Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 1. – rozwiązania
28 października 2016
1. Udowodnij korzystając z zasady indukcji matematycznej:
(a) ∀n∈N∑nk=0k = (n+1)n2
Pierwszy krok dla n = 0. 0 = 0, ok.
Drugi krok. Załóżmy, że 1 + . . . + k = (k+1)(k)2 . Teza: 1 + . . . + k + (k + 1) = (k+2)(k+1)2 . Rzeczywiście korzystając z założenia: 1 + . . . + k + k + 1 =(k+1)(k)2 + (k + 1) = (k+1)(k)+2(k+1)
2 = (k+2)(k+1)2 . OK. ◻ (b) ∀n∈N∑nk=0k2=n(n+1)(2n+1)
6
Pierwszy krok n = 0. 0 = 0⋅1⋅16 =0, ok.
Drugi krok. Załóżmy, że 1 + . . . + k2= k(k+1)(2k+1)
6 . Teza: 1 + . . . + k2+ (k + 1)2= (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)
6 .
Korzystając z założenia: 1 + . . . + k2+ (k + 1)2 = k(k+1)(2k+1)
6 + (k + 1)2 = (k+1)(2k
2+k)+6(k+1)(k+1)
6 =
(k+1)(2k2+k+6k+6)
6 = (k+1)(k+2)(2k+3)
6 = (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)
6 . OK. ◻
(c) ∀n∈N3∣n3+2n
Pierwszy krok, dla n = 0, 3∣0, ok.
Drugi krok. Załóżmy, że 3∣k3+2k. Teza: 3∣(k + 1)3+2(k + 1). Niech zatem k3+2k = 3a. Zatem (k + 1)3+2(k + 1) = k3+3k2+3k + 1 + 2k + 2 = (k3+2k) + 3k2+3k + 3 = 3(a + k2+k + 1) jest podzielne przez 3. ◻
(d) ∀n∈N3∣7n−1
Pierwszy krok, dla n = 0, 3∣1 − 1, ok.
Drugi krok: założenie: 3∣7k−1, teza 3∣7k+1−1. Niech 7k−1 = 3a. Zauważmy, że 7k+1−1 = 7⋅7k−7+7−1 = 7(7k−1) + 6 = 3(7a + 2) jest podzielne przez 3. ◻
(e) ∀n∈N7∣11n−4n
Pierwszy krok, dla n = 0, 110−40=1 − 1 = 0 jest podzielne przez 7.
Drugi krok: założenie: 7∣11k −4k, teza 7∣11k+1−4k+1. Niech 11k−4k = 7a. Zatem 11k+1−4k+1 = 11 ⋅ 11k−11 ⋅ 4k+7 ⋅ 4k=11 ⋅ 7a + 7 ⋅ 4k=7(11a + 4k)jest podzielne przez 7. ◻
(f) ∀n∈Nn ≥ 3 → 2n>2n + 1
Pierwszy krok, dla n = 3, 23=8 > 6 + 1 = 7, ok.
Drugi krok: założenie 2k > 2k + 1, teza 2k+1 > 2(k + 1) + 1. Rzeczywiście korzystając z założenia:
2k+1=2 ⋅ 2k>2(2k + 1) = 4k + 2 > 2k + 2 + 2 > 2k + 2 + 1 = 2(k + 1) + 1. Po drodze skorzystaliśmy z tego, że k ≥ 3 > 1. ◻
2. Na ile maksymalnie kawałków można podzielić ciasto przy pomocy n prostych cięć nożem? Odpowiedź udowodnij przez indukcję.
Bez cięcia mam jeden kawałek, z cięciem mam dwa kawałki, z dwoma cięciami mam 4 kawałki, ale z trzema cięciami mam nie 8, a maksymalnie 7 kawałków. Zgaduję prawidłowość, że za n-tym cięciem dochodzi n kawałków. Zatem twierdzę (patrz pierwszy podpunkt w poprzednim zadaniu), że jest tych kawałków n(n+1)2 +1.
No to teraz spróbujmy to udowodnić. Nie będę dowodził samego wzoru przez indukcję (bo to tak naprawdę mamy), a fakt z którego skorzystałem, że da się tak pociąć N razy, żeby za n-tym (n < N ) razem dochodziło n kawałków. Będę ciął z zachowaniem warunku, że żadne 2 cięcia nie są równoległe. Rzeczywiście mając k nierównoległych cięć mogę przeprowadzić k + 1 cięcie, które nie jest równoległe do żadnego z poprzednich i nie przechodzi przez żaden ich punkt przecięcia. Zatem przecina (gdzieś) wszystkie poprzednie cięcia
1
i (gdyby moje ciasto było odpowiednio duże), to dodaje nowe k + 1 kawałków (jeden na każdy odcinek pomiędzy swoimi przecięciami). Ale może się zdarzyć, że moja linia cięcia przecina jakąś linię cięcia daleko poza ciastem. Na to też mogę zaradzić skalując moje cięcia tak, żeby wszystkie przecięcia linii zmieściły się wewnątrz obszaru ciasta. Co kończy sprawdzanie kroku indukcyjnego. ◻
3. Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb Fn o takiej właściwości, że Fn+2=Fn+Fn+1dla każdego n ∈ N oraz F0=0, F1=1. Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej, że Fn= √1
5(1+
√ 5 2 )
n
−√1
5(1−
√ 5 2 )
n
. Sprawdzamy pierwszy krok indukcyjny: √1
5(1+
√ 5 2 )
0
−√1
5(1−
√ 5 2 )
0
=√1
5−√1
5=0 = F0. Jest.
W przypadku kroku indukcyjnego tak naprawdę musimy rozważyć dwa przypadki, ponieważ wzór induk- cyjny nie opisuje zachowania F1, czyli przypadek k = 1 musimy rozpatrzeć osobno. Sprawdzamy najpierw ten przypadek : √1
5(1+
√ 5 2 )
1
−√1
5(1−
√ 5 2 )
1
= √1
5
√
5 = 1 = F1, działa.
To teraz załóżmy, że wzór działa dla n ≤ k > 1. I udowodnimy, że jest też tak dla n = k + 1.
1
√5( 1 +√
5
2 )
k+1
− 1
√5( 1 −√
5
2 )
k+1
= 1
√5( 1 +√
5
2 )
k−1
( 1 +√
5
2 )
2
− 1
√5( 1 −√
5
2 )
k−1
( 1 −√
5
2 )
2
=
= 1
√ 5(
1 +√ 5
2 )
k−1
( 3 +√
5 2 ) −
1
√ 5(
1 −√ 5
2 )
k−1
( 3 −√
5 2 ) =
= 1
√5( 1 +√
5
2 )
k−1
(1 +1 +√ 5 2 ) −
1
√5( 1 −√
5
2 )
k−1
(1 +1 −√ 5 2 ) =
= 1
√5( 1 +√
5
2 )
k−1
− 1
√5( 1 −√
5
2 )
k−1
+ 1
√5( 1 +√
5
2 )
k
− 1
√5( 1 −√
5
2 )
k
=Fk−1+Fk. Zgadza się!. ◻
2
