Rozdział 17 Kwantowe pomiary niezaburzające
17.1 Samooddziaływania w ośrodkach przeźroczystych z nieliniowością kubiczną
Rozdział 17 Kwantowe pomiary niezaburzające.
Powróćmy jeszcze raz do podstaw pomiarów kwantowych, tym razem wprowadzimy pewne dodatkowe formalne definicje kierując się [52, str. 16- 17, 48].
Każdy pomiar zakłada oddziaływanie badanego układu z innym układem fizycznym – przyrządem pomiarowym.
Zamiana wskazania przyrządu oznacza zmianę jego stanu wywołana przez oddziaływanie z układem badanym.
W takim procesie stan zmienia również układ badany. Przykładowo przy pomiarze współrzędnej zmienia się sprzężony z taka współrzędną pęd, tzn. że jeśli po pomiarze współrzędnej w ansamblu będzie prowadzony pomiar pędu, to rozkład wyników pomiaru będzie różnił się od odpowiedniego rozkładu w stanie wejściowym tj. będzie on odpowiadał innemu stanowi układu. Zatem, proces pomiarowy można rozpatrywać jako proces przygotowania nowego stanu układu, który to opisywany jest przez przekształcenia podane w tabeli 6.1
Nowy stan zależny jest od stanu początkowego oraz od stanu przyrządu pomiarowego w czasie pomiaru. Każdy element ansamblu statystycznego podlega przypadkowemu oddziaływaniu ze strony przyrządu pomiarowego w czasie prowadzenia na nim pomiaru. Dlatego, jeśli nie prowadzimy selekcji ( sortowania ) układu po wynikach pomiaru, to w utworzonym po oddziaływaniu z przyrządem pomiarowym ansamblu układów do nieokreśloności wartości obserwabli w stanie
początkowym dołączają się nieokreśloności powodowane przez zaburzenia. Po pomiarze ansambl znajduje się w stanie mieszanym. Jednakże taki ansambl można rozdzielić na pod ansamble według wyników pomiarów – to odróżnia oddziaływanie układu z przyrządem od oddziaływania z innymi obiektami.
Pomiary kwantowe mogą być dwóch rodzaii.
W pomiarach pierwszego rodzaju zachowane jest prawo ewolucji układu, np. elektron swobodny pozostaje swobodny.
Oddziaływanie z przyrządem jest skończone w czasie.
W pomiarach drugiego rodzaju układ badany okazuje się związana z innymi obiektami ( np. elektron okazuje się być związanym ) lub w ogólności niedostępne dla pomiarów ( np. pochłonięty przez detektor foton )
Pierwsze ogniwo przyrządu pomiarowego nazywa się licznikiem kwantowym. Informacja o układzie wydzielana jest poprzez pomiar jego stanu. Wartość obserwabli określa się pośrednio.
Pomiary pierwszego rodzaju dzielimy na zaburzające i niezaburzające. W pomiarach niezaburzających niezależnie od stanu początkowego układu, rozkład wielkości mierzonej w stanie mieszanym, tworzącym się po akcie oddziaływania układu z przyrządem będzie taki sam jak w przypadku swobodnej ewolucji układu tj. oddziaływanie przyrządu pomiarowego na układ badany nie wpływa na wyniki pomiaru danej obserwabli. Przy tym bezpośrednio zaburzane są obserwable nie komutujące z obserwablą mierzoną. Przykładowo, przy niezaburzającym pomiarze współrzędnej pęd układu doznaje przypadkowego oddziaływania. Z czasem zaburzenie pędu przechodzi w zaburzenie współrzędnej tj. zaburzenie pędu przenosi się na zaburzenie współrzędnej pośrednio.
W każdym układzie istnieją takie obserwable, których ewolucja nie zależy od nie komutujących z nimi obserwabli.
Przykładowo, pęd cząstki swobodnej nie zależy od współrzędnej. Liczba kwantów energii oscylatora harmonicznego nie zależy od sinusa lub kosinusa fazy. Nie zależne są również od siebie kwadraturowe składowe oscylatora. Pomiar takich obserwabli nie prowadzi do ich pośredniego zaburzenia. Takie obserwable nazywamy nie zaburzającymi się.
