Algorytm harmonogramowania produkcji porcjami z pojedynczym ograniczeniem zasobowym

Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO LITE C H N IK I ŚI.ASK1ET Seria: A U T O M A T Y K A z. 114

_________1 9 9 4 N r kol. 1250

K rz y sz to f M A IK , E u g e n iu sz T O C Z Y Ł O W S K I I n s ty tu t A u to m a ty k i P o lite c h n ik i W arszaw skiej

A LGO RYTM HARMONOGRAMÓWANLA PRODUKCJI PORCJAMI Z POJEDYNCZYM OGRANICZENIEM ZASOBOWYM

S treszczen ie: W referacie opracow ano efek ty w n ą m e to d ę h arm o n o g ram o - w a n ia p ro d u k c ji p o rc ja m i w p ro b lem ie w ieloetapow ym , w k tó ry m ro zw aża się w y stę p o w a n ie p o jed y n cz eg o o g ra n ic z e n ia zasobow ego w pierw szy m e ta p ie . M e to d a w y k o rz y stu je w łaściwości a lg o ry tm u W ag elm ansa-H oesela-K olena w celu T -k ro tn e j re d u k c ji złożoności obliczeniow ej a lg o ry tm u , gdzie T je s t liczb ą etapów .

ALGORITHM FOR LOT-SIZE SCHEDULING W ITH A SINGLE RESO­

URCE

S u m m a ry : T h e p a p e r p re s e n ts an efficient m e th o d for th e d y n a m ic lot-size sc h e d u lin g w h en a single reso u rce is lim ite d in th e first p e rio d . T h e m e th o d uses p a r tic u la r p ro p e r tie s o f th e W agelm ans-H oesel-K olen a lg o rith m to red u c e th e c o m ­ p le x ity of a lg o rith m T tim e s , w here T is th e n u m b e r of periods.

EIN ALGO RITHM US DER H ARM ONOGRAM M BILDUNG FÜR DIE PRO ­ D U K T IO N IN D E N PARTIEN BEIM EIZELNEN VORRATLICHEN B E SC H R Ä N K E N

Z u sa m m e n fa ssu n g : Im R e fe ra t w u rd e ein e effektive M e th o d e d e r H arm o n o - g ra m m b ild u n g fü r d ie P ro d u k tio n im P a rtie n in ein em P ro b le m m it vielen E ta p p e n , in d e m w ird ein ze ln e v o rrä tlic h e B esch rän k en im e rs te n E ta p p e erw ogen, b e a rb e ite t.

D iese M e th o d e b e n u tz t e ig e n a rtig e E ig en sch ä fte des A lg o rith m e n W H K zw ecks d e r R e d u k tio n d e r R e c h n e n k o m p lie z ie rth e it T m al, wo T ist die Z ahl d e r E ta p p e n .

1. S form u łow anie problem u

W k la s y c z n y m p ro b le m ie W a g n e ra -W h itin a h arm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji p o rc ja m i [5] je s t p o sz u k iw a n y p la n p ro d u k c ji p o jed y n cz eg o w y ro b u n a hory zo n cie czasu złożonym z T e ta p ó w , p rz y z n a n y m zap o trz e b o w a n iu w k ażdym z e ta p ó w . Z a k ła d a się, że nieze- ro w a p ro d u k c ja w d a n y m e ta p ie w iąże się z p ew n y m i niezerow ym i k o sztam i w znow ienia

2 0 0 K . M aik , E. T oczylow ski

p ro d u k c ji, n ie z a le ż n y m i o d je j w ielkości. Z a k ła d a się p rz y ty m , że m o żliw a je s t w d a n y m e ta p ie p ro d u k c ja o w ielkości p rz e k ra c z a ją c e j b ieżą ce z a p o trz e b o w a n ie i m ag az y n o w an ie n a d w y ż k i, p rz y c z y m u w z g lę d n ia się k o szt m a g a z y n o w a n ia je d n o s te k w yrobu.

P ro b le m te n m o ż n a z a p is a ć ,ja k n a stę p u je :

T

m i n ^ ( s |0( + ctx t + h ^ l f ) (1)

i=i p rz y o g ran iczen iach :

I t i + x t - I t = d t

0 iś x t ^ M tv t It > 0

Io = It = 0

v( € {0,1}

g d zie z m ie n n y m i d e c y z y jn y m i z a d a n ia są: z , - w ielkość p ro d u k c ji w ok resie i , v t - z m ie n n a b in a r n a = 1 je ż e li w znow iono p ro d u k c ję w i, /,+ - s ta n z a p a su w y ro b u n a koniec e ta p u t. P a r a m e tr a m i z a d a n ia są: s t - k o szt w z n a w ia n ia p ro d u k c ji, c t - je d n o s tk o w y k o sz t p ro ­ d u k c ji w e ta p ie i , h f - k o sz t m ag a z y n o w a n ia je d n o s tk i w y ro b u w e ta p ie i, d t - z a p o tr z e ­ b o w an ie n a w y ró b w e ta p ie i , M t - d o sta te c z n ie d u ż a sta ła .

W w ielu z a g a d n ie n ia c h p la n o w a n ia p ro d u k c ji ro zw aża się p ro d u k c ję w ielu ro d z a jó w w yro b ó w (n p . N ) w y k o rz y stu ją c y c h w spólne zasoby ko n ieczn e do p ro d u k c ji. W m o d e lu ro z w a ż a n y m w n in ie js z y m o p raco w an iu u w zg lęd n iam y is tn ie n ie je d n e g o , zagregow anego z a so b u d o d atk o w eg o . Z asób te n je s t w y m a g a n y w ilości ejti d la w zn o w ien ia p ro d u k c ji w y ro b u i- te g o w e ta p ie i, p rz y je d n o s tk o w y m zu ży ciu p kt (p o r c ja z aso b u w y m a g a n a do p ro d u k c ji je d n o s tk i w y ro b u ). D o stęp n o ść z aso b u w e ta p ie t je s t o g ra n ic z o n a p rz e z Q t.

