Twierdzenie Bella - Pomiary kwantowe A. W. Belinskij

Rozdział 16 Twierdzenie Bella.

Powróćmy ponownie do par skorelowanych cząstek kreowanych w procesie rozpraszania parametrycznego.

W nieliniowych kryształach możliwe są dwa typy oddziaływań : typ I – tzw. ooe-oddziaływanie, kiedy to wiązki

sygnałowa i jałowa są standardowe, tj. mają jednakowa liniową o-polaryzacje ; typ II eoe-oddziaływanie, kiedy to wiązka sygnałowa jest niezwyczajna (e), a jałowa – zwyczajna (o), tj. pary fotonowe mają wzajemnie ortogonalne polaryzacje liniowe. W obu przypadkach wiązka pompująca jest niestandardowa (e). Standardowo kryształ orientowany jest tak, aby jego oś optyczna była prostopadła do osi „niestandardowej” wiązki pompującej, kiedy to nie występuje poprzeczne przesunięcie i wiązka pompująca nie zmienia swojego kierunku w krysztale.

Dla nas ważne jest to, że zarówno w pierwszym, jak i w drugim typie oddziaływania płaszczyzny polaryzacji par fotonowych są ściśle skorelowane : w pierwszym typie są jednakowe, w drugim – ortogonalne. Dla typu II orientacja płaszczyzny polaryzacji jednego z fotonów pary jest absolutnie przypadkowa. Jeśli na jego drodze umieścimy pryzmat Wollastona ( rys. 12.4), to będzie on wpadał w jeden lub drugi jego kanał wyjściowy z równym (50% -towym ) prawdopodobieństwem od realizacji do realizacji niezależnie od tego lub innego kąta obrotu pryzmatu wokół kierunku propagacji fotonu. Mamy tutaj pełną analogię z naturalnym światłem. A co będzie się działo z fotonem nie mającym w pełni określonej płaszczyzny polaryzacji ?

Sytuacja taka ma miejsce w przypadku I typu oddziaływania parametrycznego. Jeśli płaszczyzna polaryzacji tworzy kąt ϕz jednym z kierunków rozdzielającym wzajemnie ortogonalne kierunki polaryzacji pryzmatu Wollastona ( rys. 16.1), to z prawdopodobieństwem cos2(ϕ) wpadnie on do pierwszego kanału wejściowego, a z prawdopodobieństwem sin2(ϕ)- do drugiego. Wynika to z prostych zależności operatorowych :

a^1 = a^cos(ϕ) , a^2 = a^sin(ϕ) (16.1)

gdzie a^ - operator anihilacji fotonu płasko spolaryzowanego światła, na wejściu pryzmatu ; a^1, a^1- takież operatory na wyjściach.

W szczególności, jeśli na wejściu jest stan jednofotonowy | 1 >, to prawdopodobieństwo wejścia fotonu do pierwszego kanału jest równe :

< 1 | a^1†a^2 | 1 > = < 1 | a^†a^ | 1 > cos2(ϕ) = cos2(ϕ) (16.2) Jest to kwantowy analog prawa Mallusa, opisującego przechodzenie światła przez dwa skręcone pod kątem ϕ polaryzatory.

Rys. 16.1 Płasko spolaryzowane światło w pryzmacie Wollastona rozdzielana jest na dwa kanały z wzajemnie ortogonalnymi kierunkami polaryzacji 1 i 2 z odpowiednimi prawdopodobieństwami cos2(ϕ) i sin2(ϕ).

(* opis na rysunku płaszczyzna polaryzacji światła *)

Powróćmy dalej do rozpraszania parametrycznego. Oznaczmy dwa wzajemnie ortogonalne kierunki polaryzacji, które są możliwe w krysztale jako x, y.

