5.2 Zadan ia te sto w e 19

20 b) ma je d e n p ierwias te k wymie rn y , d w a n ie wymierne, c) ma d w a pi e rwiastki wymierne i jeden niewym ie rn y . Zadanie 50. Cz y wielomian x 4 + a 4 jest ró wn y wielomiano wi: a) (x − a )( x + a )( x 2 − ax + a 2 ), b) (x 2 + a 2 )( x 2 + ax + a 2 ), c) (x 2 + √ 2 ax + a 2 )( x 2 − √ 2 ax + a 2 ). 6 Ogłos ze ni a 6 .1 Z adani e do mo w e Pr os zę wyk onać pr z yn a jmniej 21 sp oś ró d p o dan yc h tu z ad ań. Zadani a o d - da jem y n a p o dp isan yc h k ar tk ac h, na jl e p ie j formatu A4. Pros zę pil no w ać czytel noś c i oraz opisyw ać sw o je r oz u m o w ani a i obli czenia — pamię- ta jc ie o k omen tarzac h! 6 .2 O głos ze ni a dr o bne Nieba w e m pl an uj e m y w Or atoriu m ur uc h om ić sp e cjaln e z a jęc ia, któr e moż- na b y n az w ać w skró c ie k ółkiem m atemat yc zno–i nfor m at yczn ym. T em at yk ą za jęć b ędą różnego typ u z agad ni e n ia i zadani a z wiązane z aró wno z cz ystą ma- tem at yk ą (niet yp o w e zadani a) jak i z p o dsta w ami infor m at y ki (p rogr am o w a- ni e ). Za jęcia o d b yw ać się b ędą raz w ty go dn iu, w p on iedziałe k, wtorek, śro d ę lu b c zw ar te k . Za jęcia b ędą b ezpłatne – wstę p w oln y d la ws zys tkic h u c zni ó w i u c ze n nic;) lic eum (z klas 1- 3) . T ermin p ie rws ze sp ot k an ia zos tan ie p o d an y ni e b a w em ! Zapr as zam y ró w n ież n a T ar gi Ak adem ia 2006 w dn iac h 20-22.03.2006 n a Wyd z iale M ate mat yki , Fizyki i In format yki UG, oraz na dzień ot w art y P oli - tec hn iki Gd ańskiej w dn iu 20.03.2006 w go dzinac h 10.00- 18. 00. Wi ę ce j in for - mac ji: www.univ.gda.pl/akademia oraz www.pg.gda.pl . W sp os ób sz cz ególn y z ap rasz am y w d niu 20.03. 2006 w go d z in ac h 10.00- 13.00 n a w arsz tat y „O rigami mate mat ycz n e ”, kt óre o d b yw a ją się w ram ac h T argó w Ak ad e mia. W arsz tat y o d b yw a ją się n a w y dziale M at- F iz -Inf , w sali 208 (o c zywiśc ie wstę p w oln y ). A to co b ędzie na w ar sztatac h moż n a zobacz y ć tu : www.origami.psikus.pl .

Wi el omia n y Kurs ma temat yki w ora t o ri um au torami m ateri ałó w są: d r B ar bar a W oln ik i Witol d B ołt 17 ma rca 20 06 Spis tre ści 1 P o dsta w o w e p o jęcia 1 2 Wykr e s y i wł asnoś c i 2 2.1 Wielomian tr z ec iego stop nia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Twierdzenia d ot yczące wie lomi anó w 4 4 Wiadom oś ci do datk o w e 4 4.1 Sp osob y dzie le n ia w ie lomian ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 Ró w n oś ć w ie lomian ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3 Wielokr otne p ierwiastki wie lom ian u . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.4 Uogóln ione wzory Viete ’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Zadania 10 5.1 Zadan ia ot w arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2 Zadan ia te sto w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6 Ogł oszeni a 20 6.1 Zadan ie d om o w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Ogłosz enia dr obn e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 P o ds ta w o w e p o jęci a Definicj a 1.1. Wielomianem stopn ia n (n ∈ N ) b ę d z iem y n az yw ać k ażdą fu nk cję W : R → R dan ą w zorem : W (x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + .. . + a 1 x + a 0 ,

5.2 Zadan ia te sto w e 19

b) -12,

c) -18.

Zadanie 44. Niec h f (x ) = x 3 − mx 2 + x (gd z ie m jest p arame tr e m).

a) Jeś li m = − 2 to fun k c ja f ma d w a eks tr e ma lok alne.

b) Jeś li m = − √ 3 to fun k c ja f ma je d no e k str e m um lok al ne.

c) Jeś li m ∈ (− √ 3

, √ 3) to fun k c ja je st rosnąca w z b iorze R . Zadanie 45. Wyk res fu nk cji y = 2( x − 3) 2 − 3 otrzymam y z wykr e su fu nk cji y = 2 x 2 w wyn iku p rze sun ię cia o w ektor:

a) ~u = [3 , 3],

b) ~u = [− 3 ,− 3],

c) ~u = [3 ,− 3].

Zadanie 46. Dan e jes t ró wnan ie: x 3 − 3 x 2 + 4 = 0 .

a) pi e rw ias tki e m te go ró wnan ia je st -1,

b) ró wnan ie to ma p ie rwias tek dwu krotn y ,

c) ró wnan ie to ma p ie rwias tek trzykr otn y .

Zadanie 47. Niec h b ędzie dan y wielom ian W (x ) = (1 − x + x 2 ) 25 . W ó w cz as:

a) W ni e ma p ie rwias tk ó w rze cz ywist yc h ,

b) p o ch o dn a te go w ie lomian u nie m a pi e rwiastk ó w rz ec zywist y ch,

c) fu nk cja W (x ) jes t male jąc a w (−∞ ; 0 .5).

Zadanie 48. Wielomian (x − 2) 10 + (x − 1) 5 − 1 jes t p o dzieln y pr z ez :

a) dwu m ian x − 2,

b) tró jmian (x − 2)( x − 1),

c) wielom ian x (x − 1)( x − 2).

Zadanie 49. Ró w n anie x 3 + 2 x 2 − 1 = 0:

a) ni e ma p ie rwias tk ó w w y m iern yc h , 2 gdzie a n 6= 0 or az a n ,a n − 1 ,. .. , a 1 , a 0 ∈ R . Licz b y a n , a n − 1 , . . . , a 1 , a 0 zw y kło

nazyw ać się wsp ółcz y nni k ami. Licz b a a 0 cz ęs to nazyw an a je st ró wn ie ż wyr a- ze m w oln y m .

