################################################################################
Pomiary kwantowe
A. W. Belinskij
Tytuł oryginału : „Квантовые измерения”
BINOM Moskwa 2009
************************************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego : R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2013-01-10 Tłumaczenie całości książki.
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp własny.
O autorze.
A. W. Belinskij jest znanym fizykiem rosyjskim, prowadzącym aktywnie prace teoretyczne i eksperymentalne w dziedzinie optyki kwantowej – m.in. eksperymenty laserowe sprawdzające teoretyczne przewidywania mechaniki kwantowej.
Zobacz prace autora wymienione w spisie literatury.
Wiadomości wstępne.
Zobacz teksty pt. Wprowadzenie do mechaniki kwantowej , Optyka kwantowa – wprowadzenie.
Skróty własne i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu.
CP – czasoprzestrzeń.
MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna UO – układ odniesienia
IUO – inercjalny układ odniesienia
NIUO – nieinercjanly układ odniesienia STW – szczególna teoria względności
OTW – ogólna teoria względności KTP – kwantowa teoria pola
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *) W całym tekście stała h jest stałą Diraca
************************************************************************************************
Wprowadzenie.
Co to takiego pomiary kwantowe ? Na czym polegają ich własności specyficzne odróżniające je od standardowych pomiarów, prowadzonych w MK ? Dlaczego należy je wydzielać jako osobną dyscyplinę fizyki ?
Aby odpowiedzieć na te pytania, omówimy prosty przykład.
Stolarz przykładający linijkę do deski mierzy jej długość. Nie ma on problemu z faktem iż deska ma w pełni określoną wartość swej długości, która jest niezmienna zarówno w procesie pomiaru jak i po nim. Inaczej jaki sens miałby taki pomiar ? Takie retoryczne pytanie adresowane jest do MQ, przyjmuje tam szczególny sens – tam bowiem do chwili oddziaływania obiektu kwantowego z przyrządem pomiarowym, zgodnie z naszymi modelami wielkości mierzalne nie istnieją. Taka sytuacja wymaga radykalnego przemyślenia sensu pojęcia pomiaru. Jest to jednak złożone zagadnienie i podejścia ku jej rozwiązaniu będziemy poszukiwali stopniowo w ciągu dalszego wykładu. Póki co zauważymy możliwość pojawienia się w świecie kwantowym takich efektów, które są niewyjaśnialne z punktu widzenia fizyki klasycznej.
Nazywamy je po prostu efektami kwantowymi
W dużej mierze takie efekty związane są z mikroświatem, dlatego ważnym wymogiem stawianym pomiarom kwantowym jest wysoka dokładność pomiarów. Jednakże jakkolwiek dokładne by one nie były istnieje fundamentalna granica dokładności, sformułowana przez Heisenberga. Nie można je ominąć – z jakiego powodu ?
Jeśli na skutek oddziaływania pomiaru na obiekt otrzymalibyśmy konkretną wartość, to wyjaśniając mechanizm fizyczny takiego oddziaływania, można byłoby postarać się dokonać korekty takiego pomiaru za pomocą odpowiedniej obróbki matematycznej danych, tym samym moglibyψmy zwiększyć jego dokładność. Jednakże, jeśli określona wartość wielkości mierzonej apriori ( przed pomiarem ) nie istnieje, to informacyjny jest tylko pomiar charakterystyk statystycznych
wielkości mierzonej w granicach jej nieokreśloności statystycznej. Jednokrotny pomiar, za jakimkolwiek wysoką dokładnością by nie był wykonany jest mało informacyjny.
Rozpatrzmy układ kwantowy w stanie czystym tj. w stanie, kiedy całkowicie nie występuje klasyczna nieokreśloność kwantowa. Taki układ wyczerpująco można opisać funkcją falową ψ. Jej kwadrat modułu | ψ |2 daje rozkład
prawdopodobieństwa mierzonej wielkości. Zatem, najbardziej informacyjnym przyrządem byłby miernik funkcji falowej.
Jednokrotny pomiar redukuje wejściową funkcje falową, która opisywała wszystkie możliwe wartości wielkości mierzonej, do funkcji falowej odpowiadającej tylko wartości zmierzonej. Mierzyć wejściową funkcje falową można tylko w wyniku serii wielokrotnych pomiarów ansamblu identycznie przygotowanych układów. Rozwiązywaniem takich zagadnień zostanie zakończony niniejszy wykład teorii pomiarów kwantowych. Rozpoczniemy go od krótkiego powtórzenia podstaw MQ i wyjaśnienia na prostych przykładach podstaw realizacji pomiarów kwantowych.
************************************************************************************************
Rozdział 1 Diracowskie sformułowanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej
Pojedynczą cząstkę elementarną, poruszającą się po prostej o współrzędnej q, będziemy opisywali w reprezentacji współrzędnościowej funkcji falowej ψ(q, t). Probabilistyczna interpretacja ψ(q, t) polega na tym iż wielkość | ψ(q, t) | dq daje nam prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w odcinku pomiędzy q i q + dq w chwili t, kiedy mierzone jest położenie przestrzenne cząstki.
Obraz Fouriera α(q, t) : ∞
ψ(p, t ) = [ 1/ sqrt(2πħ)] ∫ψ(q, t) exp( −ipq /ħ) dq (1.1)
−∞
daje na funkcje falową w reprezentacji pędowej.
Przekształcenie Fouriera istnieje tylko wtedy, kiedy istnieje całka :
∞
∫ | ψ(q, t) |2 dq
−∞ innymi słowy zarówno funkcja ψ(q, t) jak funkcja ψ(p, t) powinny być funkcjami całkowalnymi z kwadratem.
Są one związane ze sobą jednoznacznie i każda z nich w sposób pełny reprezentuje ten sam stan dynamiczny układu.
Wielkość | ψ(p, t) |2 dq daje nam prawdopodobieństwo znalezienia pędu cząstki w odcinku ( p, p + dp ) przy pomiarze pędu w chwili t.
Teorie można rozwijać zarówno w reprezentacji pędowej jak i współrzędnościowej. Wybór konkretnej reprezentacji jest analogiczny do wyboru układu współrzędnych w geometrii. Jednakże w standardowej geometrii z użyciem wektorów możemy obejść się bez wprowadzania układu współrzędnych. Czy można w MQ postępować tak, aby sformułowanie nie zależało od postaci reprezentacji ?
Na tym właśnie polega cel sformułowania Diraca. Przy tym, oczywiście nie powinniśmy utracić oczywistych dogodności związanych z konkretną reprezentacją. Prowadząc konkretne obliczenia, zawsze koniecznym jest wykorzystywać dogodną reprezentacje podobnie jak to ma miejsce przy obliczeniach w analizie wektorowej – zawsze możemy wybrać dogodny dla naszych celów układ współrzędnych.
Dirac założył aby opisywać stany dynamiczne obiektów kwantowych przy pomocy wektorów. Spróbujemy teraz podać geometryczną interpretacje jego podejścia [1].
Współrzędna q może przyjmować wartości q1, q2, q3 , ... Możemy wprowadzić przestrzeń ze skończoną lub nieskończoną liczbą wymiarów, która posiada układ wzajemnie prostokątnych osi, każda z których przyjmuje jedną z wartości
q1, q2, q3 , ... , a wielkości ψ( q1,t ) , ψ(q2, t ), ψ(q3 ,t ) ... reprezentują sobą rzut pewnego wektora stanu odpowiednio na osie współrzędnych q1, q2, q3 , ... Ponieważ wektor ten jest zespolony, nie jest on zwyczajnym wektorem i dla jego oznaczania należałoby wprowadzić specjalne oznaczenie | >
Dirac nazwał go ketem ( od angielskiego słowa „barcket” – nawias ) Zapiszmy słowo < bracket > i podzielmy je na dwie części : < bra | cket >. Lewa część tworzy przestrzeń Hilberta wektorów bra, prawa przestrzeń Hilberta wektorów ket.