Niech foton sygnałowy przemieszcza się w kierunku obserwatora A, a jałowy – w kierunku obserwatora B ( rys. 16.2). W przypadku I typu oddziaływania (ooe) ich płaszczyzny polaryzacji dla jednej pary fotonowej są jednakowe. Jeśli kolejno umieścimy dwa jednakowe nieliniowe kryształy, generujące fotony ze wzajemnie ortogonalnymi płaszczyznami

polaryzacji, to stan kwantowy pary fotonowej opisywany będzie przez wektor :

| ψ > = (1/√( | 1 >xa | 1 >xb | 0 >ya | 0 >yb + | 0 >xa | 0 >xb | 1 >ya | 1 >yb ) (16.3) Struktura tego wektora jest taka, ze chociaż kierunki polaryzacji jednego z fotonów pary ( a lub b ) są równie

prawdopodobne, to między sobą są one ściśle skorelowane.

Stan taki nie może być sfaktoryzowany :

| ψ > ≠ | ψ >a | ψ >b (16.4)

zatem jest to stan splątany : kierunki propagacji są „splątane” z kierunkami polaryzacji. Przy tym para fotonowa zachowuje się dziwnie. Wydawaćby się mogło, że jeśli wejście jednego fotonu z pary na detektory + i − jest przypadkowe i równo prawdopodobne dla jednego obserwatora przy dowolnej orientacji kątowej jego pryzmatu, to również przypadkowe i niezależne od wyniku pierwszego obserwatora powinno być zachowanie drugiego fotonu.

Jednakże przy jednakowej orientacji pryzmatów ( kiedy α = β ) obserwujemy ścisłą korelacje wyników :

albo dla obu + albo dla obu − , niezależnie od orientacji pryzmatu względem osi krystalograficznej nieliniowego kryształu.

Ważna jest tylko wzajemna orientacja pryzmatu tj. warunek α = β.

Niech działanie pryzmatu Wollastona, powiedzmy dla obserwatora A, opisywane będzie w reprezentacji Heisenberga zależnościami operatorowymi :

a^+ = taa^x + ra a^y (16.5)

a^− = − raa^x + ta a^y (16.6)

gdzie a^+ i a^− - operatory anihilacji mod fotonu skierowanych, odpowiednio ku detektorom + i −; operatory anihilacji a^x i a^y opisują składowe polaryzacyjne natężenia pola elektrycznego, odpowiednio na osi x i y.

Współczynniki amplitudowe ta i aa określane są przez kąt obrotu pryzmatu względem osi współrzędnych x i y analogicznie do (16.1) :

ta = cos(α) , ra = sin(α).

Współczynniki te są analogiczne do współczynników amplitudowych transmisji i odbicia dzielnika świetlnego, przy α = ¼ π mamy (12.26) (12.27).

Rys. 16.2 Schemat układu do badania skorelowanych par fotonów. Fotony – sygnałowy (a) i jałowy (b) posiadają jednakowe płaszczyzny polaryzacji. Są one kierowane odpowiednio ku obserwatorom A i B, każdy z których posiada pryzmat Wollastona i dwa detektory + i − Kątowa orientacja pryzmatu obserwatorów określana jest odpowiednio przez kąty obrotu α i β wokół kierunku propagacji fotonów.

(* opis na rysunku. Od góry : detektor + , lustra, detektor − , piezzokryształ , wiązka laserowa *) Operator liczby fotonów dla obserwatora A w kanale detektora + jest równy :

n^+a = a^+† a^+ = ℑan^xa + ℜa n^ya + ta ra ( a^x† a^y + a^x a^y† ) (16.7) gdzie wprowadzono współczynniki :

ℑa = ta2 , ℜa = ra2 a operatory liczb fotonów :

n^xa = a^x† a^x , nya = a^y † a^y Analogicznie dla kanału detektora − :

n^−a = a^−† a^− = ℜan^xa + ℑa n^ya − ta ra ( a^x† a^y + a^x a^y† ) (16.8) Sparametryzujmy wyniki obserwacji następująco. Jeśli foton dla obserwatora A wpada do detektora + , to a = + 1, jeśli do detektora −, to a = −1. Operator, opisujący taką obserwable, jest równy :

A^ = n^+a − n^−a = ( ℑa − ℜa ) n^xa − ( ℑa − ℜa ) n^ya + 2 ta ra ( a^x† a^y + a^x a^y† ) =

= ( n^xa − n^ya ) cos(2α) + ( a^x† a^y + a^x a^y† ) sin(2α) (16.9) Dla uproszczenia zakładamy kwantową efektywność detektora η równą 1.

