************************************************************************************************
Rozdział 1 Ściśnięty stan światła.
Operatory kreacji i anihilacji wprowadziliśmy jako analogi klasycznej zespolonej amplitudy ( zobacz (11.4) − (11.6)).
W taki sposób można wprowadzić również operatory kwadraturowych składowych mody :
q^ = ( a^† + a^ )/ √2 , p^ = i ( a^† − a^ )/ √2 (12.1)
tak, że :
[ q^ , p^ ] = i (12.2)
Przypomnijmy, że kwadraturowe składowe klasycznej fali harmonicznej przedstawiają sobą rzeczywistą i urojoną cześć zespolonej amplitudy ( zobacz rys. 12.1)Różnica takich zależności od (12.1), mimo zamiany operatorowej związana jest z normalizacją : w miejsce dwójki mianownik jest równy √2, tak aby otrzymać komutator (12.2). Przy tym kwadraturowe składowe q^ i p^ można rozpatrywać jako współrzędną i pęd oscylatora w układzie jednostek gdzie h =1.
Oczywiście, nie mają one nic wspólnego z współrzędną i pędem fotonu, ale są wielkościami obserwowalnymi, ponieważ opisywane są one przez operatory hermitowskie.
Dalej, rozpatrzmy schemat zrównoważonej homodynowej detekcji, w którym można mierzyć takie wielkości.
Kanoniczna zależność komutacyjna [ q^, p^ ] = i przy h =1, pozwala rozpatrywać q^ i p^ jako wielkości współrzędnościowo- i pędo- podobne [20].
Odwrotne przekształcenie do operatorów kreacji i anihilacji fotonu możemy łatwo otrzymać z (12.1) :
a^† = ( q^ − ip^ )/ √2 , a^ = ( q^ + ip^ )/ √2 (12.3)
Jak zmienić fazę sygnału Φ ?
Wprowadźmy operator przesunięcia fazowego :
U^θ =: exp( −iθn^ ) (12.4)
Gdzie n^ = a^†a^ - operator liczby fotonów w modzie.
Aby obliczyć wynik przekształcenia F = U^†a^ U^θ zróżniczkujemy go po θ :
ponieważ :
a^a^†a^ = ( a^†a^ + I^ )a^ (12.6)
Zatem :
d/dθ Fθ = −iFθ (12.7)
Rozwiązanie takiego rr jest oczywiste :
Fθ = F^θ=0 e−iθ (12.8)
Zatem :
U^†a^ U^ = a^ e−iθ (12.9)
Tj. do fazy Φ dodajemy jeszcze θ ( zobacz rys. 12.1 )
Rys. 12.1 Zespolona amplituda fali harmonicznej a i jej składowe kwadraturowe q/√2 i p/√2.
Interesujące jest również przeanalizowanie przekształcenia :
Zauważmy, że :
U^θ†a^† U^θ = ( a^ U^θ ) U^θ = ( U^θ†a^ U^θ )† = a^† eiθ (12.11) Skąd otrzymujemy :
Analogicznie obliczamy :
p^θ =: U^θ†p^ U^θ = − q^ sin(θ) + p^ cos(θ) (12.13)
Są to po prostu analogi przekształcenia obrotu układu współrzędnych o kąt θ.
Mając do dyspozycji takie zależności, możemy przeanalizować przekształcenie kwadraturowych składowych przy zdegenerowanym rozpraszaniu parametrycznym. Zgodnie z (11.69) przy t0 = 0 mamy :
Z uwzględnieniem (12.12) ostatecznie otrzymujemy :
q^(t) = q^(0) cosh( | χ | )t + q^(0)cos(Φ) sinh( | χ | )t + p^(0) sin(Φ)sinh( | χ | )t (12.15) Analogicznie :
Przy Φ = 2πm, m – liczba całkowita, mamy :
tj. jedna kwadratura ekspotencjalnie narasta, a druga – zanika.
Stan światła po takim przekształceniu nazywa się stanem ściśniętym ( squeezed state ). Dlaczego ? Rozpatrzmy przekształcenie dyspersji kwadratur przy rozpraszaniu parametrycznym. Zgodnie z (12.17) :
Jeśli na wejściu nieliniowego kryształu jest stan próżniowy | 0 > tj. oprócz wiązki pompującej kryształ nie jest przez nic innego oświetlany , to :
a na wyjściu :
To oznacza, że zmniejszyliśmy dyspersje jednej z kwadratur próżni !