Przykł ad 1. 2. F unk cja W (x ) = 3 x 7 + 4 x − 2 jes t wie lom ianem st opni a 7.

Przykł ad 1. 3. F unk cja W (x ) = (m − 3) x 6 + 4 x 5 − 3 x + 14 je st wielomianem , ale stopień tego wielomian u zale ży o d w artośc i par am etru m : dla m 6= 3 stop ie ń

W (x ) wynosi 6 n atom ias t dl a m = 3 stopień W (x ) wynosi 5.

Uw aga 1.4 (f unk cja lin io w a i kw adrat o w a jak o w ie lomian y ). F unk cje lini o w a i kw ad rato w a są wielom ianami. F u nk cja k w ad rato w a jes t wie lom ian e m stop nia 2, fun k c ja lin io w a p os taci f (x ) = ax + b, gd z ie a 6= 0 je st o czywiś cie w ie lomia-

nem stopn ia 1, jeśli a = 0 oraz b 6= 0 to je st to wielomian stop nia 0. Do datk o w o pr z y jm u je si ę , że fun k c ja f (x ) = 0 te ż jes t wielomian e m, a jego stop ień wynosi −∞ .

2 W y kr esy i w ła snoś ci

Wyk res em wielomian u je st krzyw a, k tóra pr z yp omina n ie sk ończ eni e dłu gi dr ut, któr y dl a prostot y , b ędziem y w tej k siążc e okr e ślać jak o „ w ęż y k”. W arto wie-

dzieć , ż e dla k ażdego w ie lomian u z ac ho d z i kilk a fak tó w o dnośni e je go wykr e su i włas n oś ci:

• ilość miejsc z ero wyc h wielomian u n ie p rze kr ac za je go stopn ia,

• ilość eks tre mó w lok al n yc h wielomian u je st m n iejsz a o d je go stop nia.

Co więce j wiem y , ż e:

a) jeśli stop ie ń w ie lomian u n jest p arzys ty , to:

• oba ramiona „ w ę żyk a” są sk ie ro w an e w tą samą stronę (gd y a n > 0 to w gór ę , a gdy a n < 0 to w dół),

• moż e w ogóle n ie b y ć m ie js c zero w y ch,

• jest n ieparzysta iloś ć e kstremó w, tzn. jedn o, trzy , . . . lu b n − 1.

b) jeśli stop ie ń w ie lomian u n jest n ieparzyst y , to:

• jedn o ramię „ w ę żyk a” jes t sk ie ro w ane w gór ę , a d rugie w d ół (ki e ru nek pr a w ego ram ieni a wyznacz am y z ws p ółc zyn nik a a n ),

18 5.2 Zad ania tes to w e a) f ( √ 5) = 15, fu nk cja f jest p arzys ta, c) fu nk cja f jest n ieparzysta. Zadanie 39. Wiad omo, że ax 4 + bx 2 + c = 0 m a 4 pierwiastki. Wyn ik a stąd , że : a) dw a z ni ch są d o datn ie, a d w a uj e mne, suma tyc h pierwiastk ó w je st ró w n a − b a , c) suma tyc h pierwiastk ó w ró wn a je st z ero. Zadanie 40. Dan y je st wielomian W (x ) = (x + 1) 20 02 − x 20 02 − 2 x − 1. Je st on p o dzieln y p rz ez: a) x (x + 1), (x + 1)( x − 1), c) 2 x + 1. Zadanie 41. Wielomian W (x ) = x 4 + x 2 + x + 1 nie m a pierwiastk ó w: a) do datn ic h , cał k o wit yc h, c) rze czywis tyc h. Zadanie 42. Niec h wielomian W (x ) = x 3 + ax 2 + b sp ełnia w ar un e k W (− x ) = − W (x ) dla k aż d e go x ∈ R . Wyn ik a stąd , że: a) ze ro je st p ierwias tkiem tego wielomian u, a = 0 i b = 0, c) wielom ian te n ma trzy różne p ie rwias tk i rz ec zywiste . Zadanie 43. Re szta z dziele n ia wielomian u W (x ) = x 3 + 2 x 2 − 6 x + a pr z ez x − 3 jes t ró wna 3. W ó w c zas res zta z dziele n ia te go wie lom ian u pr z ez x + 2 jest ró wn a: a) -2,

2.1 Wi e lomian tr z ec ie go st opni a 3 • m u si b yć pr z y na jm n iej jedn o miejsc e z ero w e, • jest p arzys ta il oś ć ekstrem ó w lok al n yc h (t y le sam o maks im ó w co m i- ni m ó w), tzn: z ero, d w a, . . ., lu b n − 1. F akt 2. 1. Wiel omian jest funkcją p a rzystą w te dy i tyl ko wt ed y , gdy „ składa się” w y łącznie z p otę g p a rzysty ch (np. W (x ) = ax 6 + bx 4 + cx 2 + d ). Wi elomi a n jest funkcją n iep arzys tą w te dy i ty lko wte dy, gdy „skła da się” w y łączni e z p otę g niep arzy stych (np. Q (x ) = ax 7 + bx 3 + cx ). Uw aga 2. 2. Wyr az w oln y wielomian u to o cz y w iś cie p otęga ze ro w a, c zyli pa- rzysta. Wniosek: Jeś li w e wzorze wielomian u wystę p uj ą z ar ó wn o p otę gi par z yste jak i nie parzyste , to n ie jes t on ok re ślon y w zględem p arz y stośc i (nie jes t, an i par z yst y , an i niepar z yst y). 2. 1 Wi elo mi an trze ci e g o sto pnia P o d c zas roz wiązyw an ia różn yc h zadań c zę sto m am y do c zyn ie n ia z wie lom ia- nem stopn ia 3. Ze wz ględu na jego sz cze góln y char akte r, p on iże j ze b ran o róż n e jego wł asności. Należ y je d nak zaz n ac zyć, ż e z azwyc za j o dn os zą si ę one tylk o do wielom ianó w stopn ia trzy . Wł asności wielom ian u trzeci ego stopnia. Wielomian trze cie go stopn ia ma n as tępu jące włas n oś ci: 1. Wielomian stop nia 3 m oże mieć je d yn ie je d no, dw a lub trzy miejsc a ze ro w e . 2. Wielomian st opni a 3 alb o ma dw a ekstrem a (jedn o mini m u m i je d no maks im u m ) alb o nie m a ic h w c ale (i wte d y jes t fun k c ją mon otonicz n ą). Zau w aż m y , że je śli wie lom ia n m a p os tać W (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d oraz a 6= 0, to p o ch o dn a tego wielomian u ma p ostać : W 0 (x ) = 3 ax 2 + 2 bx + c. Można p olicz y ć ∆ dla p o ch o dn e j. Jeś li ∆ jest do d atnia, to p o cho d na ma dw a mie js ca ze ro w e, więc b adan y wie lom ian ma dw a eks tre ma. Je śli jedn ak ∆ ¬ 0 to b adan y wie lom ian W jest m on otoni c zn y (p o cho d na ma stały znak) i w zale żnośc i o d w ar toś ci a moż e b yć stale rosnący lub stal e male jąc y . Pr oblem 2.1 . Zas tanó w się ile miejsc ze ro wyc h moż e mieć d o w oln a fun k c ja (nie k oni e cz n ie w ie lomian !), kt óra jes t m on otoniczna - to z n ac zy je st rosnąca, lu b male jąc a, lu b stała w c ałej sw e j dz ie d z in ie.