Analogiczne zależności opisują pomiar obserwatora B. Należy tylko zamienić a na b , a^ na b^ , α na β oraz A^ na B^.

Będziemy śledzili jednoczesne wyniki uzyskiwane przez obu obserwatorów tj. nie pokrywające się czasowo pary fotonowe, które w tym celu powinniśmy wysyłać w kierunku obserwatorów wystarczająco rzadko.

Korelacja takich pomiarów określona jest przez moment statystyczny :

< ψ | A^B^ | ψ > = cos(2α)cos(2β) + sin(2α)sin(2β) = cos[ 2(α − β)] (16.10) Uśredniliśmy tutaj po stanie (16.3).

Zatem, przy identycznych warunkach rejestracji par fotonowych przez obserwatorów A, B kąty obrotu pryzmatu są jednakowe : α = β i obserwujemy pełną korelacje wyników :

< ψ | A^B^ | ψ > = 1 tj. albo dla obu obserwatorów jednocześnie zadziałają detektory +, albo detektory − , iloczyn ab jest zawsze równy +1. Jak jednakże może to mieć miejsce, skoro każdy foton w oddzielności jest kierowany w sposób przypadkowy do detektora + lub − ?

Jest jasne, że będzie to miało miejsce tylko w tym przypadku, jeśli para fotonowa reprezentuje określoną całość, chociaż fotony przy tym mogą być odległe od siebie o dziesiątki i więcej kilometrów. Ponieważ nie są nam znane siły

oddziaływania miedzy odległymi fotonami, które by mogły synchronizować ich przejścia przez pryzmaty półprzepuszczalne, stykamy się z jeszcze jedną zagadką teorii kwantów i przejawem nielokalności kwantowej.

Zagadkowymi są już same stany splątane (16.3). Jeśli by fotony pary zachowywały się niezależnie, można byłoby go sfaktoryzować np. :

| ψ > = | ψ >a | ψ >b = ½ ( | 1 >xa | 0 >ya + | 0 >xa | 1 >ya ) ( | 1 >xb | 0 >yb + | 0 >xb | 1 >yb ) (16.11) W miejsce dwóch składowych (16.3) mamy cztery składowe przy otwarciu nawiasów (16.11) I standardowe – niezależne zachowanie fotonów. Jednakże rozpraszanie parametryczne daje właśnie splątany niefaktoryzowalny stan (16.3).

Rozpatrywany efekt po raz pierwszy zauważyli Einstein, Podolski i Rosen ( stąd jego obecna nazwa paradoks EPR ) [30]. Długi czas był on obiektem żarliwego sporu A. Einsteina i N. Bohra oraz wielu ich następców, w szczególności D. Bohma [31]. Dopiero sformułowanie przez J. Bella odpowiedniego twierdzenia ( twierdzenie Bella ) umożliwiło sformułowanie odpowiedniego kryterium dla niezwyczajnego zachowania się skorelowanych par cząstek kwantowych [32].

Faktycznie całe zagadnienie od tego czasu sprowadza się do pytania, czy można sprowadzić teorię kwantów do jednego z rozdziałów klasycznej fizyki statystycznej, gdzie przypadkowość zachowania obiektów jest wynikiem niedostatecznej wiedzy o ich zachowaniu. Czy przypadkowość jest zasadniczo nie eliminowana w teorii kwantowej, czy jest tylko przejawem jej niepełności i wymaga uzupełnienia poprzez wprowadzenie określonego zbioru nieznanych obserwatorowi tzw. parametrów ukrytych ? Czy też żadne uzupełnianie teorii kwantowej nie może wyeliminować z niej przypadkowości ? Te ważne – fundamentalnie ważne pytania poruszyliśmy już pośrednio wcześniej, w szczególności przy omawianiu interferencji trzeciego rzędu ( rys. 14.1). Parametrem ukrytym mogła tam być liczba fotonów zawarta między nieliniowymi kryształami – jeden lub dwa. Jednakże jak się wtedy przekonaliśmy, takiego parametru ukrytego być tam nie mogło, ponieważ inaczej obraz interferencyjny nie występowałby wcale. Zatem, udało się nam „zaglądnąć” do niedostępnej dla obserwatora przestrzeni między dwoma nieliniowymi kryształami tj. tam gdzie nie ma żadnych przyrządów pomiarowych.

