1 Nauczyciel: Marzena Mrzygłód
Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TIB
Temat lekcji: Granica właściwa i niewłaściwa ciągu Data lekcji: 08.05.2020 - lekcja 1 i 2
Wprowadzenie do tematu:
Przykład 1. Narysuj wykres ciągu 𝑎𝑛 =5
𝑛 .
Wyrazy ciągu to:
5 ; 52 ; 53 ; 54 ; 1; 65 ; 57 ;58 ; 59 ; … …
Kolejne wyrazy są coraz mniejsze, zbliżają się do 0, ale nigdy go nie przekroczą.
Liczbę 0 nazywamy granicą właściwą tego ciągu.
Co zapisujemy: lim
𝑛→∞
5 𝑛= 0
Przykład 2. Narysuj wykres ciągu 𝑎𝑛= 2𝑛
𝑛+1 .
Wyrazy ciągu to:
1 ; 4
3 ; 6
4 ; 8
5 ; 10
6 ; 11
7 ;12
8 ; 14
9 ; … … Kolejne wyrazy są coraz większe, zbliżają się do 2, ale nigdy jej nie przekroczą.
Liczbę 2 nazywamy granicą właściwą tego ciągu.
Co zapisujemy: lim
𝑛→∞
2𝑛 𝑛+1= 2 DEFINICJA
Ciąg (𝑎𝑛) ma granicę równą g, jeśli dla każdego 𝜀 > 0 istnieje liczba naturalna k taka, że dla wszystkich n>k zachodzi nierówność: |𝑎𝑛− 𝑔| < 𝜀
Jeżeli ciąg (𝑎𝑛) ma granicę równą g, to mówimy, że jest zbieżny do g.
Ciąg może mieć tylko jedną granicę.
Wracając do przykładu 1.
Jeśli np. 𝜀 = 1; to wszystkie wyraz od 6 spełniają nierówność: |𝑎𝑛− 𝑔| < 𝜀
−𝜀 < 𝑎𝑛− 𝑔 < 𝜀 −𝜀 + 𝑔 < 𝑎𝑛< 𝜀 + 𝑔
2 −1 <5
𝑛< 1 ; n>6 prawie wszystkie wyrazy ciągu są oddalone o mniej niż 1 od 0.
(prawie wszystkie – wszystkie poza skończoną ilością) Podobne zapisy można stworzyć dla dowolnego innego 𝜀 > 0.
Własności:
1) Jeśli 𝑞𝜖(−1 ; 1), to lim
𝑛→∞𝑞𝑛= 0.
2) Jeśli 𝑘 > 0, to lim
𝑛→∞
1 𝑛𝑘= 0
𝑛→∞lim 1
𝑛= 0 ; lim
𝑛→∞
1
𝑛2= 0 ; lim
𝑛→∞
1
√𝑛= 0 Ciągi mogą być też rozbieżne, nie maja granicy.
Np. Ciąg 𝑎𝑛= 2𝑛 ;
jego kolejne elementy to: 2 ; 4 ;6 ; 8; 16; 32; …..
Każdy następny jest większy od poprzedniego.
Ten ciąg nie ma granicy, jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy: lim
𝑛→∞2𝑛 = ∞.
DEFINICJA: Ciąg jest rozbieżny do ∞, jeśli dla każdego M istnieje liczba naturalna k taka, że dla wszystkich n>k zachodzi nierówność 𝑎𝑛> 𝑀.
(Prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od dowolnej liczby M)
DEFINICJA: Ciąg jest rozbieżny do −∞, jeśli dla każdego M istnieje liczba naturalna k taka, że dla wszystkich n>k zachodzi nierówność 𝑎𝑛< 𝑀.
(Prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od dowolnej liczby M)
Np. Ciąg 𝑎𝑛= −𝑛2 ;
jego kolejne elementy to: -1 ; -4 ;-9 ; -16; -25; -36; …..
Każdy następny jest mniejszy od poprzedniego.
Ten ciąg nie ma granicy, jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy: lim
𝑛→∞(−𝑛2) = −∞.
Dla M=-10 , istniej k=4, że 𝑎5= −25 < 𝑀.
Dla każdego M jesteśmy wstanie podać k.
3 Inny ciąg np. 𝑎𝑛= (−2)𝑛 nie ma granicy. Jego wykres wygląda tak:
Wyrazami tego ciągu są:
4; 16 64 256 ……
-2; -8 -32 -128 -512 …..
Z def. granicy właściwej dla np. 𝜀 = 10; mamy
|𝑎𝑛− 𝑔| < 10 −10 < 𝑎𝑛− 𝑔 < 10
W tym pasie jest skończona ilość elementów, nie ma takiego g.
Z def. granicy niewłaściwej, dla M=100; 𝑎9< 𝑀. Zawsze znajdziemy wyrazy mniejsze od M.
Własności:
1) Jeśli 𝑞 > 1, to lim
𝑛→∞𝑞𝑛= ∞.
2) Jeśli 𝑘 > 0, to lim
𝑛→∞𝑛𝑘 = ∞.
Instrukcje do pracy własnej:
Ćw.1/236 b) 𝑎𝑛 = 1 +(−1)
𝑛 𝑛
lim
𝑛→∞(1 +(−1)
𝑛 𝑛
) = 1
Ćw.2/237
b) 𝑎𝑛 = 0,9𝑛
|𝑎𝑛− 0| < 0,1 −0,1 < 0,9𝑛 < 0,1
𝑎1= 0,9; 𝑎2= 0,81 ; …… 𝑎20= 0,12 ; 𝑎21 = 0,11; 𝑎22= 0,098 𝒏 > 𝟐𝟏
Ćw.3/237 b) 𝑎𝑛 = 1
√𝑛 ; lim
𝑛→∞
1
√𝑛= 0
|1
√𝑛− 0| < 𝜀; 𝜀 = 1
50= 0,02 −0,02 < 1
√𝑛< 0,02 1
√𝑛< 0,02 i 1
√𝑛> −0,02 1 < 0,02√𝑛 1 > −0,02√𝑛 50 < √𝑛 −50 < √𝑛 2500<n 𝑛𝜖𝑅
Odp.: n>2 500
4 Ćw.4/238
b) 1; 13 15 ……. 0
12 34 56 ……. 1
Ciąg nie ma granicy. Ćw.1/239 c) 𝑎𝑛 = √𝑛 ; M=40 𝑎𝑛> 𝑀 √𝑛 > 40 n>1600 Ćw.2/239 c) 𝑎𝑛 = −√𝑛 ; 𝑎𝑛< 𝑀 −√𝑛 < −1000 n>1 000 000 Ćw.3/238 b) 1 2; 1
8 1
32 ……. 0
4 16 64 ……. ∞
Ciąg nie ma granicy.
Praca własna:
Zad. 1; 2; 3 str. 238 po jednym przykładzie Zad. 1; 2; 3 str.240 po jednym przykładzie Informacja zwrotna:
Spotkanie online na platformie Discord – 8.05.2020 o godz. 8.00-9.00
Osoby, które się jeszcze nie logowały na platformie, proszę o kontakt przez komunikator na dzienniku w celu podania linku do logowania.
Rozwiązania zadań, w
szelkie pytania i wątpliwości do tematu proszę przesyłać na adres:
matmaxmm121@gmail.com do 11.05.2020 r.
Opracowała: Marzena Mrzygłód
5