5.2 Zadan ia te sto w e 17

c) dl a d o w oln e go p ∈ R .

Zadanie 33. Dan y je st wie lom ian : W (x ) = x 3 − 3 x 2 + ax − 9. Jes t on p o d z ieln y pr z ez dwu m ian x − 3, z atem:

a) a = 3,

b) jedy n ym p ierwias tkiem W (x ) jes t li c zba 3,

c) dl a k ażdej licz b y całk o w ite j n p o dzielnej pr z ez 3 licz b a W (n ) jes t p o dzielna

pr z ez 3.

Zadanie 34. Zbi ór roz wiązań ni e ró wn oś ci: (x − 1)( x − 2) 2 (x − 3) < 0 jes t:

a) za w art y w zbi orz e rozw iąz ań n ie ró w n oś ci: (x − 1)( x − 3) < 0,

b) ró wn y zbior o wi rozwiąz ań n ieró wnośc i: (x − 1)( x − 3) < 0,

c) ró wn y (−∞ , 1) ∪ (2 , 3).

Zadanie 35. F unk cja f (x ) = x 3 − 3 x 2 + 12 x − 15 dla x ∈ R :

a) ma d w a eks tr e ma lok alne,

b) jest malejąca w (−∞ , 1),

c) jest ros n ąc a w zbior z e R .

Zadanie 36. Wielomian W (x ) = (2 x − 1) 10 :

a) jest wielomianem stopn ia 20,

b) ma wsp ółcz y nni k p rzy na jwyżs ze j p otędze ró wn y 1024,

c) ma sumę wsp ółcz yn nik ó w ró wną 1023.

Zadanie 37. Niec h W (x ) = (x + 1) 2 . Lic zba r jest resz tą z dzie le n ia wielo- mian u W pr z ez d w u m ian x − p . Wtedy:

a) r = p 2 + 2 p + 1,

b) r ­ 0,

c) r = 0.

Zadanie 38. Niec h b ę d z ie d an y wielomian W (x ) = x 2 − 1, oraz fu nk cja

f (x ) = W (W (x )). P o da j ja wn y w zór fu nk cji f oraz spr a w d ź cz y: 4 3 T w ier dzenia dot yczące wi e lom ia nó w

W tym p o dr oz d z ial e ze b ran o na jw ażni e js ze twierdzenia d ot yc ząc e wie lom ia- nó w. Zap oz n a j się z tr e śc ią ty ch twierd z eń i spr a wdź cz y d okładn ie roz u m ie sz

ic h treś ć. Dob re p oznan ie tyc h twie rdze ń jes t o tyle w ażne, że wię k szoś ć z ad ań o wielomian ac h (lu b zadań w któryc h w jak ie jś p ostaci p o ja w ia ją się wie lo- mian y) wymaga u ż y ć niektór yc h z nic h.

Twierdzenie 3. 1 (o roz k ładzie ). Każdy wiel omian można rozłożyć na il o czyn czy n ników stopnia nie większe go n iż 2.

Przykł ad 3. 2. Roz łożym y k ilk a wielomian ó w na c zyn nik i.

1. x 6 − 6 x 5 + 9 x 4 = x 4 (x 2 − 6 x + 9) = x · x · x · x · (x − 3) · (x − 3), 2. 6 x 5 − x 4 + x 3 = x · x · x · (6 x 2 − x + 1), 3. x 4 + x 2 + 1 = (x 4 + 2 x 2 + 1) − x 2 = (x 2 + 1) 2 − x 2 = (x 2 + 1 − x )( x 2 + 1 + x ).

Twierdzenie 3. 3 (o dzie le n iu w ie lomian ó w ). Jeśl i w ielomi a n W (x ) dziel imy przez Q (x ) i d ostajem y wynik P (x ) i resztę R (x ), to:

W (x ) = P (x )Q (x ) + R (x ).

Co w ię cej stopień R (x ) jest m n iejszy niż st opień Q (x ).

Twierdzenie 3.4 (t wierdze n ie Bez ou te ’a) . Liczb a a jest pierwiastkiem wie- lom ianu W (x ) wt edy i tyl ko wte dy, gdy wielomi an W (x ) jest p o dziel n y pr zez

dw u mian (x − a ).

Twierdzenie 3. 5 (rozsz erzone twierd z enie B ezoute’a) . R eszta z d zielenia w ie- lom ianu W (x ) przez (x − a ) wynosi W (a ).