Ich operatory w reprezentacji Heisenberga A^(t) komutują same ze sobą w różnych chwilach czasu :
[ A^(t), A^(t) ] = 0 (17.1)
A^(t) – jest tutaj operatorem układu izolowanego od przyrządu pomiarowego.
Niezaburzającymi są wszystkie całki ruchu, ponieważ zgodnie z (11.62), nie ewoluują one. Jednakże nie tylko całki ruchu spełniają (17.1). Niezaburzającymi się mogą być również obserwable, zależne od czasu, jeśli ich pochodna dA^(t)/dt nie jest zależna od nie komutujących z A^(t) operatorów :
dA^(t)/dt = F(A^, A^j ) (17.2)
gdzie A^j – wszystkie komutujące z A^ operatory, F – dowolna ich funkcja.
Przejdziemy teraz do konkretnych przykładów pomiarów niezaburzajacych się.
17.1 Samooddziaływania w ośrodkach przeźroczystych z nieliniowością kubiczną.
Własności optyczne ośrodków przeźroczystych o kubicznej nieliniowości np. kwarcu zależne są od intensywności światła przechodzącego przez ni [53]. W wyniku takich własności może następować tzw. czterofotonowe oddziaływanie
parametryczne, kiedy to dwa fotony wiązki pompującej przekształcają się w foton sygnałowy i jałowy ( w odróżnieniu od trójfotonowego rozpraszania parametrycznego w ośrodkach o kwadratowej nieliniowości, w której uczestniczy tylko jeden foton wiązki pompującej ). Jeśli proces czterofotonowy jest całkowicie zdegenerowany tj. wszystkie cztery fotony są jednakowe i nie można żadnego z nich wyróżnić ze względu na określone własności , to jedynym następstwem takiego procesu nieliniowego może być tylko nieliniowa zmiana fazy promieniowania, ponieważ nie może występować nieliniowe przekształcenie częstości promieniowania na mocy pełnego zdegenerowania, nie może również wystąpić zmiana intensywności, ponieważ ośrodek przyjmujemy jako całkowicie przeźroczysty.
W rzeczywistości w kwarcu obserwuje się zmianę jego współczynnika załamania, proporcjonalną do intensywności światła, która właśnie prowadzi do nieliniowej zmiany fazy, co skolei prowadzi do zjawiska samoogniskowania. Jeśli oświetlimy kryształ kwarcu falą płaską o gaussowskim rozkładzie intensywności ( rys. 17.1), to maksymalne nieliniowe
wzmocnienie współczynnika załamania następować będzie w centrum wiązki ( tj. tam gdzie istnieje maksymalna intensywność światła )
W wyniku tego centralna cześć wiązki będzie opóźniona w stosunku do części peryferyjnej tj. czoło fali nabiera krzywizny tak jak po przejściu soczewki ogniskującej. Kontynuując ogniskowanie promieniowanie „kurczy się” w niewielkim obszarze przestrzennym, po czym znów rozbiega się. W wystarczająco długim ośrodku takie rozbieganie się zmniejsza się stopniowo, a cały opisany proces powtarza się ponownie.
Rys. 17.1 Efekt samoogniskowania w kwarcu.
W jednorodnym kwarcu samoogniskowanie jest niestabilne tj. posiada charakter przypadkowy rozkładu intensywności promieniowanie w przestrzeni, szczególnie w punktach „zbiegania się promieni. Inna sytuacja występuje w włóknach kwarcowych. Są one wyciągane w ten sposób, że współczynnik załamania od centrum do brzegu włókna zmniejsza się. W wyniku tego w pobliżu brzegów następuje całkowite wewnętrzne odbicie i ustanawia się stabilny reżim propagacji światła.
Jeśli nie występowałyby straty we włóknie, to promieniowanie mogłoby rozprzestrzeniać się nieskończenie daleko nie zmieniając przy tym rozkładu intensywności w przestrzeni. Stabilny rozkład przestrzenny intensywności można rozpatrywać jako mod promieniowania, a sam proces czterofotonowy opisywać jednomodowym hamiltonianem [54] :
H^ = ½ h χ(3) a^† a^† a^a^ (17.3)
Gdzie χ(3) - współczynnik nieliniowości kubicznej, przenormowany według liczby fotonów.
Odpowiedni operator ewolucji stanu kwantowego w reprezentacji Schrödingera, zgodnie z (11.54) jest równy :
gdzie χ- = χ(3)t, czas ewolucji t związany jest z długością włókna L = vt ; v – prędkość propagacji modu we włóknie.
