o d p o wiad a n a tak ie j os i dok ład ni e jeden pu nkt .

W artość b ezwzgl ędna . F unk cja w ymierna. Kurs ma temat yki w ora t o ri um au torami m ateri ałó w są: d r B ar bar a W oln ik i Witol d B ołt 31 ma rca 20 06 Spis tre ści 1 W artość b ezwzględna 2 1.1 Własnośc i w artośc i b e zwz ględn e j. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ró w n ania z w artośc ią b ez wz gl ę d ną. . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Nieró wnośc i z w artośc ią b e zwz gl ę d ną. . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Pr z eksz tałce n ia w y kres ó w fu nk cji z u ż yciem w artośc i b ez wz gl ę d - nej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Zadan ia ot w arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Zadan ia te sto w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 F unk cja hom ogr aficzna 11 2.1 Wyk re s fu nk cji homografi c znej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Hip e rb ol e p o dsta w o w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Własnośc i fu nk cji h om ogr aficz n e j . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 F unk cja wymi er na 15 3.1 Ró w n ania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Nieró wnośc i wymie rne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Zadan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Zadan ia ot w arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.2 Zadan ia te sto w e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Zadanie d om o w e i ogł oszenia 22

2 1 W arto ść b e zw zgl ędna

Zbi ór lic zb rze cz y w is tyc h (który oz n ac zam y p rz ez R ) m ożna przedsta wić gr a- ficznie jak o z b iór pu nktó w n a osi li c zb o w e j (tzn. na p roste j „ wyp os ażonej” w zw rot, p un kt oz n ac zon y jak o z ero i je d nostk ę ). Każdej licz b ie rze cz y w is tej x

o d p o wiad a n a tak ie j os i dok ład ni e jeden pu nkt .

Definicj a 1. 1 (w artość b ez wzglę d na) . W artośc ią b ez wzglę d ną licz b y x na- zyw am y o d le głość p unk tu o d p o wiad a jącego te j lic zbi e na osi liczb o w ej, o d pu nk tu z ero i oz n ac zam y p rz ez |x |.

Przykł ad 1.2. Jeś li zaz n ac zym y n a osi licz b o w ej licz b ę 4, to łat w o zau w aż y- m y , ż e jej o dl e głość o d ze ra wyn os i 4, stąd |4 | = 4.

Przykł ad 1. 3. Jeś li zaz n ac zym y n a os i liczb o w e j li c zb ę − 3, to w idzim y , ż e

jej o d legł ość o d pun ktu ze ro wyn os i 3, stąd | − 3| = 3.

Przykł ad 1.4. P o d obn ie może m y p ok azać , że n a p rzykład: |5 | = 5, |− 7| = 7, |0 | = 0, | 1 2 | = 1 2 , | − 3 4 | = 3 4 itd .

Wid z im y więc , ż e obli c ze n ie w art oś ci b e zw zględn e j z lic zb y rz ec zywiste j jest b ard z o pr os te. Moż em y p rze d sta wić to w formie p rze p is u :

• jeśli licz b a x jest d o dat nia lu b jeś li je st z erem , to |x | = x ,

• w p rze ciwn ym w y padk u (jeś li licz ba x jest u jem n a), to |x | = − x .

W te n sp osób ot rz y m al iś m y wzór, k tóry c zę sto p o da je się wrę cz jak o defini c ję w artośc i b e zwz ględn e j:

|x | = ( x dl a x ­ 0 − x dl a x < 0 .

1 .1 Włas ności w ar tości b e zw zgl ędne j.

P on iż szy fakt z b iera p o d st a w o w e własnośc i w artośc i b e zwz ględn e j.

F akt 1. 5. Dla d owolnych liczb x, y , z ∈ R mamy :

1. | − x | = |x |,

2. |x | ­ 0 ,

3. |x · y | = |x | · |y |,

22 a) f (f (x )) = 1 (x − 1)

, b ) f (f (x )) = f (1 /x ), c ) f (1 /x ) = x x − 1 . Zadanie 50. F unk cja y = x

x − 1 jest: a) malejąca w (0 , 2), b) ros n ąc a w (2 , ∞ ), c) rosnąca w (−∞ , 0). Zadanie 51. Wyk res fu nk cji f (x ) = (x − 1)( x +3 ) x

− 1 : a) je st syme trycz n y wzglę d e m pu nktu (− 1 , 1), b) m a dwie as ympt ot y p iono w e , c) m a asym p totę p oz iom ą. 4 Z adani e do mo w e i o głos ze ni a • W ramac h z ad ania domo w ego proszę rozwiąz ać przyn a jm n ie j 22 (s ło w- ni e dw a d z ieścia dw a ) z ad ani a. R ozwiąz an ia pr os zę p rz y goto w ać n a k artk ac h p o dp isan yc h imieniem i n az wiskiem. P ros zę pamiętać , szcz e- góln ie w zadani ac h tes to wyc h, o u z asadn ianiu sw oic h o dp o wie d z i. Je śli ud a się z n aleź ć jak ie ś zadan ie które wyda je się z u p ełnie nier o zw iązy w al - ne – pr os zę zapisać je n a k ar tc e i oz n ac zyć jak oś , to na p e wno zos tan ie wyjaśni one! • W nastę p n y w ee k end 7-8-9 kwietni a o d b yw a ją się rek ole k cje ak ad e mic- kie, d la stud e n tó w, mło d z ież y pr ac u jące j oraz . . . mat u rzystó w . Zap ra- sz am! Wsze lki e szc ze góły mogę p o dać os ob iśc ie: e-m ail : ja@houp.info , gsm : 660 316 053. • Wsz y stki e materiały z n as zyc h z a jęć z a ws ze m ożna znal e źć w in te rnec ie: http://www.salezjanie.rumia.pl/math . Kto szuk a ten z n a jd z ie ;) 1.2 Ró wnani a z w art oś cią b ez wzglę d ną. 3 4.