Twierdzenie 3.6 (o p ie rwias tk ac h wymiern yc h wielomian u o ws p ółc zynn i- kiac h całk o w it yc h) . Jeśl i liczb a p q , gdzie p, q to liczby cał kowite, jest pi erw iast-

kiem wiel omianu a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . .+ a 1 x + a 0 , gdzie wszystki e wsp ół czy nn iki

są całkow it e, to p jest p o dzi elniki em a 0 , n atomiast q jest p o dzi elniki em a n ,

4 W iado mo ści do d a tk o w e

4 .1 Sp o sob y dziel e ni a wi elo mi anó w

W twierdze n iac h z p oprze d ni e go pu nktu c zę sto b yła m o w a o tym, ze jeden

wielom ian je st p o dzieln y przez d ru gi, lu b że dzielim y jeden w ie lomian pr z ez

16 5.2 Zad ania tes to w e a) jedn a z nic h jes t p arz y sta a dru ga nieparzysta? wykr e s f jest syme tr yc zn y d o wykr e su g wz gl ę d e m osi O X ? c) wykr e s f jest syme tr yc zn y d o wykr e su g wz gl ę d e m p un ktu (0 , 0) ? Zadanie 28. Wielomian x 3 − (m + 4) x − 2 m jest p o d z ieln y p rz ez x − m . W ó w c zas: a) m jest lic zbą cał k o witą, m = 3, c) m ­ 0 ? Zadanie 29. Dan a jes t n ieró w n oś ć: px − p 3 − p ­ 0 (z niewiadomą x ). Jej zbior e m je st rozw iąz ań je st (−∞ , − 2 i. Zate m: a) p ­ 0, p = − 1, c) p 2 = 1. Zadanie 30. Dan y je st w ie lomian : W (x ) = x 3 − 2002 x 2 + 2002 x. Cz y : a) suma p ierwias tk ó w W jest n ieujemna? suma p ierwias tk ó w W jest ró wn a ic h ilo c zyno wi? c) suma k w adr ató w p ie rw ias tk ó w jes t wię k sza o d 1000000? Zadanie 31. F unk cja mx 3 − nx 2 (mn 6= 0) p osiada maksim u m lok al ne w x = 2. Zatem: a) |m | < |n |, fu nk cja ta p osiad a maksim u m lok aln e , c) fu nk cja jes t monoton icz n a w (−∞ , − 1) ? Zadanie 32. Licz b a p ∈ R jest pierwiastkiem ró w n ani a (z n ie wiad omą x ): x 3 − px 2 + 2 x − 2 p = 0: a) jedy nie dla p = 0, jedy nie dla p = 0 lu b p = 2,

4.1 S p osob y dziele n ia wie lom ian ó w 5 dr ugi. T uta j z a jmie m y się krót k o te chn ic zn ymi możliw oś ciami wyk on ania ta- kic h dziele ń . Dzie le n ie wielomianó w pr z yp omina d z ielenie w zbi orz e licz b c ałk o wit yc h lu b n atur aln yc h (i jak się ok az u je, ob ie te rze cz y ma ją bar dzo wiele w sp ólnego). Wyn ikiem dzie le n ia dw ó ch w ie lomian ó w je st b o wiem za w sze wielom ian, or az moż e zdarzyć się tak, że p o ja wia się d o datk o wy wielomian z w an y res ztą — w pr z yp adk u gdy dzielenia ni e da si ę wyk onać. Na jbar dzie j p o w sze ch ną i u niw e rs aln ą me to dą dzie le n ia wielomianó w je st dzielni e tzw. p is emne, któr a działa an alogicz n ie do d z ielenia pise mnego li c zb nat uraln yc h k tóre znam y z e sz k oły p o dsta w o w e j. Pr oblem 4.1 . Pr z y p omni j sobi e jak wyk on yw ać dziele n ie wielomianó w meto dą pi sem n ą. Dzie le n ie pise mne ma licz n e z alet y . Na jw ażniejsz e je st to, że m eto d a ta za wsz e d z iała. Nies tet y je d nak du ż ą w ad ą je st to, iż ob licz enia b yw a ją n ie raz żm ud ne. P oz n a je m y w ię c inn ą me to dę. Meto da Hornera. Jes t to me to da p oz w ala jąc a d z ielić do w oln y wielomian W (x ) pr z ez jedn om ian p ostaci (x − p ), gdzie p ∈ R . Nie b ę d z ie m y tuta j p o da- w ać d okładn e go op is u tej me to dy , ani do w o du p op ra wnośc i jej d z iałan ia (taki e in formacje — a sz cz ególni e „sk ąd to wsz ystk o się bierze ” m ożna znaleźć w In - ternec ie 1 ), z amiast te go p ok aże m y na przykład z ie jak si ę tą meto dę stosuję. Z res ztą, p o win na ju ż b yć dość dob rze z n ana z e szk oły . Przykł ad 4.1. P o d z ie li m y wielom ian W (x ) = 7 x 4 + 5 x 2 + 3 x + 1 pr z ez Q (x ) = x + 2. Zac zyn am y o d z ap isania tabl ic y . W pierws zym je j wiersz u (p o cz yn a jąc o d d ru gie j k olu m n y) zapisuj e m y wsp ółcz yn ni ki wielomian u , p a - mię ta jąc o ty m b y wyp isać ró wnież te ró wne 0. W pierwsz ej k olu m n ie d rugi e go wiers za zapisuj e m y liczb ę p , a w d rugi e j k olumn ie 0. W ostatni m wiersz u pr z e- pi su jem y pi e rwsz y wsp ółcz yn ni k — ni e zm ie n ion y . 7 0 5 3 1 − 2 0 7 Nastę p nie z ostatn ie go wiersz a b ie rz em y p ierws zą (w tym p rzypad ku je d y- ną) licz b ę o d stron y pr a w ej, m n oż y m y ją p rze z − 2 i wpisuj e m y w śr o dk o wym

P ol ecam y stronę http://www.matematyka.org , dz iał: liceal ista, algebra, w ielom ian y , oraz e nc y klop edię in terneto w ą W ik ip edi a http://pl.wikipedia.org . Sc he m at Hornera opi - sano w Wiki p edii bardzo sz czegóło w o : http://pl.wikipedia.org/wiki/Sch emat_Hornera .

5.2 Zadan ia te sto w e 15

5. 2 Z adani a test o w e

W zadani ac h tes to wyc h, nal e ży ustos u nk o w ać się do k ażdego z p o dpu nk tó w

oznac za jąc go jak o pr a w dzi w y lu b fałszyw y oraz, w p rzypad ku n iektóry ch zadań, wyk onać d o dat k o w e p ol e ce n ia. (Możliw e są o c zywiśc ie wsz ystkie k om bi - nacje o d p o wiedzi. Może się z d arzyć na w et, że wsz y stki e tr z y p o d pu nkt y m ogą

b yć fałs zyw e lu b pr a wd z iw e .) K aż d ą sw o ją o d p o wiedź spr óbuj uzasadn ić .

