Seria: TR A N SPO R T z. 43 N r kol. 1529
B ogusław Ł A ZA R Z
ZIDENTYFIKOWANY MODEL DYNAMICZNY PRZEKŁADNI JAKO PODSTAWA PROJEKTOWANIA
S treszczen ie. W artykule przedstaw iono now ą propozycję m etody projektowania przekładni zębatych. W m etodzie tej model dynam iczny przekładni zębatej w układzie napę
dow ym je s t w ykorzystany do w yznaczania obciążeń zębów.
ID EN TIFIC A TIO N TO O TH ED G EA R DYNAM ICS M ODEL AS A BA SE OF DESIGN
Sum m ary. The paper presents new propose o f a toothed gear design m ethod. In this m ethod dynam ic m odel o f toothed gear in pow er transm ission has been used to determ inate loads in m eshing
1. W STĘP
W obliczeniach w ytrzym ałościow ych przekładni zębatych w przypadku w yznaczania ob
ciążenia zębów uw zględnia się jego zm ienność w układzie napędowym , nadw yżki dynam icz
ne generow ane przez przekładnię, nierów nom ierny rozkład obciążenia w zdłuż linii styku, nierów nom ierny rozdział obciążenia na pary zębów, będące jednocześnie w przyporze. Zgod
nie z norm ą ISO całkow item u obciążeniu zębów odpow iada iloczyn tych współczynników . Taki sposób postępow ania m oże prowadzić do istotnych niedokładności, poniew aż w ym ie
nione czynniki są w zajem nie ze sobą pow iązane i w ystępują pom iędzy nim i sprzężenia zwrotne.
2. W Y Z N A C Z A N IE C A Ł K O W IT E G O O BC IĄŻ EN IA ZĘ BÓ W W G N O R M Y ISO
Trw ałość kół zębatych w przekładni ograniczają uszkodzenia zębów. Obecnie rozróżnia się kilka rodzajów uszkodzeń zębów, takich jak:
złam anie, - pitting,
zużycie ścierne, zatarcie.
W przypadku najczęściej stosow anych w budow ie przekładni zębatych kół utw ardza
nych pow ierzchniow o o ich trwałości decydują takie uszkodzenia, ja k złam anie zęba i pitting.
Zgodnie z no rm ą ISO w ytrzym ałość boku zęba na pitting oraz w ytrzym ałość podstawy zęba na złam anie opiera się na porów naniu odpow iednio w ystępujących i dopuszczalnych
138 B. Łazarz
naprężeń stykow ych oraz w ystępującego m aksym alnego i dopuszczalnego naprężenia u pod
stawy zęba.
O bliczeniow e naprężenia stykow e przy w ykorzystaniu teorii Hertza w yznacza się w spo
sób opisany dokładnie w [Jask T l].
a HP - dopuszczalne naprężenie stykowe.
W artość nom inalnego naprężenia stykow ego crH0 występującego w biegunie zazębienia idealnej bezodchyłkow ej przekładni przy prędkości obrotowej zbliżonej do zera oblicza się na podstaw ie siły m iędzyzębnej, w ym iarów , m odułu Y ounga m ateriału kół i w spółczynników uw zględniających geom etrię zęba, takich jak:
Z H - uw zględniający krzyw iznę boków zęba w biegunie zazębienia oraz przeliczenie siły obw odow ej na w alcu podziałow ym na siłę norm alną do pow ierzchni zęba,
Z c - uw zględniający w pływ długości linii styku, Zp - uw zględniający w pływ kąta pochylenia linii zęba.
N aprężenie stykow e a H w ystępujące w przekładni rzeczywistej oblicza się na podstawie naprężenia a H0 w spółczynników obciążenia i w spółczynnika Z B dla zębnika oraz Z D dla koła.
W spółczynniki Z B lub Z n pozw alają ocenić m aksym alne naprężenia stykow e dla zębni
ka lub koła, je śli naprężenia te w ystępują w innym położeniu niż biegun zazębienia.
W spółczynniki obciążenia uw zględniają w pływ następujących czynników:
Kah - zm ienność obciążenia potrzebną do przeliczania obciążenia nom inalnego na rów no
ważne,
K rH - nadw yżki dynam iczne generowane przez przekładnię, K Hp - nierów nom ierny rozkład obciążenia w zdłuż linii styku,
K Ha - nierów nom ierny rozdział obciążenia na pary zębów będące jednocześnie w przypo-
N om inalne naprężenia u podstaw y zęba a FU, które w ystępuje w idealnej bezodchyłkowej przekładni przy prędkości obrotowej dążącej do zera, zależą od siły obw odow ej, w ym iarów i w spółczynników uw zględniających geom etrię zęba, takich jak:
Yf - uw zględniający w pływ ram ienia zginającego i grubości zęba na naprężenia gnące u podstaw y,
Ys - uw zględniający w pływ zw iększenia naprężeń wskutek działania karbu i złożonego stanu naprężeń,
Yp - uw zględniający w pływ kąta pochylenia linii zęba.
O bliczeniow e naprężenie u podstaw y zęba opisuje zależność:
o FP - dopuszczalne naprężenie u podstawy zęba.
