Zad 1. W kolejnych 5-ciu urnach wyciągniemy kulę białą z prawdopodobieństwem odpowiednio – 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy: a).

(1)

Zad 1.

W kolejnych 5-ciu urnach wyciągniemy kulę białą z prawdopodobieństwem odpowiednio – 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy:

a). 4 kule białe

b). przynajmniej jedną kulę białą.

Zad 2.

Automat tokarski produkuje nity, których średnica ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 0,04 mm.

Wartość oczekiwana może być regulowana przez odpowiednio ustawienie automatu. Nit spełnia normę jeżeli jego średnica mieści się w przedziale < 2,9 mm , 3,1 mm >.

a). Jakie jest prawdopodobieństwo wyprodukowania braku, gdy automat ustawiono tak, że wartość oczekiwana wynosi 3,04 mm.

b). Jak powinien być ustawiony automat, żeby prawdopodobieństwo wyprodukowania nitu nie zgodnie z normą była najmniejsza.

Zad 3.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest następujący:

xi 0 2 4 6

pi 0,1 0,4 0,2 0,3

a). Oblicz E(X), D

²

(X), D(X).

b). Podaj wartość P(X > 0)

Zad 4.

Dla jakiej wartości c funkcja

f x c x x

( )     x

 

dla 0 4

0 dla pozostalych

może być gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć:

a). Wartość oczekiwaną zmiennej losowej b). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

c). P( 1<X < 3).

d). Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej losowej Y=X^2.

Zad 5.

Na trasie samochodu znajdują się 5 sygnalizatory świetlne z których każdy z prawdopodobieństwem 0,5 przepuszcza lub zatrzymuje ruch. Znaleźć rozkład liczby sygnalizatorów, które minął samochód przed pierwszym zatrzymaniem się. Tzn. wyznaczyć zmienną losową i jej wartość oczekiwaną przyjmująca wartości liczbę

sygnalizatorów przejechanych do momentu pierwszego zatrzymania się.

Zad 6. W celu oszacowania błędu standardowego pewnego przyrządu pomiarowego (odchylenia standardowego tego przyrządu) dokonano 4 pomiarów pewnej wielkości i otrzymano wyniki:

8,2 ; 8,15 ; 8,05 ; 8,14 . Zakładając, że wskazania przyrządu mają rozkład normalny podać przedział ufności dla błędu (odchylenia standardowego) na poziomie ufności 0,95.

Zad 7. Analizując wydajność pracy w pewnym zakładzie w czasie dnia po wprowadzeniu reorganizacji otrzymano następujące wyniki:

Wykonano sztuk 140 150 160 170 180

liczba pracowników 5 10 15 10 5

Badając wydajność pracy przed reorganizacją na 70 pracownikach otrzymano, że średnia liczba zrobionych sztuk wynosi 150 i odchylenie standardowe 12 sztuk.

a). Czy na poziomie istotności 0,05 można twierdzić, że reorganizacja zwiększyła wydajność pracy w zakładzie.

b). Na poziomie ufności 1- =0,95 oszacować metodą przedziałową wartość oczekiwaną liczby zrobionych sztuk przez pracownika przed reorganizacją.

(2)

Ad 7a).

Niech X oznacza zmienną losową badanej cechy w pierwszej populacji. Próbę n - elementową

xn

x x

x₁, ₂, ₃,....,

będziemy traktować jaką realizację ciągu zmiennych losowych

X₁,X₂,X₃,....,Xn

gdzie zmienna losowa

Xi

przyjmuje wartości – wartość

ⁱ^^tego

pomiaru cechy w próbie

ⁱ^¹^,²^,...,ⁿ

. Dla różnych prób n - elementowych wartości są zazwyczaj różne. Ponieważ próba jest próbą losową prostą / tzn. wybieramy elementy z populacji tak aby każdy element miał jednakowe

prawdopodobieństwo trafienia do próby/ i populacja jest duża /wtedy wylosowany element nie wpływa na stan populacji / to zmienne losowe

X₁,X₂,X₃,....,Xn

są niezależne i rozkład tych zmiennych jest taki sam co rozkład zmiennej losowej X co zapisujemy