Analogiczna sytuacja ma miejsce dla twierdzenia Bella, które pozwala dowieść niemożliwości istnienia ukrytych parametrów, mimo ich niedostępności dla obserwacji tj. możemy również zaglądnąć do „miejsc niedostępnych obserwacji”. J. Bell dokonał tego „końcówką pióra” długo przed wykonaniem eksperymentów interferencyjnych z fotonami oraz innymi cząstkami kwantowymi.

Powróćmy do schematu z rysunku 16.2. Historycznie pojawił się on znacznie później od pionierskiej pracy Bella [32], jednakże dydaktycznie dogodniej jest rozpocząć analizę problemu właśnie od takiego schematu.

Eksperyment będziemy prowadzili w czterech etapach. Na pierwszym etapie ustanowimy kąty obrotu pryzmatu dla obserwatorów A, B, niech będą one równe odpowiednio α i β.

Na drugim etapie – zmienimy dla obserwatora A kąt α na α’. Na trzecim – powrócimy do kąta α dla obserwatora A, ale jednocześnie zmienimy kat β na β‘ dla obserwatora B. W czwartym etapie zmienimy kat obserwatora A na α’.

Z wyników pomiarów zestawimy iloczyny jednoczesnych fotozliczeń, odpowiednio : ab, a’b, ab’, a’b’

które równe są oczywiście ± 1.

Wielokrotnie powtarzając taki eksperyment na każdym etapie ( tak aby otrzymać reprezentatywny wynik dla analizy statystycznej ) w wyniku uśrednienia znajdujemy momenty :

gdzie n – bieżący numer realizacji, liczba których w każdej z czterech serii eksperymentu jest równa N.

Znajdziemy prawdopodobieństwo oszacowania wielkości :

S = ½ ( < AB > + < A’B > + < AB’ > − <A’B’ > ) (16.13) Nazywanej obserwablą Bella. Dalej będziemy postępowali zgodnie z [33,34]

Załóżmy, że wszystkie cztery wielkości a, a’, b, b’ są określone tylko poprzez własności źródła par fotonowych w chwili ich emisji tj. pewnym zbiorem parametrów źródła { λ }, które mogą być nieznane dla obserwatora i dlatego nazwiemy je

„parametrami ukrytymi”. Do takich parametrów możemy zaliczyć wszystkie okoliczności tak, lub inaczej wpływające na własności polaryzacyjne kreowanych par fotonowych.

Jeśli wszystkie cztery wielkości można byłoby zmierzyć jednocześnie, to można byłoby obliczyć czterowymiarowe prawdopodobieństwa :

PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) = (1/N ) ΣΣΣΣ { a, a’, b, b’ }n (16.14)

n=1

gdzie M – liczba realizacji w których zarejestrowano wartości obserwabli { a, a’, b, b’ } z ogólnej liczby N.

Ponieważ wyniki pomiaru, zgodnie z naszym założeniem, są określone jednoznacznie w chwili kreacji par fotonowych przez własności ich źródła, nie jest ważne czy można ustalić wszystkie cztery wielkości jednocześnie, czy też należy je mierzyć kolejno.

Tak lub inaczej, powinny istnieć zgodne czterowymiarowe funkcje prawdopodobieństwa (16.14), ponieważ potencjalnie wszystkie cztery wielkości mierzalne istnieją jednocześnie już w chwili kreacji par fotonowych, przy czym :

PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) =

∫

P(λ) dλ (16.15)

{ Λ }

gdzie { Λ } – podzbiór parametrów ukrytych zbioru { λ }, które prowadzą do wyniku { a, a’, b, b’ }, P(λ) – rozkład prawdopodobieństwa parametrów ukrytych.