W reprezentacji Heisenberga operator anihilacji fotonu modu pola spełnia równanie (11.63) : ih da^/dt = [ a^ , H^ ]
Obliczmy teraz komutator :
tzn. zgodnie z (11.63) :
ih da^/dt = χ(3) a^† a^2 (17.6)
skąd [54, 55, 56] :
a^(t) = exp[ −iχ-a^†(0) a^(0)] a^(0) (17.7)
o czym możemy się łatwo przekonać, obliczając z (17.7) pochodną :
Podstawienie (17.8) i (17.7) do (17.6) daje tożsamość :
Zależność końcowa (17.7) posiada jasny sens fizyczny : nieliniowy przyrost fazy jest proporcjonalny do intensywności modu tj. liczby fotonów n^(0) = a^†(0)a^(0). Efekt ten nazywa się nieliniową fazową samomodulacją (NFS).
Wyrażenie (17.7) możemy uogólnić również na przypadek nieliniowości dowolnego rzędu [57, 58]:
Zwróćmy uwagę na następującą ważną własność : statystyka fotonowa przy NFS pozostaje niezmieniona, ponieważ :
n^(t) = a^†(t)a^(t) = a^†(0)a^(0) = n^(0) (17.10)
tj. n^ - jest inwariantem.
Jednakże kwadratury, oczywiście z biegiem czasu zmieniają się choćby ze względu na nieliniowy przyrost fazy. Przy tym pojawia się interesujący efekt. Niech na wejście włókna podany będzie koherentny mod | z > o amplitudzie zespolonej z i poprzecznym profilem rozkładu amplitudy, odpowiadającym stabilnemu reżimowi propagacji modu w włóknie
kwarcowym, albo można przyjąć, że płasko skierowana (* cięcie proste kwarcu* ) warstwa kwarcu oświetlana będzie płaskim koherentnym modem. Operator kwadratowej składowej jest równy :
skąd łatwo możemy obliczyć wartość średnią :
Rozłóżmy stan koherentny | z > po stanach Foka | n >, wtedy zgodnie z (11.42):
Standardowo χ- << 1, dlatego :
gdzie θ = Ψ − arg(z), a :
Ψ = χ- | z |2 (17.15)
- jest nieliniowym przyrostem fazy.
Przy obliczeniu dyspersji fluktuacji kwadratury potrzebujemy kwadratu średniej kwadratury :
W przybliżonej części tej zależności zakładamy, że χ- | z | << 1.
Analogicznie obliczamy drugi moment kwadratury :
Teraz możemy obliczyć dyspersje fluktuacji kwadratury [44] :
Dalej znajdujemy fazę modu, tj. arg(z ), kiedy dyspersja fluktuacji jest ekstremalna, robimy to rozwiązując równanie :
d(∆q2 ) / d(arg(z )) = 0 (17.19)
skąd :
arg(z) = Ψ − ½ arctg(1/Ψ) (17.20)
Przy tym :
< ∆q2 >min = ½ [ sqrt( 1 + Ψ ) − Ψ ]2 (17.21)
Łatwo zauważyć, ze wraz ze wzrostem nieliniowego przyrostu Ψ, proporcjonalnej do długości przebiegu światła we włóknie, dyspersja fluktuacji kwadratury (17.21) obniża się :
przy Ψ << 1
< ∆q2 >min ≈ ½ ( 1 − Ψ + ½ Ψ2 ) (17.22)
a przy Ψ >> 1
< ∆q2 >min ≈ 1/ 8Ψ2 (17.23)
Tak lub inaczej, zależność (17.21) daje monotoniczny spadek dyspersji kwadratury wraz ze wzrostem Ψ, tj. efekt ściśnięcia.
Takie wyniki możemy otrzymać również w reprezentacji Schrödingera. Przy tym ewolucja wejściowego stanu koherentnego, zgodnie z (17.4), opisana jest w następujący sposób :
Uśredniając po tym stanie operatory q^ i q^2 otrzymamy tę samą dyspersje fluktuacji kwadratury co w reprezentacji Heisenberga.