Przestrzenie te są różne ( bra – jest wektorem wierszowym , ket – wektorem kolumnowym ), istnieje jednakże między nimi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna. Wektor ket, którego składowe są równe ψ( q1,t ) , ψ(q2, t ), ψ(q3 ,t ) ...
Oznaczamy jako | ψ(t) >. Niestety nie możemy wyobrazić sobie przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Dlatego przeanalizujemy prosty przykład.
Rozpatrzmy pojedynczą cząstkę, poruszającą się od lewej ku prawej w kierunku nieprzeźroczystego ekranu z dwoma wąskimi szczelinami, umiejscowionymi w odległości wzajemnej d ( rys. 1.1 )
Rys. 1.1 Cząstka porusza się do nieprzeźroczystego ekranu z dwoma wąskimi szczelinami, odległość między którymi wynosi d.
Od razu za takim ekranem współrzędna cząstki d może przyjmować tylko dwie wartości q1 i q2. Wartości funkcji falowej, odpowiadające znalezieniu cząstki za pierwszą szczeliną, odłożymy po osi rzędnej, a za druga – po osi odciętych.
( rys. 1.2 )
Rys. 1.2 Poglądowy diagram wektora ket w dwuwymiarowej reprezentacji współrzędnościowej.
Zgodnie z takimi rzutowaniami utworzymy wektor | ψ(t) >, który jest wektorem ket, stanu kwantowego danego układu.
Sama funkcja falowa przedstawia sobą sumę : Ψ(q ) = ψ1(q ) + ψ2(q).
Ogólnie mówiąc, jest ona zespolona i podana jej interpretacja jest ściśle mówiąc niepoprawna, jednakże może być ona pomocna dla poglądowego przedstawienia wektorowej przestrzeni Hilberta, którą definiujemy jako przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem.
W szczególności podstawimy :
Ψ(q) = (1/√2 ) [ δ( q − ½d ) + δ( q + ½d )] (1.2) gdzie : δ(x) – funkcja delta Diraca.
Przy tym warunki znalezienia cząstki od razu za jedną z szczelin ekranu są identyczne.
Zgodnie z (1.1) i (1.2) w reprezentacji pędowej :
α(p) = [ 1/ sqrt(πħ )] cos( pd/2ħ ) (1.3)
To oznacza, że chociaż w reprezentacji współrzędnościowej wektor stanu | ψ > był dwuwymiarowy, w reprezentacji pędowej jest on nieskończenie wymiarowy.
Przejście do innej reprezentacji odpowiada temu właśnie wektorowi | ψ >, ale w innym układzie współrzędnych np.
p1, p2, p3 , ...
************************************************************************************************
Rozdział 2 Kwantowa nielokalność.
Przeanalizujmy rezultat (1.3). Wielkość :
| ψ(q, t) |2 ~ cos2( pd/2ħ ) (2.1)
określa rozkład prawdopodobieństwa składowej poprzecznej pędu cząstki, po przejściu nieprzeźroczystego ekranu tj. w kierunku osi q ( zobacz rysunek 1.1 ). Zatem, prawdopodobieństwo ujawnienia cząstki na odległości, istotnie
przewyższającej d ( rys. 2.1 ), opisywane jest przez zależność harmoniczną :
P(p) ~ ½ [ 1 + cos( pd/2ħ )] (2.2)
Jeśli na płaszczyźnie poprzecznej z którą związana jest oś x, umiejscowimy płytę cząstko-czułą i będziemy periodycznie wysyłali na takie ekran tak, aby kolejna cząstka nie została wyemitowana wcześniej niż zostanie zarejestrowana cząstka poprzednia, to gęstość poczernienia płyty będzie zmieniała się w sposób harmoniczny (2.2). Przy tym x będzie
proporcjonalna do p. Współczynnik proporcjonalności określony jest poprzez odległość od ekranu do płaszczyzny obserwacji istotnie przewyższającym d.
Takie eksperymenty prowadzono wielokrotnie, w szczególności z fotonami. Zdziwienie powoduje fakt, że cząstka która wydawać by się mogło nie może rozdzielać się i jednocześnie przechodzić przez obie szczeliny, tak właśnie się zachowuje Umieśćmy teraz dwa liczniki cząstek od razu za szczelinami (rys. 2.2 ). Jeśli na ekran posyłamy pojedyncze cząstki, to działać będzie tylko jeden z detektorów.
Rys. 2.1 Schemat interferencji Yanga – prawdopodobieństwo ujawnienia pojedynczej cząstek za ekranem z dwoma wąskimi szczelinami opisywany jest poprzez harmoniczny obraz interferencyjny współrzędnej poprzecznej x proporcjonalnej do p.
Rys. 2.2 Pojedyncza cząstka posyłaną na ekran, rejestruje tylko jeden z detektorów.
Umieśćmy teraz detektory i przemieśćmy szczeliny : górną o wielkość ∆1, a dolną o ∆2 , wtedy funkcja falowa, analogiczna do (1.2), jest równa :
Ψ(q) = (1/√2 ) [ δ( q − ½d − ∆1 ) + δ( q + ½d − ∆2 )] (2.3) Przy tym prawdopodobieństwo ujawnienia cząstki na wystarczająco dużej odległości od ekranu (rys. 2.1 ) ma postać :
P(p) ~ 1 + cos[ (p/ħ ) ( d + ∆1 − ∆2 )] (2.4)
Gdzie p ~ x.
Jeśliby, zgodnie z eksperymentem z umiejscowieniem detektorów ( rys. 2.2 ), pojedyncze cząstki przechodziłyby raz przez górną, a raz przez dolną szczelinę, to prawdopodobieństwo takie złożone byłoby z dwóch prawdopodobieństw
P1(∆1 ) i P2(∆2 ). Jednakże nie można znaleźć takich funkcji P1(∆1 ) i P2(∆2 ), aby P(p) zgodnie z (2.4) byłaby sumą P1(∆1 ) + P2(∆2 ). To oznacza, ze chociaż cząstka kwantowa nie może rozdzielać się to tym niemniej przenika przez obie szczeliny na raz. Własność ta jest przejawem tzw. nielokalności kwantowej, charakteryzowanej tym, że w jej istocie nasze
standardowe intuicje przestrzenne nie mogą być przeniesione na zjawiska mikroświata. W dalszym wykładzie jeszcze nie raz spotkamy się z paradoksalnym zachowaniem cząstek kwantowych.
Kwantowa nielokalność jak się wydaje, jest przejawem wewnętrznej jedności „fundamentalną własnością Wszechświata stworzonego” przez Boga świata materialnego tj. fundamentalną własnością Wszechświata, która nie może być rozdzielona na oddzielne lokalnie niezależne obszary.
************************************************************************************************
Rozdział 1 Zasada superpozycji.
Z każdym stanem badanego układu dynamicznego zgodnie z notacją Diraca zwiążemy określony wektor ket.
W teorii kwantowej postuluje się spełnienie zasady superpozycji stanów, która to polega na tym, że – liniowa superpozycja stanów danego układu jest również jednym ze stanów takiego układu. To oznacza, że przestrzeń wektorów ket ( ketów ) powinna być liniową przestrzenią wektorową tj. taką przestrzenią, że jeśli zawiera ona kety | ψ1 > i | ψ2 >, to zawiera ona dowolną ich kombinacje liniową :
| Ψ > = C1| ψ1 > + C2 | ψ2 > (3.1)
gdzie C1, C2 – dowolne liczby zespolone.