   x y

   = |x | |y | , p rzy zał ożeniu y 6= 0 , 5. |x − y | = |y − x |, 6. |x − y | ¬ |x − z | + |z − y |. Uw aga 1.6. Zau w aż m y , że dl a sum y i róż n icy n a ogół n ie są sp ełni one wła- snośc i p o dob ne d o ty ch z p un ktu 3 i 4 p o w y ż sz ego faktu . Na p rzykład: |( − 3) + 4 | 6= | − 3 | + |4 |, |5 − 10 | 6= |5 | − |10 |. 1. 2 Ró w nania z w arto ścią b ezwzg lędną. Definicj a 1. 7 (ró wnan ie p o dsta w o w e z w art oś cią b e zw zględn ą) . Ró w n aniem p o dsta w o wym z w art oś cią b ez wzglę d ną b ę d z iem y n az yw ać ró wn anie p ostac i: |coś | = a, gdzie a jest k on kretną (u stalon ą) licz b ą rz ec zywistą. Przykł ad 1. 8. Ró w n ania o k tóryc h mó wi d e fi nicja wygląda ją na przykład tak: |x | = 2, |3 x − 4 | = 8, |x 2 − 4 x + 1 | = 2, |3 x − x 2 | = 0, |4 x + 1 | = − 3 itp. Pr e ze n to w an e tu ró wn ania, w któr yc h w ystępu je w artość b ez wz gl ę d na, są bar dzo pr os te. Z te go w zględu nazyw am y je p o dsta w o wym i. W toku p óźni e j- sz yc h rozw ażań za jmiem y się ró wn ie ż przyp adk ami bard z iej sk om p lik o w an ymi, gdzie n a pr z y kład n iew iadoma b ę d z ie z aró wno w ewnątr z w artości b e zwz gl ę d - nej ja k i p oz a n ią, lub takie gd z ie b ędzie więc ej ni e wiad om yc h. P on iż szy fak t umożliwia rozwiązyw an ie ró wnań p o dsta w o wyc h z w artością b e zwz ględn ą. F akt 1. 9. W zależności o d wa rto ści p ar ametru a zacho dzi je den z przy p a dków. 1. Jeśl i a < 0 , to rów nanie |c oś | = a nie m a rozwiązania. 2. Jeśl i a = 0 , to rów nanie |c oś | = a jest tożsame równ aniu : coś = a . 3. Jeśl i a > 0 , to równ anie |c oś | = a jest rów noważn e w ar unkom: coś = a ∨ coś = − a . Kor z ysta jąc z p o wyżs ze go faktu , roz wiąże m y p o d ane w p oprze d ni m przy- kład z ie ró wnani a p o d st a w o w e. Sp ra wdź cz y roz u m ie sz sk ą d wz ięły si ę p o dan e ni ż ej wyni ki.

3.3 Zadan ia 21

b) p osiada asym p totę,

c) m a p o ch o dn ą ró wn ą f 0 (x ) = 3 4 x . Zadanie 43. Dan a je st fun k c ja f (x ) = x

x

+ x +1 . Jej p o cho dna:

a) jest ró wn a f 0 (x ) = 2 x 2 x +1 ,

b) m a jedn o miejsc e z ero w e,

c) jes t uj e mna d la x ∈ (− 2 , 0).

Zadanie 44. Dan a je st fun k c ja f (x ) = 2 x

− 3 x − 2 x

− 3 x +2 . Wyk re s te j fun k c ji m a:

a) jedn ą as ympt otę pi ono w ą,

b) dwie asymptot y pi ono w e,

c) as ympt otę p oz iomą y = 2.

Zadanie 45. F unk cja g okr e ślona wz or e m g (x ) = x x

+1 :

a) je st fun k c ją malejącą w pr z edziale (1 ,∞ ),

b) m a m inim um lok alne w pu nk cie x = 0,

c) nie ma e k str e mó w lok aln y .

Zadanie 46. Zbad a j własnośc i funk cji : f (x ) = x

+ x +1 x

− x +1 . W sz cz ególności sp ra w d ź

cz y funk cja f ma asymptot y , jak a je st jej monoton ic zność , parzystoś ć, c ią głoś ć, oraz jak z ac ho wuj e si ę dla x → ±∞ .

Zadanie 47. Dan a je st fun k c ja f (x ) = 5 x +8 x +1 dl a x 6= − 1.

a) F unk cja f jest ró wn a fun k c ji g (x ) = 3 x +1 + 5 dla x 6= − 1.

b) F u nk c ja f ma asymptotę pion o w ą x = − 1.

c) R ó wnan ie f (x ) = 5 n ie ma rozw iąz ani a.

Zadanie 48. Wiad omo , że x + 1 x = 4. Zatem : a) x 2 + 1 x

= 8, b ) x 2 + 1 x

= 14, c) x 2 + 1 x

= 16.

Zadanie 49. F unk cja f dan a jes t wz or e m: f (x ) = 1 x − 1 . W ó w c zas : 4 1.3 Nieró wnośc i z w artością b ez wzglę d ną.

Przykł ad 1. 10. Ró w n ani e |x | = 2 ma d w a rozwiąza n ia: x = 2 ∨ x = − 2.

Przykł ad 1.11. Roz wiązani e ró wnan ie |3 x − 4| = 8, sp ro w ad z a się do roz- wiązania dw ó ch ró wnań lin io w y ch: 3 x − 4 = 8 oraz 3 x − 4 = − 8. Da je to nam o d p o wiedź: x = 4 ∨ x = − 4 3 .

Przykł ad 1.12. Ab y rozwiąz ać ró wnani e : |x 2 − 4 x + 1| = 2, m usim y roz wiązać dw a ró wnani a k w ad rato w e:

x 2 − 4 x + 1 = 2 ∨ x 2 − 4 x + 1 = − 2 x 2 − 4 x − 1 = 0 ∨ x 2 − 4 x + 3 = 0 . W rez u ltacie otr z ym uj e m y c zte ry m ożliw e rozwiąz an ia: x = 2 − √ 5 ∨ x = 2 + √ 5 ∨ x = 1 ∨ x = 3.

Przykł ad 1. 13. Ró w n anie |3 x − x 2 | = 0 spr o w ad z a si ę do 3 x − x 2 = 0, c o

bar dzo łat w o da je się roz wiązać , b o jes t to ró wnan ie toż sam e z: x (3 − x ) = 0. Cz y li m am y dw a roz wiązania x = 0 ∨ x = 3.

Przykł ad 1.14. Ró w n ani e |4 x + 1| = − 3 zgo dn ie z p o dan y m fakte m jest sprze czne.

1 .3 Nieró w ności z w ar toś cią b ezwzg lędną.

P o rozw ażani ac h d ot yc ząc y ch p rost y ch ró wn ań z w artośc ią b e zwz gl ę d ną, pr z y - sz edł c zas na p ros te nieró wnośc i w który ch wystę p uj e w ar toś ć b ez wzglę d na.

Definicj a 1.15 (n ie ró wn oś ć p o d sta w o w a z w artośc ią b e zwz ględn ą) . P o jęc iem ni e ró wn oś ci p o dsta w o w e j z w artośc ią b ez wzglę d ną, b ędzie m y okr e ślać n ieró w-

ności p ostac i: |coś | > a , |coś | ­ a , |coś | < a lu b |coś | ¬ a . Zakładam y , że a jest do w olną, u stal oną licz b ą rz ec zywistą.

Przykł ad 1. 16. Roz wiążem y p rostą ni e ró wność |x | > 2. J e śli p rzyp omn i- m y sob ie defini c ję w artośc i b ez wzglę d nej p o d aną w tym rozdziale, m ożem y p o wiedzieć , że dana n ieró w n oś ć opi su je zbi ór takic h p un któ w n a os i lic zb o-

w e j, któr yc h o d legł ość o d z era jes t w ię ksz a o d 2. Ab y „zobacz yć” rozwiąza- ni e w y star c zy wyk on ać prost y rys u nek (w y k ona j go!) i o dcz ytać o dp o wiedź: x ∈ (−∞ ,− 2) ∪ (2 ,∞ ).