F o rm a ln y z a p is ro zw ażan eg o z a d a n ia p la n o w a n ia p ro d u k c ji p rz e d s ta w ia się n a s tę p u ­ ją c o :

N T

m in Y ] Y , ( s ktv kt + cjtizjbt + h t t l kt )

k = l t=zl

p rz y o g ran iczen iach :

I k , t -1+ X k t - I t t = dkt d la t = i k = x ki < M v kt

Ikt > o

£jtL i(e/ttu*i + p ktx kt) < Q t d la t =

v k t 6 {0>1}

g d zie o z n a c z e n ia są id e n ty c z n e d o o p isa n y c h p o p rz e d n io , r o d z a je w yro b ó w są in d ek so w an e p rzez i ( a e ta p y p rz e z ł.

W a rto zw rócić uw agę, że je s te ś m y zain te re so w a n i ro zw iązy w an iem pow yższego z a d a n ia w u k ła d z ie s te ro w a n ia re p e ty c y jn e g o , gdzie w je d n y m k ro k u a lg o ry tm u re p e ty c y jn e g o p o ­ d e jm u je m y d ec y z ję o a s o rty m e n c ie i w ielkości p ro d u k c ji w n a jb liż s z y m e ta p ie , a n a s tę p n ie p o w ta rz a m y a lg o ry tm w k o lejn y ch kro k ach d la d alszy ch e ta p ó w . W ty m k o n tek ście je s t in ­ te r e s u ją c a m ożliw ość p rz e fo rm u lo w a n ia o g ran iczeń zasobow ych w k o lejn y ch e ta p a c h , ta k b y m o ż n a j e b y ło sp ro w ad zić, p rz y n a jm n ie j w p e w n y m sto p n iu , do o g ra n ic z e n ia e ta p u

A lg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji po rcjam i. 201

p ierw szego. W te n sposób m ożem y m ieć do czy n ie n ia tylko z je d n y m , sk alarn y m o g ra n i­

czeniem zaso b o w y m . D alej pokażem y, że rozw iązyw anie ta k o trz y m a n e g o z a d a n ia m oże być z realizo w an e szczególnie efektyw nie.

R o zw ażm y z a te m , ja k oszacow ać od dołu zużycie zasobu w e ta p ie p ie rw sz y m ,ta k . aby u n ik n ą ć tru d n o śc i z d o stę p n o śc ią zaso b u w e ta p a c h n astęp n y ch . C hcem y zag w aran to w ać w a ru n k i, dzięki k tó r y m d la dow olnych stan ó w zapasów n a koniec e ta p u pierw szego b ęd zie m o żliw a p r o d u k c ja z a s p o k a ja ją c a z a p o trzeb o w an ie w e ta p a c h n a stę p n y c h . Z p u n k tu w i­

d z e n ia w y k o rz y sty w a n ia zasobów n a jb a rd z ie j k ry ty c z n y p rz y p a d e k zachodzi d la zerow ego s ta n u z a p asó w n a ko n iec e ta p u pierw szego.

Z u ży cie za so b u w e ta p ie t p rz y p ro d u k c ji rów nej bieżącem u z a p o trzeb o w an iu w y ra ż a się w zorem :

N

Cdt = J 2 i e i‘ v n+ P i t d i i ) 1 = 1

S u m a ry c z n a ilość z aso b u b ra k u ją c e g o do z a sp o k o jen ia bieżącego z a p o trz e b o w a n ia w e t a ­ p ach t = 2 ,..., m je s t rów na:

m

E (g» -

t= 2

W te n sp o só b p o w s ta je d o ln e o g ran iczen ie n a zużycie zasobu w e ta p ie pierw szym :

m N

max {52(C dt - Qt ) } < £ ( e ,m ,'i + P;iz;i)

(=2 ;=1

W n in ie js z y m o p ra c o w a n iu p rzed staw io n o efek ty w n ą m e to d ę h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro ­ d u k cji p o rc ja m i w sfo rm u ło w an y m pow yżej p ro b le m ie w ielo etap o w y m , w k tó ry m rozw aża się w y stę p o w a n ie p o je d y n c z e g o , zagregow anego o g ran iczen ia zasobow ego w p ierw szy m e ta p ie . M e to d a w y k o rz y stu je re la k sa c ję L ag ran g e‘a do dekom pozycji p ro b le m u . W ielo ­ k ro tn e , e fe k ty w n e ro zw iązy w an ie p o d p ro b lem ó w je s t m ożliw e dzięki w y k o rz y sta n iu sp e ­ cyficznych w łaściw ości p ro b le m u i cech a lg o ry tm u W agelm an sa-H o esela-K o len a. P ro w ad zi to d o T -k ro tn e j re d u k c ji złożoności obliczeniow ej a lg o ry tm u , w sto su n k u do stosow anych d o ty c h c z a s m e to d . W ro zd ziale 4 om ów iono zaim p lem en to w an e dw ie w ersje a lg o ry tm u W H K ro z w ią z y w a n ia p o d p ro b le m ó w zdekom ponow anych i p rz e b a d a n o ich n u m e ry c z n e w łaściw ości.

2. R ela k sa cja L agrange‘a ob u stron n ego ogran iczen ia za so b o w eg o

P rz y jm ijm y q = m a x2^m ;$r{Z!nU (C,<« — <5t)} i załóżm y, że 0 ^ q < Q \ . O b u stro n n e o g ra n ic z e n ie zasobow e w e ta p ie pierw szy m m o ż n a sprow adzić do rów ności w p ro w a d z a ją c d o d a tk o w ą , o g ra n ic z o n ą z m ie n n ą d o p e łn ia ją c ą s:

N

+

+

<

^

—

¿=1

202 K. M aik , E. Toczylow ski

Jeżeli d o k o n a m y relak sacji L ag ran g e‘a tego o g ra n ic z e n ia rów nościow ego, m n o ż n ik będzie n ieo g ran iczo n y co do z n a k u , n a to m ia s t d u a ln a fu n k c ja L ag ran g e‘a w zg lęd em p o je d y n c z e g o m n o ż n ik a /i = /ii p rz y b ie rz e p o sta ć :

N T

L p ( p ) = m in

]T(

+

+

+

52

x ,v ,s . _

Lt=! <=1 1=1

M o ż n a się te r a z p o z b y ć p o m o cn iczej z m ie n n e j s d o k o n u ją c w stę p n ie m in im a liz a c ji p o s.