Zależność tą możemy uogólnić na przypadek ciągłego zbioru stanów : ψ2
| Ψ > = ∫ c(ψ) | ψ > dψ (3.2)
ψ1
gdzie : c(ψ) – dowolna funkcja zespolona parametru ψ ; ψ1 ≤ ψ ≤ ψ2 Jeśli rozpatrujemy superpozycje stanu samego ze sobą :
C1| ψ > + C2 | ψ2 > = ( C1 + C2 ) | ψ > (3.3)
To nie otrzymamy nowego stanu, ponieważ wszystkie występujące w (3.3) wektory C1| ψ > , C2 | ψ2 > i ( C1 + C2 ) | ψ >
opisują jeden i ten sam stan układu, za wyjątkiem przypadku, kiedy C1+ C2 = 0, co odpowiada nie występowaniu żadnego stanu. Zatem, stan układu jest określony całkowicie tylko poprzez kierunek keta. Stwierdzenie to nie posiada analogii w MK. Jeśli bowiem w MK dodajemy dwa typy drgań struny, różniące się od siebie tylko amplitudą, to w wyniku tworzymy nowy typ drgań z inną amplitudą tj. w układzie klasycznym różne amplitudy odpowiadają różnym stanom układu.
Całkiem inaczej jest w MQ, wszystkie trzy amplitudy odpowiadają jednemu i temu samemu typowi drgań, ponieważ w MQ nie ma pojęcia, analogicznego do klasycznej amplitudy – istotnym jest tylko kierunek wektora ket.
Z tego powodu dla wygody wprowadzamy normalizacje : przyjmujemy, że następujący iloczyn skalarny < ψ | ψ > ma wartość 1.
Oprócz tego, w MQ nie ma stanu w którym całkowicie nie występuje ruch ( tj. stan z C1 + C2 = 0 ), nie występowanie żadnego ruchu w ogólności nie odpowiada w MQ żadnemu stanowi, podczas gdy w MK stan spoczynku jest jednym ze stanów dowolnego układu. Wydaje się, że cząstka o zerowym pędzie jest tutaj wyjątkiem. Jednakże jak przekonamy się dalej, przestrzenne umiejscowienie cząstki w tym przypadku jest całkowicie nieokreślone, co jest sprzeczne z
współczesnymi danymi o skończonym rozmiarze Wszechświata.
Przestrzeń ketów może mieć skończony lub nieskończony wymiar. Wymiar przestrzeni określony jest jako liczba liniowo niezależnych wektorów ket w takiej przestrzeni. Ponieważ stany niezależne układu kwantowego przedstawia się poprzez niezależne kety, to wymiar przestrzeni określony jest właśnie przez liczbę niezależnych stanów danego układu
kwantowego. W rozpatrzonym wcześniej eksperymencie dwuszczelinowym ( rys. 1.1 ) są dwa takie stany :
| Ψ > = | ψ1 > | ψ2 >
gdzie | ψ1> i | ψ2 > - składowe ortogonalne wektora | Ψ > ( rys. 1.2 )
Efekt nielokalności kwantowej związany jest z tym, że wynikowa funkcja falowa jest sumą funkcji falowych : Ψ(q ) = ψ(q1 ) + ψ(q2 )
a nie sumą kwadratów ich modułów. W rzeczywistości prawdopodobieństwo ujawnienia cząstki od razu za ekranem
| Ψ(q ) |2 jest równe sumie prawdopodobieństw przejścia przez nią dolnej | ψ2(q ) |2 i górnej | ψ1(q ) |2 szczeliny, ponieważ ψ (q1) ψ*(q2 ) = 0, a | ψ1> i | ψ2 > są ortogonalne, tj. < ψ1| ψ2 > = 0.
Tym właśnie wyjaśniamy efekt eksperymentu z dwoma detektorami ( rys. 2.2 ). Jednakże przy oddalaniu się od ekranu należy przejść do p-reprezentacji, która jest sumą obrazów Fouriera od ψ1(q) i ψ2(q), a nie suma obrazów Fouriera kwadratów ich modułów, tj. prawdopodobieństw. Zatem, dodajemy nie prawdopodobieństwa zdarzeń, a tzw. amplitudy prawdopodobieństw tj. funkcje falowe. Dlatego też pojawia się interferencja powodująca nielokalność :
| Ψ(p ) |2 = | ψ1(p ) |2 + | ψ2(p ) |2 + ψ*1(p )ψ2(p ) + ψ1(p)ψ*2(p ) (3.4)
Interesujące jest to, że próba wyjaśnienia, przez jaką szczelinę przeszła cząstka, prowadzi do zniknięcia dwóch ostatnich składowych interferencyjnych w (3.4). Przykładowo, jeśli ostrzeliwać ekran pojedynczymi fotonami, to umieszczając w szczelinach polaryzatory o wzajemnie ortogonalnymi osiami polaryzacji, można na podstawie stanu polaryzacji
zarejestrowanego fotonu, ustalić przez jaką ze szczelin on przeszedł. Wtedy ψ1 i ψ*2 opisują wzajemnie ortogonalne stany polaryzacji, a ich iloczyn jest równy zero. W pośrednim przypadku częściowej polaryzacji fotonów obniża się kontrast krzywej interferencyjnej ( rys. 2.1 ) – tym więcej, im większe jest prawdopodobieństwo określenia przez jaką szczelinę przeszedł foton.
Zanik interferencji i obniżenie się kontrastu można również wyjaśnić wychodząc z zasady nieokreśloności Heisenberga.
Zanim jednak przejdziemy do jej rozpatrzenia, zauważmy, że próby uogólnienia kwantowej zasady superpozycji na obiekty klasyczne prowadzi do paradoksów typu kota Schrödingera.
Paradoks ten jest taki – w zamkniętym pomieszczeniu znajduje się kot, pojemnik z trucizną oraz atom pewnego izotopu na pewnym etapie swojego rozpadu- powiedzmy w chwili swego półrozpadu oraz atom pewnego izotopu na pewnym etapie swojego rozpadu- powiedzmy w chwili swego półrozpadu ; w takiej chwili zostaje uruchomiony mechanizm rozbijający pojemnik z trucizną, wtedy kot umiera. Stan atomu tego izotopu opisywany jest przez teorie kwantową i ma charakter probabilistyczny i reprezentuje sobą superpozycje nierozczepionego i rozczepionego atomu izotopu. Jednakże dla kota taka superpozycja jest niemożliwa : nie może on być jednocześnie żywy i martwy.
************************************************************************************************
Rozdział 4 Zasada nieokreśloności Heisenberga.
Zmienne dynamiczne w MQ opisywane są przez operatory liniowe – ogólnie mówiąc zespolone. Jednakże wielkości fizyczne taki jak np. pęd, współrzędna itp. przy pomiarze przyjmują tylko wartości rzeczywiste. Zatem, na operatory takich wielkości powinny być nałożone warunki, zapewniające rzeczywistość wielkości fizycznych. W ten sposób dochodzimy do pojęcia operatora hermitowskiego, które wprowadzamy następująco.
Wektor bra < q | związany z ketem | q > zapisany w postaci :| q > = A^ | p >
gdzie A^ - jest odpowiednim operatorem zapiszemy następująco :
< q | = < p | A^† = ( A^ | p > )† = ( | q > )† (4.1)
gdzie A^† - operator sprzężony hermitowski do operatora A^.
Operatory hermitowskie są równe swoim sprzężeniom tj. A^ = A^† i posiadają tylko rzeczywiste wartości własne.
Ponieważ wielkości obserwowalne ( krótko – obserwable ) mogą przyjmować tylko wartości własne opisywanych przez nie operatorów, wielkości fizycznie mierzalne powinny odpowiadać operatorom hermitowskim.
Weźmy dwa operatory hermitowskie A^, B^ i utwórzmy nowy operator :
M^ = A^ − iλB^ (4.2)
λ - liczba rzeczywista.