Pr z edsta wim y p on iż ej fakt y , które właś ciwie bazuj ą na roz u m o w aniu z p o- wyżs ze go przykład u i u m ożliwia ją rozw iąz an ie ws zystkic h n ieró w n oś ci p o d st a-

w o wyc h.

20 3.3 Zadan ia Zadanie 37. Roz wiąż nieró wność . a) x

+ x +2 x

− x − 2 > 0, b) x

− 4 x

− 5 x > 0, c) 2 x

− 7 x − 29 x

− 2 x − 15 > 1, d) x

− 8 x +6 x

+2 − 5 < 0,

e) 1+ x 1+ 2 x − 1 − 2 x 2( x +1 ) < − 1, f) x

− 8 x +6 x

+2 < − 9 11 , g) x

− 2 x

− x

+2 2 x

− 1 > 0, h) − x

− x

+1 0 x x

− 1 > 0. 3.3. 2 Zadan ia te s to w e Zadanie 38. Dan a je st fun k c ja f (x ) = 2 x + 1 x +1 + 3 dla x 6= − 1. a) P ros ta y = 2 je st asymptotą p oz iom ą f . b) Prosta x = − 1 jes t asym p totą pion o w ą f . c) F u nk cja ta nie ma as ymp tot y p ion o w e j. Zadanie 39. St yczna do wykres u f (x ) = x +1 x w p un k c ie (1 , 2): a) p rz ec h o dzi pr z ez pu nkt (2003 , − 2003), b) m a uj e mn y ws p ółcz yn nik ki e runk o wy , c) jes t ró wnol e gła do prostej x + y = 0. Zadanie 40. Zbi ore m rozw iąz ań n ieró w n oś ci: (x +1 )( x − 2)

(x − 1) |x +1 || x +2 | ¬ 0 jes t: a) (−∞ , − 1) ∪ (1 , 2 i\{− 2 } , b) (−∞ , − 2) ∪ (− 2 , 2 i\h− 1 , 1 i,

c) (−∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (1 , 2 i. Zadanie 41. F unk cja f : (−∞ , − 1) ∪ (1 , ∞ ) → R okr e ślona wz or e m f (x ) = x x + 1 a) ma do datn ią p o ch o d- ną w k aż d ym pun k- cie , b) jes t rosnąca,

c) jes t cią gła. Zadanie 42. F unk cja g (x ) = 3 x 2 x

+1 : a) p os iada e kstrema lok aln e ,

1.3 Nieró wnośc i z w artością b ez wz gl ę d ną. 5 F akt 1. 17. Zał óżmy , że a jest dowo lną, ustal o ną liczb ą rz eczywistą do dat ni ą . Wówczas mamy : 1. Nier ów ność |c oś | > a jest rów now ażna wa runkom: coś > a lu b coś < − a . 2. Nier ów ność |c oś | ­ a jest rów now ażna wa runkom: coś ­ a lu b coś ¬ − a . 3. Nier ów ność |c oś | < a jest rów nowa żn a waru n kom: − a < coś < a . 4. Nier ów ność |c oś | ¬ a jest rów nowa żn a waru n kom: − a ¬ coś ¬ a . F akt 1.18. Zał óżmy , że a jest dowolną, u staloną li czb ą rz eczywistą uj emną. Wówczas mamy : 1. Nier ów ność |c oś | > a jest rów nowa żn a za pi sow i: coś ∈ R . 2. Nier ów ność |c oś | ­ a jest rów nowa żn a za pi sow i: coś ∈ R . 3. Nier ów ność |c oś | < a jest sp rze czna. 4. Nier ów ność |c oś | ¬ a jest sp rze czna. F akt 1. 19. Zał óżmy , że a = 0 . Wów czas m amy: 1. Nier ów ność |c oś | > a jest rów nowa żn a za pi sow i: coś 6= 0 . 2. Nier ów ność |c oś | ­ a jest rów nowa żn a za pi sow i: coś ∈ R . 3. Nier ów ność |c oś | < a jest sp rze czna. 4. Nier ów ność |c oś | ¬ a jest rów nowa żn a za pi sow i: coś = 0 . Pr oblem 1.1 . P o d a j in terpr e tację ge ometrycz n ą k ażdego z pr z y padk ó w p o wyż- sz yc h faktó w. Kor z ysta jąc z p o dan y ch faktó w, p ok aże m y teraz jak rozwiąz ać pr os te ni e - ró wnośc i z w artością b ez wzglę d ną. Przykł ad 1.20. Roz w ażm y n ieró w n oś ć: |4 x − 3 | > 1, J e st ona ró w n o w ażna w arun k om : 4 x − 3 < − 1 ∨ 4 x − 3 > 1 . St ąd m am y: x < 1 2 ∨ x > 1 . Cz y li roz wiązani e m nieró wnośc i je st: x ∈ (−∞ , 1 2 ) ∪ (1 , ∞ ).

3.3 Zadan ia 19 a) f (x ) = 2 x +2 x +1 , g (x ) = 2, b) f (x ) = x

(x − 1) x (x − 1) , g (x ) = x , c) f (x ) = x

− 1 (x +1 )

, g (x ) = x − 1 x +1 .

Zadanie 32. P amięta jąc o d z ie d z in ie, upr oś ć w zory p o dan yc h fun k c ji.

a) f (x ) = (x +4 )

x

+5 x +4 , b) f (x ) = x

− 1 x

− 2 x +1 , c) f (x ) = x

− 5 x

+6 x

x

− 6 x

+8 x , d) f (x ) = 2 − x x

+ x − 2 + x x

− x − 6 ,

e) f (x ) = 4 x x

− 7 x +1 2 + 5 x x

− 8 x +1 5 .

Zadanie 33. Roz wiąż ró w n ani e .

a) x

− 1 x

+2 x +1 = 0, b) (4 x − 1) (x +1 )(2 x +1 ) 4 x

− 1 = 0, c) 2 x +1 x

− 9 − 3 x − 3 = 0, d) 3 x +2 + 12 x

− 4 + 1 2 x = 0,

e) x +5 x +4 + 5 x − 2 = 1 x +4 , f) x

− x x

+ x − 2 + x

+3 x +2 x

− x − 2 = 1.

Zadanie 34. Roz wiąż nieró wność .

a) 6 − x x

− x > 1 x − 1 + 2 x , b) 3 x

+5 x +1 x ¬ 1 − x , c) (x +3 )( x

− 5 x +6 ) (x

− 9)( x − 3) ­ 0, d) 1 + 2 x − 5 + 1 x +1 ­ − x − 7 x

− 4 x − 5 ,

e) 1 x

+2 x − 3 ­ 1 2 x +1 .