^X ~ ^Xi ⁱ 1,2,...,ⁿ

Niech Y oznacza zmienną losową badanej cechy w drugiej populacji. Próbę

^k

- elementową

yk

y y

y₁, ₂, ₃,....,

będziemy traktować jaką realizację ciągu zmiennych losowych

Y₁,Y₂,Y₃,....,Yk

gdzie zmienna losowa

Yi

przyjmuje wartości – wartość

ⁱ^^tego

pomiaru cechy w próbie

ⁱ^¹^,²^,...,^k

. Z tych samych powodów zmienne losowe

Y₁,Y₂,Y₃,....,Yk

są niezależne i rozkład tych zmiennych jest taki sam co rozkład zmiennej losowej Y , co zapisujemy

^Y ~^Yi ⁱ1,2,...,^k

Niech m_x EX E(X) _x² D²X D²(X)_.

Wtedy m_x EX_i _x² D²(X_i) i 1,2,...,n,... oraz jeżeli )

(

)

(Y ² D²Y D² Y E

EY

m_y   _y   to wtedy

,...

,..., 2 , 1 ) (

² D² Y i k

EY

m_y  _i _y  _i 

Dla ciągu zmiennych losowych Y X Y n k N

X k

Z n ⁿ _k

i

k i

n i i

k

n

      

 

, 1

1

) (

1 1

) (

, z niezależności również

zmiennych Y n k N

Y k n X

X ^k

i i k

n i

i

n

    



, 1

1 )

( 1

)

( . mamy

N k n m m k EY

n EX k Y

n X E

EZ ⁿ

i

k i

n i

k

i i x y

i i

i k

n

          

   

, 1

) 1 1 ( 1

1 1 1 1

,

N k k n

Y n k D

X n D

k Y n X

D Z

D ⁿ

i

k i

n i

k i

x y i i

i i

k

n 















  

   

, 1

) 1 1 (1

1 1 1 1

2 2 2

2 2

,

2

 

Korzystaliśmy z podstawowych ogólnych wzorów i własności na obliczanie wartości oczekiwanej i wariancji.

Jest ten ciąg asymptotycznie normalny i standaryzacja dla dużych n i k (n,k>30) daje statystykę

)

1 , 0 ( ) ~ (

2 2 ,

, N

k n

m m U Z

x y

y x k n k

n



_





 

w przybliżeniu normalną standaryzowaną.

Przy prawdziwości hipotezy zerowej ^H^o^:^m^x ^^m^y

statystyka

² ² ^~ ⁽⁰^,¹⁾

) ( ) (

, N

k n

Y U X

x y k n k

n



_



 

Gdy zastąpimy wariancje teoretyczne wariancjami uzyskanymi w próbie uzyskamy również )

1 , 0 (

2 ~

2 ) ( ) (

, N

k S n S

Y U X

x y k n k

n



 

(3)

Wykonano sztuk

Liczba

pracowników składniki składniki

140 5 700 2000

150 10 1500 1000

160 15 2400 0

170 10 1700 1000

180 5 900 2000

n =  = 45  = 7200  = 6000

45 160

7200 



x

¹³³^,³³

45

2  6000

sx

sx ^ ¹³³^,³³^¹¹^,⁵⁵

150

y

s_y²

 12

²

 144

k 70

Wartość statystyki 4,55

70 144 45

33 , 133

150 160

0 



  u

Aby odpowiedzieć na postawione pytanie bierzemy hipotezę alternatywną

^H³^:^m^x ^^m^y

Związaną z testem prawostronnym, a obszarem krytycznym będzie obszar

K ⁽u2_ ^,⁾

645 ,

1 1

, 0

2  u 

u _

czyli

^K ^⁽¹^,⁶⁴⁵^,^^⁾

. Wartość statystyki należy do przedziału krytycznego tzn.



^^







4,55 1,645 ;

0 K

u

to oznacza, że w założeniach występuje nieprawda czyli hipoteza zerowa jest fałszywa i jest prawdziwa hipoteza alternatywna z prawdopodobieństwem przynajmniej 0,95 . Może zaistnieć błąd pierwszego rodzaju z prawdopodobieństwem 0,05, że hipoteza zerowa jest prawdziwa a przyjęliśmy alternatywną.