W id a ć , że je ż e li p ^ 0, to m in im u m o sią g a n e je s t d la s = 0, n a to m ia s t d la p < 0 s — Q \ — q. Z a te m fu n k c ja L p { p ) b ęd zie m ia ła p o stać:

' N T

L p ( p ) = m in

x ,v 0 5“ 11*' + + hit l f t )

1=1 ł = l - n Q ( n )

p rz y o g ran iczen iach :

/+ ,_ ! + x it - 1?, = d it d la t = i i = x a < M v it

Ą > o vu 6 {0,1}

gdzie.’

- , \ / s u + /m .i t = 1 _ . . f cH + p p it t = 1 , . f Q x p ^ 0 Si' M = { s i , t * 2 ' CuM = \ c it t > 2 ' Q M = { q p < 0 ' F u n k c ja L p ( p ) je s t fu n k c ją w klęsłą i kaw ałkam i liniow ą. F u n k cję L p ( p ) m o ż n a z a p isa ć ta k ż e w in n ej p o s ta c i, u w id o c z n ia ją c e j m o żliw ą d ek o m p o zy c ję zad a n ia :

Ld{p) = J 2 ¿ ¡ 0 0 - ^ < 2 0 0 (2 )

i'—i gdzie:

T

L i ( p ) = m in ^ 2 ( ś i tv it + cp x p + h itI ^ ) (3) i=i

Z a d a n ie re la k sa c ji L a g ra n g e ‘a p o leg a n a m a k sy m a liz a c ji L p [ p ) w zględem n ie o g ra n i­

czonego p. Ze w zględu n a szczeg ó ln ą p o s ta ć z a d a n ia d u a ln a fu n k c ja L ag ra n g e ‘a m o że być m a k s y m a liz o w a n a szczególnie efe k ty w n ie m e to d ą ite ra c y jn e j a p ro k s y m a c ji su b g ra d ie n to - wej fu n k cji L p złożonej w każdej ite ra c ji z dw óch o d p o w ied n io d o b ie ra n y c h kaw ałków li­

niow ych. D la dw óch w arto ści m n o ż n ik a , d la k tó ry c h su b g ra d ic n ty m a ją przeciw n e z n a k i, w y zn a c z a n y je s t p u n k t p rz e c ię c ia a k ty w n y c h o d cin k ó w w y k resu L p w ty ch p u n k ta c h . W u z y sk a n y m no w y m p u n k c ie p o b liczam y w artos'ć L p ( p ) . Jeżeli w o trz y m a n y m p u n k ­ cie w a rto ś ć L p ( p ) je s t po n iżej a p ro k s y m a c ji, to now y p u n k t w chodzi do bieżącej p a ry p u n k tó w , z a s tę p u ją c je d e n z d o ty ch cz aso w y ch p u n k tó w ,ta k ab y w p o zo staw io n y ch p u n k ­ ta c h n a c h y le n ie fu n k cji by ło w d a ls z y m c ią g u różn y ch znaków . W p rz e c iw n y m p rz y p a d k u , czyli je ż e li w a rto ść L p { p ) je s t ró w n a w arto ści a p ro k s y m a c ji, to w z n a le z io n y m p u n k c ie z n a jd u je się m a k s im u m fu n k cji L p , co kończy d z ia ła n ie a lg o ry tm u .

R o z w iązan ie z a d a n ia re la k sa c ji L a g ra n g e ‘a u m o żliw ia w y zn aczen ie p rzy b liżo n eg o d o ­ pu szczaln eg o ro z w ią z a n ia z a d a n ia p ierw o tn eg o w w y n ik u z a sto so w an ia p ro s ty c h h e u ry ­ sty c z n y c h p ro c e d u r k o rek cy jn y ch [2].

A lg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji po rcjam i. 2 0 3

3. P r z y r o sto w y alg o ry tm ob liczan ia

D la u sta lo n y c h w artości m n o żn ik a /t obliczenie Ld(h) sprow adza się do /'/-k ro tn e g o ro z w ią z a n ia p o d z a d a ń p o sta c i klasycznego p ro b lem u W W d la p o jed y n cz y ch w yrobów [4].

N ależy się liczy ć z fa k te m , że lic z b a ite ra c ji d o b o ru m nożników L ag ran g e‘a m oże być z n aczn a. D la te g o te ż sp ra w ą is to tn ą je s t ja k n a jb a rd z ie j efektyw ne o b liczan ie w artości

P rz y k ła d o w o , w y k o rz y sta n ie klasycznego a lg o ry tm u W a g n e ra -W h itin a d a je złożoność 0 ( N T 2), n a to m ia s t w y k o rz y sta n ie n a jefek ty w n iejszy ch alg o ry tm ó w [1 ,4 , 3] d a je złożoność O ( N T l o g T ) .