Zadanie 35. P o d a j dzie d z inę fu nk cji f i p rz edsta w jej wz ór w możliwie prostej p os taci.

a) f (x ) = x

− 5 x +6 x

− 4 x +3 , b) f (x ) = x

− 5 x +6 x

− 3 x +2 ,

c) f (x ) = x

− x − 6 x

+ x − 2 , d) f (x ) = x

− 27 x − 3 ,

e) f (x ) = x

− 6 x

+1 2 x − 8 6 x

− 24 x +2 4 , f) f (x ) = x

− 10 x

+9 x

− 2 x − 3 g) f (x ) = x

+ x

+1 x

+1 ,

h) f (x ) = x

+6 4 x

+4 x +8 , i) f (x ) = 8 x

+1 2 x

+6 x +1 4 x

+4 x +1 ,

Zadanie 36. Roz wiąż ró w n ani e (pamięta j o d z iedzini e ).

a) 2 x − 3 x − 1 + 1 = 6 x − x

− 6 x − 1 , b) 2 x

+ x − 1 x

= 1 6 x , c) 3 x

+8 − 1 x

− 4 = 2 x

− 2 x +4 ,

d) 2 x − 2 x

− 36 − x − 2 x

− 6 x = x − 1 x

+6 x . 6 1.4 P rze ksz tałce n ia wykres ó w fu nk cji z użyciem w ar toś ci b e zw zględn e j.

Przykł ad 1.21. Roz w ażm y n ie ró wn oś ć: |3 − x | ¬ 2. Kor z y sta jąc z p o dan yc h w c ze śniej w łasnośc i, wiem y że p o dan a nieró wność jes t ró w n o w ażna n ieró w n oś ci |x − 3| ¬ 2. T ak a n ieró w n oś ć n atom ias t je st ró wn o w aż n a dw óm w ar un k om , któr e w skró c ie z ap is u jem y:

− 2 ¬ x − 3 ¬ 2 .

Ab y otrzymać rozwiąz an ie wystarcz y do dać do ws zystkic h stron n ieró w n oś ci liczb ę 3, co da je n am z ap is: 1 ¬ x ¬ 5. Stąd m am y o dp o w ie d ź : x ∈ h1 , 5i ,

1 .4 P r zeks ztałcenia wykresó w funk cji z użyci e m w ar toś ci b ez- wzg lędnej.

Pr z y puśćm y , że d ana je st fun k c ja f (x ) or az wiem y jak wygląda jej wykr e s. Zas tanó wm y się jak b ędzie wygl ądać wykres fun k c ji g dan e j wz or e m g (x ) = |f (x )| . Otóż jeś li d la p ewnej w ar toś ci argu m en tu x w artoś ć fu nk cji f jest n ie-

uj e mn a (do d atni a lub ró wna ze ro), to n ał ożenie w ar toś ci b e zwz ględn e j ni c ze go ni e zm ieni . Natom ias t jeśli dla p e wn e j w artości x w artośc i f (x ) jes t u jem n a, to w ó w c zas w artość g (x ) b ędzie lic zbą p rz ec iw n ą do f (x ).

F akt 1.22 (o w y kres ie fun k c ji z nałoż on ą w artośc ią b e zględn ą „na fu nk cję”) .

A by u zyskać wykr es funkcji y = |f (x )| z w y kr esu funkcji f (x ) p ostępujem y w następ u jący sp osób:

• Punkty któr e leżą n ad osi ą O X (l ub na niej ) p ozostaw iamy n iezmienione.

• Punkty któr e leżą p o d osią O X o dbij a m y sy metry czn ie wzglę dem tej osi - cz yli mówiąc p oto cznie o dbij amy je do góry .

Ćw iczenie: Nary su j wykres y fun k c ji f (x ) = x 2 − 4 x + 3. Nas tępn ie k or z y- sta jąc z p o wyższ ego faktu n arysuj wykr e s fun k c ji: g (x ) = |x 2 − 4 x + 3| . Zas tanó w m y się te raz jak, ma jąc dan y w y kres fun k c ji f (x ) n aryso w ać wy- kr e s fun k c ji g dan e j wz orem g (x ) = f (| x |). Jeś li argumen t x jest nieuj e mn y

(tzn. x ­ 0) to o cz ywiście g (x ) = f (x ) czyli w y kres (dla x ­ 0 cz y li p o pra- w e j str onie os i O Y ) p oz osta wiam y n iez mienion y . P onadt o w ie m y na p e wn o, że fu nk cja g (x ) je st fu nk cją par z ystą (b o dla k ażdego x z d z ie d z in y m am y: g (− x ) = f (| − x |) = f (x ) = g (x )). Zatem lew ą stron ę wykr e su (wz gl ę d e m os i

O Y ) stan o w i lustrzane o d bi c ie stron y pra w e j.

F akt 1. 23 (o wykresie funk cji z nałożoną w ar toś cią b e zw zględn ą „n a argu- me n t”) . A by u zyskać w y kr es funkcj i y = f (| x |) należy wyrz ucić lewą str o nę wykr es u y = f (x ). P raw ą str o nę wykr esu p o zo st awiamy bez zmian i o d bi jamy

sy metryczni e, tak aby o tr zymać wykr es funkcji p a rzystej .

18 3.3 Zadan ia 2. P rze n os im y w sz y stk o na lew ą stron ę : 12 x − 4 (x + 1)( x − 3) − 3 x x − 3 + x 2 x + 1 ¬ 0 . 3. S pro w adzam y wyraże n ie d o wsp ól nego mian o wn ik a: 12 x − 4 − 3 x (x + 1) + x 2 (x − 3) (x − 3)( x + 1) ¬ 0 . 4. Rozkładam y lic zni k na c zynn iki : (x − 1) 2 (x − 4) (x + 1)( x − 3) ¬ 0 . 5. M nożym y obie st ron y prze z kw adr at miano wnik a, c zyli inn y m i sło wy , zas tępu jem y ułame k ilo cz yn e m licz n ik a i miano wni k a: (x − 1) 2 (x − 4)( x + 1)( x − 3) ¬ 0 . 6. Rozw iąz u jem y ró wnan ie wielomiano w e (jak wid ać nie w y m aga to ż ad - n yc h do d atk o wyc h p rze ksz tał ceń!). Otr z y m uj e m y o dp o wie d ź : x ∈ (−∞ , − 1 i ∪ { 1 } ∪ h3 , 4 i. 7. Uwzglę d niam y z ałoże n ia: x ∈ (−∞ , − 1) ∪ { 1 } ∪ (3 , 4 i. 3. 3 Z adani a 3.3. 1 Zadania ot w arte Zadanie 30. Okr e śl dzie d z inę fun k c ji: a) f (x ) = x x

− 2 x +1 , b) f (x ) = x (x +1 ) (x − 1)( x +2 ) , c) f (x ) = x

− 4 x

+1 x

+3 x +6 . Zadanie 31. Sp ra wdź czy fun k c je f i g są ró wn e .