N aprężenia u podstaw y zęba a F w ystępujące w rzeczywistej przekładni oblicza się na podstaw ie naprężenia a FO i w spółczynników obciążenia K AF, K vF, K Fp, K Fa uw zględniają
cych odpow iednio takie sam e czynniki ja k w przypadku w yznaczania naprężenia stykowego.
0 ) gdzie:
rze.
° Y - ° V o ' ^ a f ' K vF • K Fp ■ K Fa < a FP (2) gdzie:
W spółczynniki zastosow ania K AH i K AF uw zględniają w pływ odchyleń rzeczywistego obciążenia od w artości obciążenia nom inalnego na w ytrzym ałość przekładni. W spółczynniki te w yznacza się w ykorzystując hipotezy kumulacji uszkodzeń zm ęczeniow ych na podstawie w idm a obciążenia i linii obciążalności w ykresu zm ęczeniowego Wóhlera. W idm o obciążenia m ożna otrzym ać na podstaw ie pom iarów przeprow adzanych w czasie eksploatacji lub też m ożna zastosow ać ogólne w ytyczne pozw alające określić przybliżone w artości w spółczynni
ków zastosow ania K AH i K AF.
Pom iary rzeczyw istych sił m iędzyzębnych są bardzo trudne do przeprow adzenia w wa
runkach eksploatacyjnych i dlatego najczęściej w yznacza się w idm a obciążeń zew nętrznych, które różnią się od w idm obciążeń zębów na skutek oddziaływ ań dynam icznych elem entów układu napędow ego, biorących udział w przekazyw aniu tych obciążeń. Ponadto, na etapie konstruow ania przekładni zębatej w idm a te nie m ogą być w yznaczone na drodze pomiarowej, poniew aż konstruow ana przekładnia nie istnieje fizycznie i konstruktor jest zm uszony do sto
sow ania przybliżonych wartości w spółczynników K AH i K AF.
Rys. 1. Współczynnik K w funkcji częstotliwości zmian prostokątnego przebiegu momentu obciążenia Mh dla przekładni pracującej w układzie napędowym, przedstawionej w [3]
Fig. 1. Coefficient K a s a function of frequency rectangular course o f load torque in case spur gear with toothed wheels working in power transmission system [3]
N a rysunku 1 pokazano, że zm iany sił dynam icznych w zazębieniu zależą w istotny spo
sób od częstotliw ości zm ian obciążenia zew nętrznego i dlatego nie zaw sze zm iana obciążenia zew nętrznego pow oduje ta k ą sam ą zmianę sił m iędzyzębnych.
W spółczynniki dynam iczne K vti i K rF m o g ą być w yznaczane różnym i m etodam i (rys. 2).
W m etodzie B, najczęściej w ykorzystyw anej na etapie konstruow ania, rzeczyw isty przebieg w spółczynników K vli i K vF w funkcji bezwym iarowej prędkości obrotowej przybliża się liniami prostym i, ja k to przedstaw iono na rys. 2. W ielkością odniesienia dla bezwym iarowej prędkości obrotow ej je s t podstaw ow a prędkość rezonansow a zębnika, przy której m a miejsce rezonans głów ny. Prędkość ta je st w yznaczana na podstaw ie jednom asow ego m odelu prze
kładni i odpow iada częstości drgań w łasnych tego modelu. Przyjęte w tym przypadku uprosz
czenia, takie ja k zastąpienie przebiegu zm ian w spółczynników dynam icznych liniami prosty-
140 B. Łazarz
mi oraz traktow anie przekładni jako wyizolow anego z zespołu m echanizm u przybliżonego uproszczonym m odelem jednom asow ym , m ogą być źródłem znacznych niedokładności.
Rys. 2. W spółczynnik dynam iczny Kv w funkcji częstości zazębienia fz (prędkości odniesienia N).
Przekładnia jednostopniow a o zębach prostych bez modyfikacji, m =4, 5 klasa dokładności wykonania, obciążenie jednostkow e F,/b=400 N/mm
Fig. 2. Dynam ie coefficient Kv as a function o f meshing frequency fz : single-stage spur gear with toothed w h eels without m odification o f toot profile, module m =4, 5 rank quality o f work, unitary load F,/b=400 N/mm
W całym układzie napędow ym w ystępuje w rzeczyw istości wiele prędkości rezonanso
w ych zw iązanych z w łasnościam i dynam icznym i elem entów tego układu oraz charakterysty
kami dynam icznym i silnika napędzającego i m aszyny roboczej. Ponadto szczególnie w przy
padku przekładni z kołam i o zębach prostych m ogą występować rezonanse param etryczne przy prędkościach odpow iadających 1/2,1 /3 ,1 /4 prędkości rezonansu głów nego. Przy m a
łych obciążeniach m oże również następow ać utrata styku pomiędzy w spółpracującym i boka
mi zębów, a potem uderzanie zębów o siebie. Uderzenia te generują im pulsy siły o dużych w artościach. Jest to tak zwane zjawisko grzechotania przekładni analizow ane miedzy innymi w [2],
Pom iniecie w pływ u tych czynników m oże prowadzić do różnic pom iędzy rzeczyw istym i i przyjm ow anym i do obliczeń wartościam i nadw yżek dynam icznych.
