an 1+ an oraz Yn i=1 ai:= a1 a2

1 Sumy oraz iloczyny

Niech m; n 2 f0; 1; 2; :::g; m n; oraz a_m; a_m+1; :::; a_n b ¾ed ¾a dowolnymi liczbami rzeczywistych. Przypominamy oznaczenia

Xn i=1

a_i:= a₁+ a₂+ ::: + a_{n 1}+ a_n oraz Yn i=1

a_i:= a₁ a₂ ::: a_{n 1} a_n:

1. Zapisa´c poni·zsze wyra·zenia w postaci rozwini ¾etej, tj. nie u·zywaj ¾acX ,Y

: X12

i=1

i;

X7 i=2

3i;

X6 i=1

(2i 1) ; X11 i=5

i(i+1);

Xn i=1

i²; Xn i=3

i²(i + 2) ; Xn i=1

1 i(i+3);

Y8 i=1

i;

Y13 i=6

8i;

Yn i=1

i (i+4);

Yn i=2

2i (i+1):

2. U·zywaj ¾ac symboluX lubY

zapisa´c nast ¾epuj ¾ace wyra·zenia:

(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;

(b) 1 + 2 + 3 + ::: + (n 1) + n;

(c) 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18;

(d) 4 + 6 + 8 + 10 + ::: + 2(n 1) + 2n;

(e) 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ::: + (2n + 1);

(f) 1 + 2 + 2²+ 2³+ 2⁴+ ::::: + 2ⁿ;

(g) 1 + 2 3 + 3 3²+ 4 3³+ 5 3⁴+ ::::: + (n + 1)3ⁿ; (h) 1 2 + 2 3 + 3 4 + ::: + (n 1)n;

(i) 3 4 5 6 7 8 9;

(j) 1 2 3 4 ::: n;

(k) ¹₂ ²₃ ³₄ ::: ^{n 1}_{n n+1}ⁿ ; (l) 1 +¹₂5 + ¹₃5²+ ::: +_n¹5^{n 1}:

3. Niech n b ¾edzie zadan ¾a liczb ¾a naturaln ¾a. Wyznaczy´c

(a) Xn i=11

3i;

Xn i=11

3ⁱ; Xn i=1

i2ⁱ; Xn i=1

lg i; (oznaczenie: lg x := log₂x)

(b) Yn i=1

i (i+2);

Yn i=1

i (i+4);

(c) Yn i=1

3i (i+2);

Yn i=1

2i (i+1);

1

(d) Xn i=1

1 i(i+1);

Xn i=1

1 i(i+3);

Xn i=2

2 (i 1)(i+1):

4. Sprawdzi´c czy Xn i=1

ai=

n 1X

i=0

an i oraz Xn i=1

ai+2=

n+2X

i=3

ai:

2 Symbol Newtona. Trójk ¾at Pascala. Dwumian Newtona.

Niech n; k 2 f0; 1; 2; :::g spe÷niaj ¾a nieórwno´s´c n k: Symbolem Newtona, oznaczanym przez ⁿ_k ( czyt. "n po k"), nazywamy wyra·zenie

n

k = n!

k!(n k)!:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dowolnej liczby n 2 f1; 2; :::g zachodzi wzór dwumianowy Newtona

(a + b)ⁿ= Xn i=0

n

i a^{n i} bⁱ: 1. Obliczy´c ⁹₃ ; ²⁴₂₁ ; ¹⁹₃ ; ⁵⁴₅₂ ; ⁿ₀ ; ⁿ_n ; ⁿ₁ ; _{n 1}ⁿ ; n 2 N:

2. Podnie´s´c do pot ¾egi:

p5 + 1 ⁵; p

3 p

2 ⁴; (n + 1)⁵; (a + b)⁴; (a b)³; (a + b)⁴; (x + 2y)⁷; (a + 2)ⁿ; (3 a)ⁿ:

(Wykorzysta´c trojk ¾at Pascala)

3. Niech n b ¾edzie zadan ¾a liczb ¾a naturaln ¾a. Wyznaczy´c:

Xn i=0

2^{i n}_i ; Xn i=0

( 1)^{i n}_i ; Xn

i=0 n

i ;

n 1X

i=0

3^{i n}_i ;

n 2X

i=1

5^{i n 1}_i :

3 PRACA DOMOWA :)

1. Niech dany b ¾edzie ci ¾ag geometryczny o ilorazie q 6= 1 i pierwszym wyrazie a: Oznaczmy przez a_n wyraz n: tego ci ¾agu, a przez S_n sum ¾e n pierwszych wyrazów ci ¾agu. Zapisa´c Snza pomoc ¾a symboluX

: Znale´z´c wzory opisu- j ¾ace a_n oraz S_n:

2. Niech dany b ¾edzie ci ¾ag arytmetyczny o ró·znicy r 6= 1 i pierwszym wyrazie a: Oznaczmy przez an wyraz n: tego ci ¾agu, a przez Sn sum ¾e n pierwszych wyrazów ci ¾agu. Zapisa´c Snza pomoc ¾a symboluX

: Znale´z´c wzory opisu- j ¾ace an oraz Sn:

2

3. Powtórzy´c 5 podstawowych wzorów dotycz ¾acych logarytmów.

3