.

(a) Jeśli f₁, ..., f_n są funkcjami ciągłymi w punkcie x₀, to f₁+ · · · + f_n oraz f₁· · · f_n są funkcjami ciągłymi w punkcie x₀.

(b) Jeśli f₁, ..., f_n są funkcjami ciągłymi, to f₁+ · · · + f_n oraz f₁· · · f_n są funkcjami ciągłymi.

Z twierdzenia 6.4.1 dostajemy

Wniosek 6.4.6. (o złożeniu funkcji ciągłych). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzie h : X → R, g : Y → R, X, Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Niech x0 ∈ X.

(a) Jeśli h jest funkcją ciągłą w punkcie x₀, funkcja g jest zaś ciągła w punkcie y₀ = h(x₀), to funkcja f jest ciągła w punkcie x0.

(b) Jeśli h i g są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.

(14)

Dowód. Udowodnimy (a). Zastosujemy twierdzenie 6.4.2. Weźmy dowolny ciąg (x_n)^∞_n=1 ⊂ X taki, że lim

n→∞ x_n = x₀. Wówczas (h(x_n))^∞_n=1 ⊂ Y . Ponieważ h jest funk- cją ciągłą w punkcie x₀, to z twierdzenia 6.4.2, lim

n→∞h(x_n) = h(x₀) = y₀. Stąd i z ciągłości funkcji g w punkcie y0 dostajemy

n→∞lim f (xn) = lim

n→∞ g(h(xn)) = g(h(x0)) = f (x0).

Reasumując, wobec dowolności ciągu (x_n)^∞_n=1, z twierdzenia 6.4.2 wynika ciągłość funkcji f w punkcie x₀, czyli mamy (a). Część (b) wynika natychmiast z (a). Wniosek 6.4.7. (o granicy złożenia funkcji). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzie h : X → R, g : Y → R, X, Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Niech ponadto x0 ∈ R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ciągłą w punkcie y₀ ∈ Y oraz lim

x→x0

h(x) = y₀, to

x→xlim0

f (x) = g(y₀).

Dowód. Niech ˜h : X ∪ {x₀} → R będzie funkcją określoną wzorami: ˜h(x) = h(x) dla x ∈ X \{x₀} oraz ˜h(x₀) = y₀. Wówczas z założenia, że lim

x→x0

h(x) = y₀ i związku ciągłości z granicą (twierdzenie 6.4.3) wynika, że ˜h jest funkcją ciągłą w punkcie x₀. Zatem ˜f = g ◦ ˜h jest funkcją ciągłą w punkcie x₀ (patrz twierdzenie o złożeniu funkcji ciągłych – wniosek 6.4.6). W szczególności, z twierdzenia 6.4.3 mamy lim

x→x0

f (x) = ˜˜ f (x₀) = g(y₀). Stąd dostajemy tezę, gdyż dla x ∈ X \ {x0} mamy f (x) = ˜f (x).

Z twierdzenia 6.1.11 dostajemy natychmiast

Wniosek 6.4.8. Niech f1, ..., fn: X → R, gdzie X ⊂ R i n ∈ N będzie rodziną funkcji oraz niech x⁰∈ X.

(a) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi w punkcie x0, to max(f1, ..., fn) oraz min(f1, ..., fn) są funk- cjami ciągłymi w punkcie x0.

(b) Jeśli f1, ..., fn są funkcjami ciągłymi, to max(f1, ..., fn) oraz min(f1, ..., fn) są funkcjami ciągłymi.

Twierdzenie 6.4.9. Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i funkcja x 7→ |x| są ciągłe. Ponadto ciągłe są wielomiany i funkcje wymierne.

Dowód. Z twierdzenia 6.4.3, wniosku 6.4.4 oraz z odpowiednich własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.9) dostajemy ciągłość funkcji potęgowych, wykładniczych, lo- garytmicznych, trygonometrycznych i funkcji x 7→ |x|. Druga część wynika z pierwszej i własności 6.4.5, gdyż wielomiany są sumami skończonej ilości jednomianów, a więc są sumami funkcji ciągłych. Funkcje wymierne zaś są ilorazami wielomianów.

Uwzględniając definicję zbioru otwartego w topologii indukowanej dostajemy

Twierdzenie 6.4.10. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R. Następujące warunki są równoważne:

(a) f jest funkcją ciągłą.

(b) dla każdego zbioru otwartego W ⊂ R, zbiór f⁻¹(W ) jest otwarty w X (¹⁶).

16to znaczy f⁻¹(W ) = X ∩ G, gdzie G ⊂ R jest zbiorem otwartym.

(15)

6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 135 Dowód. (a)⇒(b) Niech W ⊂ R będzie zbiorem otwartym. Przypomnijmy, że f⁻¹(W ) = {x ∈ X : f (x) ∈ W }. Musimy pokazać, że ten zbiór jest otwarty w X.

Jeśli W ∩ f (X) = ∅, to teza jest oczywista. Załóżmy, że W ∩ f (X) 6= ∅. Wówczas dla każdego x ∈ X takiego, że f (x) ∈ W istnieje otoczenie W_x ⊂ W punktu f (x). Zatem z twierdzenia 6.4.1 istnieje otoczenie U_x ⊂ R punktu x, że f(X ∩ Ux) ⊂ W_x. Połóżmy

G = ^[

x ∈ X, f (x) ∈ W

U_x.

Zbiór G jest otwarty, jako suma zbiorów otwartych. Zauważmy, że

(6.8) f⁻¹(W ) = X ∩ G.

Istotnie,

f (X ∩ G) = f ( ^[

x ∈ X, f (x) ∈ W

X ∩ U_x) = ^[

x ∈ X, f (x) ∈ W

f (X ∩ U_x) ⊂ ^[

x ∈ X, f (x) ∈ W

W_x ⊂ W.