Operator M^†M^ jest dodatnio określony tj. dla dowolnego wektora | ψ > :
< ψ |M^†M^ | ψ > ≥ 0 (4.3)
ponieważ (4.3) reprezentuje sobą normę wektora | µ > = M^ | ψ >
Wyrażenie (4.3) daje nam wartość średnią < M^†M^ > operatora F^ = M^†M^ w stanie | ψ >. Można to łatwo pokazać, wykorzystując wektory własne | f > i wartości własne operatora F^ :
F^ | f > = f | f > (4.4)
Ponieważ F^ jest operatorem hermitowskim, wektory | f > tworzą bazę ortounormowaną. Rozłóżmy względem niej dowolny wektor :
| ψ > = ΣΣΣΣ Cf | f > (4.5)
f
gdzie współczynniki rozkładu
Cf = < f | ψ > (4.6)
Podstawienie (4.6) do (4.5) daje :
| ψ > = ΣΣΣΣ | f > < f | g > (4.7)
f Zatem :
ΣΣΣΣ | f > < f | = I^ (4.8)
f
Jest to rozkład operatora jednostkowego.
Teraz znajdziemy wartość średnią operatora F^ w stanie | ψ >.
Ponieważ prawdopodobieństwo tego, że obserwabla odpowiadająca operatorowi F^ przyjmuje wartość własna f w stanie
| ψ > jest równa | Cf |2 mamy :
< F^ > = ΣΣΣΣ f | < ψ | f > |2 = ΣΣΣΣ < ψ | f | f > < f | ψ > = ΣΣΣΣ < ψ | F^ | f > < f | g > = < ψ | F^ | ψ > (4.9) f f f
Wykorzystano tutaj (4.8).
Rozpiszemy teraz M^†M^ z uwzględnieniem (4.2) :
M^†M^ = λ2 B^†B^ + iλ( B^†A^ − A^†B^ ) + A^2 = λ2 B^2 + λC^ + A^2 (4.10)
Gdzie :
C^ = -i [ A^, B^ ] , [ A^, B^ ] =: A^B^ − B^A^ - komutator , jak również uwzględniono hermitowskość operatorów.
Na mocy liniowości operacji uśrednienia :
< M^†M^ > = λ2 < B^2 > + λ< C^ > + A^2 ≥ 0 (4.11) Ponieważ operator C^ jest hermitowski, to jego wartość średnia < C^ > jest rzeczywista i nierówność (4.11) przy
dowolnym rzeczywistym λ będzie spełniona na mocy niedodatniego wyznacznika
< C^ >2 − 4< A^2 > < B^2 >
Zatem :
< A^2 > < B^2 > ≥ ¼ < C^ >2 (4.12)
Zauważmy, że komutator [ A^, B^ ], a zatem i operator C^ nie zmieni się, jeśli od A^ i B^ odejmiemy dowolne stałe a, b.
Zatem :
< ( A^ − a )2 > < ( B^ − b )2 > ≥ ¼ < C^ >2 (4.13)
minimum funkcji f(a) = < ( A^ − a )2 > = < A^2 > − 2a < A^ > + a2 osiągane jest przy a = < A^ >, o czym możemy się łatwo przekonać różniczkując f(a) po a : df(a)/da = 2a − 2 < A^ >, skąd a = < A^ >, tj. lewa część (4.13) jest minimalna, kiedy a = < A^ >, a b = < B^ > . Wtedy :
∆A∆B ≥ ½ | < C^ > | (4.14) gdzie ∆A = sqrt[ < ( A^ − < A^ > )2 > ] , ∆B = sqrt[ < ( B^ − < B^ > )2 > ] – są średniokwadratowymi odchyleniami obserwabli, opisywanych przez operatory A^ i B^.
Moduł po prawej stronie pojawia się na skutek tego, że operator C^ - jest hermitowski, co oznacza, że < C^ > - jest wielkością rzeczywistą.
Zależność (4.14) jest właśnie matematycznym wyrazem zasady nieokreśloności Heisenberga. Jednakże wyprowadziliśmy ją wykorzystując wartości średnie (4.3) i (4.9) dla stanu czystego układu, opisywanego przez wektor stanu kwantowego
| ψ >. Oczywiście wynik ten możemy uogólnić na przypadek stanu mieszanego.
Uśrednienie operatora w przypadku stanu czystego, zgodnie z (4.9), można dokonać na dwa sposoby :
< F^ > = < ψ | F^ | ψ > ≡ Tr( F^ | ψ > < ψ | ) (4.15)
gdzie wykorzystano możliwość cyklicznej permutacji czynników stojących pod znakiem śladu macierzy Tr.
Przypominamy, ze stochastyczny charakter zachowania układu w stanie czystym powodowany jest tylko przez jego kwantową nieokreśloność.
W stanie mieszanym do kwantowej nieokreśloności dodaje się jeszcze klasyczna, która związana jest z niedostatkiem informacji o dynamice układu. Przykładowo na drodze cząstki kwantowej można ustawić nieprzeźroczysty ekran z jedną, w odróżnieniu od rys. 1.1, wąską szczeliną. Wektor stanu za szczeliną | q > jest przy tym jednowymiarowy. Niech dalej ekran może się dyskretnie przemieszczać w kierunku osi q, tj. prostopadle do szczeliny. Jeśli znamy tylko
prawdopodobieństwo Pj tego, ze szczelina znajduje się w tym lub innym położeniu j, to wartość średnia niektórego operatora F^ może być obliczona następująco :
< F^ > = ΣΣΣΣ Pj < qj | F^ | qj > ≡ Tr ( F^ ΣΣΣΣ Pj | qj > < qj | ) = Tr( F^ρ^ ) (4.16) Wprowadzono tutaj operator lub inaczej macierz gęstości :
ρ^ =: ΣΣΣΣ Pj | qj > < qj | (4.17) który w przypadku stanu czystego ( z nieruchomym w znanym nam położeniu ekranem ) jest równy | q > < q |
Zatem, w stanie mieszanym wartość średnia operatora M^†M^ będzie równa :
< M^†M^ > = Tr ( M^†M^ ρ^ ) = ΣΣΣΣ Pj < M^†M^ >j ≥ 0 (4.18) ponieważ Pj ≥ 0 i < M^†M^ >j ≥ 0.
Zależność (4.11) przy tym zachowuje moc i dalsze wyprowadzenie zasady nieokreśloności pozostaje słuszne.
Dla operatorów współrzędnej q^ i pędu p^ cząstki kwantowej zależność komutacyjną postuluje się w postaci :
[ q^ , p^ ] =: q^p^ − p^q^ = ih (4.19) dlatego :
∆q∆p ≥ ½h (4.20)
zatem, zależność nieokreśloności dla współrzędnej I pędu nie zależy od stanu układu kwantowego, ponieważ po prawej stronie (4.19) stoi liczba zespolona, a nie uśredniony po stanie operator ( zobacz (4.14)).
Nierówność (4.20) posiada ważne następstwo : cząstki kwantowe nie posiadają określonych wartości współrzędnych i pędu. W najlepszym przypadku można mówić jedynie o pewnej rurce, w zakresie której z określonym
prawdopodobieństwem można znaleźć cząstkę kwantową.
Jeśli współrzędna q cząstki zmierzona została ze skończoną dokładnością Dq , to jej pęd p otrzymuje dodatkową nieokreśloność, co oznacza, że do i po pomiarze kwantowym mamy dwa różne stany :
{ ∆q, ∆p } − Dq → { δq, δp } (4.21)
przy czym, jak pokażemy to później ( w rozdziale 8, patrz (8.10)) :
δp ≥ ½ h /Dq (4.22)
************************************************************************************************
Rozdział 5 Postulat rzutowanie von Neumanna.
Co dzieje się z obiektem kwantowym przy pomiarze ?
Po raz pierwszy na takie pytanie ścisła odpowiedź została sformułowane przez von Neumanna [2].