Ponieważ każda z czterech wielkości a, a’, b, b’ może przyjmować dwie wartości : +1 i − 1, ogólna liczba kombinacji wszystkich możliwych eksperymentów jest równa 24 = 16. Taka właśnie będzie i ogólna liczba wszystkich możliwych zgodnych prawdopodobieństw PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) Zatem funkcja ta określona jest na zbiorze złożonym z 16 możliwych wyników jednego „pełnego” eksperymentu tj. równoległego lub sekwencyjnego pomiaru wszystkich czterech wielkości a, a’, b, b’. Zadaje ona elementarne lub pierwotne prawdopodobieństwa naszego modelu.

Przykładowo PAA’BB’( +1, +1, −1, +1 ) = - prawdopodobieństwo zdarzenia postaci { a = +1, a’= +1, b = −1, b’= +1 } Z pomocą elementarnych prawdopodobieństw zgodnie z zasadą dodawania prawdopodobieństw zdarzeń wykluczających się możemy znaleźć prawdopodobieństwo wszystkich pozostałych zdarzeń. Przykładowo prawdopodobieństwo zdarzenia { a = +1, b = +1 } określone jest przez sumę czterech prawdopodobieństw elementarnych :

PAB (+, + ) = ΣΣΣΣ { +, a’, + , b’ } (16.16)

a’, b’ =±1

Również dwuwymiarowe momenty, wchodzące do S (16.13), określone są przez prawdopodobieństwa elementarne, np. : 16

< AB > = ΣΣΣΣ ab PAB (a, b) = ΣΣΣΣ ab PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) (16.17) a,b 1

Można rozwiązać również zagadnienie odwrotne – wyrazić elementarne prawdopodobieństwa PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) poprzez zbiór zupełny wszystkich możliwych momentów [33].

Nierówność Bella (16.13) wyrazimy poprzez prawdopodobieństwa elementarne : 16

S = ΣΣΣΣ s(a, a’, b, b’ ) PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) (16.18) 1

gdzie :

s(a, a’, b, b’ ) := ½ ( ab + a’b + ab’ − a’b’ ) = ½ [ a( b + b’ ) + a’( b − b’ )] (16.19) Zakładamy tutaj ergodyczność procedury eksperymentalnej we wszystkich jej czterech etapach.

Czterowymiarowa funkcja s(a, a’, b, b’ ) zgodnie z (16.19) może przyjmować tylko dwie wartości : ± 1 przy b = b’ i

ponieważ dowolne prawdopodobieństwa w tej zależności nie mogą być ujemne, a ich ogólna suma jest równa jeden :

PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) ≥ 0 (16.21)

ΣΣΣΣ PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) = 1 (16.22)

Zatem, nie ograniczając się do żadnego konkretnego modelu fizycznego, a wychodząc tylko z założenia istnienia czterowymiarowych prawdopodobieństw, otrzymaliśmy tzw. nierówność Bella w postaci Clauser’a-Horn’a-Shimony’ego-Holt’a [35] w skrócie CHSH :

| < AB > + < A’B > + < AB’ > − < A’B’ > | ≤ 2 (16.23) Zbadajmy czy nierówność ta może być naruszana w układzie eksperymentalnym przedstawionym na rysunku 16.2.

Jeśli w czterech seriach eksperymentu ustanowimy wartości kątów obrotu pryzmatu równe α = 0, α’ = ¼ π, β = 1/8π, β’ = − 1/8π, to zgodnie z (16.10) :

< AB > = < A’B > = < AB’ > = − < A’B > = √2/2 (16.24) i w lewej części nierówności (16.23) mamy √2/2.

Dlaczego nasz elementarny wywód nierówności (16.23) traci moc przy opisie kwantowym ?