1.5 Zadan ia 7 Ćw iczenie: Nary su j wykr e sy fu nk cji f (x ) = 3 x − 1. Nastę p ni e k orzysta jąc z p o w y ż sz ego faktu n arysuj wyk re s fu nk cji: g (x ) = f (| x |) = 3 |x | − 1. Ćw iczenie: Nary su j wyk re sy fu nk cji f (x ) = x 2 − 4 x + 3. Nastę p nie k or z y sta- jąc z p o wyż sz ego faktu n arysuj wykres fu nk cji : g (x ) = f (| x |) = |x | 2 − 4 |x |+ 3. Uw aga 1.24. Ze w zględu na to, że |x | 2 = x 2 , zapi sy h (x ) = x 2 − 6 |x | + 8 oraz h (x ) = |x | 2 − 6 |x | + 8 są ró wno w ażne. Be z wz ględu na stos o w an y zapis, p os tępu jem y zgo dn ie z tym c o p o dan o w p o wyżs zym fak c ie . Uw aga 1.25. P on ie w aż wiem y , że √ x 2 = |x |, zate m fu nk cja g dan a wz orem: g (x ) = ^p [f (x )] 2 jest ró wn a fun k c ji |f (x )| . Przykł ad 1.26. Zas tanó w m y si ę jak n aryso w ać wykr e s fun k c ji f (x ) = ^p x 4 − 4 x 2 + 4 . Pr z eksz tałćm y w y raże n ie p o d p ierwias tk ie m: x 4 − 4 x 2 + 4 = (x 2 − 2) 2 . Widać więc , że √ x 4 − 4 x 2 + 4 = ^p (x 2 − 2) 2 = |x 2 − 2 |. W ys tar c zy więc n as zkico w ać wykres fu nk cji y = x 2 − 2 i z astoso w ać o dp o wie d ni z faktó w p o d an yc h wyże j. 1. 5 Z adani a 1.5. 1 Zadania ot w arte Zadanie 1. Roz wiąż ró wnani e : a) |3 x + x 2 | = 2, b) |2 x − 4 | = 5, c) |4 x 2 + 5 x − 7 | = − 2, Zadanie 2. W z al e żnośc i o d parametru m p o da j licz b ę roz wiązań ró wnan ia: a) |2 x − 4 | = m , b) |x 2 − 5 x + 4 | = m , c) x 2 − 5 |x | + 4 = m , d) 3 |x | − 2 = m + 1,

e) 2 |x 2 + 3 x − 4 |+ m = 3, Zadanie 3. Roz wiąż p o dane nieró wnośc i: a) |3 x + 6 | ¬ 9, b) 2 |x | < 2, c) |x | − 1 ¬ 0,

d) |x − 4 | > 6, e) 2 |x | + 2 ­ |x |, f) |x | − 2 ­ 2 |x |,

g) |4 x 2 − 4 x + 3 | < 2, h) |x 2 + 6 x − 1 | > 15, i) (x − 2) 2 ¬ 1.

3.2 Nieró wnośc i wymierne. 17 4. P or z ąd kuj e m y ró wn anie d o p os taci: x 2 − 5 x + 4 = 0 i rozwiąz u jem y . Otr z ym uj e m y dw a p ie rwias tk i rz ecz ywiste : x 1 = 1 ∨ x 2 = 4.

5. Biorąc p o d u w agę zał ożenia z p un ktu 1, ok az u je się ż e tylk o x = 4 jes t

rozwiąz an iem dan e go ró wnan ia w y m ie rn e go.

W ten sp os ób otrz y m al iś m y o dp o wie d ź : x = 4.

3. 2 N ier ó w ności wy mi e rne .

P o d obn ie jak w p rzypad ku ró wn ań, p ok aże m y pr os ty i skut e cz n y al gorytm,

któr y p oz w ala rozwiąz y w ać ni e ró wności wymie rne. T ak jak p opr z edn io id e a algory tm u opi e ra się n a sp ro w ad z eni u d anej n ie ró w n oś ci wymiernej do o d p o- wiedni e j n ie ró w n oś ci wie lom ian o w ej.

Al gory t m rozwiązyw ania n ieró w ności w ymi ern yc h .

1. Wy pisuj e m y z ałoże n ia i roz wiązuj e m y je.

2. Wszys tk ie sk ładni ki prze n os im y na jedn ą ze str on nieró wnośc i i rozkła- dam y mian o wni ki wystę p uj ąc y ch u łam k ó w n a c zynn iki (o ile się d a), tak ab y moż n a b yło ok reś li ć na jmniejszy (w zględem stopn ia) w sp óln y

miano wnik .

3. S pro w adzam y cał e w y raże n ie do ws p óln e go miano wnik a.

4. Licznik rozkładam y na c zyn nik i (o il e jes t to moż li w e).

5. S tos u jąc p rz eksz tałce n ie tożs amośc io w e , z astępuj e m y ułame k w y stępu - jący z je d nej stron y nieró wnośc i, na w y raże n ie b ędące ilo cz yn e m li c znik a

i miano wnik a. Otr z ym uj e m y w ten sp osób nieró wność wielom iano w ą.

6. Rozw iąz u jem y ni e ró wność wielomiano w ą.

7. Uwzglę d niam y z ałoże n ia i p o d a je m y o dp o w ie d ź .

Przykł ad 3.6. Roz wiążem y ni e ró wność :

12 x − 4

x 2 − 2 x − 3 ¬ 3 x

x − 3 − x 2

x + 1 .

Bę d z iem y p os tę p o w ać zgo d nie z p o d an ym algoryt m em .

1. Założe n ia: x 2 − 2 x − 3 6= 0, x − 3 6= 0, x + 1 6= 0. Czyli: x ∈ R \{− 1 , 3} . 8 1.5 Zadan ia

Zadanie 4. Wierzc h oł k ie m par ab oli y = x 2 + bx + c jest p un kt P . P o d a j liczb ę roz wiązań ró wnan ia |x 2 + bx + c| = 3, je śli:

a) P = (1 ,− 1), b) P = (1 ,− 3), c) P = (1 , 3), d) P = (1 , 6).

Od p o wiedź zna jd ź p o sługu jąc się in terpr e tacją geo metrycz n ą!

Zadanie 5. Nary su j w y kres fu nk cji:

a) f (x ) = |4 x 2 − 3| , b) f (x ) = √ x 4 − 4 x 2 + 4, c) f (x ) = √ x 2 − 4 x + 4, d) f (x ) = 3 x 2 − 2| x | − 1,

e) f (x ) = − 2 x 2 − |x | + 3.

Zadanie 6. Roz wiąż ró wnani a i n ie ró wn oś ci.

a)    1 x +2    =    2 x − 1    , b) 4 |x |− 3 x = x ,

c)    2 x − 1 x +2    < 2,

d)    2 x − 5 x +3    > 1, e)    x

+2 x − 36 x

− 4    − 1 > 0,

f) |x − 1| + |x − 2| + |x + 1| + |x + 2| = 6,

g) |x 2 − x | = x − 1, h) 2 x 2 + |x | = 1, i) x 4 − 3 x 2 − |x 2 − 3| = 0,

Zadanie 7. Zapi sz w p os taci ja wnej wz ory fun k c ji g i h . Nas zkicuj w y kres y

fu nk cji f , g i h .

a) f (x ) = 1 − x 3 x +1 , g (x ) = |f (x )| , h (x ) = f (| x |), b) f (x ) = x − 5 x − 2 , g (x ) = |f (x )| , h (x ) = g (| x |), c) f (x ) = x 2 + 5 x + 3, g (x ) = f (| x |), h (x ) = |g (x )| , d) f (x ) = 1 |x | , g (x ) = f ( 1 x ), e) f (x ) = x +1 x − 1 , g (x ) = 2 x + 1, h (x ) = g (| f (x )| ).