W najprostszej postaci dokładnego pomiaru obserwabli a, dla operatora A^ który posiada spektrum dyskretne swych wartości własnych an , które zakładamy jako niezdegenerowane tj. różne dla różnych stanów własnych | an > mamy :
A^ | an > = an | an > (5.1)
Wtedy zgodnie z postulatem von Neumanna :
1) wynik pomiaru obserwabli a obiektu kwantowego, znajdującego się w stanie o operatorze gęstości ρ^ będzie jedną z wartości własnych an z prawdopodobieństwem :
wn = < an | ρ^ | an > (5.2)
2) Po pomiarze obiekt przechodzi w stan | an >, odpowiadający tej wartości własnej.
Jeśli interwał czasu między pomiarami jest wystarczająco mały, to powtórny pomiar takiej obserwabli da ten sam wynik.
Jest to zasada powtarzalności wyników pomiarów. Jeśli zastosujemy wzór (5.2) do stanu po pierwszym pomiarze | an >, tj.
podstawimy ρ^ = | an > < an |, to na mocy ortogonalności zbioru wartości własnych operatora hermitowskiego a^
prawdopodobieństwo będzie jednostkowe dla wyniku , pokrywającego się z pierwszym pomiarem i zerowe dla pozostałych przypadków.
W pomiarach rzeczywistych stan końcowy obiektu może istotnie różnić się od | an >, np. przy pomiarze liczby fotonów pochłanianych przez detektor (rys. 2.2 )
Po pomiarze fotonów pole przeszło do stanu próżniowego ( zerowego) | 0 >.
Związane jest to z tym, że realne pomiary mogą okazywać dodatkowe odwrotne oddziaływanie na obiekt, mającego zasadniczy i nie eliminowalny charakter kwantowy. Postulat o redukcji von Neumanna, odnosi się do przypadku idealnego, kiedy takie dodatkowe oddziaływanie nie występuje, np. do pomiaru liczby fotonów bez ich pochłaniania; zagadnienie to rozpatrzymy dalej.
Oprócz tego, podane sformułowanie postulatu o redukcji ogranicza się do pomiarów w układach o jednym stopniu swobody. Obecność dla obiektu kwantowego dwóch lub więcej stopni swobody może zasadniczo zmienić obraz [3].
Rozpatrzmy eksperyment przedstawiający sobą wariant zadziwiająco powiązanego dwóch cząstek kwantowych w paradoksie Einsteina-Podolskiego-Rosena (EPR) [4]. Pod działaniem intensywnych wiązek światła może następować kreacja par elektron-pozyton ( rys. 5.1 ), która można rozdzielić poprzez pole magnetyczne [5], tak aby nie następowała anihilacja.
Rys. 5.1 Kreacja pary elektron-pozyton z próżni.
Ponieważ kreacja cząstek takiej pary następuje z próżni, na mocy prawa zachowania momentu pędu sumaryczny ich spin powinien być równy zero tj. z prawdopodobieństwem 50% elektron będzie miał spin − ½ , a pozyton + ½ i odwrotnie również z prawdopodobieństwem 50%.
Jeśli zmierzymy spin jednej cząstki, to przejdzie ona w stan odpowiadający zmierzonemu spinowi. Jednakże pytanie o stan drugiej cząstki, jeśli posługiwać się podanym sformułowaniem postulatu o redukcji, pozostaje otwarte, jednocześnie druga cząstka w chwili pomiaru spinu pierwszej powinna znaleźć się w stanie spinu przeciwnym do pierwszej. To oznacza, że pomiar spinu pierwszej cząstki redukuje nie tylko jest stan kwantowy , ale również stan kwantowy cząstki z nią związanej.
Dowód niewystępowania apriori wartości wielkości mierzonych zostanie podany później. Teraz jedynie podamy sformułowany przez F. Ja. Chalili postulatu o redukcji [3], który to pozwala uwzględnić druga cząstkę :
1) Wynik pomiaru obserwabli a dla obiektu kwantowego , znajdującego się w stanie o operatorze gęstości ρ^, będzie jedną z wartości własnych an z prawdopodobieństwem :
wn = Tr ( | an > < an | ρ^ ) (5.3)
2) po pomiarze obiekt przechodzi w stan :
ρ^n = (1/wn ) | an > < an | ρ^ | an > < an | (5.4) Po kreacji pary elektron-pozyton wektor stanu układu będzie równy :
| ψ > = (1/√2 ) ( +− > + | −+ > ) (5.5)
gdzie przez | +− > oznaczono syna spinów dla omawianej pary cząstek : + ½ dla pierwszej i − ½ dla drugiej oraz stan | −+ > - o stanie spinów odwrotnym.
Dla każdej z cząstek oddzielnie prawdopodobieństwa obu orientacji spinu są jednakowe tj. spiny są całkowicie nieokreślone.
Po pomiarze spinu pierwszej cząstki zgodnie z (5.4)układ przejdzie albo w stan | +− > albo w stan | −+ >, w zależności od kolejności pomiaru, tj. obie cząstki nabierają określonej wartości spinu.
Zatem, w odróżnieniu do punktu 2) redukcyjnego postulatu von Neumanna , wyrażenie (5.4) wymaga w charakterze | an >
Postawienia nie | + > lub | − > dla cząstki zmierzonej, a | +− > lub | −+ > ponieważ do (5.4) wchodzi operator gęstości stanu wejściowego :
ρ^ = ½ ( | +− > + | −+ > ) ( < +− | + < −+ | ) (5.6) Powróćmy teraz do dwu szczelinowego eksperymentu interferencyjnego ( rys. 1.1 ). W przypadku absolutnie dokładnego pomiaru współrzędnej q’, zgodnie z projekcyjnym postulatem von Neumanna, funkcja falowa ψ(q) staje się δ-funkcją δ( q
− q’ ) i zgodnie z zasadą nieokreśloności Heisenberga, nieokreśloność pędu cząstki ∆p → ∞. To oznacza, ze jeśli udało się nam w jakiś sposób wyjaśnić przez którą szczelinę przeszła cząstka, to wszystkie kierunki jej propagacji po wyjściu z szczeliny są równoprawne tj. dwu szczelinowe interferencyjne oscylacje znikają.
************************************************************************************************
Rozdział 6 Pomiary ortogonalne i nieortogonalne.
Rozpatrzmy pomiar wielkości q, np. współrzędne cząstki, o skończonej rozdzielczości ( dokładności ) Dq. Można to wykonać np. za pomocą szczeliny o szerokości 2Dq, która może się przemieszczać dyskretnie w kierunku osi q ( rys. 6.1 )
Rys. 6.1 Pomiary współrzędnej cząstki przy pomocy dyskretnie przemieszczającej się szczeliny o szerokości 2Dq = qj − qj−1
Funkcja aparatowa R(q) takiego pomiaru przedstawia sobą funkcje prostokątną o szerokości 2Dq. Przypomnijmy, że funkcja aparatowa opisuje wskazania miernika przy dokładnie znanej wielkości mierzonej tj. odchył o δ- funkcje.
Jeśli współrzędna cząstki jest równa q’, przy czym qj − D ≤ q’ < qj−1+ Dq, to miernik daje równo prawdopodobną wartość współrzędnej na pół odcinku [ qj − Dq, qj + Dq ).
Funkcja falowa ψ(q) w wyniku takiego pomiaru przechodzi w R( q − qj ) ψ(q) [6] , tj. :
ψ(q) →j R( q − qj ) ψ(q) = { ψ(q) jeśli qj − Dq ≤ q’ < qj−1+ Dq (6.1) { 0 jeśli q – jest inne
W przestrzeni wektorów ket takie przekształcenie możemy opisać jako rzut :
| q > →j R^j | q > (6.2)
gdzie projektor :
R^j = ΣΣΣΣ | q > < q | (6.3)
qj−1− Dq ≤ q’ < qj−1+ Dq
Jest jasne, ze zgodnie z (4.8) jest on operatorem zupełnym :
ΣΣΣΣ R^j = I^ (6.4)
jak również ortogonalnym :
R^j R^j’ = δjj’ (6.5)
δjj’ – delta Kroneckera : δjj’ = { 1 przy j = j’
{ 0 przy j ≠ j’
Zgodnie z tym opisywane przez taki projektor pomiary nazywają się ortogonalnymi [7].