Zatem X ∩ G ⊂ f⁻¹(W ). Z drugiej strony dla każdego x ∈ f⁻¹(W ) mamy f (x) ∈ W , więc x ∈ X ∩ Ux ⊂ X ∩ G. To daje, że f⁻¹(W ) ⊂ X ∩ G. Reasumując mamy (6.8), a więc zbiór f⁻¹(W ) jest otwarty w X, co daje (b).

Ad. (b)⇒(a) Weźmy dowolny x₀ ∈ X. Niech W będzie dowolnym otoczeniem punktu f (x0). Z (b) mamy, że f⁻¹(W ) jest zbiorem otwartym w X zawierającym x0. Zatem istnieje otoczenie U ⊂ R punktu x0, że X ∩ U ⊂ f⁻¹(W ). W konsekwencji f (X ∩ U ) ⊂ W i z twierdzenia 6.4.1 dostajemy ciągłość funkcji f w punkcie x₀. Z dowolności punktu x₀

mamy ciągłość funkcji f . To kończy dowód.

Z powyższego twierdzenia dostajemy natychmiast topologiczną charakteryzację cią- głości funkcji określonej na zbiorze otwartym.

Wniosek 6.4.11. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R jest zbiorem otwartym. Następujące warunki są równoważne:

(b) dla każdego zbioru otwartego W ⊂ R, zbiór f⁻¹(W ) jest otwarty.

Wniosek 6.4.12. (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R. Następujące warunki są równoważne:

(b) dla każdego zbioru domkniętego Y ⊂ R, zbiór f⁻¹(Y ) jest domknięty w X (¹⁷).

Dowód. Ad. (a) ⇒ (b). Weźmy dowolny zbiór domknięty Y ⊂ R. Wówczas R \ Y jest zbiorem otwartym, więc z twierdzenia 6.4.10 mamy, że f⁻¹(R \ Y ) jest otwarty w X.

Ponadto

f⁻¹(Y ) = X \ f⁻¹(R \ Y ),

17to znaczy f⁻¹(Y ) = X ∩ D, gdzie D ⊂ R jest zbiorem domkniętym.

(16)

więc f⁻¹(Y ) jest zbiorem domkniętym w X.

Ad. (b) ⇒ (a). Weźmy dowolny zbiór otwarty W ⊂ R. Wtedy Y = R \ W jest domknięty, więc f⁻¹(Y ) jest domknięty w X. Zatem f⁻¹(W ) = X \ f⁻¹(Y ) jest zbiorem otwartym w X. Stąd i z twierdzenia 6.4.10 dostajemy ciągłość funkcji f . Wniosek 6.4.13. Jeśli X, Y ⊂ R są zbiorami domkniętymi oraz f : X → R jest funkcją ciągłą, to zbiór f⁻¹(Y ) jest domknięty.

Dowód. Z wniosku 6.4.12 mamy, że f⁻¹(Y ) jest zbiorem domkniętym, jako domknięty

podzbiór zbioru domkniętego X.

Z topologicznej charakteryzacji ciągłości (twierdzenie 6.4.10) dostajemy natychmiast, że ciągłość jest własnością dziedziczną, to znaczy obcięcie funkcji zachowuje tę własność.

Wniosek 6.4.14. (o obcięciu funkcji ciągłej). Jeśli f : X → R, gdzie X ⊂ R, jest funkcją ciągłą oraz Y ⊂ X, Y 6= ∅, to obcięcie f |_Y : Y → R jest funkcją ciągłą.

6.5 Ciągłość i spójność

Głównym twierdzeniem tego punktu będzie twierdzenie o ciągłym obrazie zbioru spójnego, czyli tak zwana własność Darboux funkcji ciągłych. Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat 6.5.1. Jeśli P jest przedziałem oraz f : P → R jest funkcją ciągłą, to zbiór wartości f (P ) jest zbiorem jednoelementowym lub przedziałem.

Dowód. Załóżmy, że f (P ) nie jest zbiorem jednoelementowym. Pokażemy, że f (P ) jest przedziałem. W myśl twierdzenia 4.9.27 wystarczy pokazać, że f (P ) jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy przeciwnie, że f (P ) nie jest spójny. Wtedy istnieją zbiory otwarte D, G ⊂ R, rozłączne i takie, że

f (P ) = (f (P ) ∩ D) ∪ (f (P ) ∩ G) oraz (f (P ) ∩ D) 6= ∅ i (f (P ) ∩ G) 6= ∅.

Zatem

(6.9) P = f⁻¹(D) ∪ f⁻¹(G), f⁻¹(D) 6= ∅, f⁻¹(G) 6= ∅ oraz f⁻¹(D) ∩ f⁻¹(G) = ∅.

Ponieważ zbiory D, G są otwarte, to z topologicznej charakteryzacji ciągłości 6.4.10 mamy, że f⁻¹(D) i f⁻¹(G) są zbiorami otwartymi w P . Zatem istnieją zbiory otwarte U, W ⊂ R, że f⁻¹(D) = P ∩ U oraz f⁻¹(G) = P ∩ W .

Niech a, b, a < b będą końcami przedziału P . Wówczas

(6.10) a 6∈ U ∩ W oraz b 6∈ U ∩ W.

Istotnie, pokażemy że a 6∈ U ∩ W . W przeciwnym razie istnieje otoczenie V ⊂ R punktu a, że V ⊂ U ∩ W . Wtedy V ∩ P 6= ∅ oraz

V ∩ P ⊂ (P ∩ U ) ∩ (P ∩ W ) = f⁻¹(D) ∩ f⁻¹(G),