W spółczynniki K Hp i K Fp uw zględniają w pływ nierównom iernego rozkładu obciążenia w zdłuż linii styku zębów. Stopień nierów nom iem ości rozkładu zależy od. następujących czynników:
- dokładności w ykonania kół zębatych, a w szczególności od dokładności linii zęba, za
rysu i podziału,
- w spółosiow ości elem entów zw iązanych z kołami zębatymi, odkształcenia sprężystego elem entów przekładni,
luzów łożyskow ych,
odkształceń zębów spow odow anych naciskiem i zginaniem, - odkształceń term icznych w skutek tem peratury pracy, - odkształceń w yw ołanych siłą odśrodkow ą,
- m odyfikacji linii zęba,
całkow itego obciążenia obw odow ego z uw zględnieniem w spółczynnika zastosow ania i w spółczynnika dynam icznego,
dodatkow ych obciążeń w ałka pochodzących z zewnątrz, geom etrii kół.
W spółczynniki K Ha i K ha uw zględniają w pływ nierów nom iernego obciążenia na pary zębów, znajdujące się jednocześnie w przyporze odpow iednio na naprężenia stykow e i naprę
żenia u podstaw y zęba. W spółczynniki te są zdefiniowane jako stosunek m aksym alnego ob
ciążenia zęba w ystępującego w przyporze pary kół przy prędkości obrotowej bliskiej zera do odpow iadającego m aksym alnego obciążenia zęba podobnej pary kół wolnej od błędów w y
konania, czyli idealnie dokładnej.
G łów nym i czynnikam i w pływ ającym i na wartość tych w spółczynników są:
- odkształcenia pod obciążeniem , - m odyfikacja zarysu,
- dokładność w ytw orzenia zęba, - docieranie.
W ym ienione wcześniej czynniki w pływ ające na stopień obciążenia zębów kół są ze sobą w złożony sposób powiązane. Skom plikowane nieliniow e zależności pom iędzy nimi uw zględniono w zaproponow anym m odelu dynam icznym układu napędow ego z przekładnią zębatą [3, 4].
3. PR O PO Z Y C JA N O W E J M ETO DY PRO JEK TO W ANIA
Biorąc pod uw agę w yniki badań i analiz przedstaw ionych w pracy, m ożna zaproponować w ykorzystanie tak skonstruow anego i zidentyfikow anego m odelu do w yznaczenia rozkładu obciążenia w zdłuż linii styku zębów i na tej podstaw ie określenie sum arycznego w spółczyn
nika obciążenia K h- H , który zastąpiłby iloczyn w yznaczanych oddzielnie w spółczynników
K a ■ K v ■ K F Hp ■ K F Ha .
Sum aryczny w spółczynnik obciążenia m ożna w tym przypadku w yznaczyć z zależności:
K F (3)
K , a ,
gdzie:
w max - m aksym alne obciążenie jednostkow e, w stai - średnie statyczne obciążenie jednostkow e.
Taki sposób postępow ania je st szczególnie istotny w tych przypadkach, gdy przekładnia m a pracować w w arunkach zm iennego obciążenia, gdyż um ożliw ia dokładną ocenę obciążeń kół zębatych przekładni w układzie napędowym . Zastosow anie tego sposobu postępow ania pozw ala na uniknięcie znacznych błędów w yznaczania obciążenia zębów kół w ystępujących w przypadku stosow ania dotychczasow ych metod obliczeń, w których nie uw zględnia się wzajem nego oddziaływ ania różnych czynników zew nętrznych i w ew nętrznych, w ystępują
cych podczas pracy przekładni w układzie napędow ym .
Ponadto model może być w ykorzystany do sym ulow ania zużycia przekładni i uszkodzeń zębów kół na potrzeby diagnostyki.
Literatura
1. Jaśkiew icz Z., W ąsiewski A.: Przekładnie walcow e. W ydaw nictwo K om unikacji i Ł ącz
ności, W arszawa 1992.
2. K rupa A.: W spółzależność drgań param etrycznych i w ym uszonych w układzie z prze
kładnią zębatą. R ozpraw a doktorska Politechnika W arszawska, 1995.
142 B. Łazarz
3. Łazarz B .,W ojnar G.: Identyfikacja strat mocy w przekładni zębatej walcowej. Zeszyty N aukow e Politechniki Śląskiej s. Transport z.43, G liwice 2001.
4. Łazarz B .,W ojnar G.: Model dynam iczny układu napędowego z przekładnią zębatą. XVII O gólnopolska K onferencja Przekładnie Zębate, W ęgierska G órka 2000.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Zbigniew Dąbrowski
A b s tra c t
The paper presents results o f analyse ISO m ethod o f determ inate a load o f tooth in gear.
On this base author propose a new m ethod o f a toothed gear design. In this method dynamic model o f toothed gear in pow er transm ission has been used to determ inate loads in meshing.