Naturalnym jest założyć, ze prawdopodobieństwo otrzymania j-tego wyniku jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymania wartości q należących do odpowiedniego obszaru [3] :
wj = ΣΣΣΣ Tr ( | q > < q | ρ^ ) = Tr (R^j ρ^ ) (6.6)
qj−1− Dq ≤ q’ < qj−1+ Dq
Pomiary ortogonalne są dogodne poprzez to, ze dla nich jak I dla absolutnie dokładnych pomiarów, spełniona jest zasada powtarzalności wyników pomiarów : po tym, jak przyrząd zarejestrował, ze wartość q leży w odcinku
qj−1− Dq ≤ q’ < qj−1+ Dq, kolejne pomiary takim przyrządem powinny dawać ten sam wynik z prawdopodobieństwem równym jeden, ponieważ R^j2 = R^j.
Jednakże własność powtarzalności pomiarów jest sprzeczna ze standardowym zachowaniem stanu badanego układu przy powtórnych przybliżonych pomiarach. Jeśli zaburzenie wielkości mierzonej nie występuje, to każdy kolejny pomiar daje dodatkowe uściślenie jej wartości. Oprócz tego, funkcja aparatowa pomiaru ortogonalnego – jest niegładką funkcją prostokątną, a wynik pomiaru jest dyskretny. Zatem, pomiary ortogonalne są tylko pewną idealizacją i nie mogą być rozpatrywane jako środek do opisu dowolnej klasy pomiarów przybliżonych.
W przypadku ogólnym zbiór alternatywnych wyników pomiarów należy przyjąć jako ciągły, a funkcje aparatowa – jako gładką. Funkcja taka przedstawia warunkowy rozkład prawdopodobieństwa pokazania przez przyrząd wartości q’ przy zadanej wartości wielkości zmierzonej q :
| R(q’, q ) |2 =w( q’ | q ) (6.7)
Rozkład prawdopodobieństw wyników pomiaru wyraża się standardowym wzorem teorii prawdopodobieństwa :
w(q’ ) = ∫ w(q’ | q ) ρ(q) dq = Tr ( R^q’ ρ^ R^q’+ ) (6.8)
gdzie aprioryczny rozkład prawdopodobieństw wartości q jest równe :
ρ(q ) = < q | ρ^ | q > (6.9)
całkę bierzemy po całym obszarze wartości q, a operatory R^q’ spełniają zależność :
R^q’ ρ^ R^q’+ = ∫ | q >| R(q’, q ) |2 < q | dq (6.10)
W przypadku ogólnym iloczyn R^q’ ρ^ R^q’’ przy q’ ≠ q może nie być równy zero. To oznacza, że różne wyniki pomiarów mogą prowadzić do pokrywających się stanów. Takie pomiary nazywamy nieortogonalnymi, a M. W. Menskij ( [6], str. 43 ) nazywa je również rozmytymi ( fuzzy ).
Realistyczny obraz ciągłego zakresu alternatyw jest szczególnie charakterystyczny dla obserwabli o spektrum ciągłym ( takich jak współrzędna ). Z drugiej strony tak jak w przypadku pomiarów ortogonalnych ( zobacz (6.4) ) :
∫ R^q’ R^q’+ dq’ = I^ (6.11) { q’ }
a oddzielne składowe takiego rozkładu komutują ze sobą :
[ R^q’ R^q’+ , R^q’’ R^q’’ ] = 0 (6.12)
przy q’ ≠ q’’.
Ponieważ komutatywność wynika również z warunku ortogonalności (6.5), jest jasne, że pomiary ortogonalne są podklasą klasy pomiarów opisywanych przez (6.8) i (6.10), kiedy R^q’ R^q’’ = 0.
Możemy teraz podać podsumowanie podstawowych wzorów : Pomiary ortogonalne Pomiary nieortogonalne
Z warunku normalizacji :
Tr ( ρ^ ) = Tr ( R^q’ ρ^ R^q’+ ) = I^ (6.13)
Wynika, że :
R^q’ R^q’+ = I^ (6.14)
Co jest sprzeczne z (6.11). Problem w tym, że pomiar w przypadku ogólnym narusza normalizacje i aby go zachować należy dokonać renormalizacji. Jednakże niekiedy dogodniej jest nie dokonywać renormalizacji macierzy gęstości.
Standardowo pomiary prowadzi się z reżimie liniowym, kiedy funkcja aparaturowa (6.7) nie zależy od wyniku pomiaru.
Przy tym R(q, q’ ) = R( − q’ ) z normalizacją :
∫ | R(q − q’ ) |2 dq = ∫ | R(q − q’ ) |2 dq’ = 1 (6.15)
{ q } { q’ }
Szerokość funkcji aparaturowej | R(q’, q ) |2 po q przedstawia sobą rozdzielczość miernika.
Jeśli operatory R^q’ w całym zbiorze operatorów { R^q’ } wszystkich możliwych q’ są hermitowskie i dodatnio określone, tj. :
< ψ | R^q’ | ψ > ≥ 0 (6.16)
dla dowolnego | ψ >, to odpowiednia C- liczbowa funkcja R(q, q’ ) jest rzeczywista i nieujemna, np. :
R(q, q’ ) ~ exp[ − ( q − q’ )2 ) / 4(Dq )2 ] (6.17)
opisuje pomiar współrzędnej z rozdzielczością Dq.
Realnie taki pomiar można zrealizować przy pomocy przesłony, której współczynnik przepuszczania spada od środka ku brzegowi zgodnie z krzywą Gaussa. Jest to tzw. przesłona z miękkimi brzegami. Dwie takie przesłony mogą być
wykorzystane w dwuszczelinowym eksperymencie interferencyjnym takim jak przedstawia rysunek 1.1 Dokładny jego opis podany zostanie w rozdziale 9. Teraz tylko zasygnalizujemy następującą możliwość.
Aby określić przez jaką szczelinę przeszła cząstka [8, 9, 10], można wykonać tak przyrząd aby ekran był ruchomy ( rys. 6.2 )
Rys. 6.2 Modyfikacja dwu szczelinowego eksperymentu dwuszczelinowego [10]. Ekran może swobodnie przemieszczać się w kierunku pionowym.
Jeśli cząstka przejdzie przez dolną szczelinę i uderzy, np. w punkt x = 0, to ekran przemieści się w dół.. Jeśli przejdzie przez szczelinę górną - to ekran przemieści się w górę. Jednakże od ekranu cząstka otrzyma dodatkowy pęd p.
W miejsce (6.17) przy tym należy zapisać ( zobacz również (9.8)) :
R(q, q’ ) ~ exp{ − [( q − q’ )2 /4(Dq )2 ] + i (pq/h ) } (6.18)
Interferencyjne oscylacje prawdopodobieństwa ujawnienia cząstki P(x), oczywiście znikają, choćby z tego powodu, że dokładny pomiar pędu ekranu, zgodnie z zasadą nieokreśloności Heisenberga, nie jest zgody z dokładną znajomością jego pionowego położenia. Rozkład P(x) rozmazuje się i otrzymujemy coś na kształt rozkładu przedstawionego na rysunku 6.2.
Analogiczna historia ma miejsce z wykorzystaniem tzw. mikroskopu Heisenberga [10]. Jeśli podświetlamy szczelinę od dołu, to na podstawie rozproszonego światła możemy dowiedzieć się przez jaką szczelinę przeszła cząstka.
Jednakże otrzymuje ona wtedy dodatkową składową pędu od fotonu podświetlenia i w wyniku tego znika efekt interferencyjny.