Zadanie 8. Wyznacz w artość m ak symaln ą, min imalną oraz ekstrem a lok alne (j e śli istnieją) funk cji f .

16 3.1 Ró wnan ia wymiern e Wniosek: P amięta j - z an im zac zniesz u pr as zc zać (lub p rz eksz tałcać ) wz ór jak ie jk olwiek fun k c ji, ustal jak a jes t je j d z iedzin a! 3 .1 Ró w nania w ym ier ne Ab y szybk o i spr a wn ie roz wiązać ró w n anie wymie rne (c zyli takie, w której pr z y na jmniej p o je d nej stroni e ró wnośc i zna jd uj e si ę fu nk cja wymie rna), moż- na sk orz y stać z p on iż sze go algorytm u. T ak p o dan y al gorytm gw aran tuje z n a- lez ie n ie rozwiąz an ia k ażdego ró w n ania wymie rnego, p rzy z ałoże n iu, że umiem y rozwiąz y w ać ró w n ania wielom iano w e o dp o wie d niego stop nia. Al gor yt m rozwiązyw ania ró wnań w ym iern yc h. 1. Wy pisuj e m y założ enia i w razie p otrze b y rozwiąz u jem y je. (M ogą tu p o ja wić się nieró wnośc i, bąd ź w y klucze ni a p e wn yc h p o d z b ioró w z dzie- dzin y . C zas em wyni k a to z tr e śc i z ad ani a, a c zas em z samego ró wnan ia.) 2. M iano wnik i wystę p uj ąc y ch ułamk ó w (jeś li je st ic h kilk a) roz k ła d am y na cz yn nik i tak ab y łat w o b yło okreś li ć na jmniejszy wsp ól n y m iano wnik. 3. M nożym y obie stron y ró wnani a pr z ez n a jm n iejsz y w sp óln y mian o w n ik, tak ab y otrzymać ró wnan ie wielomiano w e . 4. Rozw iąz u jem y ró wnan ie wielomiano w e . 5. Uwzglę d nia jącą założ eni a i w ar unk i z p un ktu 1, p o da je m y roz wiązani e . Przykł ad 3. 5. Roz wiążem y ró wnan ie : 6 − 3 x x 2 + x − 2 = 1 x − 1 − x x + 2 . Bę d z iem y p ostę p o w ać zgo d nie z p o dan ym wyż ej algor ytm em: 1. Założe n ia: x 2 + x − 2 6= 0 ,x − 1 6= 0 , x + 2 6= 0. Z w ar unk ó w tyc h dosta je m y: x ∈ R \{− 2 , 1 } . 2. 6 − 3 x (x − 1)( x + 2) = 1 x − 1 − x x + 2 . 3. M nożym y obu st ronn ie p rze z (x − 1)( x + 2) i dosta je m y: 6 − 3 x = x + 2 − x (x − 1) .

1.5 Zadan ia 9 a) f (x ) = x 2 − 3 |x | + 2, b) f (x ) = |x 3 − 1 |,

c) f (x ) = | 1 − 2 x 1+ 2 x | + 3, d) f (x ) = 1 x + |3 x − 3 |. 1.5. 2 Zadania t es to w e Zadanie 9. Nary su j w u kładzie ws p ółrzę d n yc h figu rę F dan ą w zorami: ( |y | ­ 1 y < |x | Od p o wiedz n a p ytani a. a) Cz y fi gur a F ta m a p unk ty w sp ólne z figu rą dan ą n ieró w n oś cią x 2 + y 2 ¬ 1? Jeś li tak , to p o d a j ws p ółrzę d ne jednego z ni ch. b) C zy fi gura F ma śr o dek i/l ub oś syme tr ii? Jeś li tak, to p o d a j o dp o wie d nie wz or y / wsp ółrzę d ne. Zadanie 10. Zbi ór roz wiązań ni e ró wn oś ci |x − √ 2003 | ¬ | √ 2003 − x | jest: a) je dn o ele men to wy , b) dwuele men to wy ,

c) z a wiera jąc y zbiór h− 2003 , 2003 i. Zadanie 11. F unk cja f : R → R dan a w zorem f (x ) = x 2 − |x | − 2: a) je st n ieparzysta, b) m a jedn o maksim u m lok aln e ,

c) nie m a minimó w lok aln yc h . Zadanie 12. F unk cja f (x ) = |x + 2 |( x − 3) 2 + 1 p osiada: a) mini m um w p un k c ie x = 3, b) parzystą lic zb ę e k str e mó w ,

c) niepar z ystą licz b ę maksim ó w. Zadanie 13. Dan e są zbiory : A = { (x , y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ |x | > |y |} , B = { (x , y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ |xy | = 1 } . a) Zbi ory A i B są roz łącz n e (ni e m a ją pu nkt ó w ws p óln yc h).

15

w z al e żnośc i o d m . Nar ys u j w y kres fun k c ji y = g (m ), gd z ie g (m ) oznacz a ilość rozwiąz ań p o wyż sze go ró wnan ia p rzy dan ym m .

Zadanie 26. Wyk on a j p olec eni e z p oprzedni e go z ad ania d la ró w n ania:

−     2

x − 1     + 1 = m.

Zadanie 27. Nasz ki c uj w y kres fu nk cji:

a) f (x ) = 2 |x | , b ) f (x ) = 3 |x − 4 | , c) f (x ) = 1 |3 − x | + 1.

Zadanie 28. Wyk res fun k c ji f pr z es u ń o w e k tor ~u . P o d a j wz ór otr z ymanej fu nk cji. O kreś l je j d z iedzin ę , zbiór w artośc i, asymptot y i mie js ca z ero w e:

a) f (x ) = − 1 x , ~u = [0 , 3], b) f (x ) = 2 x , ~u = [− 2 ,− 1], c) f (x ) = − 2 x , ~u = [ 1 2 , 0].

Zadanie 29. Nasz ki c u j w yk res fu nk cji f (x ), p o da j ró w n anie os i sy m etrii wy-

kr e su oraz wsp ółrzędne śr o dk a symetrii:

a) f (x ) = 1 + 4 x , b) f (x ) = − 1 x +3 , c) f (x ) = 4 x − 1 − 3,

d) f (x ) = 2 x +3 − 1, e) f (x ) = − 1 x +2 − 2,

f) f (x ) = 2 − x +4 + 2.

3 F unk cj a wy mi e rna

Definicj a 3. 1. F unk cją wymie rną nazyw am y fu nk cje p ostac i:

f (x ) = W (x )

P (x ) ,

gdzie W (x ) i P (x ) są wie lom ianami i P (x ) nie jes t wielom ianem z ero wym.

F akt 3. 2. Dzie d ziną n atur alną fu n kcj i f (x ) = W (x ) P (x ) jest zbi ór w szystkich liczb

rze czywistych, d la który ch P (x ) 6= 0 .

Uw aga 3. 3. Pr z y p omnij m y , ż e dwie funk cje są ró wne, gdy ma ją te same

dziedzin y i wz ór je d nej z ni ch moż em y spro w adzić d o wzoru d rugi e j.

