12. CZWÓRNIKI – PARAMETRY ROBOCZE I FALOWE 12.1. PARAMETRY ROBOCZE

12. CZWÓRNIKI – PARAMETRY ROBOCZE I FALOWE 12.1. PARAMETRY ROBOCZE

Jeżeli do jednych wrót czwórnika dołączono źródło wymuszeń, nato- miast drugie wrota obciążono dwójnikiem bezźródłowym, to czwórnik taki pracuje w układzie przesyłowym i charakteryzują go parametry robocze.

Przyjmujemy założenie, że źródło wymuszeń o napięciu źródłowym Eg i impedancji wewnętrznej Zg dołączono do wrót pierwotnych, a wrota wtórne czwórnika obciążono dwójnikiem o impedancji Zobc

I ₁ U ₁

I ₂

CZWÓRNIK

2

Z _g 1

E _g

Z _obc

1’

2

2’

Do parametrów roboczych czwórnika klasy SLS – należy:

IMPEDANCJA WEJŚCIOWA PIERWOTNA

określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej dwójnikiem o impedancji Zobc

I ₁ U ₁

I ₂

CZWÓRNIK

2

Z _g 1

E _g

Z _obc

1’

2

2’

Z _we1 = U ₁ I ₁

Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z pierwsze- go równania (11.6):

2 12 1

11

1 z I z I

U = + ⇒

1 12 2 1 11

1 1

I z I I z

Z_we =U = +

Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U₂ = −Z_obcI₂

2 22 1

21

2 z I z I

U = + ⇒

22 21 1

2

z Z

z I

I

obc +

−

=

Stąd:

22 21 11 12

1 1 1

z Z

z z z

I Z U

we = = − obc + (12.1)

W granicznym przypadku gdy strona wtórna jest:

• rozwarta (Z_obc = ∞ ), impedancja ta staje się

impedancją wejściową pierwotną rozwarciową Z1o i wynosi

11 1

1 Z z

Z_{we Z o}

obc_=∞ = = (12.2)

• zwarta (Zobc = 0 ), impedancja ta staje się

impedancją wejściową pierwotną zwarciową Z1z i wynosi

22 0 1

1 det

Z z

Z_{we Z z}

obc

= Z

= = (12.3)

IMPEDANCJA WEJŚCIOWA WTÓRNA

jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy Eg = 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego

I ₁ U ₁

I ₂

CZWÓRNIK

1

Z _g

1’

2

2’

Z_we2 = U ₂ I ₂ Z drugiego równania (11.6) otrzymujemy

2 22 1

21

2 z I z I

U = + ⇒

2 21 1 22

2 2 2

I z I I z

Z_we =U = +

Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że U₁ = −Z_gI₁

2 12 1

1 z11I z I

U = + ⇒

11 12 2

1

z Z

z I

I

g +

−

=

Stąd:

11 21 22 12

2 2 2

z Z

z z z

I Z U

we = = − g + (12.4)

W granicznych przypadkach Z_we2 staje się:

• impedancją wejściową wtórną rozwarciową Z_2o

22 2

2 Z z

Z_{we Z o}

g_=∞ = = (12.5)

• impedancją wejściową wtórną zwarciową Z2z

11 0 2

2 det

Z z

Z_{we Z z}

g

= Z

= = (12.6)

UWAGA:

Tak określone impedancje zwarciowe i rozwarciowe, pierwotne i wtórne związane są zależnością: Z_1oZ_2z = Z_2oZ_1z =detZ

WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE (TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)

obc u obc

Z z Z z U

K U

11 21 1

2

det +

=

= Z (12.7)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mó- wimy o

skutecznym (efektywnym) wzmocnieniu napięciowym:

I ₁

U ₁ U ₂ Z _g 1

E _g

Z_obc

1’

2

2’

1 1 1 1

2 1

1 2 2

1

we g u g we

g sk g

u

Z Z K Z

Z U U

U I

Z U

U E

K U

+

= +

+ =

=

= (12.8)

WZMOCNIENIE PRĄDOWE (TRANSMITANCJA PRĄDOWA)

( )

obc

i z Z

z I

K I

= +

= −

22 21 1

2 (12.9)

Gdy uwzględni się fakt zasilania z rzeczywistego źródła energii, mó- wimy o

skutecznym (efektywnym) wzmocnieniu prądowym:

I ₁

U ₁ U ₂

1

Z _g Z_obc

1’

2

2’

I _g

(-I ₂

)

( ) ( ) ( ) ( )

g we i

g g we

g g g

g g sk

i

Z Z K Z

I Z I Z

I Z

I Z U

I Z

E I I

K I

1 1

1 1

2 1

1 2 2

2

1+ + =

= − +

= −

= −

= − (12.10)

UWAGA: Wszystkie określone powyżej transmitancje (wzmocnienia) mo- gą być również wyrażone w mierze logarytmicznej:

[ ] [ ]

K K

N K K

dB N

lg 20 ln

=

=

12.1. PARAMETRY FALOWE CZWÓRNIKA

Parametry falowe czwórnika określane są dla szczególnych warunków pracy czwórnika a mianowicie przy tzw. dopasowaniu falowym.

