Wesoªych ‘wi¡t

24.12.2018, kl 1b Zadania pod choink¦

Zadanie 1. Losujemy liczb¦ rzeczywist¡ x z przedziaªu [2018, 2019]. Jakie s¡ szanse, »e [x²− 2x] + 2[x] = [x]².

Zadanie 2. Upro±¢ wyra»enie

k

X

r=1 k

X

l=r

(−1)^k−r k r

! k − r k − l

!

.

Zadanie 3. Czy

q3

2 +√ 5 + ³

q

2 −√ 5 jest liczb¡ wymiern¡?

Zadanie 4. Znajd¹ najmniejsz¡ warto±¢ wyra»enia

(a²+ a + 1)(b²+ b + 1)(c²+ c + 1)(d²+ d + 1)

abcd .

gdzie a, b, c, d s¡ liczbami dodatnimi.

Zadanie 5. Wyznacz wszystkie liczby naturalne a, dla których istnieje liczba naturalna n taka, »e a = [n +1

2 +√ n].

Zadanie 6. Ile jest permutacji σ zbioru {1, 2, . . . , n} takich, »e

σ₁ < σ₂ < . . . < σ_k, σ_k > σ_k+1, σ_k+1 < σ_k+2< . . . < σ_n? gdzie 1 ¬ k ¬ n − 1 jest ustalon¡ liczb¡ naturaln¡.

Zadanie 7. Czy istnieje liczba naturalna N, »e dla wszystkich liczb n ­ N niepodzielnych przez 41 liczba n²+ n + 41 jest pierwsza?

Zadanie 8. W±ród pierwszych 95 pot¦g dwójki, jedynie 2⁵³, 2⁶³, 2⁷³, 2⁸³, 2⁹³ zaczynaj¡ si¦ cyfr¡ 9, za± tych zaczynaj¡cych si¦ jedynk¡ jest 25 ¹. Oszacuj, ile jest liczb postaci 2ⁿ, gdzie 1 ¬ n ¬ 10⁶, zaczynaj¡cych si¦ na 9? A na 8?

Zadanie 9. Udowodni¢, »e d(1 +√

3)^2me jest podzielna przez 2^m+1 dla ka»dej liczby naturalnej m.

Zadanie 10. Znajd¹ rozwi¡zania równania

q

x +√

2x − 1 +

q

x −√

2x − 1 = A, dla A = 1, A =√

2 i A = 2.

Zadanie 11. Jaka jest najmniejsza mo»liwa warto±¢ wyra»enia ||||x − 5| + 5| − 5| + 5|, gdzie x ∈ R?

Wesoªych ‘wi¡t

1https://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_two