Przykł ad 3.4. F unk cja f (x ) = x (x − 2) x − 2 ni e jes t ró wna fu nk cji g (x ) = x , b o ic h d z iedzin y nie są takie same. Może m y nat om iast n apisać , ż e f = h , gd z ie

h (x ) = x , dl a x ∈ R \{ 2} . 10 1.5 Zadan ia

b) Z b iór A ∪ B ma co na jmniej dwie o sie syme trii.

c) Zbiór A \ B ma śro d e k syme tr ii.

Zadanie 14. Ró w n ani e || x − 2| − 2| = m (z n iew iadomą x ):

a) ma d okładn ie d w a rozwiąz an ia dla m = 4,

b) m a dok ład ni e trzy roz wiązani a d la p ewnego m ,

c) dla m > 2 su m a rozwiąz an ia wynosi − 4.

Zadanie 15. Nieró wność 1 − x |x | ¬ 1 sp e łn ia ją:

a) ws zystkie licz b y d o datn ie,

b) w sz y stk ie liczb y c ałk o wite , c) w szys tk ie licz b y całk o wite d o d at- ni e .

Zadanie 16. Ró w n ani e || x − 2| − 1| = a ma tr z y róż n e pierwiastki. Zatem :

a) a = − 1,

b) su m a tyc h p ierwiastk ó w ró wna jes t 6,

c) pierwiastki te są wyr az ami p e wnego c ią gu arytme ty c znego.

Zadanie 17. Roz wiąż ró wnani e : |x | 3 − x 2 + |x | − 1 = 0.

a) Ró wnani e to m a wię cej niż 3 p ie rwias tk i.

b) Suma pierwiastk ó w ró wna je st 0.

c) Ró wn anie to ma ty le sam o pi e rwiastk ó w d o dat nic h c o uj e mn yc h.

Zadanie 18. Nary su j figu ry:

A = { (x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ (y − x ) 2 ¬ 4} ,

B = { (x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ |x | ¬ 4} .

Figu ra A ∩ B :

a) je st ogr aniczona, b ) m a oś syme tr ii, c ) ma śr o dek symetrii .

Zadanie 19. Zbi ore m rozw iąz ań n ieró w n oś ci: 1 |2 − x | > 1 jes t:

14 2.4 Zadan ia 2. tr aktuj ąc as y m p tot y jak o „no wy układ ws p ółrzę d n yc h ” rys u jem y wykres fu nk cji y = B x , k orzysta jąc z me to d y p ok azanej w p opr z edn im p o d roz - dziale. Uw aga 2. 12. P o wyżs za me to da jes t p opra wna, p oniew aż ryso w ani e w y kre- su y = B x w „n o wym u kładzie ws p ółrzę d n yc h ” je st tożs ame z pr z es u nięc ie m fu nk cji y = B x o w ektor ~u = [C , A ]. F akt 2.13 (włas n oś ci fun k cji homografi c znej) . Jeśl i f (x ) = A + B x − C , gdzie B 6= 0 , to: 1. Dzi edziną funkcji f jest zbiór: R \{ C } , na tomi ast zbior em wartości: R \{ A } . 2. F unkcj a f nie jest monoton iczna! Jest je dynie pr ze działa m i rosnąc a (gdy B < 0 ) lub pr ze działa m i mal ejąc a (gdy B > 0 ). 3. Jest to fu n kcj a różno wartościowa, a co za ty m idzie ma funkcję o dw rot ną, daną w zor em f − 1 (x ) = C + B x − A . 2 .4 Z adani a Zadanie 22. Nasz ki c u j w y kres fu nk cji: a) f (x ) = x − 2 x − 3 , b) f (x ) = 2 x − 1 x − 1 , c) f (x ) = 2 x +8 x +3 . Dla k ażdej z fun k c ji p o da j dzie d z inę, zbiór w ar toś ci i om ó w monoton icz n oś ć k aż d e j z tyc h fun k c ji. Zadanie 23. Nasz ki c u j w y kres fu nk cji : a) f (x ) = 3 x +4 x +1 , b) f (x ) = − 2 x +5 x − 3 ,

c) f (x ) = 4 x 2 x − 1 , d) f (x ) = 2 x +3 ,

e) f (x ) = − 2 x − 1 x +1 , f) f (x ) = 3 x − 7 x − 2 . Zadanie 24. Nasz ki c u j w y kres fu nk cji . a) f (x ) = 1 |x |− 1 , b) f (x ) =    1 x − 1    ,

c) f (x ) = 1 |x |+2 − 1, d) f (x ) =    1 x +2 − 1    ,

e) f (x ) =

   1 |x | − 4

   . Zadanie 25. Okr e śl licz b ę roz wiązań ró wnani a:     4 |x | − 2     = m

11 a) R \h 1; 3 i, b) (1; 3), c) R \{ 2 } . Zadanie 20. Jeś li A = { (x, y ) : x, y ∈ R ∧ |xy | = 1 } to: a) p ros ta y = x jest osią sy m etrii zbi o ru A , b) os ie u kładu w sp ół rz ędn yc h są osiami symetrii zbior u A , c) śro dek układ u w sp ółrz ędn yc h je st śro dki e m syme trii zbioru A . Zadanie 21. F unk cja f okr e ślona jes t wzore m: f (x ) = |x |+2 |x |+1 . a) P o cho d na f jest d o dat nia dla x < 0 i ujemna dla x > 0. b) F un k c ja f ma maksim u m lok aln e w p un k c ie x = 0. c) Wykr e s fun k c ji f jest syme tr yc zn y wz gl ę d e m os i O Y . 2 F unk cj a hom og r aficzna Definicj a 2.1 (f unk cja h om ografi c zna) . F unk cją h om ogr aficz n ą n az yw am y fu nk cję p ostac i: f (x ) = ax + b cx + d , gdzie c 6= 0 oraz

     a b c d

     6= 0. Uw aga 2. 2. Zau w aż m y , ż e w aru nek c 6= 0 gw aran tuje, ż e p o w y ż sz a fu nk cja ni e je st fu nk cją linio w ą, b o jeś li c = 0, to wte d y wz ór fu nk cji p rzyjął b y p ostać: f (x ) = a d x + b d . Dru gi w aru nek gw ar an tu je natomiast, że p roste w y stępu jące w li c znik u i miano wni ku nie są ró wn ole głe, a stąd, ż e wyr aż enie ax + b cx + d jest ni e skracalne. 2. 1 Wy kr es funk cji hom og r aficznej Wyk re sem k aż d e j fun k c ji h om ogr aficz n e j je st hip e rb ol a. S kłada się ona z d w ó ch rozłąc zn yc h gałęz i „u wiąz an yc h ” p om iędzy asymptotami. Każda h ip e rb ola m a dwie os ie symetrii oraz pu nkt sym etri i. F akt 2.3 (o asymptotac h) . F unkcja homo gr afi czna f (x ) = ax + b cx + d ma dwie asym pt oty: • pionow ą, dan ą rów naniem x = − d c , • p oziomą, dan ą rów naniem y = a c .