IMPEDANCJE FALOWE

Rozważmy czwórnik pracujący w układzie przesyłowym i załóżmy, że jest on opisany parametrami łańcuchowymi – wówczas:

I ₁ U ₁

I ₂

CZWÓRNIK

1

Z _obc

1’

2

2’

Z

Z

Z _g E _g

22 21

12 1 11

a a

Z

a a

Z Z

obc

we obc +

= + (12.11)

11 21

12 2 22

a a

Z

a a

Z Z

g g

we +

= + (12.12)

Żądając aby ^Z_g ^{= Z}_we1 ^{oraz Z}_obc ^{= Z}_we2 (12.13)

otrzymuje się

11 21

12 22

22 21

12 11

a a

Z

a a

Z Z

a a

Z

a a

Z Z

g g obc

obc g obc

+

= +

+

= +

(12.14)

Impedancje Zg i Zobc, będące rozwiązaniami układu równań (12.14) nazywają się impedancjami falowymi (charakterystycznymi) czwórnika i wyrażają się wzorami:

impedancja falowa pierwotna

22 21

12 1 a11a

a

Z _f = a (12.15)

impedancja falowa wtórna

11 21

12 2 a22a

a

Z _f = a (12.16)

Jest to zatem para impedancji o takiej właściwości, że

• Jeśli Z_g=Zf1, to mówimy że czwórnik jest dopasowany falowo na wejściu (wówczas impedancja wejściowa wtórna jest równa jego impedancji falowej wtórnej).

1

1’

2

2’

Z _we2 = Z _g = Z _f1 CZWÓRNIK Z_f2

E _g

• Jeżeli natomiast Z_obc=Zf2, to mówimy, że czwórnik jest dopasowa- ny falowo na wyjściu (wówczas impedancja wejściowa pierwotna jest równa jego impedancji falowej pierwotnej)

1

1’

CZWÓRNIK

2

2’

Z _we1 = Z_f1 Z _obc= Z_f2

• Jeśli czwórnik jest dopasowany na wejściu i na wyjściu to mówimy, że jest obustronnie dopasowany falowo (w stanie dopasowania falowego),

UWAGA: Impedancje falowe są parametrami własnymi czwórnika, tzn.

zależą tylko od właściwości samego czwórnika!

Impedancje falowe można uzależnić od impedancji wejściowych stanu jałowego i stanu zwarcia.

Ponieważ impedancja wejściowa pierwotna:

• rozwarciowa

21 1 11

a

Z _o = a (12.17) • zwarciowa

22 1 12

a

Z _z = a (12.18)

natomiast impedancja wejściowa wtórna:

• rozwarciowa

21 2 22

a

Z _o = a (12.19) • zwarciowa

11 2 12

a

Z _z = a (12.20)

Zatem: impedancja falowa pierwotna Z f₁ = Z₁o Z₁z (12.21) impedancja falowa wtórna ^Z _{f 2} ^{= Z}_2o ^Z_2z (12.22) IMPEDANCJĘ FALOWĄ ŚREDNIĄ CZWÓRNIKA określamy jako średnią geometryczną impedancji falowej pierwotnej i wtórnej

21 2 12

1 a

Z a Z

Z _f = _{f f} = (12.23)

Jeśli czwórnik jest symetryczny (a₁₁=a₂₂) to posiada tylko jedną impe- dancję falową

z o f

f

f Z Z Z Z

Z = ₁ = ₂ = (12.24)

Dla czwórnika niesymetrycznego możemy również posługiwać się pojęciem przekładni impedancyjnej czwórnika określonej następująco:

1 2 f f

Z

p = Z (12.25)

Można wykazać, że _f ^f Z _f pZ _f p

Z ₁ = Z , ₂ = (12.26)

TAMOWNOŚĆ FALOWA (współczynnik przenoszenia falowego) Drugim istotnym parametrem falowym czwórnika jest tamowność fa- lowa „g”. Określa się ją dla czwórnika DOPASOWANEGO FALOWO NA

• WYJŚCIU jako tamowność falową pierwotną I ₁

U ₁ U ₂

1

1’

2

2’

(- I ₂

)

g₁

( )

2 2

2 1 1

1 ln

2 1

Zf Zobc

I U

I g U

− =

=

(12.27)

