ZESTAW 5:
1. Sprawdź czy podane poniżej relacje są: zwrotne(Z), antysymetryczne(AS), prze- chodnie(P), przeciwzwrotne(PZ) czy symetryczne(S).
(a) Relacja ≤ oraz ≥;
(b) Relacja < oraz >;
(c) Relacja =.
Która z nich jest relacją równoważności?
2. Niech p ∈ Z i p > 1. ∀m, n ∈ Z liczba m przystaje do n modulo p gdy różnica m − n jest wielokrotnością p. Relację tę zapisujemy m ≡ n(mod p) i nazywamy kongruencją.
Pokaż, że relacja kongruencji jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
3. Czy możesz powiedzieć coś ciekawego o bf (x)c, gdy f (x) jest ciągłą i malejącą funkcją o wartościach całkowitych tylko dla całkowitych liczb x?
Podpowiedź: Odpowiedzi szukaj w wykładzie nr 4.
4. Czy prawdą jest, że (x mod ny) mod y = x mod y, gdzie n jest liczbą całkowitą?
Podpowiedź: Można zdefiniować mod jako działanie dwuargumentowe przy użyciu funkcji podłogi.
5. Oblicz sumęPn
k=21/((k − 1)k(k + 1)) metodami rachunku różnicowego omówionymi na wykładzie.
6. Czemu jest równa suma P
0≤k<nHk/(k + 1)(k + 2))? Skorzystaj z metod rachunku różnicowego.
Podpowiedź: Wyprowadź wzór na sumęP
0≤k<nkHk.
7. Oblicz ∆(cx) i wykorzystaj wynik do wyliczenia wartości Pn
k=1(−2)k/k.
Wykład nr 4 oraz R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, rozdział 2-3.
Zestaw dla grup A. Rostworowskiego (Poniedzialek) oraz J. Deperas-Standylo (Czwartek-piatek)