Na podstawie tych danych twierdzimy, że reorganizacja wpływa na wydajność. Jest to zdanie prawdziwe z prawdopodobieństwem przynajmniej 0,95.

Ad 7b).

Dla zmiennej

1

1 )

(





ⁿ

i i

n Y

Y n

1

1 )

(





ⁿ

i

y i

n EY m

Y n

E 1

1

2 2

) 2 (

2





 ⁿ

i

y i

n D Y n

Y n

D



Z twierdzenia granicznego Lindeberga-Levy’ego

Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych



Xn



^_n_1 o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej

m

i skończonej wariancji ² 0 ciąg

 

Fn ^n1 dystrybuant standardowych średnich arytmetycznych Xn albo standardowych sum



 n

k Xi

1

n nm X n

m Y X

n

k i

n

 



 

 

1

Jest zbieżny do dystrybuanty



rozkładu N(0,1).

Wynika, że zmienne losowa ⁽ ⁾ Y⁽ ⁾ m n ~N(0,1) n

m

U_n Yⁿ ^y ⁿ ^y

 

 

dla dużych n ma w przybliżeniu rozkład normalny standaryzowany. Zastępując odchylenie teoretyczne odchyleniem uzyskanym w próbie uzyskamy przedział ufności którego wzór wyprowadzaliśmy na ćwiczeniach

) (

1 ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎

n u S Y n m

u S Y n P

u S Y n m

u S Y

P _n _ _y _n _ _n _ _y _n _

           



Stąd

i

i x n

x

)

²

( 

ni

i in

i x x

(4)

70 96 12 , 1 70 150

96 12 , 1

150 m 

ponieważ

^u^ ^{ u}⁰^,⁰⁵ ^¹^,⁹⁶

z tablic rozkładu normalnego.

Stąd

¹⁴⁶^,⁵^{ m}^¹⁵³^,⁵.

Ten przedział z prawdopodobieństwem 0,95 pokrywa teoretyczną wydajność pracy pracowników przed reorganizacją.

Zad 2).

W punkcie a) należało wyznaczyć P(2,9U 3,1)? gdzie U ~N(3,04 ;0,04)

          



 

 



 

 





 3 , 5 1 , 5 ( 1 , 5 ) ( 3 , 5 )

04 , 0

04 , 3 1 , 3 04 , 0

04 , 3 04

, 0

04 , 3 9 , ) 2

1 , 3 9

, 2

(

U P W

P U

P

93296 , 0 000233 ,

0 933195 ,

0   .

Prawdopodobieństwo wyprodukowania braku będzie wynosić ^p^¹^⁰^,⁹³²⁹⁶^⁰^,⁰⁶⁷⁰⁴^⁶^,⁷^% W punkcie b) przy zmianie wartości oczekiwanej wykres funkcji gęstości tylko przesuwa się wzdłuż osi OX . Najmniejsze prawdopodobieństwo wyprodukowania detalu nie zgodnie z normą będzie wtedy, gdy pole nad przedziałem <2,9 ; 3,1> i do wykresu funkcji gęstości będzie największe . Ze względu na symetryczność funkcji gęstości względem prostej

x  m

pole będzie największe gdy wartość oczekiwana będzie w środku przedziału tzn.

gdy m3.

Wtedy automat tokarski będzie produkował nity zgodnie z normą z prawdopodobieństwem )

04 , 0 ; 3 (

~

? ) 1 , 3 9

, 2

( U gdzie U N

P   





















 



     





 ( 2,5 2,5) (2,5) ( 2,5)

04 , 0

3 1 , 3 04 , 0

3 04

, 0

3 9 , ) 2 1 , 3 9

, 2

( U P W

P U

P

987581 ,

0 006209 ,

0 99379 ,

0  

Prawdopodobieństwo wyprodukowania braku będzie wynosić ^p^¹^⁰^,⁹⁸⁷⁵⁸¹^⁰^,⁰¹²⁴^¹^,²⁴^%

Większość modeli do estymacji i testowania hipotez przerobiliśmy, i wskazałem miejsce gdzie można znaleźć te modele, mając oficjalnie wydrukowaną ściągę. Większość wykorzystywanych tam własności wyprowadziliśmy.