4. Prawdopodobieństwo warunkowe Ćw. 4.1

Rachunek prawdopodobieństwa

4. Prawdopodobieństwo warunkowe

Ćw. 4.1 W tabeli podano dane dotyczące grupy pracowników pewnej instytucji. Wiadomo, że każda z osób mogła przejść dokładnie jedno ze szkoleń.

grupa wiek liczebność kobiety szkolenie A szkolenie B kobiety mężczyźni kobiety mężczyźni

I 18 - 29 50 20 10 8 8 5

II 30 - 41 50 25 10 8 10 10

III 42 - 53 45 30 10 5 5 5

IV 54 - 65 25 10 3 5 4 5

Losujemy jedną osobę z grupy.

1. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba jest mężczyzną z grupy wiekowej II, który nie przeszedł szkolenia.

2. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ukończyła jeden z kursów i ma co najmniej 30 lat.

3. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ukończyła kurs B, jeśli wiadomo, że jest z grupy wiekowej I lub II.

4. Wylosowano kobietę, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy ona do IV grupy wie- kowej i ukończyła kurs A?

Ćw. 4.2 Wybieramy losowo jedną rodzinę spośród rodzin z dwojgiem dzieci. Jakie jest praw- dopodobieństwo tego, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami, jeżeli wiemy, że w tej rodzinie:

a) starsze dziecko jest chłopcem, b) jest co najmniej jeden chłopiec.

Ćw. 4.3 Wiadomo, że rzut 10 kośćmi do gry dał na co najmniej jednej z nich jedno oczko. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że jedno oczko pojawiło się na dwóch lub więcej kościach.

Ćw. 4.4 W pierwszej urnie są trzy kule białe i dwie czarne, a w drugiej są cztery czarne i jedna biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Ćw. 4.5 Wiadomo, że 5% studentów umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne, 30% umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% umie odpowiedzieć na 60%

pytań, 25% umie odpowiedzieć tylko na 50% pytań. Z tego zespołu wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że odpowie on na zadane pytanie.

Ćw. 4.6 Pewna loteria sprzedaje N losów, przy czym k losów wygrywa. W ramach promocji dodano m losów pozwalających losować powtórnie. Jak wpłynęło to na prawdopodobieństwo wygrania?

Ćw. 4.7 Pięciu mężczyzn na 100 i 25 kobiet na 10 000 to daltoniści. Z grupy zawierającej taką samą liczbę kobiet i mężczyzn wybrano losowo jedną osobę. Okazało się, że nie odróżnia ona kolorów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybrano mężczyznę?

Rachunek prawdopodobieństwa

Ćw. 4.8 Dla kobiety 30-letniej prawdopodobieństwo urodzenia dziecka z zespołem Downa wyno- si 1/940. Czułość pewnego testu jest równa C (u takiej części chorych dzieci test wykrywa chorobę), a specyficzność wynosi S (u takiej części zdrowych dzieci test nie wykazuje choro- by). Testowi poddano losowo wybraną ciężarną 30-latkę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nosi ona chore dziecko, jeśli wiadomo, że test dał odpowiedź „chory”. Ile wynosi to praw- dopodobieństwo dla C = 96% i S = 94%, a ile dla C = 100% i S = 99%?

Ćw. 4.9 Problem Monty’ego Halla Przypuśćmy, że grasz w teleturnieju i masz do wyboru trzy bramki: za jedną z nich jest samochód, za dwoma Zonk. Wybierasz bramkę, np. nr 1, a go- spodarz teleturnieju, wiedząc co jest za drzwiami, otwiera inną bramkę, np. nr 3, za którą jest Zonk. Gospodarz zadaje pytanie: Czy chcesz wybrać bramkę nr 2? Czy powinieneś zmienić swoją decyzję i wybrać bramkę nr 2 zamiast bramki nr 1?

Rachunek prawdopodobieństwa

4. Prawdopodobieństwo warunkowe – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 4.1 Wśród dziesięciu losów loteryjnych znajduje się jeden los z główną wygraną oraz dwa losy uprawniające do wylosowania następnego losu. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przy zakupie jednego losu.

