ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ S e r i a : ELEKTRYKA z. 86
U
___1
________ 1983 Nr kol. 758
t
Roman KONIECZNY
ZMODYFIKOWANY MO D E L MA TE MATYCZNY ST3+OP2
WSPÓŁPRACY KILKU OOBIERAKÓW PRĄDU Z SI EC IĄ TRAKCYONĄ.
S t r e ez cz en le. w artykule przedstawiono koncepcję, założenia oraz równania różniczkowe, zeodyflkowanego modelu matematycznego współ
prac y kilku odbieraków prędu z sieclę trakcyjne. Model ten, prze
znaczony do wykonywania obliczeń symulacyjnych przy użyciu kompute
ra, umożliwia prowadzenie badań bardzo trudnych do realizacji w wa
runkach plenerowych.
1. Wprowadzenie
Współpraca dynamiczna odbleraka prędu z siacie trakcyjne może być od
wzorowana przy użyciu Jednego z kilkunastu znanych modeli matematycznych.
M o de le te w pracy £7] podzielono na dwa zasadnicze typy: ST (sieć trak
cyjna) i OP (odblerak prędu), numerujęc według stopnia złożooości.
Modele matematyczne odwzorowujące sieć trakcyjne sę naatępujece:
a) Model typu ST1 - w którym sieć trakcyjna odwzorowana Jeet Jako układ z 1 stopniem swobody. Masa zastępcza sieci zawieszona Jest na sprężynie - reprezentującej sztywność sieci, równolegle wleczony Jest tłumik hy
drauliczny - reprezentujecy tarcie lepkie w sieci, uwzględnione Jest również tarcie suche. Parametry: masa, sztywność, współczynnik tarcie lepkiego oraz eiła tarcia suchego zależne sę od drogi lub czasu (np.
model Graj narta przedstawiony w pracy [5] ).
b) Model typu ST2 - w którym sieć trakcyjna odwzorowana Jest Jako układ z 2 stopniami swobody. Różnica w stosunku do modelu ST1 polega na roz
dzieleniu parametrów sieci na dwe podukłady: linę nośne oraz drut Jezd
ny (np. model Frajfelda opisany w pracy [4] ).
c) Model typu ST3 - w którym sieć trakcyjna odwzorowana Jest Jako cięg segmentów. Każdy segment Jeet modelem typu ST1 o stałych parametrach.
Segmenty poleczone aę ze sobe nieważką nicięjJ naciągu N (np. model M o r risa opisany w artykule [l] ).
d) Mo de l typu ST4 - w którym sieć trakcyjna odwzorowana Jest Jsko układ n nas skąpionych. Odwzorowane se wszystkie podukłady sieci: lina nośna, drut jezdny, linka uelastyczniajęca Y (np. modele Fishera [3] , Scotta i Rothnana [s] ).
120 R. Konieczny
W grupie aodeli elecl trakcyjnej należy uwzględnić jeezcze(według przy
jętej w pracy [7] konwencji) typ S T 5 , w którya sieć odwzorowana Jest w postaci drgającej struny lub belki ns podłożu sprężysty* (np. [6] ).
Mo de le matematyczna odwzorowujące odbierak prądu są następujące:
a) eodel typu 0P1 - w który» odbierak prądu odwzorowany Jest jako układ z 1 atopniea swobody (np. £5] ),
b) eodel typu 0P2 - w który» odbierak prądu odwzorowany jest Jako układ z 2 stopniaal swobody (np. £2] ).
c) aodal typu 0P3 - w którya odbierak prądu odwzorowany jest jako układ z 3 stopniaal swobody (model ten przeznaczony jest do odwzorowania od- bierąk,ów piętrowych).