Zadanie 23. Wielomian dan y w zorem: W (x ) = x 4 + x 3 + ax 2 + ax + b jest p o dzieln y pr z ez wielom ian:

a) x − 1 w te d y i tyl k o wtedy , gdy a = 0 i b = 0,

b) x + 1 w te d y i tyl k o wtedy , gdy a = 3 i b = 0,

c) x 2 − 1 w te dy i tyl k o wtedy , gdy a = − 1 i b = 0.

Zadanie 24. Zbi ór w ar toś ci fu nk cji f : h0 , 2i → R dan e j wz orem f (x ) = − x 2 + x + 1 jes t:

a) za w art y w zbi orz e (−∞ , 1i ,

b) ró wn y h− 1 , 1i ,

c) za w art y w zbi orz e h− 1 .5; 1 .5 i.

Zadanie 25. Do wykr e su w ielomian u dan e go w zorem : W (x ) = x 3 − 2 x 2 + mx nal e żą d w a pu nk ty w który ch st yc zne są ró wnoległe do pr os tej y = 2 x dl a:

a) m = 3,

b) m = 4,

c) m > 10 3 .

Wsk azó w k a: Sk or z y sta j z p o ch o dn e j i wzoru na st yc zną w p un k c ie.

Zadanie 26. Wielomian Q (x ) = x 3 − mx 2 + 3 x − 3:

a) ma d w a eks tr e ma lok alne gd y − 3 < m < 3,

b) jest fun k c ją ros n ąc ą gdy m ∈ (− 3 , 3),

c) ni e ma ekstrem ó w lok al n yc h gd y m ∈ h− 3 , 3i .

Zadanie 27. Dan e są fu nk cje f (x ) = x 4 − 2 x 2 + 5 oraz g (x ) = − x 4 + 2 x 2 − 5.

Cz y : 6 4.2 Ró wność wie lom ian ó w

rzę d z ie w pierws zym w oln ym miejsc u p o cz ą ws zy o d stron y lew ej. Su m u jem y wyrazy w k ol umnie d o któr e j właś n ie w p isaliśm y w y nik m n oż eni a, i su m ę za- pi su jem y w ostatnim wiers zu. T o p ostę p o w an ie p o wtarzam y aż do wyp e łn ienia tab e li. 7 0 5 3 1 − 2 0 − 14 28 − 66 126

7 − 14 33 − 63 127

T eraz p oz osta je o dcz y tanie wyn iku . Wy niki e m d z ielenia jes t w ie lomian V (x ) o stopn iu dokład nie o je d e n m n iejsz ym o d stopn ia wielom ian u W (x ). O ws p ół-

cz yn nik ac h zapisan yc h w ostatnim wiersz u , w k olumn ac h o d d rugi e j do p rze d - ostatniej:

V (x ) = 7 x 3 − 14 x 2 + 33 x − 63 .

P ozos tała ostatnia k omórk a w os tatnim w ie rs zu jes t res ztą.

Uw aga 4. 2. Są róż n e sp os ob y zapisu tab elki dzie le ni a wie lom ianó w m eto d ą Horn e ra. Na str onie www.matematyka.org pr z edsta wiono n a przykład niec o

in n y sp os ób tylk o z dw om a w ie rs zam i. S p osób preze n to w an y tuta j p omaga je d - nak un ikn ąć wiele błędó w rac h un k o wyc h. Oc zywiśc ie sam a m eto d a/s ch e mat są taki e same ni e zależ ni e o d tego jak ą tab e lk ę się stos u je — id e a p ozos ta je b ez

zm ian !

4 .2 Ró w ność w ielo mi anó w

Definicj a 4. 3 (ró wność wielomianó w) . Mó wim y , że d w a wielomian y są ró wne, gdy są tego sam ego stopn ia oraz gdy ma ją takie same w sp ół czynn iki przy ws zystkic h p otęgac h .

Przykł ad 4.4. Wielomian y W (x ) = x 4 + 3 x 2 − 7 jes t ró wn y w ie lomian o wi V (x ) = k x 5 + x 4 + ax 2 − 7 w te d y i tyl k o wtedy , gdy k = 0 oraz a = 3.

F akt 4.5 (o ró wn oś ci wielomianó w) . Jeśl i dw a w ielomi an y sto pnia co najw y żej n mają taki e same wartości d la n + 1 ar gu ment ów, to są rów ne.

Przykł ad 4.6. Załóż m y , że wie lom ian y: W (x ) = a (x − 2)( x − 3) + b( x − 1)( x − 3) + c( x − 1)( x − 2) oraz G (x ) = 5 x 2 − 19 x = 18 są ró wne. Zas tanó wm y się jak ie w takim raz ie m u szą b yć w artośc i par am etró w a, b, c.

P o pierwsz e zau w ażm y , ż e wielomian G jest stopn ia 2, n atom iast w ie lomian W jest stop ni a c o na jwyż ej 2. W takim razie, k orzysta jąc z p opr z edn ie go fak tu, wystarczy sp ra wdzić c zy wie lom ia n y pr z y jm u ją tak ie same w artośc i dla

pr z y na jmniej tr z ec h różn yc h argu m en tó w. Ocz ywiście ar gume n ty te m ogą b y ć