Zad. 4.2 W pudełku znajdują się trzy żetony, z których jeden jest obustronnie biały, drugi obu- stronnie czarny, a trzeci biało-czarny. Losujemy jeden żeton i nie oglądając go, kładziemy na stole. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że niewidoczna strona żetonu jest biała pod warunkiem, że widoczna też jest biała.

Zad. 4.3 W partii brydża pan X nie ma asa. Znaleźć prawdopodobieństwo, że jego partner 1. też nie ma asa,

2. ma 2 lub więcej asów.

Zad. 4.4 Zestaw tematów egzaminacyjnych składa się z 15 tematów z algebry, 15 z geometrii i n tematów z prawdopodobieństwa. Z zestawu usunięto jeden temat, a następnie wylosowano z pozostałych jeden temat. Oblicz n, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania tematu z prawdopodobieństwa wynosi 1/4.

Zad. 4.5 W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. Rzucono 10-krotnie jedną losowo wybraną monetą i otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobień- stwo tego, że rzucano monetą z orłami po obu stronach.

Zad. 4.6 Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest fak- tycznie chora?

Zad. 4.7 Wśród czterech monet dwie są symetryczne. Prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki trzecią monetą wynoszą odpowiednio ¹₃ i ²₃, a czwartą odpowiednio ³₄ i ¹₄. Wybieramy losowo jedną monetę i rzucamy nią dwukrotnie. Oblicz prawdopodobieństwo, że

1. wypadną 2 orły, 2. wypadną 2 reszki,

3. wybrano monetę trzecią, jeżeli wiemy, że uzyskano 2 orły, 4. wybrano monetę trzecią, jeżeli wiemy, że uzyskano 2 reszki.

Zad. 4.8 (PP, 56/20) Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania sy- gnałów kropka-kreska. Statystyczne właściwości zakłóceń są takie, że błędy następują w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnału kropka i w 1/3 przy nadawaniu sygnału kreska. Wia- domo, że ogólny stosunek liczby nadawanych sygnałów kropka do sygnałów kreska wynosi 5:3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy przyjmowaniu sygnału

1. kropka, 2. kreska,

w rzeczywistości te właśnie sygnały zostały nadane.

Rachunek prawdopodobieństwa

Zad. 4.9 Dylemat więźnia. Naczelnik postanowił uwolnić jednego spośród więźniów A, B, C.

Dowiedzieli się o tym więźniowie, ale nie wiedzą, który z nich będzie wolny. Więzień A prosi znajomego strażnika o losowe wskazanie jednego z więźniów (różnego od A), który ma pozostać w więzieniu. Przed zadaniem pytania A ocenia, że każdy z więźniów ma szansę wyjścia równą 1/3. Myśli, że gdy strażnik powie na przykład, że zostaje B, to jego szanse wzrosną do 1/2 (bo zostanie uwolniony A lub C). Czy popełnia błąd?

Zad. 4.10 (S, 2.12/72) W każdym roku prawdopodobieństwo, że kierowca płci męskiej miał wy- padek pociągający za sobą wypłatę odszkodowania z jego polisy wynosi p, niezależnie od innych lat. To samo prawdopodobieństwo dla kobiety wynosi q. Załóżmy, że w towarzy- stwie ubezpieczeniowym jest tyle samo polis wykupionych przez mężczyzn co przez kobiety i towarzystwo losowo wybiera jednego kierowcę.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany kierowca miał w tym roku wypadek pocią- gający wypłatę odszkodowania?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany kierowca miał taki wypadek przez dwa lata z rzędu?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kierowca, z którego polisy wypłacono w tym roku odszkodowanie, będzie miał kolejną szkodę w przyszłym roku? Czy jest ono większe od prawdopodobieństwa wypadku w przyszłym roku bez wiedzy o szkodowości w tym roku?

Literatura:

• (PP) A. Plucińska, E. Pluciński: Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki mate- matycznej dla studentów politechnik. PWN, Warszawa (1976).

• (S) D. Stirzaker: Elementary Probability. Cambridge University Press (2005).