Oo symulacji współpracy 1 odbieraka prądu z siecią trakcyjną przy uży
ciu komputera stosowany jest najczęściej model typu ST1+0P2 (przedstawia
ny n.ln. w artykule £2] ). Model ten zmodyfikowano w prac.y [7] . Oo symu
lacji współpracy kilku odbieraków prądu z siecią trakcyjną. Jako najbar
dziej typowe, mogą być stosowane modele: ST3+0P2 (Morrisa £l] ) oraz ST4+
+0P 2 (Fishera £3] lub Scotta i Rothaane ¡8]). Modele te posiadają jednak pewne wady. Oprócz nieuwzględnienia tarcia suchego w sieci trakcyjnej, składowych aerodynamicznych działających na odbierak oraz czynników do
datkowych (co jeszcze Jest do poprawienia) - modele te są niewygodne w programowaniu, arymagają komputerów o dużej pojemności pamięci operacyj
nej; a w przypadku modelu ST4+OP2 wymagają również bardzo długiego czasu obliczeń. Przykładowo: czas trwania przebiegu symulacyjnego dla modelu Fishera, odwzorowującego 3 przęsła zawieszenia sieci trakcyjnej, realizo
wanego na maszynie cyfrowej IBM-370/145 w systemie CSMP - wynosi ok. 90 minut. Ols dłuższych serii obliczeniowych (np. optymalizacja parametrycz
na) czae ten jest nie do przyjęcia.
2. Koncepcie zmodyfikowanego modelu ST3+0P2
Koncepcja modelu oparta Jest na schematach współpracy odbieraka prędu z siecią trakcyjną przedstawionych w artykule £l] oraz w pracy [7] . Z a względu na małe znaczenie drgań poziomych, rozpatrywane są tylko drgania w płaszczyźnie pionowej. Sieć trakcyjna odwzorowana Jest Jako układ o n stopniach swobody (modal S T 3 ), odbierak prądu natomiast jako układ o 2 stopniach swobody (model 0P2). Koncepcję modelu ST3+0P2 ilustruje rys. 1.
Pozostałe założenia wyjściowe są następujące:
- odcinek sieci trakcyjnej (strefa odwzorowania) podzielony Jest na n segmentów;
- każdy segment składa się z masy zawieszonej na sprężynie oraz uwzględ
nia tarcie lepkie 1 suche;
- odległości między segmentami są jednakowe;
Znodyfikowany aodel matematyczny S T 3 + O P 2 . . 121
KoncepcjamodeluST3+0P2
Zm od yfikowany model matematyczny ST3+0P2.. 123
- masy połączone są nieważką nici« o naciągu N;
- aasy aę atała i Jednakowe dla wszystkich segmentów;
- pozostałe para me tr y segmentów: sztywność sprężyny, współczynnik tarcia lepkiego oraz siła tarcia suchego - sę zmienne;
- ilość rozpatrywanych pr zęs«£ (strrta symulacji) uzależniona jest od liczby ws półpracujących z siecią odbiaraków prądu;
- liczba rozpatrywanych odbleraNów nie jest ograniczona;
- odbieraki prądu przemieszczają się wzdłuż sieci trakcyjnej z jednakową i stałą prędkością;
- w chwili rozpoczęcia symulacji sieć trakcyjna oraz odbieraki prądu znaj
dują się w stanie nlewzbudzonya (zerowe warunki początkowe);
- uwzględnione są siły składowe pochodzenia aerodynamicznego;
- uwzględnione są drgania pudła lokomotywy;
- uwzględniony Jest zwis wstępny araz profilowanie sieci;
- w modelu mogą być uwzględnione czynniki dodatkowe (np. działanie wia
tru);
- w mo de lu mogę być uwzględniona odchyłki o określonej tolerancji od war
tości nominalnych parame tr ów układu (zmienne losowe).
3. .luwnanla różniczkowe modelu
Na podstawie podanych założeń opracowano schemat zastępczy zmodyfiko
w a ne go modelu matematycznego ST3+0P2 współpracy kilku odbieraków prądu z siecią trakcyjną. Rys. 2 przedstawia fragment modelu, na którym pokazana Jest współpraca i-tego segmentu z K-tya odbleraklea. Na rys. 3e pr zedsta
wiono siły działające na poszczególne masy układu. Si ła F, będąca w y n i kiem oddziaływania segmentów sąsiednich, jest zilustrowana szczegółowo na rys. 3b.