2.3 Własnośc i fun k c ji h omograficz n e j 13 Przykł ad 2. 7. Narysuj m y teraz wykr e s fu nk cji y = 6 x . T u w y go dn ie jes t p o dsta w iać z a x k olejn e p o d z ie ln iki licz b y 6, c o da je nam nas tę p ujące pu nkt y : (1 , 6), (2 , 3), (3 , 2), (6 , 1). Dalej p os tę p ujem y tak jak w p op rze d nim pr z yk ła- dzie.

Przykł ad 2.8. T eraz n arysuj m y wyk res y = − 4 x . Za x ws ta wiam y p o dzie lniki liczb y 4: (1 ,− 4), (2 ,− 2), (4 ,− 1). D ale j p os tępu jem y tak jak w p op rze d nic h

pr z yk ładac h .

Uw aga 2.9. Zau w aż m y , ż e hi p erb ola otr z ymana w os tatn im z przykład ó w jest inacze j umiejsc o wiona w układ z ie ws p ółrzę d n yc h n iż dwie p op rze d nie.

Rz ec zywiśc ie je śli B > 0 to h ip e rb ola y = B x leż y w I i II I ćw iartce , n atomias t gdy B < 0 to h ip e rb ol a ta leż y w II i IV ć wiar tc e u kładu wsp ółr z ędn y ch.

2. 3 Włas ności funk cji ho mo graficzne j

F akt 2.10. Każdą fu n kcj ę homo gr aficzną f (x ) = ax + b cx + d można zapisać w p o- staci:

f (x ) = A + B

x − C , gdzie B 6= 0 .

Uzas adni enie: Rz ecz ywiśc ie , wystarc zy na jp ie rw p o dzielić lic zni k i mia-

no wni k przez c, co d a je f (x ) =

x +

x +

a nastę p ni e , n p. p o dzielić pise mn ie ( a c x + b c ) : (x + d c ). Wt e d y A = a c , C = − d c , n atom ias t B jest res ztą z tego dziele n ia.

Przykł ad 2.11. P ok aż em y p rakt yczne zas toso w an ie p o w y ż sz ego faktu :

• fu nk cję f (x ) = 4 x +3 x − 1 moż n a p rze d sta wić ró wn ie ż jak o f (x ) = 4 + 7 x − 1 ,

• fu nk cję f (x ) = 3 x +1 x +1 moż n a p rze d sta wić ró wn ie ż jak o f (x ) = 3 + − 2 x +1 ,

• fu nk cję f (x ) = 3 x +1 2 x − 1 moż n a p rze d sta wić ró wn ie ż jak o f (x ) = 3 2 +

x −

.

Pr z edsta wie n ie fu nk cji homografi c znej w p ostac i z p o wyżs ze go fakt u ok a- zuje się bard z o p ożytec zne, jeśli chce m y wyk onać sz yb k o i d oś ć dok ładni e

wykres fun k c ji homograficznej. Mi ano wic ie , ab y n aryso w ać wyk re s fu nk cji ho- mograficz n e j, ma jąc ją w p os taci f (x ) = A + B x − C , p ostę p uj e m y w następuj ąc y sp osób:

1. zaz n ac zam y asymptot y , k tóre są p ostac i: x = C oraz y = A , 12 2.2 Hip erb ole p o dsta w o w e

Al gor yt m rys o w ania wykr esó w funk cji homograficzn yc h. Ab y nar y- so w ać p rz y bli ż on y wykr e s fun k c ji f (x ) = ax + b cx + d nal e ży:

1. wyznacz y ć i nary so w ać as ymp tot y te go wykres u ,

2. wyznacz y ć p rzyna jmni e j jeden pu nkt te go w y kres u (ws ta wia jąc za x do w olną lic zb ę , d la kt óre j łat w o wyli c zyć w ar toś ć f (x ), or az wsz ystki e pu nkt y syme tr yc zne do te go p unk tu,

3. n as zkico w ać as y m p totę pr z ec ho dząc ą p rze z otr z ymane p un kt y , pamięta- jąc o asymptotac h.

Przykł ad 2. 4. Ab y n as zkico w ać wykr e s fun k c ji f (x ) = 3 x x − 1 nal e ży:

1. n aryso w ać asymptot y x = 1 oraz y = 3,

2. p oni e w aż f (0) = 0, to zaznacz am y pu nkt (0 , 0) oraz pu nk ty do n ie go sym etry c zne, c zyli: (− 2 , 2), (4 , 4), (2 , 6),

3. rys u jem y k olejn o k ażdą z gałę zi pamięta jąc o dąże n iu do asym p tot.

Uw aga 2. 5. Cz ęs tym p rob le mem jes t znal e zienie pu nk tu syme tr ycz n e go d o dan e go. P omo c n y moż e b yć nastę p uj ąc y algorytm. P o pierwsz e orien tu jem y

zadan y pu nkt wz ględem pu nkt u p rze cięc ia si ę asymptot . W p o wyżs zym pr z y - kład z ie p un kt (0 , 0) le ży 1 w le w o, 3 w d ół o d pun ktu p rz ecię cia as ymp tot. Pi e rw sz y pu nk t otrzymam y pr z es ta wia jąc sam e li c zb y , tzn b iorąc p un kt k tóry jest 3 w le w o i 1 w d ół o d pu nktu p rze cięc ia asym p tot. Jes t to pu nkt (− 2 , 2).

Nastę p ne dw a p un kt y ot rz y m am y p rze z zam ianę „ w lew” na „ w pra w o” (i o d - wrotn ie ) oraz „ w górę” na „ w dół ” (i o d wrotni e ), c zyli dokład nie: 1 w pr a w o, 3 w górę (pu nkt (2 , 6)) oraz 3 w pra w o i 1 w gór ę (pu nkt (4 , 4)).

2 .2 H ip er b o le p o dsta w o w e

Ab y u z ysk ać dokład niejsz y wyk re s fun k c ji homografi c znej, trze b a nauczyć si ę na jp ierw rys o w ać wykresy ty pu y = B x , gdzie B 6= 0.

Asym p totami tyc h w y kres ó w są osie układ u w sp ó łr z ędn y ch, osiam i sym e- tri i p ros te : y = x oraz y = − x , a śr o dki e m syme tr ii je st p unk t (0 , 0). Każ d a z tyc h fun k c ji jes t n ie p arzys ta.

Przykł ad 2. 6. Nary su jm y wyk re s fu nk cji y = 1 x . Wsta w iam y za x liczb y łat w e do oblicze ń i dosta je m y na pr z yk ład n as tę p ujące p unk ty wyk re su: (1 , 1), (2 , 1 2 ), ( 1 2 , 2). P oz w ala to n as zkico w ać pr a w ą gałąź h ip e rb ol i. Kor z ysta jąc z ni e p arzys tości moż em y z aznaczyć na wyk res ie p unk ty: (− 1 ,− 1), (− 2 ,− 1 2 ), (− 1 2 ,− 2) i rysuj e m y le w ą gał ąź.