Wprowadzając zgodne prawdopodobieństwa PAA’BB’(a, a’, b, b’ ) dopuściliśmy apriori istnienie wszystkich czterech obserwabli a, a’, b, b’. Jednakże w analizie interferencji trzeciego rzędu ( rozdział 14) przekonaliśmy się, że istnienie apriori obserwabli, mającej określoną i niezmienną wartość, jest niemożliwe, a już tym bardziej nie możliwe jest

jednoczesne aprioryczne istnienie czterech takich obserwabli. Możemy łatwo przekonać się o niekomutowaniu operatorów A^ = A^(α) i A’^ := A^(α’ ) zgodnie z (16.9), jak również operatorów B^ = B^(β) i B’^ := B^(β’ ) przy α ≠ α, i β ≠ β’, co

oznacza, że spełniają one zasadę nieokreśloności Heisenberga i nie mogą być one dokładnie zmierzone lub nawet posiadać jednocześnie apriori dokładne wartości.

Taka paradoksalna okoliczność pomiarów kwantowych została już omówiona i jak można się domyślać jest ona związana z zasadą komplementarności Bohra. (* oczywiście zasada ta jest konsekwencją dualizmu korpuskularno-falowego *)

Oprócz tego, niemożliwość przeprowadzenia jednoczesnych pomiarów często jest cechą charakterystyczną cząstek kwantowych, ponieważ informacja, przenoszona np. przez jednofotonowe pole świetlne nie może rozdzielać się ( „klonować się” ) i kierować się do dwóch lub więcej przyrządów pomiarowych.

Mówimy, że jeden foton nie może zostać zarejestrowany przez dwa różne detektory. W eksperymentach z fermionami np.

parami elektronowo-pozytonowymi [5, 36], operatory A^ i A’^ opisujemy projekcje spinu na różne kierunki, które dalej mierzymy przy różnych orientacjach magnesów. W wyniku tego wartości a i a’ jak i b i b’ nie mogą być zmierzone w jednym pomiarze ( zapytaniu ). Również i tu daje o sobie znać zasada komplementarności Bohra.

Należy również zauważyć, ze w naszym wywodzie nierówności Bella w postaci CHSH nie jawnie występowało założenie o lokalności : wynik obserwacji a(α) przyjmowaliśmy niezależny od stanu aparatury pomiarowej drugiego obserwatora B, tj. od kąta β ( lub β’ ). Odejście od tego naturalnego założenia prowadzi do tego, ze wielkość s staje się funkcją już nie czterech, a ośmiu zmiennych :

s(a, a’, b, b’ ) = ½ [ a(α, β)b(α, β) + a(α’, β) b(α,β ) + a(α, β’ )b(α, β’ ) − a(α’, β) b(α’, β’ )] (16.25) i oprócz wartości ± 1 może być równa zero lub ±2, a przy uśrednieniu powinny figurować inne – ośmiowymiarowe – prawdopodobieństwa elementarne, określające statystykę wszystkich ośmiu zmiennych.

Jest jasne, że nierówność CHSH przy tym może być naruszana ponieważ wszystkie cztery składowe (16.25) mogą być statystycznie niezależne. Przy tym ograniczenie | S | ≤ 1 nie pojawia się i przy niewystępowaniu dodatkowych warunków, obserwabla Bella S okazuje się ograniczona tylko do naturalnego interwału od −2 do +2.

Ponieważ nie są nam znane siły, które mogłyby wpływać na wynik dla obserwatora A w zależności od stanu aparatury pomiarowej obserwatora B ( obserwatorzy A i B nie porozumiewają się między sobą ), logicznie jest założyć, że stykamy się tutaj z przejawem nielokalności kwantowej, kiedy to para rozlatujących się w różnych kierunkach fotonów zachowuje się nie jak dwie niezależne cząstki, a jako coś całościowego. Dla takiego układu cząstek kwantowych znaleziono nawet własną nazwę – holon tj. pewien elementarny obiekt, którego rozdzielenia na mniejsze składowe nie jest możliwe ( bez naruszenia jego podstawowych własności [37, 38, 39].