Zadziwiające jest to, że próżnia fluktuuje, przy czym jeśli przesumujemy energię fluktuacji próżniowych po nieskończonej liczbie modów, to otrzymamy nieskończoną wartość. Jak jednak można „uporządkować” próżnię, zmniejszając dyspersje fluktuacji jednej z jej kwadratur ?
Okazuje się, że można to zrobić w procesie rozpraszania parametrycznego lub, co na to samo wychodzi, poprzez parametryczne wzmocnienie fluktuacji próżniowych. Problem w tym, że przy parametrycznym przekształceniu zwiększa się liczba fotonów w modzie – dla próżni :
< 0 | n^ | 0 > = 0
a na wyjściu kryształu, jak łatwo pokazać, mamy :
< n^(t) > > 0
Jednakże średnia „amplituda” promieniowania pozostaje zerowa :
< 0 | a^(0) | 0 > = < a^(t) > = 0
na mocy szumowego charakteru promieniowania wzmocnionych fluktuacji próżniowych. Łatwo pokazać, ze obrót osi współrzędnych q i p płaszczyzny fazowej nie prowadzi do zmiany dyspersji kwadratury fluktuacji próżni tj. zgodnie z (12.12) :
< 0 | ∆q^θ2(0) | 0 > = ½ = < 0 | ∆p^θ2(0) | 0 > (12.23)
przy dowolnym θ. To oznacza, że na płaszczyźnie fazowej tzw. ciało nieokreśloności, przedstawiające sobą obszar, ograniczony średniokwadratowym odchyleniem składowych kwadraturowych przy wszystkich możliwych przesunięć fazowych, dla próżni jest okręgiem ( rys. 12.2)
Rys. 12.2 Ciało nieokreśloności fluktuacji próżniowych ( okrąg o promieniu 1/√2 ) i stanu ściśniętego ( elipsa )
Dla światła rozpraszanego parametrycznie ciało nieokreśloności przekształca się w elipsę. Duża i mała półoś tej elipsy jest określona przez zależności (12.21) i (12.22), a pozostałe punkty obliczamy z zależności
sqrt[ < ∆q^θ2(t) > ] przy różnych θ. Zauważmy, że zgodnie z (4.20) przy h =1 :
< ∆q^2 > < ∆p^2 > ≥ ¼ (12.24)
zatem, w stanach próżniowym i ściśniętym, opisywanych odpowiednio (12.21), (12.22) mamy :
< ∆q^2(0) > < ∆p^2(0) > = < ∆q^2(t) > < ∆p^2(t) > = ¼ (12.25) tj. Iloczyn nieokreśloności jest minimalny.
Takie stany nazywamy stanami minimalnie nieokreślonymi. Do takich stanów zalicza się stan koherentny | z >.
Ciało nieokreśloności dla stanu koherentnego przedstawia sobą okrąg o promieniu 1/√2, jednakże jest on przesunięty ze środka współrzędnych o wektor z – zespoloną amplitudę stanu koherentnego ( zobacz (11.29), rys. 13.4 oraz tekst po wzorze (11.47)). Jeśli na wejście parametrycznego przekształtnika podamy światło koherentne w miejsce próżni, to na jego wyjściu również otrzymamy stan ściśnięty, ale przesunięty o wielkość wzmacniającej zespolonej amplitudy z(t).
Obliczenia potwierdzające takie wyniki są analogiczne do tych jakie przeprowadziliśmy wcześniej, dlatego nie będziemy ich podawali.
Ważnym jest zauważyć, ze w nieliniowych układach, do których zalicza się wzmacniacz parametryczny w przybliżeniu zadanej wiązki pompującej, w reprezentacji Heisenberga nie ma różnicy w opisach kwantowym i klasycznym.
W rzeczywistości różnice mogą pojawiać się tylko na skutek niekomutowania operatorów, jednakże w układach liniowych nie występują iloczyny operatorów, zatem nie może występować ich niekomutacja. Pole na wyjściu przedstawia sobą liniowe przekształcenie pola wejściowego, zatem każda specyfika kwantowa może polegać tylko na opisie pola wejściowego. Dlatego z operatorami w układach liniowych możemy postępować tak jak z C-liczbowymi funkcjami, co właśnie wykorzystaliśmy przy zapisie rozwiązania liniowego operatorowego układu równań (11.67). Taka użyteczna uwaga jest przydatna w szeregu przypadków, radykalnie upraszczając obliczenia.
