EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA STEROWANIA PROGRAMOWEGO DŹWIGNICY REALIZUJĄCEJ
ZADANY RUCH ŁADUNKU
K
RZYSZTOFK
OŁODZIEJCZYK, W
OJCIECHB
LAJERInstytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Radomska e-mail: k.kolodziejczyk@pr.radom.pl, w.blajer@pr.radom.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki eksperymentalnej weryfikacji poprawności sterowania programowego dźwignicy mającej realizować załoŜony ruch ładunku. Ruch ładunku jest zdeterminowany w czasie, a zagadnienie jego realizacji rozwiązywane jest z uŜyciem modelu dynamicznego dźwignicy jako problem ruchu programowego niezupełnego. Otrzymane na drodze symulacji dynamicznej odwrotnej przebiegi zmiennych stanu oraz sygnałów sterujących stanowiły podstawę do wykonania eksperymentu laboratoryjnego. Prezentowane są wybrane wyniki symulacji numerycznych oraz eksperymentów laboratoryjnych.
1. WSTĘP
Dźwignice są obiektem badań bardzo wielu ośrodków naukowych od lat 60. ubiegłego stulecia [1]. Badania te dotyczą m.in. zagadnień dynamiki i sterowania dźwignic. Poszukuje się praw sterowania wymaganych do realizacji podstawowego zadania dźwignicy, jakim jest przeniesienie ładunku w przestrzeni roboczej od punktu początkowego (odbioru) do punktu końcowego (dostawiania), zapewniającego pozycjonowanie ładunku wzdłuŜ określonego toru oraz minimalizację niekontrolowanego kołysania ładunkiem w trakcie ruchu oraz w punkcie docelowym [1]. Wyznaczanie wymaganego sterowania dźwignicą moŜe być rozpatrywane z punktu widzenia ruchu programowego [2], czyli zadania symulacji dynamicznej odwrotnej, w którym, z wykorzystaniem modelu dynamicznego dźwignicy, wyznacza się sygnały sterujące pracą układów jezdnych dźwignicy zapewniające realizację zadanego ruchu ładunku.
Z racji, Ŝe liczba sygnałów sterujących dźwignicą (równa liczbie zadanych charakterystyk ruchu) jest mniejsza od liczby stopni swobody układu, rozwaŜane zagadnienie naleŜy do kategorii ruchu programowego niezupełnego. Analizą tego zagadnienia od strony teoretycznej zajmowano się m.in. w pracach [3,4], z odwołaniem do wielu zastosowań technicznych (w tym do suwnic). Zaproponowano teŜ efektywny algorytm rozwiązania numerycznego problemu. W odniesieniu bezpośrednio do suwnic zagadnienie to analizowano ponadto m.in.
w [5,6]. Równania ruchu programowego dźwignic formułowane są w postaci równań róŜniczkowo-algebraicznych o indeksie równym 3, których rozwiązaniami są przebiegi w czasie zarówno zmiennych stanu dźwignicy realizującej zadany ruch ładunku jak i wymaganego sterowania dźwignicą.
RozwaŜania teoretyczne oraz wyniki eksperymentów numerycznych przedstawione w [3]
zainspirowały budowę specjalnego stanowiska laboratoryjnego (suwnicy płaskiej [7]) w Katedrze Mechaniki Technicznej i Dynamiki Pojazdów Brandenburskiego Uniwersytetu Technicznego w Cottbus (Niemcy). W ramach współpracy z tą Katedrą autorzy mieli moŜliwość weryfikacji poprawności i skuteczności zaproponowanej metody wyznaczania sterowania dźwignicą. Przeprowadzono szereg eksperymentów mających na celu weryfikację wyników otrzymanych na drodze symulacji dynamicznej odwrotnej dla kilku róŜnych strategii przenoszenia ładunku. Wyniki testów potwierdziły poprawność algorytmów obliczeniowych.
2. OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO
Schemat suwnicy laboratoryjnej przedstawia rys.1. Podstawowe parametry suwnicy są następujące:
• masa wózka mt =0.5kg
• masa ładunku m=3.235kg
• promień bębna wciągarki rw=0.0225m
• moment bezwładności bębna wciągarki Jw=1.66⋅10−3kgm2
Ładunek moŜe się przemieszczać w obszarze roboczym w kształcie prostokąta, a moŜliwe współrzędne układu (ruchy robocze), odpowiadające bokom tego prostokąta, zawierają się w zakresie s=0 ÷1.3m oraz l=0.4÷1.4m. Pozostałe szczegóły dotyczące budowy stanowiska oraz opis zasad sterowania ładunkiem zawarte są w pracy [7].
w
C
m
3
l s z
γ, M Iw
O
w
m
C1
θ
ψ C2
a
m, IC
F
y b
t
Rys. 1. Schemat stanowiska laboratoryjnego
Formalnie suwnicę laboratoryjną moŜna traktować jako układ o n=4 stopniach swobody, opisanych wektorem współrzędnych uogólnionych q=[s l θ ψ]T, gdzie s i l (sterowane ruchy robocze dźwignicy) są współrzędną wózka na prowadnicy i długością liny, θ jest kątem odchylenia liny od pionu, a ψ jest kątem odchylenia ładunku w kształcie płaskiej prostokątnej płyty (rys. 1). Z przeprowadzonych analiz numerycznych oraz eksperymentów wynika jednak, Ŝe kąty θ i ψ nie wykazują znaczących róŜnic, co pozwala zredukować układ do n=3 stopni swobody, a ładunek traktować jako punkt materialny. Zadany ruch ładunku to określone
w czasie jego współrzędne (punkt C2 z rys. 1), rd(t)=[xd(t) zd(t)]T, a sterowanie realizowane jest przez siłę F sterującą połoŜeniem wózka oraz moment M na bębnie w wciągarki regulujący długość liny. Dynamiczne równania ruchu suwnicy laboratoryjnej mają postać [7]:
( )
−
−
−
=
−
− +
×
×
+
× +
w w w
w t
M r F mgl
mg
l ml ml
l l
m l s
ml r
m J
ml m
m m
ˆ 0 0
2 0
0 1
sin ) 1 (cos
0
2
sin cos
2 4 0
2
cos sin
2
2 2
θ θ
θ θ
θ θ θ ϕ
θ θ θ
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(1)
Równania (1) uŜyto do sformułowania równań ruchu programowego dźwignicy realizującej zadany ruch ładunku, opisanych w [3-6]. Rozwiązaniem tych równań (zadanie symulacji dynamicznej odwrotnej) są przebiegi w czasie zmiennych stanu dźwignicy w zadanym ruchu, w tym qd(t)=[sd(t) ld(t) θd(t)]Toraz wymaganego sterowania dźwignicą, Fd(t) oraz Mwd(t). Ze względów technicznych [7] zrezygnowano ze sterowania suwnicą zgodnie z tymi wyliczonymi przebiegami nominalnymi (próby realizacji zadanych manewrów w ten sposób nie spełniły oczekiwań). Zamiast tego zastosowano sterowanie pozycją wózka i długością liny tak, by realizować ich Ŝądane przebiegi, sd(t) oraz ld(t). Było to sterowane w czasie rzeczywistym pod kontrolą programów Matlab oraz dSpace (czas próbkowania 5ms), z wykorzystaniem korektora proporcjonalnego (regulator P), który zapewnia nadąŜanie układu za narzuconymi sd(t) oraz ld(t). Korektor ten zapewnia równieŜ kompensację tarcia między belką a wózkiem suwnicy, nieuwzględnianego w modelu obliczeniowym. Konieczność takiej kompensacji tarcia wynika z silnie nieliniowej jego natury, trudnej do zamodelowania oraz identyfikacji.