14 5.1 Zad ania ot w ar te W (x ) = x 4 + 2 x 3 − 6 x 2 − 14 x − 7, a = − 1, k = 2, c) W (x ) = x 5 − 2 x 4 + 5 x 3 − 13 x 2 + 14 x − 5, a = 1, k = 3, W (x ) = x 5 − 4 x 4 + x 3 + 37 x 2 + 50 x + 19, a = − 1, k = 3, e) W (x ) = x 5 − 6 x 4 − 7 x 3 + 106 x 2 − 228 x + 152, a = 2, k = 3, f) W (x ) = 3 x 5 + 18 x 4 + 31 x 3 − 6 x 2 − 60 x − 40, a = − 2, k = 3. g) (? ) W (x ) = (x − 1) 10 0 , k = 1, k = 100, k orzys ta jąc z róż n icz k o w e j char ak- teryzac ji krotn oś ci pierwiastk a wielomian u . Zadanie 21. Wyznacz re sz tę z dziele n ia w ie lomian u W pr z ez V , gdy : a) W (x ) = x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, V (x ) = x 3 + x 2 + x + 1, W (x ) = x 19 + x 18 + x 17 + . . . + x 2 + x + 1, V (x ) = x 2 + x + 1, c) W (x ) = x 19 95 + x 19 94 + . . . + x 2 + x + 1, V (x ) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, Zadanie 22. Nie wyk on uj ąc d z ie leni a sp ra w d ź cz y w ie lomian W jest p o dzie ln y pr z ez V (j e śli nie jes t p o da j res ztę ). a) W (x ) = x 3 + 5 x 2 − 7 x + 9, V (x ) = x − 1, W (x ) = x 5 + x 4 − 6 x 3 − 7 x 2 + 7 x + 11, V (x ) = x + 1, c) W (x ) = x 6 − 5 x 5 + 3 x 4 − x 3 − 5 x 2 − x − 6, V (x ) = x + 1, W (x ) = 6 x 3 − 7 x 2 + 7 x + 6, V (x ) = 2 x + 1, e) W (x ) = 8 x 3 + 2 x 2 + 13 x + 7, V (x ) = 2 x + 1, f) W (x ) = x 3 + 2 x 2 − 13 x + 10, V (x ) = x 2 − 3 x + 2, g) W (x ) = x 3 + 20 x 2 − x − 20, V (x ) = x 2 − 1, W (x ) = x 4 + 4 x 3 − 9 x 2 − 16 x + 20, V (x ) = x 2 + 7 x + 10, i) W (x ) = x 4 + 3 x 3 − 15 x 2 − 19 x + 30, V (x ) = x 2 − x − 6.

4.3 Wi e lok rotne pierwiastki wie lom ian u 7 do w olne, je d nak m y w y bierze m y takie, ab y łat w o m ożna b yło w y licz yć w ar toś ci W (x ) oraz G (x ). W eź m y więc: x 1 = 1, x 2 = 2, x 2 = 3 (w y b ór jes t taki, ze wz gl ę du na w ie lomian W , w kt órym p o dsta w ie n ie 1, 2 lu b 3 ze ruj e n iektóre składni ki!). Sk or o W i G są ró wn e to o c zywiśc ie m usi b yć sp e łn ion y uk ład :     

W (1) = G (1) W (2) = G (2) W (3) = G (3) Znam y wz or y na W (x ) i G (x ), więc k or z ysta jąc z ni ch moż em y z ap is ać (p o dsta wia jąc o d p o wiedni e w ar toś ci):     

2 a = 4 − b = 0 2 c = 6 Co d a je nam o dp o wie d ź : a = 2, b = 0, c = 3. 4. 3 Wi elo kr o tne pierwi astk i w ielo mi an u Definicj a 4. 7 (k -krotn y p ierwias te k wie lom ia n u) . Licz b ę a nazyw am y k - kr otn ym p ierwias tkiem wie lom ian u W (x ), gdy w jego roz k ład z ie wys tę p uje cz yn nik (x − a ) k i n ie w y stępu je c zynn ik (x − a ) k +1 . In n ymi sł o wy , jeś li a jest k -krotn ym pierwiastkiem wie lom ian u W (x ), to wielomian te n dzieli się p rz ez (x − a ) k , ale n ie d z ieli się p rz ez (x − a ) k +1 . F akt 4.8. Liczb a a jest k -kr ot ny m pier w iastki em w ielomi an u W (x ) wt edy i tyl ko w te dy , gdy sp eł niony jest warunek:               

W (a ) = 0 W 0 (a ) = 0

. . . (k − 1) W (a ) = 0 (k ) W (a ) 6= 0 (n ) 2 W p owyższy m zapisi e p rzez W (x ) oznaczmy n -tą p o cho dn ą wielomi an u W (x ).

T erm in n -t a p o cho dna , o znacza, że daną funk c ję różnic zk ujem y n razy . Czyli licz y m y p o cho dną, p otem p o cho dną z p o cho dnej itd. n -raz y .

5.1 Zadan ia ot w ar te 13 f) x 3 + 3 x 2 + x − 1 ¬ 0.

Zadanie 17. P o d a j przykład w ie lomian u, któr e go je d yn ymi pi e rw ias tk ami są liczb y − 3 , 2 , 4 i którego stopn ień jes t ró wn y:

a) 3,

b) 4,

c) 6.

Zadanie 18. Wyznacz w artośc i p arame tr ó w a ,b i c, wie d z ąc, ż e:

a) W (x ) = x 3 + ax 2 + 6 x + b, W (0) = 1, W (1) = 5, b) W (x ) = x 4 − 2 x 3 + ax 2 − b, W (0) = − 1, W (1) = 8, c) W (x ) = − x 5 + 3 x 4 − ax 3 + x + b, W (0) = 2, W (1) = − 4, d) W (x ) = − 6 x 7 − ax 5 + bx 4 − 3 x + 5, W (− 1) = 2, W (1) = − 2, e) W (x ) = x 20 04 + x 20 03 + x 20 02 + . . .+ x 3 − ax 2 + x + b, W (1) = 2007, W (0) = 3, f) W (x ) = x 5 + ax 2 + bx + c, W (− 1) = 1, W (0) = 1, W (1) = − 1, g) W (x ) = 2 x 4 + ax 3 + 2 x 2 + bx + c, W (− 2) = − 16, W (0) = − 4, W (2) = 0, h) W (x ) = x 4 + 1 3 x 3 − ax 2 − bx + c, W (− 1) = 9, W (0) = − 3, W (3) = 6.

i) W (x ) = x 10 0 − x 99 + x 98 − x 97 + .. . − ax 3 + bx 2 − x + 1, W (1) = 3, W (− 1) = 101.