Przejdziemy teraz do opisu pomiaru kwadraturowych składowych pola, a dokładniej do schematu zrównoważonego homodynowego detektowania, przedstawionego na rysunku 12.3
Mierzony sygnał będziemy opisywali poprzez operatory kreacji a^† i anihilacji a^ w reprezentacji Heisenberga, a homodynę – poprzez operatory a^h† i a^ h. Załóżmy, że homodyna znajduje się w stanie koherentnym | z >.
Przesunięcie wiązek światła dwóch płaskich modów harmonicznych o jednej i tej samej częstości na mocy liniowości 50%-wego dzielnika światła można opisać tak jak w przypadku klasycznych płaskich, monochromatycznych fal świetlnych. W kanale pierwszego fotodetektora :
a^1 = ( a^ + a^h )/ √2 (12.26)
a drugiego :
a^2 = ( − a^ + a^h )/ √2 (12.27)
Niesymetryczność znaków sygnału i homodyny związana jest z tym, że w dzielniku światła jeden z nich odbija się od gęstszego, a drugi od rzadszego ośrodka optycznego.
Różnica liczb fotonów w kanałach jest równa :
n^1 − n^2 = a^1† a^1 − a^2† a^2 = a^†a^h + a^ a^h† (12.28)
Zauważmy, że ogólna liczba fotonów po zmieszaniu na dzielniku świetlnym bez strat, oczywiście pozostaje niezmienna :
n^1 + n^2 = n^ + n^h (12.29)
Zachowanie energii świadczy o unitarności przekształcenia. Z drugiej strony wiadomo, że dzielnik światła bez strat nie istnieje. Dlatego w eksperymentach kwantowo-mechanicznych, gdzie każdy foton jest zliczany w charakterze dzielnika światła można wykorzystać polaryzatory np. typu Wollastona ( [21] str. 97 – 98 )
Taki polaryzator kieruje wzajemnie ortogonalne polaryzacje w różnych kierunkach ( rys. 12.4 )
Rys. 12.3 Schemat zrównoważonego detektora homodynowego. Sygnał na dzielniku świetlnym jest mieszany z homodyną.
Otrzymane wiązki światła detektowane są przez fotodetektory, różnica fotonów generuje prąd różnicowy.
Płaskie mody sygnału i homodyny są w pierwszej kolejności polaryzowane płasko we wzajemnie ortogonalnych kierunkach, tak, aby stanowiły one kąt 45° z płaszczyznami wzajemnie ortogonalnymi, rozdzielonymi przez pryzmat Wollastona, tak jak pokazano na rysunku 12.5.
Rys. 12.4 Pryzmat Wollastona, rozdziela przestrzennie światło we wzajemnie ortogonalnych płasko spolaryzowanych fotonów.
Dlatego, jak łatwo zauważyć, w pierwszym kanale otrzymujemy sumę amplitud tych modów, dzielona przez √2, a w drugim otrzymujemy ich różnicę zgodnie z (12.26), (12.27). Chociaż straty w pryzmacie polaryzacyjnym istnieją, są one istotnie mniejsze niż w płytce półprzepuszczalnej i mogą być zmniejszone do ok. 1%.
Po detekcji prądu różnicowego, który w przypadku identycznych fotodetektorów 1 i 2 ( rys. 12.3 ) jest on proporcjonalny do różnicy liczby fotonów w kanałach, określony jest on przez (12.28). Możemy znaleźć dyspersje fluktuacji takiej różnicy lub dowolną inną jego charakterystykę. Ponieważ przy tym należy przeprowadzać uśrednienie kwadratu lub innego funkcjonału od n^1 − n^2 po koherentnym stanie homodyny | zh >, będącym stanem własnym operatora a^h , taki operator można zamienić na wartość własną zh. Analogicznie a^h† można zamienić na z*h , ponieważ < zh | a^† = z*h < zh |.
Wtedy operator różnicy foto prądów :
i^1 − i^2 ~ zh a^† + z*h a^ = | zh | ( e−iϕh a^† + eiϕh a^ ) ~ | zh | q^−ϕh (12.30) W końcowym wyrażeniu (12.30) wykorzystano (12.12), a operator q^−ϕh jest operatorem kwadratury sygnału,
przesuniętym na ujemną fazę heterodyny.
