14. Zmienne losowe
Zad. 14.1 Wybieramy jedną kartę z 32 (od siódemki do asa). Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartość karty zgodnie z zasadami w brydżu (A=4, K=3, D=2, V=1, pozostałe=0).
1. Wyznacz rozkład zmiennej X.
2. Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej X.
3. Oblicz P (X ¬ 2).
4. Wyznacz EX i V arX oraz kwartyle.
Zad. 14.2 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (t) =
0, t /∈ [−1, 1], λ(1 − t2), t ∈ [−1, 1].
1. Wyznacz λ i narysuj wykres f .
2. Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
3. Wyznacz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5).
4. Oblicz EX, V arX i medianę.
Zad. 14.3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona. Oblicz EX i V arX oraz dla λ = 10 oblicz P (8 ¬ X ¬ 10).
Zad. 14.4 Czas (w minutach) pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami abonentów pewnej centrali telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2.
Oblicz średni czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami oraz prawdopodobieństwo, że przed upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.
Zad. 14.5 Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 4a3x1I(0,3)(x). Wyznacz parametr a oraz oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej (X − 2)2.
Zad. 14.6 Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p. Jaki rozkład ma zmienna Y = (−1)X?
Zad. 14.7 Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Znajdź gęstość i wartość oczekiwaną zmiennej Y = max(X, 2 − X).
Zad. 14.8 Zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1). Wyznacz gęstość zmiennych Y = eX i Y = X2. Oblicz EY .