• WEJŚCIU jako tamowność falową wtórną

U ₁ U₂

1

1’

2

2’

g₂

(- I ₁

)

( )

1 1

1 2 2

2 ln

2 1

f

g Z

I Z

U I g U

− =

=

(12.28)

Definiuje się także tamowność falową średnią

2

2

1 g

g g +

= (12.29)

Współczynniki g1 i g2 można wyrazić za pomocą macierzy łańcucho- wej czwórnika:

(

)

1 ln a a a a

g = + (12.30)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=ln ^{11 22}detA ^{12 21}

2

a a a

g a (12.31)

Z równań (11.63 i 64) wynika, że dla czwórników odwracalnych (detA=1) oba współczynniki przenoszenia są sobie równe

(

)

2

1 g ln a a a a

g

g = = = + (12.32)

Warunki transmisji sygnałów przez czwórnik odwracalny są dla obu kierunków transmisji identyczne.

Przepływ energii odbywa się w sposób symetryczny.

====================================

Gdy czwórnik dopasowany jest falowo na wyjściu:

I ₁

U ₁ U ₂

1

1’

2

2’

(- I ₂

)

g₁ Z _we1=Z _f1

( ) ( )

2 2 2

2 2

2

f

f Z

I U I Z

U = ⇒ − =

−

1 1 1

1 1

1

f

f Z

I U I Z

U = ⇒ =

( ) ( )

2 2 1 1 2 1

2 2 2 1

2 2 2

1 1 1

2 2

1 1

1 ln

2 ln 1

2 ln 1

2 ln 1

2 1

f f f

f

f f

Z I

Z I Z

U Z U Z

U U Z U U I

U I g U

= −

=

− =

=

====================================

W przypadku czwórnika symetrycznego [pamiętając o (12.24)]

(

)

2 1 ln

ln I

I U

g U

= −

= (12.33)

( )

(

)

ln ₁₁+ _{12 21} = ₁₁+ ₁₁² −

= a a a a a

g (12.34)

Ogólnie współczynnik przenoszenia falowego jest liczbą zespoloną o postaci

g = a + j b

====================================

Zespolone wartości skuteczne napięć zaciskowych:

1 1

1 U ejΨ

U = , U₂ =U₂ e^jΨ2

====================================

Zgodnie z (12.33)

2 1

2 1 2

1 ln

ln _Ψ

Ψ j j

e U

e U U

g = U = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ₂

2

1 ln ¹

ln _Ψ

Ψ j

j

e e U

U

( )

(

)

ln ln

2

1 ⎟⎟⎠+ Ψ −Ψ

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ e^j

U U

(

)

2

ln 1 ⎟⎟ + Ψ −Ψ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ j

U U

[ ]

[ ]

a +

= Przekształcając (12.33)

2 1

U e ^g = U

g =

e e^(a+jb) = e ^a e^{j b}

2 1

2 1 2

1 Ψ

Ψ j j

e U

e U

UU = ^{( 1 2)}

2

1 Ψ −Ψ

= e^j

U U współczynnik tłumienia falowego

(tłumienność)

współczynnik przesunięcia falowego

(przesuwność)

PRZYKŁAD: Dla czwórnika w stanie dopasowania falowego o znanej

macierzy łańcuchowej

( ) ( )

( )

⎢⎣

⎡

+ +

−

= +

2 4 2

, 0

20 20

2 4

j j A j

i znanym napięciu wej. u₁

( )

wyznaczyć: a) rozwarciową i zwarciową impedancję wejściową wtórną;

b) parametry dwójnika obciążenia;

c) napięcie wyjściowe.

Ad. a) rozwarciowa impedancja wejściowa wtórna (12.19)

10 2 20

, 0

2 4

21

2 22 j j

a

Z _o = a = + = +

zwarciowa impedancja wejściowa wtórna (12.20)

6 2 2

4

20 20

11

2 12 j

j j a

Z _z a = − +

+ +

= −

=

Ad. b) Z macierzy A wynika, że czwórnik jest symetryczny, czyli (12.24)

99 , 10 55

,

4 j

Z Z

Z

Z _f = _{o z} = _obc = +

Zatem: R X_L

Znając pulsację i reaktancję indukcyjną, = =17 ω^L

L X ^[mH]

Ad. c) Tamowność falowa (12.34)

(

) (

) ⁽

⁾

g = ln ₁₁ + ₁₁² −1 = ln 8,88 ^27,15o =ln 8,88 ^0,474

(

)

( )

ln e ^0,474 j

g = + ^{j rad} = +

Czyli:

126 , 88 1 , 8

10 10

18 , 2

2 = 1 = = =

e e

U U_a [v], Ψ2 =Ψ1−^b

[ ]

( )

2 t t o

u = +