Z a u w ażm y je d n a k , że z m ia n a w artości m n o żn ik a będzie w pływ ać je d y n ie n a p a ra m e tr y p o d z a d a ń w e ta p ie p ierw szy m . M ożna z a te m spodziew ać się, że je s t m ożliw e u n ik n ięcie p o w ta rz a n ia w ielu k osztow nych obliczeń zw iązan y ch z e ta p a m i d alszy m i. C h cem y z a te m o p raco w ać o d p o w ied n i a lg o ry tm przyrostow y, w k tó ry m b ędziem y m ogli w y k o rzy sty w ać r e z u lta ty z p o p rz e d n ic h ite ra c ji u ru c h a m ia ją c ty lk o je d e n k rok a lg o ry tm u w ie lo e ta p o ­ w ego, k ro k zw ią z a n y z e ta p e m pierw szy m . W łaściw ości ta k ie z ap ew n ia regresyw ny algo­

r y t m W H K W ag elm an sa-H o esela-K o len a [4]. W re z u ltacie, ja k pokażem y, z re d u k u je m y złożoność o b liczen io w ą je d n e g o k ro k u a lg o ry tm u do O ( N l o g T ) .

3.1. O pis algorytm u W H K

D la u p ro sz c z e n ia ro zw ażań p o m ija m y in d ek s pojed y n czeg o w y ro b u o raz zależność w sp ó łczy n n ik ó w o d ¡i. M ożna też pokazać, że p ro b lem ogólny m o ż n a p rz e tra n sfo r- m o w ać do p ro b le m u rów now ażnego z zerow ym i k o sztam i m ag az y n o w an ia1 [4]. R ozw ażam y z a te m p ro b le m d e c y zy jn y (1) z ht = 0. W p ro w ad zam y wielkość z a p o trz e b o w a n ia z a k u ­ m ulow anego: dij = J2t=i dt-

P o d sta w o w ą ro lę w a lg o ry tm ie W H K o d g ry w a fu n k cja G ( i ) o z n a c z a ją c a m in im a ln y k o szt d o jś c ia o d e ta p u i d o e ta p u końcowego T , p rzy założeniu zerow ego s ta n u zapasów /( = 0. J e s t o n a zd efin io w an a n a stę p u ją c o :

G ( t ) =

m in (Si + ctd t ;_i + G( i ) ) jeżeli d, > 0 K i^T +l

jeżeli d< — 0 m min ¡G(t + 1), m in s t + Ctdi,,-! + G(i)

L i+ K i^ r+ i

d la celów a lg o ry tm u d o d a je się sztu czn y e ta p T + 1. Z achodzi oczyw iście: G ( T + 1) = 0.

B e z p o śre d n ie w y zn aczen ie w artości m in im u m we w zorze n a G ( t ) w y m ag ało b y T — t + l p o ró w n a ń , co p ro w ad ziło b y do całkow itej złożoności tej o p eracji rów nej 0 ( T 2). M oże o n a b y ć z re d u k o w a n a do 0 ( l o g T ) .

N a ry s u n k u 1 p o k azan o w ykres wielkości G ( t ) w zależności od za p o trz e b o w a ń z a k u ­ m u lo w an y ch d tT. Z azn aczo n e p u n k ty o z n a c z a ją w łaśnie p a ry liczb ( dtT, G[ t ) ) w yznaczone d la k o lejn y ch e ta p ó w ,p o c z y n a ją c od e ta p u T + l ( a koń cząc n a e ta p ie 1.

L in ią c ią g łą ,o z n a c z o n ą ja k o L ii, zazn aczo n o u w y p u k len ie dolne zb io ru ty c h p u n k tó w . L in ia L E je s t w y k resem pew nej funkcji g : g ( z ) = w <-» {z, w ) € L E . J a k w id a ć ,m u si być

1 P o d sta w ia ją c : c, := c, + W artość funkcji celu ulega zm ianie o s ta lą - h, £ \ =] d i .

204 K . M aik, E. Toczyiow ski

R y s . 1 . M in im a ln y k o szt w zg lęd em z a p o trz e b o w a n ia zak u m u lo w a n eg o F i g . 1 . M in im u m -c o s t fu n c tio n w ith re s p e c t to a c c u m u la te d d e m a n d

o n a fu n k c ją w y p u k łą . P u n k to m , w k tó ry c h fu n k c ja g z m ie n ia sw o je n a c h y le n ie , o d p o w ia ­ d a ją p e w n e e ta p y h a rm o n o g ra m u . Niech r o z n a c z a liczbę p u n k tó w z a ła m a n ia w y k resu g p o c z y n a ją c o d e ta p u t + 1. W ów czas p rzez i + l = i ( l ) < . . . < t ( r ) = T + 1 o zn aczy m y e ta p y o d p o w ia d a ją c e ty m z a ła m a n io m i nazw iem y j e e t a p a m i z n a c z ą c y m i (a n g . efficient pcriods).

D la k ażdego e ta p u zn a c z ą c e g o (p u n k tu z a ła m a n ia w y k re su ) w y z n a c z a m y p u n k t p rzecięcia p ro s te j pionow ej p rz e c h o d z ą c e j p rzez p u n k t (c/tx , 0) z p r o s tą o n a c h y le n iu ct p rz e c h o d z ą c ą p rzez o d p o w ied n i p u n k t z a ła m a n ia w ykresu g. P u n k t p rzecięcia o n a jm n ie jsz e j pionow ej w sp ó łrzęd n ej w y z n a c z a m i n i ^ r f c i i / , , , ^ ) . . ! -f G ( t ( p ) ) } . N iech t (q) o z n a c z a e ta p zn a c z ą c y , d la k tó re g o o sią g a n e je s t to m in im u m :

ą := m in i G ( l [ p ) ) — G [ t ( p + 1))

r, m i n ( p : 1 < p < ;■ A --- < ct

t (q) m a o czy w isty sen s n a stę p n e g o e ta p u w zn o w ien ia p ro d u k c ji p o e ta p ie t. W a rto z a ­ uw ażyć, że w m o m en cie g d y p o sz u k u je m y w arto ści funkcji o p ty m a ln e g o k o sz tu dojs'cia d la e ta p u f(m a m y d a n y z b ió r e ta p ó w zn a c z ą c y c h b ę d ą c y p o d z b io re m e ta p ó w ro zw ażan y ch p o p rz e d n io : i -f 1 , . . . , T o ra z że s ą o n e w sp o só b n a tu r a ln y u p o rz ą d k o w a n e w zg lęd em n a ­ chyleń od cin k ó w p ro sto lin io w y ch :

G ( i ( p ) ) - G ( i ( p + 1 ) )

, p 1, . . . , 7 i .