Nie każda obserwabla posiada ciągłe spektrum wartości. Jeśli operator A^ opisuje obserwable z dyskretnym spektrum wartości {aj }, które tworzą wszelkie możliwe wartości własne aj operatora A^, tj. A^ | aj > = aj | aj >, to dowolny wektor stanu | ψ > można rozłożyć względem bazy ortogonalnej | aj > :
| ψ > = ΣΣΣΣ cj | aj >
j
Zatem, rolę funkcji falowej w A^ -reprezentacji odgrywają współczynniki cj Wtedy, analogicznie do (6.1) w pierwszym wierszu tabeli 6.1, możemy zapisać :
| ψ > →a’ R^a’ | ψ > = ΣΣΣΣ R ( aj − a’ ) cj | aj > (6.19) j
Zatem, przy pomiarze obserwabli a przyrządem liniowym z funkcją aparaturową | R(a, a’ ) |2 = | R(a − a’ ) |2 otrzymamy wartość a’, a wektor stanu redukuje się zgodnie z (6.19). Zatem, jeśli szerokość funkcji aparaturowej przewyższa odległości między wartościami własnymi aj , to pomiar może dawać ciągły zbiór wyników, nawet jeśli mierzona obserwabla posiada spektrum dyskretne. Jest to następstwo rozmycia pomiarów.
************************************************************************************************
Rozdział 7 Selektywny i nie selektywny opis pomiarów kwantowych
W zależności od tego czy znany nam jest, lub nie wynik pomiaru, wykorzystujemy opis selektywny lub nie selektywny.
I tak wyrażenie (6.19) przedstawia sobą opis selektywny, ponieważ wynik pomiaru a’ jest znany.
Przy tym jeśli stan wejściowy układu był stanem czystym, to również po pomiarze pozostaje on czysty tj. może być opisany wektorem stanu lub funkcją falową.
Kiedy nie znamy jaki wynik pomiaru zrealizował się w rzeczywistości, to mamy do czynienia z opisem nie selektywnym.
W tym przypadku w opisie końcowego stanu układu przyjmujemy do obliczeń wszystkie możliwe wyniki pomiaru.
Przepiszmy (6.19) z użyciem macierzy gęstości i przesumujemy po wszystkich alternatywach :
| ψ > < ψ | →{ j } ΣΣΣΣ R^j | ψ > < ψ | R^+j (7.1) j
Jest to nieselektywny opis pomiaru kwantowego z dyskretnymi alternatywami. Czysty stan początkowy przechodzi w stan mieszany z powodu braku informacji o wyniku eksperymentu. Jeśli stan wejściowy jest stanem mieszanym, a jego macierz gęstości jest równa :
ρ^0 = ΣΣΣΣ ρm | ψm > < ψm | (7.2) m
tj. układ znajduje się w jednym z stanów czystych | ψm > z prawdopodobieństwem ρm , to stosując rzutowanie do każdego ze stanów czystych otrzymamy :
ρ^0 →{ j } ΣΣΣΣ R^j ρ^0 R^+
j (7.3)
j
W przypadku alternatyw ciągłych :
ρ^0 →{ a’ } ∫ R^a’ ρ^0 R^+a’ da’ (7.4) { a’ }
W sytuacjach pośrednich, kiedy nie znamy dokładnego wyniku pomiaru a’, ale wierzymy, że należy on do pewnego zbioru A, mamy do czynienia z tzw. częściowo nieselektywnym pomiarem :
ρ^0 →A ∫ R^a’ ρ^0 R^+a’ da’ (7.5) { a’ }
************************************************************************************************
Rozdział 8 Zależność nieokreśloności Heisenberga dla rozmytych pomiarów kwantowych
Powróćmy do zależności nieokreśloności współrzędnej i pędu cząstki ( posługujemy się przy tym [6] ) Pomiar współrzędnej q z wynikiem q’ opiszemy zgodnie ze schematem :
ψ(q) →q’ ψq’(q ) = R( q − q’ ) ψ(q ) (8.1)
Po dokonaniu pomiaru rozkład prawdopodobieństwa miejsca znalezienia cząstki | ψq’(q ) |2 nawet w przypadku przyrządu liniowego, kiedy R( q, q’ ) = R( q − q’ ), zależy od wyniku q’. Pomiar te ilustruje rysunek 8.1. Jest jasne, że zredukowana funkcja falowa ψq’(q ) zależna jest od wyniku pomiaru q’.
Odchylenie średniokwadratowe współrzędnej i pędu do pomiaru oznaczymy jako ∆q i ∆p, a po pomiarze – odpowiednio δq i δp. Szerokość funkcji aparaturowej przyrządu pomiarowego | R(q ) |2 określającej dokładność pomiaru, oznaczymy jako ( Dq )2 Dyspersja nieokreśloności δq2 przedstawia sobą minimum po a ( zobacz tekst pomiędzy wzorami (4.13) i (4.14) ):
δq2 = < ψq’(q ) | ( q^ − < q > )2 | ψq’(q ) > = min < ( q − a )2 > (8.2) a
które osiągane jest przy a = < q >, zatem :
δq2 ≤ < ( q − q’ )2 > (8.3) ponieważ wynik pomiaru q’ może różnić się od < q >.
Rozpiszmy prawą stronę (8.3) :
+∞ +∞
< ( q − a )2 > = ∫ ( q − q’ )2 | R (q − q’ ) ψ(q ) |2 dq / ∫ | R (q − q’ ) ψ(q ) |2 dq (8.4) −∞ −∞
Licznik powtarza tutaj po prostu definicje wartości średniej funkcji, a mianownik uwzględnia zmianę normalizacji na skutek przemnożenia funkcji aparatowej i kwadratu modułu funkcji falowej.
Rys. 8.1 Pomiar współrzędnej cząstki z rozkładem prawdopodobieństwa jej umiejscowienia | ψ(q )|2 przyrządem z funkcją aparaturową | R(q) |2 przy otrzymaniu wyniku pomiaru q’.
Od góry – wykres funkcji ( sin[ 20 exp(x2 ) − 1 )2 Wykres funkcji Gaussa.
Iloczyn dwóch powyższych funkcji Ponieważ :
+∞
∫ | R(q ) |2 dq = 1
−∞
to zdefiniujemy szerokość funkcji aparaturowej ( Dq )2 z zależności : +∞
( Dq )2 = ∫ | R(q ) |2 q2 dq (8.5) −∞
Zależność nieokreśloności Heisenberga po pomiarze dla odchyleń średniokwadratowych ma postać :
δqq’ δpp’ ≥ ½ h (8.6)
skąd z uwzględnieniem (8.3) możemy zapisać :
h2 / 4 < δp2 > ≤ < δp2 > ≤ < ( q − q’ )2 > (8.7)
Podstawmy w prawą część tej nierówności zależność (8.4), wtedy : +∞ +∞
h2 / 4 < δp2 > ∫ | R(q − q’ ) |2 | ψ(q ) |2 dq ≤∫ ( q − q’ )2 | R(q − q‘ ) |2 | ψ(q ) |2 dq (8.8) −∞ −∞
Scałkujmy obie strony po q’. Na mocy normalizacji funkcji falowej, jak również (6.15) i (8.5), otrzymamy :
h2 / 4 < δp2 > ≤ ( Dq )2 (8.9)
zatem :
Dqδp ≥ ½ h (8.10)
Zatem dowiedliśmy zależności nieokreśloności dla pomiaru rozmytego.
Można ja uogólnić na przypadek wejściowego stanu mieszanego. Zauważmy również, ze gęstość prawdopodobieństwa otrzymania wyniku q’ jest równa normie nieunormowanej funkcji falowej stanu końcowego po pomiarze :
+∞
ρ(q’ ) = ∫ | ψq’ |2(q ) dq =: || ψq’ ||2 (8.11) −∞
tak, że :
∫ ρ(q’ ) dq’ = 1 (8.12)
{ q’ }
Jeśli wynik pomiaru jest nieznany lub znany z pewną nieokreślonością, to opis układu po pomiarze powinien być częściowo nieselektywny. Stan końcowy przy tym reprezentowany jest przez macierz gęstości :
ρ^ = ∫ ρ(q’ ) ( | ψq’ > < ψq | / || ψq’ ||2 ] dq’ (8.13) { q’ }
Norma w mianowniku pojawia się w celu wypełnienia zasady normalizacji macierzy gęstości ( Tr ρ^ = 1 ).