Równania ruchu segmentu aleci trakcyjnej ws półpracującego z odbiera- kiem prądu, wy pr owadzone na podstawie za sady d'Alemberts, są następujące:
■ 8i * i + b 6 i (t)*i ♦ ks i Ct)Yi ♦ w , i ( t >f(y i ) ♦ j ^ i - Y i - i - y i . i 5 ♦ FkK
* " a l K y slK + balK^y alK " YrK^ * kalK^yelK “ v rk7 +
♦ w . l K f <V.lK ‘ y -*> “ F - .k- - F
n rKy rK * b rK^y rK “ y eK^ * W r K f ^y rK “ Y eK'' " kelK^y slK-Y rK^ *
■ b slK^Y slK“y rK' " W s l K f ^y slK"y rK^ “ F stK * FarK * FeK
N i )
124 R. Konieczny
msi-J msi_* 1
i X t h li
V
¡ /\ i
» \ li . 1
°
J
y i - y¡-i rr¿ --_ F
a N
y i - y ,,i F *
a l i
F = F ' * F "
F~T(2M-y¡-i -y¡.i )
Rys. 3. Równania Modelu ST3+0P2
Znodyfikowany model matematyczny S T 3 + 0 P 2 . . 125
gdzie:
y. - przemieszczenie pionowe i-tego eegaentu;
y ^ - pochodne względem czasu przeeleezczenla y Ł ; y slK - przeeieszczenie pionowe ślizgacza K-tego odbie
rałeś ;
y # l K t ytlK - pochodne przenieszczenia y # 1 K ;
y rK - przeaieazczenie pionowe raay K-tego odbieraka;
y p K , y pK - pochodne przewłaszczenia y p K ;
"ai* bsi* ksi' *e i - odpowiednio: aasa, współczynnik tarcia lepkie
go, sztywność oraz siła tarcia suchego i-tego e e g a e n t u ;
"slK* belK* kslK' * s l K ” odP ow lednł°! aaea, współczynnik tarcia lepkie-' go, sztywność u s p r ę ż y n o w a n i a , siła tarcia su
chego - w układzie ślizgacza K-tego odblareka;
e p K , b r K , W rK - odpowiednio: aasa, współczynnik tarcia lepkie
go, siła tarcia suchego - w układzie raaowya K-tego odbieraka;
f ( y ^ ) - funkcja określająca znak siły tarcia suchego w i-tym segaencle (np. funkcja sgn lub tangsna h i p e r b o l i c z n y );
Fk|< - siła stykowe aiędzy K-tya odbierakiem a i-tya segaentea;
FaaK* FarK “ •*tładowB aerodyneaiczne dzlałajęce na ślizgacz 1 układ raaowy K-tego odbieraka;
F gt(< - siła statyczna K-tego odbieraka;
Fg K - siła oddziaływania pudła pojazdu na układ ra
mowy K-tago odbieraka;
y eK - prędkość pr zemieszczeń pionowych dachu pojazdu dla K-tego odbieraka;
a - odległość między segmentami;
N - sumaryczny naciąg drutów jezdnych siaci trak
cyjnej.
- Po uzależnieniu pochodnych od drogi oraz przyjęciu, ±e odblerak nie odrywa się od sieci, tzn. spełniony jest warunek:
FkK > 0 — ■ Vi ■ y.iK (2)
układ równań (l) przekształcić nożna do nestępujęcej postaci:
{Bsi + " s i K )v2Vi ♦
b9iy*t
+ k #iy * ♦ ♦♦ | (2yf - y*_i - y*+ i ) ♦ k 8iK ( y * - y * K ) + J» (3 )
♦ bslKv(Vi - W + W s l K f(*i - VrK> ’ Fa t K ,
126 R. Konieczny
« r K ^ r K - W v i ■ y ? K } - bslKV ( y i - W -
" W s l K f(yi - y r K ) + brKv ( yrK ' y eK> +
+ Wr K f(yrK - 9 e K ) O F8tK ♦ FarK + FeK
(3)
gdzie V - prędkość przeaieszczania się odbleraków wzdłuż sieci; znaczenie syaboll oznaczonych gwiazdkę wynika ze wzorów (6).