W n io sek je s t w ięc ta k i, iż m ożliw e je s t w y zn aczen ie t (q) w czasie O ( lo g T ) .

Załóżm y, że w y zn a c z o n a z o s ta ła w a rto ś ć funkcji G{ t ) . A lg o ry tm m u si te r a z p rz e jść do ro zw ażen ia e ta p u t — 1, u a k tu a ln ić z b ió r e ta p ó w z n a c z ą c y c h i w y z n aczy ć G ( t — 1). D la celów ilu s tra c y jn y c h m ożem y zasto so w ać n a s tę p u ją c ą p ro c e d u rę g e o m e try c z n ą :

• dodaj punkt

[dtj,

A lg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji porcjam i. 205

• z n a jd ź n a jm ło d s z y e ta p z n a c z ą c y i( s ),ta k i że n ach y len ie o d c in k a łącząceg o ( dtj , G ( t ) ) z ( 4 ( 4 y , G ( i( s ) ) ) je s t w iększe niż n ach y len ie o d cin k a łączącego ( 4 ( ,+ ¡)tr , G ( t( s + 1 ) ) ) z ( 4 ( 3 ) ,r ,G ( i( s ) ) ) ,

• n o w y z b ió r e ta p ó w zn a c z ą c y c h sk ła d a się z e ta p u t i e ta p ó w o d t ( s ) d o t( r).

P rz e b ie g p ro c e d u ry p o k azan o n a ry su n k u 2.

R y s . 2 . U a k tu a ln ia n ie zb io ru e ta p ó w z n aczący ch F i g . 2 . U p g ra d in g o f th e se t o f efficient p erio d s

B y d o k ła d n ie j zdefiniow ać e ta p ¿(s), należy jeszcze rozw ażyć p rz y p a d e k , g d y d t = 0.

W ów czas e ta p z n a c z ą c y t + 1 je s t zastęp o w an y p rzez e ta p t. W ty m w y p ad k u je s t więc:

s = 2. O gólnie: s ^ q. D efiniujem y więc:

s : = m m . i . , , . . , . n . G ( 0 - G ( * ( p ) k < ? ( t ( p ) ) - G ( t ( p + l ) ) ę , m m | p : i + 1 < p < i > 0 A ^ + 1} _ 1

O sta te c z n ie , a lg o ry tm W H K m o ż n a zap isać w sposób n a stę p u ją c y : I n i c j a l i z a c j a

P o licz c(, d.tT d la t — 1 , . . . , T o raz C O R ; W sta w e ta p T + 1 do L;

I t e r a c j e

f o r i : = T d o w n t o 1 d o b e g i n

S zu k aj q( t ) := m in

G ( t ) := s t + c j [ 4 r - 4 (« ).t] + G(q(t))-, i f (dt = 0 a n d G ( t + 1) < G (i) ) t h e n b e g i n

T + 1, m in { p 6 L : p < T + 1 A < c ,} ] ;

K. M aik, E. Toczylow ski

G (ł) : = G ( t + 1);

s : = l ( t -f 1);

e n d e ls e b e g i n

i f dt > 0 t h e n s : = t + 1 e ls e

s := l (t + 1);

e n d

U su ń z L w sz y stk ie p (ta k ie ż e i + 1 p < s ; W sta w t do L;

e n d .

O d t w o r z e n i e h a r m o n o g r a m u o p t y m a l n e g o i : = l ;

w h i l e i ^ T d o

i f ( d t = 0 a n d G ( t ) = G ( t + 1)) t h e n t : - t + 1

e ls e b e g i n

x t : = d.lT - d?(i),r;

s t : = 1;

t ■.= q(t);

e n d .

W p o w y ższy m o p isie L o z n a c z a sp e c ja ln ą s tr u k tu r ę d a n y c h , w k tó re j p rzech o w y w an e są e ta p y z n a c z ą c e , k tó r a , ja k w iem y, u p o rz ą d k o w a n a je s t z definicji w zg lęd em n a c h y le ń o d cin k ó w w y k resu fu n k c ji g. O p e ra to r l(p) w y z n a c z a n a s tę p n y p o p e ta p z n a c z ą c y z n a j­

d u ją c y się w L.

3.2. Im p lem en ta cja algorytm u

O p ra c o w a n o d w ie w ersje a lg o ry tm u W H K ró ż n ią c e się m ięd zy so b ą s t r u k t u r ą o p e ra ­ c y jn ą i szczeg ó łam i a lg o ry tm ic z n y m i. P ie rw s z a , p o d sta w o w a w e rsja je s t z g o d n a z o ry g in a l­

n y m o p ise m a lg o ry tm u i m a te m a ty c z n y m o szaco w an iem złożoności a lg o ry tm u , d ru g a zaś je s t m o d y fik a c ją o p ie r a ją c ą się n a w ynikach e k sp e ry m e n tó w i sp ecyficznych w łasnościach d z ia ła n ia a lg o ry tm u .

W e r s j a p o d s t a w o w a . A by c a łk o w ita złożoność a lg o ry tm u b y ła p raw ie lin io w a (tz n . 0 ( T log T ) ) , d w ie kluczow e o p e ra c je w każdej ite ra c ji a lg o ry tm u m u s z ą by ć w y k o n an e w czasie lo g a ry tm ic z n y m . T e d w ie o p e ra c je , to w sta w ia n ie now ego e ta p u zn a c z ą c e g o do

A lg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji porcjam i. ₂₀₇

L -s tru k tu r y lu b u su w an ie e ta p ó w ju ż n ie b ęd ą c y c h z n aczący m i o raz w yszukiw anie w tej s tr u k tu r z e e ta p u q( t ) o m ożliw ie n a jm n ie jsz y m indeksie, d la k tó reg o n ach y le n ie funkcji g b ęd zie m n ie js z e o d k o sz tu p ro d u k c ji ct. S pełnienie tego w aru n k u je s t m ożliw e ty lk o pod w a ru n k ie m zre a liz o w a n ia w sta w ia n ia i w yszukiw ania b in arn eg o , co w o czyw isty sposób prow adzi do z a sto so w a n ia d rz e w a b in arn eg o ja k o L -stru k tu ry .