Jeśli wynik pomiaru nie jest znany, to ρ(q’ ) określony jest wzorem (8.11) i wzór (8.13) przechodzi w (7.4). Jednakże, jeśli dysponujemy jakąś informacja o wyniku pomiaru, to ρ(q’ ) będzie funkcją węższą niż (8.11).
Nieokreśloność aposteriori ( po pomiarze ) pędu przy tym spełnia zależność :
δp ≥ h / 2 sqrt[ ( Dq )2 + ( Dq’ )2 ]
(8.14) gdzie Dq’ – jest półszerokością rozkładu ρ(p’ )
Przy tym ważne jest zrozumienie, że brak informacji o wyniku pomiaru, określony przez Dq’ powinien nosić zasadniczy charakter, a nie być powodowany przez niedoskonałościami samego eksperymentu. Inaczej pojawia się absurdalna sytuacja, kiedy zamykając oczy na wynik pomiaru może prowadzić do zmniejszenia się odchylenia średniokwadratowego (8.14).
Rozpatrzona zależność nieokreśloności dla pomiarów rozmytych może być bezpośrednio uogólniona na przypadek dowolnej pary A, B kanonicznie sprzężonych obserwabli. Przykładowo przy pomiarze pędu z rozdzielczością Dq otrzymamy :
{ ∆q, ∆p } →Dp { δq, δp } , δq ≥ h/ 2Dp (8.15)
Rozpoczynając od ogólnej zależności nieokreśloności (4.14), można pokazać zależności nieokreśloności przy pomiarze dowolnej pary obserwabli, opisywanych operatorami hermitowskimi A^, B^ o komutatorze C^ =[ A^, B^ ] :
{ ∆A, ∆B } →DA { δA, δB } , δB ≥ | < C^ > | / 2DA (8.16)
Należy tutaj podstawić wartość średnią C^ w stanie aposteriori. Ponieważ zależna jest ona od wyniku pomiaru, zależność (8.16) nie jest tak dogodna jak w przypadku C-liczbowego komutatora.
************************************************************************************************
Rozdział 9 Przykłady rozmywania się obrazu interferencyjnego w eksperymentach typu
„która droga”.
Wcześniej analizowaliśmy dwuszczelinowe eksperymenty interferencyjne w których interferencja znika przy próbie poznania, przez którą ze szczelin przeszła cząstka. Obecnie pogłębimy taka analizę na podstawie otrzymanych w poprzednim paragrafie zależności nieokreśloności.
Na początku rozpatrzymy przypadek, kiedy mierzona jest współrzędna cząstki q, a początkowa ( aprioryczna ) nieokreśloność pędu ∆p jest dużo mniejsza od apostreriorycznej nieokreśloności δp wynikającej w wyniku pomiaru współrzędnej. Przy tym, oczywiście możemy zaniedbać nieokreśloność aprioryczną i δp ≈ h/2Dq.
Co stanie się w przeciwnym wypadku, jeśli ∆p >> δp ≈ h/2Dq ? Czy pomiar współrzędnej będzie wpływał na pęd ?
Wydawaćby się mogło, że nie. Ale jest inaczej ! [6 , str. 67 ]
Jeśli przy pomiarze współrzędnej przez przyrząd liniowy funkcja falowa przemnażana jest z : Rq’(q ) : ψ(q ) →q’ Rq’(q )ψ(q) = ψq’(q ) , Rq’ = R( q − q’)
To w reprezentacji pędowej, będącej obrazem Fouriera obrazu współrzędnościowego ( zobacz (1.1)) : ∞
ψ(q) = [ 1/ sqrt(2πh )] ∫ ψ(q) exp( − iqp/h ) dq −∞
iloczyn zamienia się na splot obrazów Fouriera : ∞ ∞
ψ(p ) →q’ ψq’(p ) = ∫ Rq’(p’ )ψ( p − p’ ) dp’ ≡ ∫ Rq’ (p − p’ ) ψ(p’ ) dp’ (9.1) −∞ −∞
gdzie, zgodnie z (1.1) :
Rq’(p ) = exp( ipq’ /h ) R(p) (9.2)
Jednocześnie : ∞
R(p) = ( 1/2πh ) ∫ R(q) exp( − iqp/h ) dq (9.3)
−∞
Czynnik liczbowy jest tutaj różny od czynnika 1/ sqrt(2πh )w zależności (1.1) na mocy warunku unormowania : ∞
∫ R(p ) dp= 1
−∞ Całkowe przekształcenie splotu (9.1) posiada własność wygładzania wąskich załamań funkcji ψ(p), tak, że skala charakterystyczna pomiaru ψq’(p) zwiększa się w skrajnym przypadku do szerokości δp funkcji R(p). Przy tym subtelna periodyczna struktura początkowego rozkładu ψ(p) w rozkładzie końcowym ψq’(p) może się rozmywać. Możemy się o tym przekonać na przykładzie już rozpatrywanego przez nas eksperymentu dwu szczelinowego ( rys. 9.1 ) ½ d i ½ d i
Rys. 9.1 Cząstka pada z góry na nieprzeźroczysty ekran, w którym wycięto dwie szczeliny z miękkimi brzegami.
Ich środki mają współrzędne q1 = ½ d i q2 = − ½ d.
Niech szczeliny mają miękkie brzegi o gaussowskiej charakterystyce przepuszczania (6.17) ( zobacz rys. 9.2 ), tj. : ψ(q) ~ exp[ − ( q − ½ d )2 / 4Λ2 ] + exp[ − ( q + ½ d )2 / 4Λ2 ] (9.4) gdzie 2Λ - szerokość szczeliny.
W dalszym obszarze za ekranem rozkład prawdopodobieństwa ujawnienia cząstki będzie określany przez obraz Fouriera od zależności (9.4) :
ψ(p) ~ exp[ − (Λ2 /h2 )p2 ] cos(pd/2h ) (9.5) skąd sam rozkład prawdopodobieństwa w danym obszarze ( zobacz rys. 9.3 ) ma postać :
| ψ(p) |2 ~ ½ exp[ − 2(Λ2 /h2 )p2 ] [ 1 + cos(pd/2h )] (9.6)
Rys. 9.2 Rozkład współczynnika przepuszczania ekranu z rysunku 9.1.
Rys. 9.3 Rozkład prawdopodobieństwa ujawnienia cząstki na odległości wystarczająco dużej w porównaniu z d.
Przy zmniejszaniu szerokości szczeliny 2Λ szerokość obrazu interferencyjnego zwiększa się i w granicy przy Λ → 0 wyrażenie (9.6) przechodzi (2.2).
Teraz założymy, że udało się nam poznać przez jaką szczelinę przeszła cząstka, wtedy dwa piki funkcji | ψ(p) |2 ( zobacz (9.4) i rys. 9.2 ) redukują się do jednego piku, np. z q ≈ ½ d ( zobacz rys. 9.4 ) :
ψ’(p) ~ exp[ − ( q − ½d2 )/ 4Λ2 ] (9.7) zatem :
ψ’(p) ~ exp[ − ( p2Λ2/h2 ) + i (pd /2h )] (9.8) interesujące jest porównać to wyrażenie z (6.18). Zatem :
| ψ’(p) |2 ~ exp( −2p2Λ2/h2 ) (9.9)
Interferencja znikła ( zobacz rysunek 9.5 )
Rys. 9.4 Dwa piki funkcji na rysunku 9.2 redukują się do jednego w przypadku, jeśli udało się nam wyjaśnić, przez jaką szczelinę przeszła cząstka.