Ruch segaentu nie ws półpracujęcego z odbleraklea prędu opisany Jest równanie*:
■siv 2 y i + belV y i + ksiy i + " s i ^ i 5 “ I (yi-l + y l*l “ 2 y l ) (4)
Siła stykowa między sleclę trakcyjnę a K-tya odbleraklea prędu wyrażo
ne jeet równanlea:
F kK ■ "ai'/2yi + bslV y l + ksiy i + W a i f(yl ) 4 (2y* " y t l “ y i V (5>
Składnik £ (2y*
-
Y ^ _1 - uwzględniajęcy oddziaływanie segaen- . tów eęslednich, wyprowedzony został przy założeniu, że wartości kętówcęl¡h
(rys. 3b) sę na tyle aałe podczea współpracy odbleraka prędu z sleclę trekcyjnę, że funkcję sinus aożna zastępie tangenaea.Wielkości oznaczone gwiazdkę wyrażona sę następujęcyai wzoraai:
y i ■ y i - * y i ♦ W
rrK TrK
asK
- Ay.
rasK + Fdod
(6)
gdzie:
A y i - zalana wysokości zawieszenia drutu Jezdnego, alerzona od po- zioau na poczętku rozpatrywanego odcinka sieci trakcyjnej
(wielkość ta jest uzależniona od zwisu wstępnego oraz od pro
filu sieci;
y dod ” 8kł8dnik uwzględniajęcy wpływ czynników dodatkowych (np. chwi
lowe przeaieszczenie sieci trakcyjnej spowodowane wiatrea);
Food ” 8kł8dni,c uwzględniajęcy wp ły w czynników dodatkowych (np. siła K elektrodynaaiczna).
W przyjęty* zapisie A y ^ Y dod , F dod sę funkcjaai stałyai.
Zmodyfikowany model matematyczny S T 3 + 0 P 2 . . 127
Odchyłki parametrów nogę być uwzględnione w następujęcy apoaób:
P - PN + 0 (7)
gdzie:
PN - wartość nominalna paranetru P;
9 - odchylenie od wartości n o m i n a l n e j , generowane Jako znienna losowa w odpowiednim zakresie tolerancji.
Równania (3) i (4) sę równaniami różniczkowymi zwyczajnymi drugiego rzędu, nieliniowymi, niejednorodnymi, o zmiennych współczynnikach. Suma
ryczna liczba równaó różniczkowych do rozwięzanla wynosi n + R , gdzie:
n - oznacza liczbę segmentów odwzorowujących odcinek sieci trakcyjnej;
R - oznacza liczbę odbieraków prądu ws półpracujących z siecią w strefie odwzorowania.
Przyjmując, że • - » ■ < « oraz pomijając indeksy 1 oraz K, można rów
nania (3) i (5) oraz wzory (6) przekształcić do postaci opisująesj model ST1+0P2 współpracy jednego oćbieraka prądu z siecią trakcyjną.
4. Uwagi końcowe
Zasadniczą różnicą po między zmodyfikowanym modelem ST3+OP2 (oprócz u- względnienia zmian wysokości zawieszenia sieci, czynników dodatkowych o- raz składowych aerodynamicznych) a modelem Morrisa - jest przyjęcia w mo
delu sieci trakcyjnej (ST3) zmienności parametrów: bg i ' ka i> w B i* Zmiany te mogą być opisane funkcjami okresowymi 1 odpowiednio s y n c h r o n i z o w a ć dla poszczególnych segmentów. Modyfikacja powyższa ułatwia oprogramowanie mo
delu wlelomasowego ST3+OP2 oraz skraca czas obliczeń maszynowych. Strefa symulacji w modelu Morrisa równa Jest strefie odwzorowania. Przyjęcie zmienności parametrów (bB l , k s l , w a i ) w modelu ST3+0P2 umożliwia dowolne wydłużanie strefy symulacji przy niezmienionej ilości równań spisujących model.
Należy zwrócić uwagę, że pojęcie strefa odwzorowania w modelu ST1+0P2 nie występuje, ponieważ sieć trakcyjna zredukowana Jest do jednego tylko segmentu o zmiennych parametrach.
Model ST3+0P2 umożliwia również badanie rozchodzenia się drgań w sieci trakcyjnej, badania drgań na rozjazdach oraz odbić falowych. Wprowadzenie wskaźnika obecności odbieraka w układach równań typu (3 ) umożliwia ponad
to - włączanie i wyłączanie dowolnsgo odbieraka w trakcie symulacji współ
pracy z siecią trakcyjną.
