Iloczyn skalarny i przestrzenie unitarne.

43. Przez Hα(X) oznaczamy przestrzeń liniową wszystkich funkcji f : X → R spełniających warunek

|f(x) − f(y)  L|x − y|^α

dla pewnej stałej L > 0. (tzw. warunek H¨oldera z wykładnikiem α , a dla α = 1 tzw. warunek Lipschitza ).

Wykazać, że

||f|| = sup

x∈X|f(x)| + sup

|f(x) − f(y)

|x − y|^α : x, y ∈ X, x = y



określa normę w H_α(X) dla f ∈ Hα(X) dla α∈^R, α > 0.

Iloczyn skalarny i przestrzenie unitarne.

44. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad ciałem K ma nastepuj
ace
własności:

(i)x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = ¯λ x, y,

(iii) x, θ = θ, x = 0

dla wszystkich x, y ∈ X, λ ∈ K.

45. Wykazać, że przestrzenie z przykładów na wykładzie sa unitarne, tzn. że ich iloczyny ska-
larne spełniaja aksjomaty 1
⁰− 4⁰ iloczynu skalarnego.

46. Podać postać nierówności Schwarza w konkretnych przestrzeniach unitarnych.

47. Sprawdzić, że w przykładach z poprzednich zadań iloczyn skalarny ·, · jest zgodny z norma

·, jeśli x =^x, x.

48. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest odwzorowaniem ciagłym, tzn.
jeśli x_n→ x i yn → y, to xn, y_n → x, y .

49. Wykazać prawdziwość tożsamości równoległoboku i tożsamości polaryzacyjnych.

50. Wykazać, że w przestrzeni C ([0, 1]) z norma supremum nie jest spełniona tożsamość rów-
noległoboku, wiec nie jest to przestrzń unitarna.

51. Wykazać, że w przestrzeniach l¹ i L¹(0, 1) nie jest spełniona tożsamość równoległoboku, wiec nie s
a to przestrzenie unitarne.

52. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej X dla wektorów x1, x₂, . . . , x_n parami ortogonalnych,

Arkusz 7

zachodzi

x1+ x₂ + . . . + x_n² =x1²+x2²+ . . . +xn².

53. Wykazać, że w nierówności Schwarza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sa liniowo zależne.

54. W przestrzeni unitarnej L²(0, 1) obliczyć iloczyn skalarny funkcji f (t) = e^2ti g(t) = e^−t+ 1.

55. W przestrzeni unitarnej L²(0, π) obliczyć odległość pomiedzy funkcjami f(t) = 2sint i
g(t) = sintcost.

56. W przestrzeni unitarnej L²(0, 1) obliczyć długości boków trójkata o wierzchołkach w punk-
tach f, g, h, gdzie f (t)≡ 1, g(t) = t, h(t) = t².

57. Dla macierzy A, B ∈ M(n × n,^R) niech A, B = tr(AB^T), gdzie B^T jest macierza transwer-
salna do B, a trC oznacza ślad macierzy C. Wykazać, że powyższy wzór określa iloczyn skalarny
w przestrzeni M (n× n,R).

58. W przestrzeni unitarnej kat mi
edzy wektorami określamy jako ∠(x, y) taki, że
cos∠ (x, y) = x, y

x y.

Obliczyć katy w trójk
acie o wierzchołkach x
1(t) ≡ 0, x2(t) ≡ 1, x3(t) = t w przestrzeni L²(−1, 1) .

59. Pokazać, że jeśli x, y = ^₀¹x(t)y(t) dt, to przestrzń C ([0, 1]) jest przestrzenia unitarn
a,
ale nie jest przestrzenia Hilberta.

(Wsk. Rozważyć ciag

x_n(t) =





n⁻¹⁴, dla 0 t  ¹_n, t⁻¹⁴, dla ¹_n < t 1, aby wykazać, że nie jest zupełna.)

60. Niech H bedzie przestrzeni
a Hilberta i H = M ⊕ N, gdzie M
^⊥ = N i N^⊥ = M. Niech P_M : H → M, PN : H → N bed
a odpowiednimi rzutami ortogonalnymi. Sprawdzić, że
ker P_M = N i ker P_N = M.

61. Niech X = c0, M =^(x_k)^∞_k=1 ∈ c0;
^∞_k=1 ^x₂^k_k = 0^.

(i) Sprawdzić, że M jest podprzestrzenia liniow
a domkni
et
a przestrzeni X.
(ii) Wykazać, że jeśli x∈ X \ M, to ||x − y|| > d(x, M) dla każdego y ∈ M.

