Arytmetyka teoretyczna
LISTA 10. Ułamki łańcuchowe.
Niech x ∈ R. Niech a0 = [x] i w przypadku a0 6= x niech r1 = (x − a0)−1. Niech a1 = [r1] i w przypadku a1 6= r1 niech r2 = (r1− a1)−1 itd.
Rozwini¸ecie
x = a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|am + ... + 1|
|an + ...
nazywamy rozwini¸eciem liczby x w ułamek łańcuchowy a cz¸eść
Rm = a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|am nazywamy m-ym reduktem ułamka łańcuchowego.
Zad.1. Niech n ∈ N \ {0}. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x leż¸ace w przedziale (0, 1) takie, że w ich rozwin¸eciach a1 = n.
Zad.2. Niech pqm
m b¸edzie sum¸a z powyższego wzoru Rm otrzyman¸a bez uproszczenia ułamka. Pokazać nast¸epuj¸ac¸a równość macierzow¸a:
pn+1 pn qn+1 qn
=pn pn−1 qn qn−1
an+1 1 1 0
.
Wywnioskować:
(a) pn+1 pn
qn+1 qn
=a0 1 1 0
a1 1 1 0
...an+1 1 1 0
.
(b) (pn, qn) = 1.
Twierdzenie 1. Każd¸a liczb¸e wymiern¸a można rozwin¸ać w ułamek łańcu- chowy skończony.
Twierdzenie 2. Dowolny nieskończony ci¸ag a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|am + ... + 1|
|an + ... , gdzie a0 ∈ Z , ai ∈ N>0, i > 0, 1
definiuje niewymiern¸a liczb¸e x jako granic¸e ci¸agu kolejnych reduktów. Gdy z jest niewymierna, istnieje dokładnie jeden taki ci¸ag zbieżny do z.
Twierdzenie 3. Jeżeli liczba wymierna rs jest lepszym przybliżeniem liczby x niż redukt Rn= pqn
n, n ≥ 1, to qn < s.
Twierdzenie 4. (Euler, Lagrange) Liczba niewymierna daje rozwini¸ecie w ułamek łańcuchowy okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem równiania kwadratowego nad Q.
Zad.3. Znaleźć rozwini¸ecia w ułamki łańcuchowe nast¸epuj¸acych liczb:
√2 , √ 3 ,√
5 ,√ 6 , √
7 ,
√5 − 1 2 .
Drzewo Sterna-Brocota. Zaczynamy od poziomu -1 składaj¸acego si¸e z ułamków01 oraz 10 ( ten ostatni reprezentuje ∞) . Korzeniem drzewa (= poziom 0) jest liczba 1, czyli ułamek 0+11+0. Kolejne poziomy tworz¸a ułamki (dzieci) m+mn+n00 takie, że mn i mn00 (rodzice) s¸a s¸asiednimi liczbami w rosn¸acym ci¸agu ułamków wszystkich wcześniejszych poziomów (razem z 01 oraz 10 ).
Zad.4. Uzasadnić nast¸epuj¸ace własności drzewa Sterna-Brocota:
(a) Dla każdej liczby naturalnej k, jest 2kliczb na k-tym poziomie (korzeń jest na poziomie 0);
(b) Na każdym poziomie ułamki-dzieci wyst¸epuj¸a zgodnie z porz¸adkiem
<.
(c) Jeśli mn jest bezpośrednio nad mn00 (tzn. jest rodzicem), to
|m0n − mn0| = 1;
(d) Dla każdej liczby naturalnej k, najmniejsza wartość m+n dla ułamków
m
n leż¸acych na k-tym poziomie jest równa k + 2;
(e) Jeśli ułamki mn i mn00 należ¸a do tego samego poziomu i s¸a symetryczne wzgl¸edem środka, to mn · mn00 = 1;
(e) Każda liczba wymierna dodatnia zapisana w postaci ułamka nieskra- calnego pojawi si¸e w drzewie Sterna-Brocota.
Zad.5. Pokazać, że gdy q ∈ Q+ ma rozwini¸ecie q = a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|an , gdzie an≥ 2, dzieci liczby q maj¸a rozwini¸ecia
a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|an+ 1 i a0+ 1|
|a1 + 1|
|a2 + ... + 1|
|an− 1| +1|
|2.
2