Poglądowy opis kwantowego stanu światła, doznającego NFS, można otrzymać z analizy ciała nieokreśloności na płaszczyźnie fazowej. W wejściowym stanie koherentnym | z > przedstawia ono okrąg o środku w końcu zespolonego wektora z ( zobacz rys. 13.4 ). Ewolucje ciała nieokreśloności możemy prześledzić z pomocą tzw. Q-rozkładu [59]. Jest on kwadratem modułu iloczynu skalarnego badanego stanu przez stan koherentny w przypadku stanu czystego :
Q(z) := | < z | ψ > |2 (17.25)
lub uśrednieniem macierzy gęstości po stanach koherentnych w dowolnym przypadku :
Q(z) := < z | ρ^ | ψ > (17.26)
Jaki jest sens fizyczny Q-rozkładu ?
Dla stanu koherentnego | z~ >, zgodnie z (11.44) :
Q(z) = exp( − | z − z~ |2 ) (17.27)
tj. funkcja Gaussa, przemieszczona z centrum płaszczyzny fazowej o wielkość z~ ( zobacz rys. 17.2 )
Rys. 17.2 Wygląd funkcji rozkładu Q(z) dla stanu koherentnego.
Przekroje horyzontalne Q(z) przedstawiają sobą okręgi, tj. ciała nieokreśloności, zbudowane dla różnych poziomów fluktuacji.
Dlaczego właśnie rzutujemy na stany koherentne ?
Ponieważ stany te są najbliższe klasycznym modom sinusoidalnym. Pole elektryczne stanu koherentnego zmienia się w czasie w granicach pewnego odcinka nieokreśloności wokół sinusoidy ( rys. 17.3 a)
a b c
Rys. 17.3 Zależność natężenia pole elektrycznego monochromatycznego modu promieniowania w stanie koherentnym a);
stanie ściśniętym o minimalnej nieokreśloności fazy b) , w stanie subpoissonowskim c).
Grubość sinusoidy odpowiada interwałowi nieokreśloności.
Sama sinusoida przy tym odpowiada zespolonemu wektorowi z~, a „rurka” nieokreśloności – jednemu z poziomów ciała nieokreśloności z rys. 17.2.
Stany – Foka, ściśnięte oraz inne różnią się od klasycznego sinusoidalnego modu istotniej ( zobacz np. rys. 17.3 b, jak również [13] lub [59] )
Dlatego też rzutowanie na stany koherentne wnosi najmniejsze zakłócenia w ciało nieokreśloności.
Obliczmy Q-rozkład modu, doznającego fazowej samomodulacji. Zgodnie z (17.24) przy stanie wejściowym na wejściu włókna kwarcowego | z ~ > :
Wykres modułu tego wyrażenia tj. Q-rozkładu pokazano na rysunku 17.4 [59]. W odróżnieniu od ciała nieokreśloności elipsoidalnego w przypadku zdegenerowanego parametrycznego oddziaływania ( zobacz rys. 12.2 ), ma ono postać sierpowatą.
Ponieważ faza w procesie NFS z upływem czasu zmienia się ( cały czas narasta ), cały obraz obraca się wokół środka współrzędnych. Przy tym nieokreśloność amplitudy ( i intensywność tj. liczba fotonów ) pozostaje niezmienna, ponieważ n^(t) jest inwariantem po t., co też symbolicznie pokazano dwoma koncentrycznymi okręgami.
W odróżnieniu od przybliżonej zależności dyspersji fluktuacji kwadratury (17.21), gdzie zmniejsza się ona monotonicznie z upływem czasu ( tj. czasu przebiegu sygnału we włóknie ), to widzimy że wraz ze wzrostem „sierpowatości” obniżenie fluktuacji kwadratury zamienia się na jej wzrost. Jest jasne, że w granicy nieskończonej długości włókna L → ∞ sierp przekształca się w okrąg, którego średnica określa fluktuacje kwadratury.
Przy wysokiej intensywności świtała oczywiście taka średnica istotnie przewyższy okrągłe ciało nieokreśloności wejściowego stanu koherentnego | z~~ >. Takie zmiany (17.21) związane są z tym, że wzór ten został wyprowadzony w przybliżeniu χ- << 1 i χ- | z | << 1 tj. jest on słuszny tylko na początkowym etapie ewolucji, oczywiście ma to miejsce w praktyce. Rysunek 17.4 został zbudowany bez uwzględnienia takich przybliżeń.