Arkusz 8

(Wsk. Wykazać, że d(x, M ) =^_
^∞_k=1^x_2k^k_.)

62. Pokazać, że M jest podprzestrzenia liniow
a domkni
et
a oraz znaleźć M
^⊥ i rozkład, jeśli:

(i) M =^x∈ L²_R(0, 1) : ^₀¹x(t) dt = 0^,

(ii) M =^x∈ L²(−1, 1) : ^₋₁¹ x(t) dt = 0 =^₋₁¹ tx(t) dt^,

(iii) M ={x ∈ L²(−1, 1) : x(t) = x(−t) prawie wszedzie na (−1, 1)} .

63. Wykazać, że wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i ∈ {1, . . . , n} tworza układ
ortonormalny w przestrzeni unitarnej l²_n.

64. Wykazać, że wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), i ∈ N tworza układ ortonor-
malny w przestrzeni unitarnej l².

65. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej L²(0, 2π) funkcje

1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . , cosnt, sinnt, . . . tworza układ ortogonalny, a funkcje

√1

2π, cost

√π, sint

√π, . . . ,cosnt

√π , sinnt

√π , . . . układ ortonormalny.

66. Wykazać, że w zespolonej przestrzeni unitarnej L²(0, 2π) funkcje e^int, n = 0,±1, ±2, . . .

tworza układ ortogonalny, a funkcje

√1

2πe^int, n = 0,±1, ±2, . . . układ ortonormalny.

67. W przestrzeni L²(−1, 1) zortogonalizować i zortonormalizować układ funkcji 1, e^x, e^−x, . . . .

68. Udowodnić, że wielomiany Legendre’a P_n(x) = 1

2ⁿn! ·dⁿ((x² − 1)ⁿ)

dxⁿ , n = 0, 1, 2, . . . tworza układ ortogonalny w przestrzeni L
²(−1, 1) oraz, że

Pn² = 2

2n + 1, n = 0, 1, 2, . . . Arkusz 9

69. Wykazać, że wzory

T_n(x) =

x +√

x²− 1ⁿ+x−√

x² − 1ⁿ

2ⁿ ,

T_n(x) = 2¹⁻ⁿcos (n arccos x) określaja te same ci
agi wielomianów stopnia n zmiennej x.

70. Sprawdzić, że _

1

−1T_m(x)T_n(x) 1

√1− x² dx = 0, n= m

oraz, że _

1

−1[T_n(x)]² 1

√1− x² dx = π

2²ⁿ⁻¹, n = 0, 1, 2, . . . , gdzie T_m(x) jest określone w zadaniu powyżej.

71. Wykazać, że układ Rademachera (rn)^∞_n=0 jest ortonormalny w przestrzeni L²(0, 1).

72. Niech {xj} , j = 1, 2, . . . , n bedzie skończonym ci
agiem liniowo niezależnych wektorów w
przestrzeni unitarnej X. Niech

y_k+1 =







x₁, x₁ . . . x₁, x_k x₁ . . . . xk, x₁ . . . xk, x_k x_k x_k+1, x₁ . . . x_k+1, x_k x_k+1







G(x₁, x₂, . . . , x_k) ,

gdzie k = 1, 2, . . . , n− 1, a wyrażenie w liczniku należy traktować jako wyznacznik rozłożony wzgledem elementów ostatniej kolumny, otrzymuj
ac kombinacj
e liniow
a wektorów x
1, . . . , x_k+1, i G(x₁, . . . , x_k) oznacza wyznacznik Gramma wektorów x₁, . . . , x_k.

Wykazać, że

(i) G(y₁, . . . , y_k) = G(x₁, . . . , x_k) dla każdego k = 1, . . . , n,

(ii) y_k+1 =^G(x_G(x^{1,... ,x}_{1,... ,x}^k,x_k^k+1₎ ⁾ = d (x_k+1, M_k) dla każdego k = 1, . . . , n− 1, (iii) układ {y_k}ⁿ_k=1 jest ortogonalny.

73. Wykazać, że układ wielomianów Hermite’a H_n(t) = (−1)ⁿe^t2 dⁿ dtⁿ

e^−t2, n = 1, 2, . . .

jest ortogonalny z waga p(t) = e
^−t2 w przedziale I = (−∞, ∞) w przestrzeni L²(I).

74. Podać przykłady baz ortogonalnych w przestrzeniach l_n², l², L²(0, 2π), odpowiednio.

Arkusz 10