3. WYNIKI BADAŃ LABORATORYJNYCH 3.1. Informacje ogólne
Na opisanym stanowisku laboratoryjnym przeprowadzono szereg eksperymentów dla róŜnych punktów początkowych i końcowych połoŜenia ładunku. Wszystkie manewry były manewrami typu „rest-to-rest” (od spoczynku do spoczynku), co odpowiada rzeczywistemu cyklowi pracy dźwignicy. W niniejszej pracy zaprezentowano wyniki dla manewru, w którym ładunek przemieszczał się po torze krzywoliniowym, naszkicowanym wstępnie za pomocą sekwencji punktów, a następnie aproksymowanym za pomocą funkcji sklejanych trzeciego stopnia. Zadawany był następnie ruch ładunku wzdłuŜ tego toru, za pomocą odpowiednio gładkiej funkcji zmiany połoŜenia na torze w czasie, spełniającej warunek manewru „rest-to- rest”. Zagadnienie to opisane jest szczegółowo w [6].
Czas symulacji badanego manewru wynosił τ =3s, a czasy faz rozruchu i hamowania wynosiły po τ0 =1s. Ruch ładunku odbywał się z punktu początkowego o współrzędnych
) 4 . 1 , 0
0( −
P do punktu końcowego o współrzędnych Pk( −1, 1.4) wzdłuŜ toru krzywoliniowego
przedstawionego na rys. 2. Do odtworzenia ruchu ładunku wykorzystane zostały otrzymane w wyniku symulacji dynamicznej odwrotnej przebiegi współrzędnych układu określające połoŜenie wózka i długość liny sd(t) oraz ld(t), traktowane w tym wypadku jako sygnały wejściowe, zaś siła i moment wymuszające ten ruch były generowane przez sterownik dla zadanych współrzędnych układu z włączoną kompensacją tarcia. Kąt określający odchylenie liny nie był regulowany i ograniczono się jedynie do jego pomiaru. Mierzono wszystkie współrzędne układu, na podstawie których było moŜliwe szacowanie prędkości. Dodatkowo rejestrowano zachowanie się układu po przemieszczeniu ładunku do punktu docelowego.
3.2. Wyniki eksperymentu
PoniŜej, na kolejnych rysunkach, przedstawiono zbiorczo porównanie wyników otrzymanych na drodze symulacji dynamicznej odwrotnej z wynikami zarejestrowanymi w trakcie testu laboratoryjnego.
0 0.4 0.8 1.2
-1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1
-1 Symulacja
Eksperyment
y [m]
z [m]
Rys. 2. PołoŜenie ładunku (tor)
-0.4 0 0.4 0.8 1.2
0 1 2 3 4 t [s] 5
s [m]
Symulacja Eksperyment
0 1 2 3 4 5
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
t [s]
Symulacja Eksperyment
l [m]
Rys. 3. Współrzędne q układu przy realizacji manewru
0 1 2 3 4 5 -8
-4 0 4 8
t [s]
Symulacja Eksperyment
θ [0]
Rys. 3. Współrzędne q układu przy realizacji manewru c.d
0 1 2 3 4 5
-6 -4 -2 0 2 4
t [s]
Symulacja Eksperyment
F [N]
0 1 2 3 4 5
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
t [s]
Symulacja Eksperyment
Mw [Nm]
Rys. 4. Przebiegi sygnałów sterujących przy realizacji manewru
Przeprowadzona analiza otrzymanych rezultatów (rys. 2 i 3) pozwala stwierdzić, Ŝe w tym manewrze ruch układu oddaje jakościowo, a w przybliŜeniu równieŜ ilościowo, załoŜony ruch programowy ładunku. Widoczne są niewielkie oscylacje ładunku po zakończeniu manewru, niemoŜliwe do uniknięcia przy braku bezpośredniego sterowania połoŜeniem ładunku. Z rys.