Zatem, chociaż stany ściśnięte na początkowym etapie są możliwe, obniżenie fluktuacji liczby fotonów tj. < ∆n2 > nie następuje na mocy inwariantności n^(t). Jeśli udałoby się nieco obrócić wektor wartości średniej amplitudy zespolonej względem sierpa, to można byłoby ( tak jak pokazuje to rys. 17.4 – linie przerywane ), otrzymać subpoissonowski stan światła ze zmniejszonymi fluktuacjami liczby fotonów < ∆n2 >. Jak jednak to zrobić ?
Rys. 17.4 Trójwymiarowy wykres Q-rozkładu a) przy | z~ | = 5, χ- = 0,03 oraz przekrój Q-rozkładu – sierpowate ciało nieokreśloności b)
Linią przerywaną zaznaczono ciało nieokreśloności ze zmniejszonymi fluktuacjami intensywności, co osiąga się dodaniem do wektora średniej amplitudy niewielkiego wektora zespolonego ξ, ukazanego na rysunku.
Rozpatrzmy dzielnik światła, na którego jedno wejście podano silny mod koherentny, a na drugie – omawiany sygnał doznający NFS ( rys. 17.5). Jeśli współczynnik przepuszczania jest bliski jedności, to sygnał przechodzi praktycznie bez zmiany. Współczynnik odbicia jest przy tym bardzo mały : | r | << 1, gdzie r – jest współczynnikiem odbicia ze względu na amplitudę. Fluktuacje modu koherentnego przy tych warunkach praktycznie nie dostają się na wyjście, za to przechodzi na wyjście istotnie obniżona średnia amplituda ξ = rz. W reprezentacji Heisenberga operator anihilacji fotonu modu
wyjściowego przedstawia sobą sumę operatora anihilacji sygnału doznającego NFS i ξ :
a^out ≈ exp[ −iχ-a^†(0)a^(0)] a^(0) + ξ (17.29)
Wynik taki możemy ławo otrzymać przy pomocy znanej nam już zależności, opisującej działanie dzielnika świetlnego (16.5) przy | r | << 1 i | t | ≈ 1.
Rys. 17.5 Mieszanie na dzielniku światła modu sygnałowego w stanie | ψ > z mocnym modem koherentnym | z > przy małym współczynniku odbicia dzielnika świetlnego względem amplitudy r i wysokim współczynnikiem przepuszczania prowadzi do przesunięcia średniej zespolonej amplitudy modu sygnałowego o wielkość ξ = rz.
W reprezentacji Schrödingera podobną zespoloną poprawkę do wartości średniej zespolonej amplitudy można opisać przy pomocy tzw. operatora przesunięcia :
D^(ξ) ≈ exp( ξa^† −ξ* a^ ) (17.30)
Przy tym stan światła na wyjściu dzielnika świetlnego ( rys. 17.5 ) określony jest przez operator ewolucji [59] :
U^Σ = D^(ξ) U^ (17.31)
Działanie którego na wektor stanu początkowego światła, wchodzącego na wejście włókna kwarcowego, daje skończony stan na wejście dzielnika świetlnego. Teraz operator U^ opisywany jest przez (17.24). Można sprawdzić, że (17.29) otrzymujemy jako :
a^out = U^Σ† a^(0)U^Σ (17.32)
Zatem, otrzymaliśmy uniwersalny sposób dowolnego pomiaru wartości średniej zespolonej amplitudy sygnału, w
szczególności, jego obrotu względem ciała nieokreśloności, przy pomocy słabo odbijającego dzielnika świetlnego. Ten sam efekt możemy osiągnąć stosując silnie odbijający dzielnik, zamieniając miejscami mody wejściowe.
Zatem, jeśli mamy światło o dowolnej orientacji ciała nieokreśloności ( np. elipsa tak jak na rysunku 17.6 ) ze względu na średnią amplitudę, to za pomocą dzielnika świetlnego lub, lepiej pryzmatu Wollastona, można go przekształcić zarówno w światło subpoissonowskie, jak i w stan o minimalnej nieokreśloności fazy, co jest często użyteczne w precyzyjnej
interferometrii.