Zmodyfikowany model matematyczny ST3+0P2 nie nakłada ograniczeń co do sposobu usytuowania odbieraków w strefie odwzorowania, ani na długość tej strefy. Długość strefy odwzorowania 1 związana z tym liczba segmentów oraz liczba rozpatrywanych odbieraków - mogą być Jedynie ograniczone mocą obli-
128 R. Konieczny
czeniowę dostępnego sprzętu koeputerowego. W przypadku wykorzystanie sy- stenu CSMP no Raszynach cyfrowych IBM-360, 370 lub R-32 - ograniczenia ta
kie nie występuję.
Przedstawiony sodel matematyczny umożliwia szybkie i tamie wykonania badań niezwykle trudnych do realizacji w warunkach plenerowych.
Zaprezentowany artykuł nie wyczsrpuje całości problematyki zwlęzanej z modelem ST3+OP2. Kontynuacji wymaga: analiza czułości modelu oraz za
gadnienie realizacji przebiegów symulacyjnych.
LITERATURA
[1] Ebeling H.: Stromabnahme bei hohen Geechwlndigkeirten-Probleme der Fahrleitungen und Stromabnehmer - Elektrische Bahnen nr 2 i 3, 1969.
[2] Fidrych Z. 1 Zabezpieczenie niezawodnego odbioru prędlł przy wysokich prędkościach Jazdy pocięgów elektrycznych. Zeazyty Naukowe Politech
niki ś l ę s k i e j . Elektryka nr 62, 1979.
[3] Fisher W. : Kettenwerk und Stromabnehmer bel hohen Zuggeeschwindigkel- ten - ZEV Glasers An nalen nr 5, 1977.
[4] Fr a j f eld A . W . : Projektlrowanlje kontaktnoj sietl. Wyd. "Transpert", Moskwa 1978.
[5] Grajnert 0. : Drgania ruchomego układu dyskretnego współpracujęoago z układam cięgłym na przykładzie współpracy odbleraka prędu z siecię trakcyjnę. Praca doktorska. Politechnika Wrocławska 1979.
[6] Kokoev A.D. : Fizlczeskoje aodielirowarije dinamiczeskogo wzalmodiej- stwija tokoprijeanika i kontaktnoj podwieski. Vestnlk VNIlZTr. nr 2, 1975.
[7] Konieczny R.: Ocena Jakości współpracy odbieraka prędu z siecię trak
cyjnę przy użyciu symulacji komputerowej. Praca doktorska. Politech
nika Ślęska 1981.
[
8]
Scott P.R., Rothaan M.: Computer Evaluation of Overhead Equipment for Electric Railroad Traction - IEEE Transactions on Industry Applications 1974 (Sept. ) Oct. tom 1A-10 Nr 5.
Recenzent: doe. dr ini. Oerzy Marcinkowski
Wp ły nę ło do redakcji dnia 3.X I . 1982 r.
MOAWHUHPOBAHHAH MATEMATHHECKAfl MOÄEJIb B3AHM0AEKCTBHH HECKOJIbKHX TOKÜIUHEMEHKOB H KOHTAKTHOB nOABECKH
P e a u u e
Jä c i a x b e n p e A C i a B a e a o K O H q e m u u ) , h c x o a h n s a s h b u s , a x a x a e An<f4>epeHUHaAi»~
H u e y p a B B S H H H , H o A H i j H m H p o B a H H o f i u a t e u a T H i e C K o f t u o a s a h B s a a M O A e B c T B i m HecKOJB.- K H X T O K O n p H S M B H K O B K K O B T S K T H O B n o A B S O K H , 3*a M O A S A B , n p S A H A S H a B S B H a B K B U - Ü O A H S H H B O a u y z a i l H Ö Ha 3BM , AatfT B O S M O X H O C T b H O C A B A O B a i b nOBCASHHe B OBSHB C A O X B H X n O l i r O B K H Z y O A O B H H X ,
Zmodyflkowany aodel matamatyczny ST3+OP2.. 129
THE MO DI FI ED MA TH EM AT IC AL MODEL ST3+OP2 OF COLLABORATION OF SEVERAL CURRENT COLLECTORS WITH THE OVERHEAD CONTACT SYSTEM
S u m m a r y
The article presente the idea, the assumptions, and the differential equations on the modified mathematical model of several current colectors cooperation with the overhead contact system. This aodel, predisposed for the execution of computer simulation enables making research ve ry diffi
cult otherwise for realization in field conditions.