4 przedstawiającego przebiegi sygnałów sterujących wynika, iŜ otrzymane w trakcie testu przebiegi sygnałów sterujących odpowiadają jakościowo swym charakterem przebiegom otrzymywanym z symulacji dynamicznej odwrotnej. Wyraźnie widoczny jest efekt działania korektora pozycyjnego, korygującego efekty tarcia (głównie na kierunku współrzędnej s), które nie były uwzględnione w symulacji dynamicznej odwrotnej. Powoduje to bardziej
„szarpane” przebiegi siły F w porównaniu z przebiegami Mw. Ruch wózka (regulowany przez F) zaburzany jest dodatkowo przez niekontrolowane wahania ładunku.
4. WNIOSKI
Przeprowadzone testy laboratoryjne pozwalają stwierdzić, Ŝe proponowana metoda wyznaczania sterowania dźwignicami daje poprawne rezultaty i jest moŜliwa do zastosowania w warunkach laboratoryjnych. Przebiegi współrzędnych odpowiadające głównym ruchom roboczym suwnicy nie wykazują znaczących róŜnic w porównaniu do przebiegów programowych. Niekontrolowane odchylenie liny od pionu wykazuje przebiegi zbliŜone do otrzymanych w wyniku symulacji dynamicznej odwrotnej, zaś widoczne po zakończeniu ruchu oscylacje ładunku są małe – poniŜej 10 odchylenia liny od pionu, bez sterowania w pętli zamkniętej niemoŜliwe do uniknięcia.
W trakcie testów odnotowano problemy ze stabilizacją ładunku w punkcie początkowym, co wynikało ze specyfiki konstrukcji stanowiska. Zawieszenie ładunku na dość długiej i wiotkiej lince powodowało nieustające niewielkie oscylacje ładunku w dwóch płaszczyznach. Dodatkowo odnotowano znaczny wpływ odkształcalności linki oraz nie do końca zidentyfikowanych oporów ruchu na otrzymywane przebiegi sygnałów sterujących.
Inne próby przeprowadzone przez D. Bestle [7] potwierdziły skuteczność proponowanej metody sterowania w przypadku ruchu z zaburzeniami. W tych próbach sterowania w pętli ze sprzęŜeniem zwrotnym został wykorzystany zlinearyzowany model suwnicy.
LITERATURA
1. Abdel-Rahman E.M., Nayfeh A.H., Masoud Z.N.: Dynamics and control of cranes:
a review. “Journal of Vibration and Control” 2003, 9, 2003, p. 863-908.
2. Gutowski R.: Mechanika analityczna. Warszawa: PWN, 1971.
3. Blajer W., Kołodziejczyk K.: A geometric approach to solving problems of control constraints: theory and a DAE framework. “Multibody System Dynamics” 2004, 11, p.
343-364.
4. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Control of underactuated mechanical systems with servo- constraints. “Nonlinear Dynamic” 2007, 50, p. 781-791.
5. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Dynamics and control of rotary cranes executing a load prescribed motion. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2006, 44, p. 929-948.
6. Blajer W., Kołodziejczyk K.: Trajectory planning and control of overhead cranes in the work environment with obstacles. “Modelowanie InŜynierskie” 2006, 32, s. 53-60.
7. Bestle D.: Design of a laboratory crane for testing control approaches. In: IUTAM Symposium on Vibration Control of Nonlinear Mechanisms and Structures, Series: Solid Mechanics and its Applications, 2005, Vol. 130, p. 111-120.
EXPERIMENTAL VERIFICATION OF THE INVERSE SIMULATION CONTROL OF CRANES EXECUTING A LOAD
PRESCRIBED MOTION
Summary. In this paper the results of numerical simulation of motion and control for the laboratory crane executing a load specified motion are compared with the experimental results. The results are analyzed, and a discussion on the problems associated with the developed control strategy implementation is provided.