Rys. 17.6 Stan o dowolnej orientacji elipsy nieokreśloności ze względu na średnią amplitudę a) przy pomocy dzielnika świetlnego możemy go przekształcić w stan subpoissonowski b) dla którego < ∆n2 > < < n^ > lub w stan z stłumionymi fluktuacjami kwantowymi fazy ∆Φ c) w porównaniu ze stanem koherentnym.
Powróćmy do rysunku 17.4 z sierpowatym ciałem nieokreśloności. Obracając niewiele wektor średniej amplitudy można dodać do niego nieduży wektor ξ do niego prostopadły. Przy tym osiągamy subpoissonowską statystykę światła ze zmniejszonymi fluktuacjami intensywności.
Efektywność takiego stłumienia można ocenić przy pomocy tzw. czynnika Fano, który określony jest przez stosunek :
F = < ∆n2 > / < n^ > (17.33)
dyspersji fluktuacji liczby fotonów do średniej liczby fotonów w modzie.
Dla światła koherentnego o poissonowskiej statystyce fotonów F = 1. Dla stanu fokowskiego F = 0. W przypadkach pośrednich 0 < F < 1 – stan światła jest subpoissonowski, a przy F > 1 – superpoissonowski.
Superpoissonowski stan będzie miało np. światło zdegenerowanego rozpraszania parametrycznego, ponieważ kreowane pary fotonowe w przypadku zdegenerowanym należą do jednego modu tj. mają tendencje do wzajemnego grupowania się.
( rys. 17.7)
Rys. 17.7 Przykłady następowania w czasie fotozliczeń przy poissonowskiej a) subpoissonowskiej b) i
superpoissonowskiej c) statystyce fotonów. Przykład superpoissonowskiego światła odpowiada zdegenerowanemu rozpraszaniu parametrycznemu.
Zatem, maksymalne stłumienie fluktuacji fotonowych, a zatem i maksymalne stłumienie szumu śrutowego detekcji osiągamy przy minimalnej wartości czynnika Fano F. Wektor ξ ( rys. 17.4) przy tym powinien być obrócony o kąt ½ π względem średniej wartości amplitudy modu, doznającego NFS i posiadać optymalną długość. W tym przypadku wraz ze wzrostem nieliniowego parametru χ- czynnik Fano na początku zmniejsza się ( rys. 17.8), a potem zwiększa się [59].
Optymalna wartość χ
-opt odpowiadająca maksymalnej dyspersji fluktuacji fotonowych jest równa w przybliżeniu : χ
-opt ≈ ½ < n^out > − 3/2 (17.34)
przy tym
< ( ∆nout )2 >min = ( < n^out > )3/2 (17.35)
gdzie < n^out > = < n^ > + | ξ |2 , n^ - inwariantna liczba fotonów w modzie doznające NFS.
Na rysunku 17.8 przedstawiono wykres unormowanych względem < n^out > fluktuacji fazowych < Φout2 >. Dla światła subpoissonowskiego takie fluktuacje rosną. Przy tym iloczyn dyspersji < Φout2 > < ( ∆nout )2 > pozostaje stały i minimalnie możliwy ¼ aż do wartości χ- = χopt , a następnie szybko zwiększa się [59].
Rys. 17.8 Wykresy czynnika Fano ( linia przerywana ) i unormowanych względem < ∆n^out > fluktuacji fazowych
< ∆Φout 2 > ( linia ciągła ) w zależności od nieliniowego parametru χ-.
Powróćmy do podstawowego tematu niniejszego rozdziału – pomiarom niezaburzającym. Ponieważ operator n^(t) przy NFS jest inwariantem w czasie, to spełnia on warunek (17.1), zatem wielkość liczby fotonów przy NFS jest obserwablą niezaburzoną i może być zmierzona w sposób niezaburzający. Jak jednak to wykonać ?
Podajmy na wejście ośrodka nieliniowego o nieliniowości kubicznej ( np. tego samego włókna kwarcowego ) oprócz sygnału mierzonego „a” słaby mod próbny „b”, którego mierząc fazę spróbujemy określić intensywność sygnału „a” [59]
( rys. 17.9). Ponieważ intensywny sygnał „a” zmienia gęstość optyczną i współczynnik załamania ośrodka nieliniowego, to taka zmiana gęstości może być ”rozpoznana” przez standardowy interferometr np. Macha – Zehndera. Przypomnijmy, że takim interferometrem możemy mierzyć kosinus różnicy faz w ramionach. W ten sposób, jeśli mod sygnałowy wejściowo znajduje się w stanie | >0 , a próbny – w stanie koherentnym | z0 >, to po pomiarze przejdzie ona w stan własny | C >
operatora kosinusa różnicy faz C^, zgodnie z postulatem redukcyjnym von Neumanna.