E ta p y z n a c z ą c e w d rzew ie są u p o rząd k o w an e w zględem sw oich n u m eró w o raz, co z a ty m id zie, w zg lęd em w ielkości n ach y leń odcinków liniow ych funkcji g. J a k zo stało p o ­ k a z a n e w części o p is o w e j,d la m a le ją c y c h n u m eró w e tap ó w zn a c z ą c y c h ro s n ą n a c h y le n ia p ro sto lin io w y c h o d cin k ó w funkcji o p ty m a ln y c h kosztów . W y la n ia się je d n a k konieczność z re a liz o w a n ia o p e ra to ra /( s ) , w y zn aczająceg o n u m e r e ta p u znaczącego w y stę p u ją c e g o b e z p o śre d n io p o e ta p ie s. T ego n ie z a p e w n ia p o d staw o w a s tr u k tu r a d rzew a b in arn eg o , d la te g o k o n iecz n e je s t w p lecenie w drzew o listy liniow ej, w k tó rej uszeregow ane b y ły b y kolejn o e ta p y z n a c z ą c e . T ak p o w sta ła s p e c ja ln a L -s tru k tu r a b ę d ą c a p o łą c z e n ie m d rzew a b in a rn e g o i listy liniow ej. N a ry su n k u 3 pok azan o jej sc h e m a t.

korzeń

n il n il n il n il n il n il n il n il

R y s . 3 . S c h e m a t L -s tru k tu ry F i g . 3 . L -s tru c tu r e schem e

N a jb a rd z ie j s k r a jn e e le m e n ty w d rzew ie to oczyw iście sz tu c z n y e ta p T + 1 o raz e ta p z n a c z ą c y o n a jm n ie js z y m d o tą d in d ek sie - oznaczony n a sch em acie ja k o ” n r m in ” . Z m ie n n a k o r z e ń p rz e c h o w u je a d re s k o rz e n ia drzew a. K a ż d y e le m e n t d rzew a p o s ia d a tr z y p o la w skaźnikow e: d w a w sk a z u ją c e n a lew e i p raw e p o d d rzew o o raz je d n o n a e ta p ch ro n o lo ­ g iczn ie n a s tę p n y w s tr u k tu r z e . U trz y m a n ie w ysokiej efektyw ności obliczeniow ej, j a k ą ofe­

r u je drzew o b in a rn e , w y m a g a je d n a k zach o w an ia w y w ażen ia drzew a. T ak w ięc p o k a ż d y m w sta w ie n iu i u su n ię c iu e le m e n tu należy, o ile je s t to konieczne, p rz y w ra c a ć w yw ażenie d rz e w a u ru c h a m ia ją c sp e c ja ln e p ro c e d u ry re k u ren cy jn e.

M o d y f i k a c j a a l g o r y t m u . O m ów iony pow yżej a lg o ry tm w y m a g a dość zaaw ansow anych zabiegów p ro g ra m is ty c z n y c h sk u p ia ją c y c h się je d y n ie w okół obsługi L -s tru k tu ry , k tó r a z a ­

2 08 K. M aik , E . T oczyłow ski

p e w n ia n a jm n ie js z ą te o re ty c z n ie złożoność o b liczen io w ą a lg o ry tm u . Im p le m e n ta c ja o p a r ta n a s tr u k tu r z e d rz e w ia ste j ja k o po d staw o w ej s tr u k tu r z e o p e ra c y jn e j w a lg o ry tm ie n ie je s t je d n a k ła tw a . P ro w a d z i p o n a d to d o sto sunkow o dużego ziiży cia p a m ię c i o p e ra c y jn e j, co n ie je s t b e z z n a c z e n ia , g d y po m y śli się n ie ty le m oże o w ielkiej liczb ie e ta p ó w h o ry z o n tu p la n o w a n ia , co o d u ż y m z e staw ie w y ro b ó w p o w ią z a n y c h ze so b ą w sp ó ln y m i z aso b am i p ro d u k c y jn y m i.

D o św iad czen ie w sk azu je, że d la re a ln y c h d a n y ch p ro d u k c ja ”n a z a p a s ” d o k o n u je się n a jw y ż e j n a k ilk a e ta p ó w n a p rz ó d , g d y ż p rz y w iększych p a rtia c h do m in o w ać z a c z y n a ją ko szty o b c ią ż e n ia m a g a z y n u i z a m ro ż e n ia p ro d u k c ji. W ta k im ra z ie , je ż e lib y w p o sz u k i­

w an iu q( t ) p rz e sz u k iw a ć e ta p y z n a c z ą c e kolejno, p o c z y n a ją c o d o s ta tn io w staw io n eg o do L -s tru k tu ry , to sp ra w d z a n y c h e ta p ó w b ę d z ie kilka. Zw ażyw szy, iż a b y d o k o n ać te g o sa ­ m ego w d rzew ie, m u sieliśm y d o jść w p o sz u k iw a n ia c h aż do liścia, s t r a t a b ę d z ie niew ielka, b ą d ź n a w e t o sią g n ie m y zysk.

