Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne

7. Rozkłady stacjonarne

Ćw. 7.1 Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej więcej co minutę podejmuje decyzję o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy jest pod szafą, to pozostaje tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdo- podobieństwem 0,2. Ponieważ ma krótką pamięć, kolejne decyzje można uznać za niezależne.

jaka jest po paru godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?

Ćw. 7.2 (F., Zad. 9 str. 348) (Dwa ekrany odbijające) Łańcuch o stanach 1, 2, . . . , a ma macierz, której pierwszym i ostatnim wierszem są odpowiednio (q, p, 0, . . . , 0) oraz (0, . . . , 0, q, p). We wszystkich pozostałych wierszach p_k,k+1= p, p_k,k−1 = q. Znajdź rozkład stacjonarny.

Ćw. 7.3 (J. S., str. 287) (Model Ehrenfestów) k cząstek rozmieszczono losowo w dwóch naczy- niach I i II. W chwili n losowo wybraną cząstkę przenosi się z naczynia, w którym była, do drugiego. Jeśli w pewnej chwili w naczyniu I jest m > 0 cząsteczek (układ jest w stanie m), to w chwili następnej układ znajdzie się w stanie m − 1 lub m + 1, zależnie od tego czy cząsteczka przeszła z naczynia I do II, czy odwrotnie. Znajdź rozkład stacjonarny. Z jaką częstością naczynie I jest puste?

Ćw. 7.4 (Bor. Przykład 5. str. 169) Przypuśćmy, że dwaj szachiści A i B zachowują się w tur- nieju w następujący sposób: szachista A niezależnie od wyników poprzednich partii, każdą partię wygrywa z prawdopodobieństwem p, przegrywa z prawdopodobieństwem q i remisuje z prawdopodobieństwem r = 1 − p − q. Szachista B jest mniej zrównoważony: wygrywa partię z prawdopodobieństwem p + ε, p, p + ε odpowiednio, jeżeli poprzednią partię wygrał, zremisował lub przegrał. Analogicznie zachowuje się prawdopodobieństwo przegranej: jest ono w tych trzech przypadkach odpowiednio równe q −ε, q, q +ε. Który z graczy A i B zbierze więcej punktów w długotrwałym turnieju? Znajdź średnią częstość przegranej gracza B.