Wyrażenie (12.30) pokazuje, że w schemacie zrównoważonej detekcji homodynowej można mierzyć zarówno są kwadraturę sygnału jak i jego dyspersje oraz inne możliwe charakterystyki statystyczne – posługując się przy tym elektroniczną (komputerową ) obróbką fotoprądu różnicowego.
Wymieńmy najważniejsze własności kwantowych ściśniętych stanów światła.
Po pierwsze, jeśli nie podajemy sygnału równoważącego homodyny, to dyspersja różnicy fotoprądów lub foto zliczeń przy rejestracji pojedynczych fotonów w kanałach 1 i 2 będzie zgodnie z (12.30), określona przez dyspersje fluktuacji
kwadratury próżni. Z drugiej strony, taka dyspersja w czystej postaci jest dyspersją fluktuacji, powodowaną przez szum śrutowy fotodetektorów, do chwili obecnej przyjmowanym jako zasadniczo nie eliminowalny. O takim problemie dokładniej powiemy w następnym rozdziale. Podając w charakterze sygnału stan ściśnięty światła z kolejnym obrotem elipsy nieokreśloności ( rys. 12.2 ) poprzez prawidłowy wybór fazy heterodyny ϕh można osiągnąć obniżenie dyspersji tj.
poziomu szumu śrutowego !
Rys. 12.5 Schemat wyjaśniający pracę fotodzielnika polaryzacyjnego. Kierunki 1 i 2 – linie przecięcia rozdzielające wzajemnie ortogonalne płaszczyzny polaryzacji pryzmatu Wollastona z płaszczyzną kartki. Odpowiadają one dwóm kanałom foto detekcji 1 i 2 na rysunku 12.3 Pokazano również kierunki polaryzacji mieszanych wiązek sygnału i
homodyny. Płaszczyzny polaryzacji wszystkich czterech wiązek są prostopadłe do płaszczyzny rysunku, a na rysunku pokazano tylko linie przecięcia (* opis na rysunku – od lewej Sygnał, homodyna *)
Jest to w istocie dziwny wynik, ponieważ z punktu widzenia półklasycznego szum śrutowy związany jest tylko z samą konstrukcją fotodetektora, a jego poziom określany jest przy idealnie stałej intensywności padającego światła.
Teraz podając światło w postaci np. parametrycznie wzmocnionego szumu próżniowego, okazuje się możliwe zmniejszanie szumy śrutowego !
Łatwo pokazać również, że w układach interferencyjnych np. Macha –Zehndera ( rys. 12.6 ) mierzących różnicę faz w kanałach Φ1 i Φ2 zgodnie z różnicą fotoprądów detektorów 1 i 2 można otrzymać zwiększenie granicznej dokładności pomiarów, jeśli tylko podamy na drugie wejście interferometru, standardowo pozostając niewykorzystane ( tj. będące w stanie próżniowym ), światło ściśnięte. Następuje to właśnie w wyniku obniżenia fluktuacji fotoprądu różnicowego przy odpowiednim doborze fazy oświetlenia, standardowo znajdującego się w stanie koherentnym | z > ( faktycznie dobierana jest nie faza, a różnica faz światła wiązki oświetlającej i światła ściśniętego, ponieważ jest bardzo trudno technicznie zachować stałość absolutnej fazy sygnału optycznego ).
Po drugie, wcześniej powiedzieliśmy, że ściśnięty stan można otrzymać, wzmacniając parametrycznie stan koherentny, a nie tylko stan próżniowy. Przy tym efektywność ściśnięcia teoretycznie nie zależy od liczby fotonów światła ściśniętego tj.
od intensywności oświetlenia. To oznacza, ze kwantowy efekt ściśnięcia może występować również w wiązce z dowolnie dużą liczbą fotonów.
W tym sensie można mówić o makroskopowym efekcie kwantowym. Niestety nie można tego odnieść do efektu zmniejszenia szumu śrutowego, którego poziom nie jest zależny od intensywności światła, o czym przekonamy się w następnym rozdziale.
Rys. 12.6 Interferometr Macha –Zehndera, oświetlony światłem koherentnym w stanie koherentnym | z >. Jeśli w miejsce próżni | 0 > drugie wejście oświetlimy światłem ściśniętym | squeezed state >, to graniczna dokładność pomiaru różnicy faz Φ1 −Φ2 może być podwyższona.
************************************************************************************************