Zatem, naruszenie nierówności Bella może oznaczać zarówno niewystępowanie apriorycznych wartości wielkości obserwowalnych do chwili ich pomiaru, jak i przejaw kwantowej nielokalności. Jednakże samo w sobie niewystępowanie wartości apriorycznych nie może wyjaśnić korelacji jednocześnie mierzonych obserwabli ( czy może bowiem zachodzić korelacja wielkości które nie istnieją ? ), to jak się wydaje mamy do czynienia z oboma takimi czynnikami.

Jakie konkretne eksperymenty zostały przeprowadzone w omawianej kwestii ?

Po raz pierwszy naruszenie nierówności Bella zostało eksperymentalnie potwierdzone w 1981 roku [40, 41] w układzie analogicznym do układu przedstawionego na rysunku 16.2, źródłem par fotonowych nie był tam jednakże rozpraszacz parametryczny. Wyniki te nie były dostatecznie zadowalające. Problem w tym, że w dowodzie nierówności CHSH zakładano dychotomię obserwabli tj. wielkości a, a’, b i b’ mogły mieć tylko dwie możliwe wartości + 1 i − 1.

Kwantowa efektywność detektorów i całego toru optycznego powinna mieć przy tym idealną wartość η = 1 tj. nie ma zupełnie utraty par fotonowych w przeciwnym wypadku mogłoby się zdarzyć, że tracąc jakiś foton z pary otrzymamy jedno foto zliczenia lub wcale nie otrzymamy zliczenia.

W eksperymencie rzeczywistym oczywiście nie można uniknąć straty określonej liczby fotonów. Tym bardziej, że w pierwszych eksperymentach [40, 41] kwantowa efektywność detektorów nie przekraczała 20%. Co oznacza, że w miejsce obserwabli dychotomicznych faktycznie występowała trychotomia – mamy trzy możliwe wartości +1, −1, 0.

Zero odpowiada przepuszczeniu bez rejestracji fotonu przez detektor. Podany przez nas dowód nierówności CHSH (16.23) traci moc, choćby dlatego, że nie wiemy jaka dokładnie jest liczba wyemitowanych par fotonowych N i nie można

poprawnie dokonać uśrednienia. A co najważniejsze w miejsce 24 = 16 prawdopodobieństw elementarnych w wariancie trychotomicznym mamy ich 34 = 81. Ich kombinacje można dobrać tak, że nierówność (16.23) będzie naruszana ( zobacz np. [42] i cytowaną tam literaturę )

Jak zatem wyjść z takiego problemu ?

Oczywista drogą wydaje się podwyższenie efektywności kwantowej detektorów rozwiązanie to ma jednakże swoje naturalne ograniczenia. Istnieje również możliwość prowadzenia eksperymentów nie z fotonami, a np. z ciężkimi atomami, których detekcja jest znacznie łatwiejsza, rozwiązanie takie zostało wypróbowane – patrz [43]

Inna drogą poradzenia sobie z faktyczną trychotomią obserwabli jest rozważenie takich nierówności statystycznych, które byłyby słuszne zarówno dla dychotomicznych jak i trychotomicznych wielkości mierzalnych Takiemu podejściu

poświęcono znaczną cześć pracy [42], gdzie rozpatrzono warianty nie tylko dwóch, ale i większej liczby obserwabli.

Teraz zastanowimy się na jednej prostej nierówności dla dwóch obserwatorów, noszącej nazwę Clausera-Horna (CH) Podane podejście przedstawiono dokładnie w [44].

Niech wartości wielkości mierzalnych a, a’, b , b’ należą do pewnego zbioru liczbowego ℵ, np. w przypadku obserwabli trychotomicznych elementami zbioru ℵ są trzy liczby +1, −1, 0. Tyldą będziemy oznaczali podzbiory dopełniające np.

sumę a ∪ a~ = ℵ tj. jeśli a = +1, to a~ może przyjmować wartości 0 i −1.

Zakładamy istnienie elementarnych czterowymiarowych zgodnych prawdopodobieństw PAA’BB’(a, a’, b, b’ ),

wykorzystując tzw. warunek odpowiedniości, który pozwala wyrazić prawdopodobieństwa niższych wymiarów poprzez prawdopodobieństwa elementarne, analogicznie do (16.16) : Dodajmy tą nierówność do (16.27), otrzymamy wtedy nierówność CH :

PAB( a, b ) + PA’B(a’, b ) + PAB’(a, b’ ) − PA’B’( a’, b’ ) ≤ PA(a ) + PB(b ) (16.30) Jak sprawdzić tą nierówność eksperymentalnie ?