Zadanie 19. Okr e śl stop ień p o dan yc h wie lom ian ó w oraz ob licz ic h w y raz y

w olne i sum y w sp ół czynn ik ó w .

a) W (x ) = (17 x 117 − x 11 5 − 16 x 19 − 1) 83 (19 x 11 9 − 18 x 17 − x 7 − 1) 38 , b) W (x ) = (3 x 11 − 4 x 8 + 1) 8 (5 x 2 + 8 x − 1) 19 , c) W (x ) = (8 x 12 − 13 x 7 + 5 x 3 + 1) 95 (8 x 19 − 11 x 17 + 3 x 7 + 1) 59 , d) W (x ) = (8 x 12 − 13 x 7 + 5 x 3 + 1) 95 + (8 x 19 − 11 x 17 + 3 x 7 + 1) 59 ,

Zadanie 20. Wyk aż, ż e dana li c zba a jest k -krotn ym p ie rw ias tk ie m wie lo-

mian u W .

a) W (x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3, a = 1, k = 2, 8 4.3 Wi e lok rotn e pierwiastki wielom ian u

Przykł ad 4.9. Licz b a − 1 je st p ierwias tk ie m wielomian u W (x ) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 − 2 x − 2. Spr a w d z im y ile wynosi k rotn oś ć tego pi e rw ias tk a. Na jp ierw pr z ek ona jm y się, c zy rze cz ywiście − 1 jes t pi e rw ias tki e m:

W (− 1) = − 1 + 1 − 1 + 1 + 2 − 2 = 0 .

Łat w o p oliczyć p ie rws zą p o cho d ną tego wie lom ian u - m a on a p ostać: W 0 (x ) = 5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x − 2. Sp ra wdźm y c zy − 1 jes t ró wni e ż p ierwias tkie m p o- ch o dn e j: W 0 (x ) = 5 − 4 + 3 − 2 − 2 = 0 .

P oli c zm y te raz dru gą p o ch o d ną (czyli p o cho d ną p o cho d nej): W 00 (x ) = 20 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 2. Co d a je nam:

W 00 (x ) = − 20 + 12 − 6 + 2 6= 0 .

Na m o c y fak tu do wie d liśm y więc , że licz b a − 1 jes t dwu krotn y m pi e rwiastkiem wielom ian u W (x ).

Definicj a 4.10. Niec h W (x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 . W ó w c zas liczb ę a 0 nazyw am y wyraze m w oln y m , natomiast lic zb ę ró w n ą a n + a n − 1 + .. . + a 1 + a 0 sumą wsp ółcz yn ni k ó w wie lom ian u W .

F akt 4. 11. Dla d owolne go wiel o m ianu W (x ) zacho dzi:

1. wyr az w ol n y jest rów ny W (0) ,

2. sum a w sp ółczynników jest rów na W (1) ,

3. wykr es w ielomi a nu prze ci n a oś O Y w punkcie (0 ,a 0 ).

Pr oblem 4.2 . Zas tanó w się, jak m ożna ud o w o d ni ć p o wyżs zy fakt.

Przykł ad 4. 12. P oli c zym y te raz wyr az w oln y i sumę wsp ółcz y nni k ó w wielo- mian u W (x ) = (x − 4) 3 (x 2 − 16). Oc zywiśc ie można b y wymnożyć w szys tk ie

składn iki te go ilo cz yn u (p o d nosz ąc w c ze śniej (x − 4) d o p otę gi trze ciej), jedn ak za jęłob y to du ż o c zas u . My m ożem y sk or z ystać ze znan yc h nam już twierd z eń i fakt ó w. P o p ierws ze jes t to w ie lomian stopn ia 5 (cz y wie sz dl ac ze go?). Wyr az w oln y , n a m o cy p oprze d niego faktu , ró wna si ę w ar toś ci W (0). Mam y wię c:

a 0 = W (0) = 4 3 · 16 = 4 5 = 1024 .

Su ma wsp ółcz yn nik ó w a 5 + a 4 + .. . + a 1 + a 0 , na mo c y faktu, ró wn a je st w artośc i W (1), S tąd m am y:

a 5 + a 4 + .. . + a 1 + a 0 = W (1) = (− 3) 3 · (− 15) = 405 .

12 5.1 Zad ania ot w ar te Zadanie 13. Wielomian W (x ) = x 3 − x 2 + ax + b jest ró wn y wielomiano wi T (x ) = (x − 2) 2 (x − c), gd z ie c 6= 2. W yz n ac z w ar toś ci ws p ółc zynn ik ó w a, b, c. Roz wiąż nieró wność T (x ) ¬ 0. Zadanie 14. Roz wiąż ró wnani e : a) x 4 + 2 x 3 − x − 2 = 0, 3 x 4 + 5 x 3 − x 2 − 5 x − 2 = 0, c) x 4 + x 2 − 6 x + 4 = 0, x 4 + 2 x 3 − 8 x 2 − 19 x − 6 = 0, e) 2 x 3 + x 2 + 3 x − 2 = 0, f) 9 x 4 + 9 x 3 + 11 x 2 + 9 x + 2 = 0, Zadanie 15. Roz wiąż nieró wność : a) (x − 1)( x − 2)( x + 3) ­ 0, (x 2 + 1)( x 2 − 1)( x − 2) 2 < 0, c) (x 2 − 1) 3 (x 4 + 2) > 0, (x − 1) 2 (x + 3) 3 ­ 0, e) (x − 4) 2 (x 2 − 16) ¬ 0, f) x 2 (x − 3)( x + 1) ¬ 0, g) − x (x − 2) 2 ­ 0, − 2( x + 1) 2 (x − 1) ¬ 0. Zadanie 16. Roz wiąż nieró wność : a) − x 3 − 2 x 2 + 6 x < 0, − x 4 + x 3 + 7 x 2 ­ 0, c) x 3 − x 2 − 7 x ¬ 0, 2 x 3 + x 2 − 8 x − 4 > 0, e) 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 4 ¬ 0, 4.4 Uogóln ione w zory Viete’a 9 Pr oblem 4.3 . Zas ta n ó w się jak, d la p o dan e go w p o wyżs zym pr z yk ład z ie wielo- mian u, wyl ic zyć su m ę w sp ół czynn ik ó w p rz y p arzyst y ch i n ie p arzyst y ch p otę - gac h (c zyli o d p o wiedzie ć na p ytan ie il e wynosi a 5 + a 3 + a 1 oraz a 4 + a 2 + a 0 ). Wsk az ó wk a: u ż yj w art oś ci W (1) oraz W (− 1). F akt 4. 13. Wiel omian zmienia zn ak ty lko w p ierwiastkach o niep ar zystej kr ot- ności. W pi erwiastkach kr otności p ar zystej nasz „ wężyk” ni e prze ci na osi O X ale jest do niej styczny. 4. 4 U og ól nio ne w zory V iete’a Ok az u je się, ż e w zory Viete ’a p o d ane w rozdziale o fu nk cji kw adrat o w e j, da si ę uogól nić dl a w ie lomian ó w stopn ia wyżs ze go n iż 2. W tym p o dr ę cz n iku ograni- cz ym y się d o p o dan ia tyc h wz oró w jedy nie dl a w ie lomian ó w stopn ia tr z ec iego, jedn ak nal e ży m ie ć świadomość , że p o dob ne w zory można wypr o w adzić dla wielom ianó w stopn i w y ż sz y ch. F akt 4. 14 (wz or y Viete’a dl a w ie loman ó w stopn ia tr z ec iego) . Nie ch W (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d bę dzi e w ielomianem st opnia 3 , or az nie ch liczby x 1 ,x 2 , x 3 są pier w iast kam i te go wielom ianu. W ó wczas pr aw dziwe są wzory :     