N asu w a się z a te m za sto so w a n ie p ro ste j s tr u k tu r y danych, ja k ą je s t z w y k ła lis ta j e d ­ n o k ie ru n k o w a p e łn ią c a ro lę L -s tru k tu ry . P o la je j rek o rd ó w z a w ie ra ją w ięc ty lk o p o je d n y m p o lu w sk aźnikow ym . A d res p o c z ą tk u listy p rzech o w y w an y je s t w zm ien n ej p o c z a t e k _ l i s t y i w sk azu je o n n a e ta p o s ta tn io w staw io n y do zb io ru e ta p ó w zn a c z ą c y c h . P o zak o ń czen iu d z ia ła n ia a lg o ry tm u je s t n im oczyw iście e ta p 1.

Z p u n k tu w id z e n ia sam ej k o n stru k c ji p ro g ra m u zysk z u p ro sz c z e n ia s t r u k tu r y d a n y c h j e s t o c z y w isty i b a rd z o w idoczny:

- P o la rek o rd ó w L -s tru k tu r y z a w ie ra ją ty lk o je d n o p o le w skaźnikow e o raz n ie m u s z ą p o sia d a ć p o la m ieszcząceg o z n a c z n ik w y w ażen ia w ęzła.

- P r o c e d u r a w s ta w ia n ia je s t w p ro st b a n a ln a , w ykonuje się w czasie s ta ły m i za w ie ra ty lk o 28 linii p ro g ra m u .

- P ro c e d u r a u su w a n ia serii e ta p ó w z a s tą p iła w ielo k ro tn e w y w o łan ia p ro c e d u ry u s u ­ w a n ia je d n e g o e le m e n tu i za w ie ra je d y n ie 8 linii p ro g ra m u .

3.3. Im p lem en ta cja algorytm u dla w ielu rod zajów w yrobów

W m o m e n c ie g d y w m iejsce je d n e g o w y ro b u b ęd zie m y m ieć ich p e w n ą liczb ę o raz b ę d z ie m y chcieli w y k o rzy sty w ać m o żliw ie d u ż o in fo rm a c ji z p o p rz e d n ic h ite ra c ji p o sz u ­ k iw ań o p ty m a ln e g o m n o ż n ik a , m u s z ą u lec zw ie lo k ro tn ie n iu w szy stk ie s t r u k tu r y d a n y c h u ży w a n e w a lg o ry tm ie p o d sta w o w y m . In fo rm a c je o ty c h s t r u k tu r a c h p rzech o w y w an e są w liście liniow ej je d n o k ie ru n k o w e j, k tó re j e le m e n t za w ie ra pola:

- n u m e r w y ro b u ,

- ko n iec listy p a ra m e tró w e ta p ó w d la d an eg o w y ro b u , - w skaźnik n a e ta p p ierw szy n a tej liście,

- w sk aźn ik n a k o rzeń L -s tru k tu r y d la d a n e g o w yrobu^

A lg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji porcjam i. 2 0 9

- a d re s s z c z y tu sto su d la h a rm o n o g ra m u najlep szeg o niedopuszczalnego, - a d re s s z c z y tu sto su d la h a rm o n o g ra m u dopuszczalnego,

- a d re s e le m e n tu o s ta tn io w staw ionego do L -stru k tu ry , - a d re s w y ro b u n a s tę p n e g o .

P o n a d to lis ty p a ra m e tr ó w e ta p ó w rozszerzono o w ielkości zu ży cia zaso b u p rz y w znow ieniu i p ro d u k c ji o ra z o p o la p rzec h o w u ją c e p ierw o tn e w artości kosztów w znow ienia i p ro d u k c ji, co m a z n a c z e n ie d la e ta p u pierw szego, w k tó ry m p a ra m e tr y te z m ie n ia ją się p rz y każdej z m ia n ie m n o ż n ik a L a g ra n g e ‘a.

4 . W y n ik i ek sp er y m e n ta ln e

D la p o ró w n a n ia szybkości o b u rea liz a c ji a lg o ry tm u W K H p rzep ro w ad zo n o szereg ek s­

p e ry m e n tó w d la p rz e s a d n ie dużej liczby e ta p ó w T — 3000. P oniew aż p o d ejrzew an o , że d ru g a re a liz a c ja m o ż e o k azać się w olna w sy tu a c ja c h , gdy z d an y ch z a d a n ia b ę d ą w ynikały h a rm o n o g ra m y o d u ży ch seriach p ro d u k c y jn y c h (w ted y p ro c e d u ry u su w a n ia i w y szu k iw a­

n ia e ta p u q b ę d ą m u s ia ły p ra w d o p o d o b n ie p rzejrzeć du że liczby e ta p ó w ), szczeg ó ln ą uw agę z w rócono n a p rz y k ła d y , w k tó ry c h ko szty w znow ienia p ro d u k c ji d o m in u ją z n aczn ie n ad k o sz ta m i m ag a z y n o w a n ia .

O to w y n ik i e k sp e ry m e n tó w — czasy 2 p o d a n e w sek u n d ach :

R o d z a j dan y ch W H K 1 W H K 2

s , h st 10 1.49 0.65

s < 100, h < 10 1.60 0.83

s s? 1000, A < 10 1.76 1.10

s ^ 1 0 0 0 0 ,h < 10 1.70 1.15

s si 100000, h ^ 10 1.65 1.21

s < 1 0 0 000,h = 1 1.70 1.21

s ^ 1000000, A si 10 1.70 1.31

s < 10000000, /z ^ 10 1.43 1.26

M o ż n a z a u w aży ć, iż w p rz y p a d k u realizacji drzew iastej czas obliczeń p o z o s ta je n a p e w n y m , n ie z m ie n n y m p o zio m ie n ieza leżn ie od p ro p o rc ji m iędzy k o sz ta m i w zn o w ien ia i m a g a z y n o w a n ia . D la rea liz a c ji listow ej n a to m ia s t czas te n , g dy w eźm iem y d w a s k r a jn e p rz y k ła d y , w zrósł d w u k ro tn ie . Je d n a k ż e i on, ja k się w y d a je ,p o d le g a p ew nej sta b iliz a c ji i m im o w szy stk o p o z o s ta je krótszy. D la d a n y c h z p rz y k ła d u pierw szego, g d zie k o szty lo­