Wchodzą do niej nie momenty tak jak do nierówności CHSH (16.23), a prawdopodobieństwa. Oczywiście momenty możemy wyrazić poprzez prawdopodobieństwa, istnieje jednakże prostsze wyjście [42, 44].

W schemacie przedstawionym na rysunku 16.2 będziemy uwzględniali tylko koincydencje detektorów +, wtedy :

PAB(+, + ) + PA’B( +, + ) + PAB’(+, + ) − PA’B’( +, + ) ≤ PA(+ ) + PB(+ ) (16.31) Wchodzące tutaj prawdopodobieństwa przedstawiają sobą stosunki ilości opisywanych przez nie zdarzeń do ogólnej liczby par fotonów N, przykładowo :

PAB(+, + ) = ΣΣΣΣ { a = +1, b = + 1 } / N (16.32)

lub

PA(+ ) = ΣΣΣΣ { a = +1 } / N (16.33)

tj. W mianowniku występuje wyrażenie takie samo dla wszystkich prawdopodobieństw wchodzących do (16.31), które możemy skrócić.

Przy tym wszystkie cztery etapy eksperymentu należy przeprowadzić w ciągu jednego odcinak czasu, albo należy operować z tzw. prędkościami fotozliczeń, tj. liczbami zdarzeń w jednostce czasu, co zazwyczaj właśnie jest wykorzystywane w praktyce.

Niestety, jak pokazują obliczenia [42, 44], naruszenie nierówności CH typu (16.31) jest możliwe jedynie w przypadku, kiedy sumaryczne straty w kanałach obserwatorów nie przekraczają 33%, co bardzo trudno jest zrealizować w praktyce, szczególnie w wysokoefektywnych nisko szumowych detektorów.

Zatem, chociaż istnieją zasadnicze możliwości sprawdzenia lokalnej teorii parametrów ukrytych, to są one związane z dużymi trudnościami natury technicznej.

Czy jednakże nie można skorzystać z już istniejących danych eksperymentalnych ?

Chociaż oczywiście nie będziemy dysponowali 100% procentowym potwierdzeniem lub zaprzeczeniem, to jednakże mamy określony procent pewności.

W dalszej kolejności w związku z tym ponownie przeanalizujemy pierwsze eksperymenty [40, 41], jednakże uwzględniając przy tym straty [48, 49].

Obliczenia kwantowe pokazują [42, 44], że jeśli efektywność kwantowa detektorów ηa dla obserwatora A ( zobacz rysunek 16.2 ) i ηb – dla obserwatora B z uwzględnieniem wszystkich strat poczynając od źródła par fotonowych, nie jest równa 1, to momenty < AB > , < A’B > , < AB’ > i < A’B’ > można wyrazić przez momenty układu bez straty, np. :

< AB >η<1 = ηa ηb < AB >η=1 (16.34)

Zakładamy tutaj, że efektywność kwantowa kanałów optycznych detektorów + i − dla każdego z obserwatorów jest jednakowa , tj. :

{ ηa(+) = ηa(−) (16.35)

{ ηb(+) = ηb(−)

W praktyce zazwyczaj realizuje się to następująco. W miejsce dwóch detektorów dla każdego z obserwatorów można wykorzystywać jeden, np. w kanale + i mierzyć prędkość jednoczesnych fotozliczeń. Następnie obrócić pryzmat polaryzacyjny dla obserwatora B o ½π i ponownie mierzymy prędkość zliczania. Tym razem będzie ona odpowiadała prędkości fotozliczeń jednoczesnych { a = +1, b= −1 }, tj. dla obserwatora B nastąpiło przełączenie kanału na − itd.

W dokumencie Pomiary kwantowe A. W. Belinskij (Stron 48-57)