Wstęp do statystycznej analizy danych 4. Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa

Wstęp do statystycznej analizy danych

4. Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa

Ćw. 4.1 W tabeli podano dane dotyczące grupy pracowników pewnej instytucji. Wiado- mo, że każda z osób mogła przejść dokładnie jedno ze szkoleń.

grupa wiek liczebność kobiety szkolenie A szkolenie B kobiety mężczyźni kobiety mężczyźni

I 18 - 29 50 20 10 8 8 5

II 30 - 41 50 25 10 8 10 10

III 42 - 53 45 30 10 5 5 5

IV 54 - 65 25 10 3 5 4 5

Losujemy jedną osobę z grupy.

1. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba jest mężczyzną z grupy wiekowej II, który nie przeszedł szkolenia.

2. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ukończyła jeden z kursów i ma co najmniej 30 lat.

3. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba ukończyła kurs B, jeśli wiadomo, że jest z grupy wiekowej I lub II.

4. Wylosowano kobietę, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy ona do IV grupy wiekowej i ukończyła kurs A?

Ćw. 4.2 W pudełku znajdują się trzy żetony, z których jeden jest obustronnie biały, drugi obustronnie czarny, a trzeci biało-czarny. Losujemy jeden żeton i nie oglądając go, kładziemy na stole. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że niewidoczna strona żetonu jest biała pod warunkiem, że widoczna też jest biała.

Ćw. 4.3 Wiadomo, że rzut 10 kośćmi do gry dał na co najmniej jednej z nich jedno oczko. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że jedno oczko pojawiło się na dwóch lub więcej kościach.

Ćw. 4.4 W partii brydża pan X nie ma asa. Znaleźć prawdopodobieństwo, że jego part- ner

1. też nie ma asa,

2. ma 2 lub więcej asów.

Ćw. 4.5 W pierwszej urnie są trzy kule białe i dwie czarne, a w drugiej są cztery czar- ne i jedna biała. Rzucamy kostką. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Ćw. 4.6 Wiadomo, że 5% studentów umie odpowiedzieć na wszystkie pytania egzamina- cyjne, 30% umie odpowiedzieć na 70% pytań egzaminacyjnych, 40% umie odpowie- dzieć na 60% pytań, 25% umie odpowiedzieć tylko na 50% pytań. Z tego zespołu wybrano w sposób losowy studenta. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że odpowie on na zadane pytanie.

1

Ćw. 4.7 Pewna loteria sprzedaje N losów, przy czym k losów wygrywa. W ramach pro- mocji dodano m losów pozwalających losować powtórnie. Jak wpłynęło to na praw- dopodobieństwo wygrania?

Ćw. 4.8 5 mężczyzn na 100 oraz 25 kobiet na 10 000 jest daltonistami. Wybrano losowo osobę i okazało się, że nie odróżnia kolorów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna? Przyjmujemy, że liczba kobiet jest równa liczbie mężczyzn.

Ćw. 4.9 W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe.

Rzucono 10-krotnie jedną losowo wybraną monetą i otrzymano 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rzucano monetą z orłami po obu stronach.

Ćw. 4.10 Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na 1000, daje tak zwaną fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych (u chorego daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora?

Ćw. 4.11 Wśród czterech monet dwie są symetryczne. Prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki trzecią monetą wynoszą odpowiednio ¹₃ i ²₃, a czwartą odpowiednio ³₄ i ¹₄. Wybieramy losowo jedną monetę i rzucamy nią dwukrotnie. Oblicz prawdopodobień- stwo, że

1. wypadną 2 orły, 2. wypadną 2 reszki,

3. wybrano monetę trzecią, jeżeli wiemy, że uzyskano 2 orły, 4. wybrano monetę trzecią, jeżeli wiemy, że uzyskano 2 reszki.

2