so w an e b y ły z jed n ak o w eg o p rzed ziału , czas obliczeń w ykonyw anych przez im p le m e n ta c ję listo w ą b y l p o n a d d w u k ro tn ie krótszy! W a rto te ż zauw ażyć, że lic z b a e ta p ó w ro z w a ż a n a w p rz y k ła d a c h (3000) je s t b liska górnej g ran icy d opuszczalnego p rz e z im p le m e n ta c ję d rz e w ia s tą ro z m ia ru z a d a n ia . W niosek je s t w ięc ta k i, że d la d o p u szczan y ch p rz e z im ­ p le m e n ta c ję ro z m ia ró w z a d a n ia n ie uw idoczni się je j p rzew ag a. O b ie w ersje a lg o ry tm u 2M ierzono czas w y k o n an ia zasadniczej części a lg o ry tm u , bez w czytyw ania d anych z pliku, o d tw a rz a n ia h a rm o n o g ra m u i zap isy w an ia go w pliku (m ik ro k o m p u te r IBM P C /3 8 6 , 33 M U z).

21 0 K . M aik , E. Toczylow ski

p o ró w n y w an o ró w n ież szczegółow o n a w ielu seriach b ard ziej re a listy c z n y c h k las z a d a ń o zró żn ico w an y ch w artos'ciach w spółczynników [2] d la T = 1 0 ,2 0 ,5 0 ,1 0 0 ,2 0 0 . W y n ik i o b liczeń p o tw ie r d z a ją przew ag ę a lg o ry tm u zm odyfikow anego d la w szy stk ich k las zad ań .

O m ó w io n e a lg o ry tm y m o g ą b y ć w y k o rzy sty w an e w a lg o ry tm ie p rz y ro sto w y m p rz y ro z w ią z y w a n iu z a d a ń d la w ielu w yrobów . P o d czas w ielo k ro tn eg o o b lic z a n ia Ld{h) k oszt ro z w ią z a n ia p o d p ro b le m u d la p o je d y n c z e g o w y ro b u je s t sk ra c a n y T ra z y i tr w a ty lk o p o ­ je d y n c z e m ilise k u n d y (n a IB M P C /3 8 6 ). W p rz y p a d k u z asto so w an ia p rz e d sta w io n e g o w p ra c y a lg o ry tm u w sy s te m a c h p la n o w a n ia p ro d u k c ji (M R P II) b ęd zie m ożliw e ro z w ią z y w a n ie z a d a ń p ra k ty c z n y c h o zn a c z n ie w iększych ro z m ia ra c h niż d o ty ch cz as.

L IT E R A T U R A

[1] A w i F e d e rg ru e n , M ich ał T z u r, A S im p le F o rw ard A lg o rith m to Solve G e n e ra l D y ­ n a m ic L o t S izing M odels w ith n P e rio d s in 0 ( n log n ) o r 0 (? i) T im e , M a n a g e m e n t S ci enc e, V ol.37, N o .8, A u g u st 1991.

[2] K rz y s z to f M aik , Wy b r a n e a l g or y t my h a r m o n o g r a m o wa n i a produkcj i porcj ami , p ra c a m a g iste rsk a , I n s ty tu t A u to m a ty k i P W , W arszaw a, 1994.

[3] E u g en iu sz T oczylow ski, A lg o ry tm y h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k c ji p o rc ja m i o niskiej złożoności obliczeniow ej, Z e s z y t y N a u k o we Pol i techni ki Śląskiej, n r kol. 1175, 1992 [4] A lb e rt W a g e lm a n s, S ta n van H oesel, A n to o n K oleń, E co n o m ic L o t Sizing: A n

0 ( n log n ) A lg o rith m t h a t R u n s in L in ear T im e in th e W a g n e r-W h itin C ase, Opera­

t i on Research, V ol.40, S u p p ., N o .l, J a n u a r y -F e b ru a ry 1992

[5] W a g n e r, M . H ., T . M . W h itin , ‘D y n a m ic versio n of th e eco n o m ic lo t-sizin g m o d e l1, M a n a g e m e n t Science., Vol. 5 (1958), 89-96.

R ecen zen t: P ro f.d r h a b .in ż . K o n ra d W ala W p ły n ę ło do R e d a k c ji do 30.04.1994 r.

A b s t r a c t

T h e p a p e r p re s e n ts a n efficient sch e d u lin g m e th o d for th e m u lti-ite m d y n a m ic lo t-size sc h e d u lin g p ro b le m , in w h ich a single lim ite d re so u rc e is co n sid ered .

T h e lim ita tio n s o f th e reso u rce in su b s e q u e n t p e rio d s a re tra n s fo rm e d in to a low er b o u n d fo r th e re so u rc e lim ita tio n in th e first p e rio d . As a re s u lt, a n a p p ro x im a te re la ­ x e d p ro b le m , w ith d o u b ly c o n s tra in e d lim ita tio n in th e first p e rio d is fo rm u la te d . T h is p ro b le m m a y be efficiently solved by a sp ecialized m e th o d , b ased on L ag ran g e d e c o m p o si­

tio n . T h e m e th o d u ses p a r tic u la r p ro p e rtie s o f th e p ro b le m a n d p a r tic u la r fe a tu re s o f th e W ag elm an s-H o esel-K o len a lg o rith m for so lv in g d eco m p o sed su b p ro b le m s . In co m p a riso n to th e b e s t e x is tin g m e th o d s , th is o n e allow s to re d u c e th e c o m p le x ity o f th e a lg o rith m T tim e s , w h ere T is a n u m b e r of p erio d s.

T w o d is tin c t v a ria n ts o f th e W H K a lg o rith m for solving d eco m p o sed s u b p ro b le m s a re im p le m e n te d . E x te n siv e n u m e ric a l e x p e rim e n ts show a s u p e rio rity o f th e m odified a lg o r ith m ov er th e o rig in al W H K a lg o rith m .