Rys. 17.9 Układ niezaburzających pomiarów kwantowych liczby fotonów modu sygnałowego „a” w ośrodkach z kubiczną nieliniowością χ .Powodowana przez sygnał „a” nieliniowa zmiana współczynnika załamania może być mierzona przez mod próbny „b”, np. o innej częstotliwości, w interferometrze typu Macha –Zehndera, jak pokazano na niniejszym rysunku lub w układzie zrównoważonej detekcji homodynowej.
Hamiltonian czterofotonowego oddziaływania dla takiego procesu ma postać :
Różni się on od hamiltonianu (17.3) stopniem zdegenerowania – tam wszystkie operatory kreacji i anihilacji należą do jednego modu, a tutaj – do dwóch. Taki hamiltonian opisuje proces anihilacji jednego fotonu sygnału „a” i jednego fotonu
„b”, a w miejsce nich – jednoczesnej kreacji takich fotonów w tej modzie.
Operator ewolucji ma postać:
U^ = exp( −iχ
-ab n^a n^b /2 ) (17.37)
Jeśli mod sygnałowy znajduje się w stanie czystym | >0 , to stan wejściowy układu kwantowego opisywany jest przez wektor :
| ψ >0 = | >0 | z0 >b (17.38)
lub macierzą gęstości :
ρ^0 = | >0 | z0 > < z0 | 0< | (17.39)
W wyniku czterofotonowego oddziaływania macierz gęstości przekształca się w :
ρ^ab = U^ ρ^0 U^† (17.40)
gdzie operator U^ określony jest przez (17.37).
Po pomiarze jak powiedziano wcześniej, mod próbny przechodzi w stan własny | C > operatora kosinusa kąta różnicy faz C^, a macierz gęstości redukuje się do :
ρ^a = N Trb ( | C > < C | ρ^ab ) (17.41)
gdzie macierz | C > < C | reprezentuje sobą operator rzutowy, a stała normująca N określona jest z warunku :
Trb ρ^a = 1 (17.42)
W wyrażeniu (17.41) uśrednienie prowadzimy po wszystkim możliwym stanach | C > modu próbnego „b” po pomiarze.
Teraz możemy obliczyć gęstość rozkładu liczby fotonów modu sygnałowego po pomiarze :
Wielkość | < na | >0 |2 reprezentuje tutaj sobą wejściowy rozkład fotonów modu sygnałowego P0(na ), który można wyprowadzić poza nawias, jako wielkość niezależną od stanu modu próbnego „b”, zatem :
Jeśli χ
-ab → 0, to statystyka fotonowa modu sygnałowego pozostaje niezmieniona.
Zatem, pomiary niezaburzające intensywności modu sygnałowego są możliwe przy niewystępowaniu oddziaływania czterofotonowego, kiedy χ
-ab = 0, co możemy osiągnąć poprzez szczególny dobór długości fali modu próbnego z uwzględnieniem spektralnej charakterystyki nieliniowości kubicznej. Nieliniowy przyrost fazy sygnału może być przy tym niezerowy, ponieważ χ(3)
ab ≠ χ(3)
a , gdzie χ(3)
a – jest nieliniowością kubiczną NFS – sygnału.
I odwrotnie, im większa χ(3)
ab tym większa jest zmiana gęstości optycznej ośrodka nieliniowego i tym wyższa jest czułość pomiarów.
Oprócz tego, pomiary niezaburzające, zgodnie z drugą z równości w (17.45), są możliwe przy małej intensywności modu próbnego, kiedy n-b = < n^b(0) > = | z0 |2 << 1, ponieważ G(na ) przy tym pozostaje praktycznie stałą , niezależną od na
Oprócz tego, pomiary niezaburzające, zgodnie z drugą z równości w (17.45), są możliwe przy małej intensywności modu próbnego, kiedy n-b = < n^b(0) > = | z0 |2 << 1, ponieważ G(na ) przy tym pozostaje praktycznie stałą , niezależną od na