x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a or az istnieje p ost ać ilo cz ynow a te go w ielomianu: W (x ) = a (x − x 1 )( x − x 2 )( x − x 3 ). Przykł ad 4.15. Wiad omo, że w ie lomian d an y wzorem W (x ) = x 3 + px 2 + q x = 8 ma je d e n pierwiaste k p o dw ó jn y (p rz ez pierwiaste k p o dw ó jn y rozu- mie m y p ie rwias tek d ru gie go stop nia) a dru gi je st do niego licz b ą p rz eciwną. Zna jd z iem y teraz o dp o w ie d nie w ar toś ci parametró w p i q , dl a k tóryc h p o wyż- sz y w a run e k je st p ra wdziwy . Z tr e śc i w ar un ku w y nik a, ż e wielom ian W ma trzy p ierwiastki: a, a, − a , gdzie a jest p ewną li c zbą rz ec zywistą. Kor z ysta jąc z wz or ó w Vi e te’a mam y , że :     

a + a + (− a ) = − p a · a + a · (− a ) + (− a ) · a = q a · a · (− a ) = − 8

5.1 Zadan ia ot w ar te 11 a) W (x ) = ax 3 + 2 bx 2 − 13 x + 6, b) W (x ) = (x + 3)( ax 2 − bx + a − b).

Zadanie 6. Licz b a − 1 2 jest pierwiastkiem W (x ) = 12 x 5 + 8 x 4 + 11 x 3 + 7 x 2 − x − 1. Ob licz krotn oś ć te go pi e rwiastk a. Zna jdź p ozos tał e pierwiastki.

Zadanie 7. Wyznacz p i q tak, ab y li c zba 1 b yła dwu krotn y m p ierwiastkiem

ró wnan ia: x 3 − 2 x 2 + px + q = 0. Zadani e roz wiąż przyn a jm n ie j na d w a sp os ob y !

Zadanie 8. Zbad a j p arzys toś ć wielomianó w:

a) W (x ) = 2 x 2 − x , b) W (x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, c) f (x ) = 4 x 4 + 3 x 2 − 1, d) f (x ) = x 5 − 3 x 3 − 7.

Zadanie 9. Jaki w arun e k m usz ą sp e łn iać ws p ółc zyn niki wielomian u trzec iego stopni a: W (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , ab y b ył on fu nk cją ni e p arz y stą? C zy moż e

on b yć fu nk cją parzystą?

Zadanie 10 ( ? ). Wyznacz te w artośc i par am etru a , dla który ch wie lom ian W (x ) = x 3 + ax 2 − 4:

a) jest fun k c ją ros n ąc ą,

b) p os iad a dw a eks tre ma lok alne,

c) (? ) p osiad a d okładn ie d w a mie js ca z ero w e (ws k az ó wk a: m ożes z u ż y ć wz oró w Viete ’a d la w ie lomian ó w st opni a tr z ec ie go).

Zadanie 11. Dan e są wie lom ian y Q (x ) = x 3 − x 2 + 2 i S (x ) = − 2 x 2 − 2 x + 4.

a) Sp ra wdź, c zy licz b a 2 jes t p ie rwias tk ie m wie lomian u Q (x ).

b) Wielomian P (x ) jes t su m ą w ie lomian ó w Q (x ) i S (x ). Roz łóż wie lom ian P (x ) na c zyn niki linio w e .

Zadanie 12. Wyk aż, ż e d la do w ol n yc h licz b rz ec zywis ty ch a, b, c fu nk cja:

f (x ) = (x − a )( x − b) + (x − b)( x − c) + (x − c)( x − a )

ma co na jm n iej jedn o miejsc e z ero w e. 10

St ąd m am y: 

 

  a = − p − a 2 = q a 3 = 8

Cz y li: 

 

  a = 2 p = − 2

q = − 4

W ob ec cz ego w ie lomian może m y z ap is ać w p os tac i: W (x ) = (x − 2) 2 (x + 2).

5 Z adani a

5 .1 Z adani a ot w ar te

Zadanie 1. Sp ra wdź czy w ie lomian je st W (x ) = 8 x 3 − 27 ró wn y wie lom ian o w i:

a) P (x ) = (2 x − 3) 3 , b) P (x ) = 2 x (4 x 2 − 9) + 9(2 x − 3).

Zadanie 2. P o d an y wielomian W rozłóż n a c zyn niki , z n a jdź w szys tk ie je go pi e rw ias tki , p o d a j ic h kr otnośc i i naszkicuj wykr e s tego w ie lomian u.

a) W (x ) = 5 x 5 − 20 x 4 , b) W (x ) = x 6 − x 4 − x 2 + 1.

Zadanie 3. Wyk on a j dzie le n ie wielomianó w W pr z ez Q i zapisz go w p ostaci: W (x ) = P (x ) · Q (x ) + R (x ):

a) W (x ) = 2 x 3 − x 2 − 2 x − 3, Q (x ) = x + 1, b) W (x ) = − 3 x 4 + 5 x 3 + x 2 + 10 x + 6, Q (x ) = x 2 + 2.

Zadanie 4. Nie wyk on u jąc d z ie lenia obl ic z re sz tę z d z ie leni a W (x ) prze z Q (x ):

a) W (x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, Q (x ) = x − 2, b) W (x ) = x 10 − 1, Q (x ) = − x 2 + x , c) W (x ) = (x − 2) 6 , Q (x ) = (x − 1)( x − 2)( x − 3).

Zadanie 5. Dla jaki ch w ar toś ci p arame tr ó w a i b wielom ian W (x ) = 3 x 3 +

4 x 2 − 13 x + 6 jes t ró wn y: