Rozdział 13 Teoria fotodetekcji
Współczesne fotodetektory są na tyle czułe, że mają możliwość rejestracji pojedynczych fotonów. Przy tym proces fotodetekcji można rozpatrywać jako łańcuch kolejnych pojedynczych zliczeń, związanych z oderwaniem fotoelektronów od fotokatody fotopowielacza pod działaniem światła ( rys. 13.1 )
Rys. 13.1 Pojedyncze foto –zliczenia w chwilach czasu t1 , t2 , .. tp , ... odpowiadają impulsom foto- prądu w ciągu czasu trwania otwarcia bramki zliczającej T.
Najprostszy opis takiego zjawiska to opis pół klasyczny – kwantujemy w nim tylko foto- prąd, a pole świetlne opisujemy falą klasyczną. Jeśli intensywność światła jest stała, a fotodetektor pracuje w liniowym – nienasyconym reżimie, tj. wybicie fotoelektronu nie wpływa na zmniejszenie prawdopodobieństwa wybicia kolejnego fotoelektronu, to każdy impuls
fotoprądu pojawia się niezależnie od pozostałych. Intensywność światła przyjmujemy jako dostatecznie małą dla tego, aby pojedyncze impulsy nie nachodziły na siebie. Wielokrotny odczyt liczby impulsów m w ciągu interwału czasu T pozwala znaleźć prawo rozkładu P(m) liczby pierwotnych fotoelektronów, wybijanych przez padające światło z fotokatody. Pod działaniem pole elektrycznego, generowanym przez przyłożone wysokie napięcie, fotoelektron pierwotny kierowany jest na następną elektrodę, zderzenie z nią wybija kilka dalszych elektronów. Lecą one ku dalszej elektrodzie i po kilku takich kolejno następujących wybiciach w wyniku procesu lawinowego do anody dociera wystarczająco duża grupa elektronów, mogących wywołać przepływ odpowiednio dużego fotoprądu i ( rys. 13.2 )
Rys. 13.2 Schemat pacy fotopowielacza. Pod działaniem wysokiego napięcia wybity przez światło pierwszy fotoelektron poprzez wielokrotne wybijanie kolejnych elektronów zostaje wzmocniony lawinowo do mierzalnego prądu i.
Postępując za [13, str. 225 ] wprowadzimy czas koherencji τcoh oraz pole koherencji Scoh pola świetlnego jako skale charakterystyczne fluktuacji. Przy T << τcoh i polu powierzchni fotokatody S << Scoh można zaniedbać zmiany intensywności pola w czasie T oraz na powierzchni fotokatody. Przy tym rozkład P(m) będzie określony tylko przez intensywność światła I niezależnie od objętości detekcji Vdet = cTS , c – prędkość światła.
Detektor w tym przypadku można przyjąć jako „punktowy” lub „jedno modowy”, tj. mierzący tylko jeden stopień swobody pola. Mówiąc ściśle dla takiego faktu wymagane jest aby mierzył on tylko jeden typ polaryzacji.
Jeśli intensywność światłą I nie zmienia się między czasami bramkowania T, to nawet w tym przypadku liczba
fotoelektronów w jednym bramkowaniu zgodnie z zasadami MQ, jest przypadkowa i nieprzewidywalna. Możemy określić tylko prawdopodobieństwo jonizacji jednego atomu fotokatody w1∆t ~ I w ciągu niewielkiego interwału czasu
∆t = T/M , M – wystarczająco duża liczba całkowita taka, aby w przeciągu ∆t pojawił się nie więcej niż jeden impuls fotoprądu lub nie pojawił się ani jeden. Prawdopodobieństwo jonizacji jednego z N niezależnych atomów będzie N razy większe :
w = Nw1 = αI/T (13.1)
gdzie współczynnik proporcjonalności :
α = ηVdet / 2πhω− (13.2)
gdzie ω− średnia częstość światła, kwantowa efektywność fotopowielacza lub wydajność kwantowa cienkiej fotokatody o grubości L jest równa :
η = σLN0 = σN/S (13.3) gdzie σ - przekrój jonizacji, a :
N0 = N/SL (13.4) Jest koncentracją atomów, przy tym przyjmujemy, ze przekrój σ jest stały w granicach szerokości spektrum pola
świetlnego.
Przypominamy również, że kwantowa efektywność detektora η przedstawia sobą prawdopodobieństwo jednego foto zliczenia przy uderzeniu w fotokatodę jednego fotonu.
Ponieważ intensywność światła na fotokatodzie I = const, wszystkie chwile w przedziale T są równie prawdopodobne dla pojawienia się foto zliczenia.
Zatem, fotoelektron może oderwać się od fotokatody w dowolnej chwili ∆t z jednakowym prawdopodobieństwem :
P = ∆tαI/ T (13.5)
Faktycznie P nie zależy od T, ponieważ α ~ Vdet ~ T ( zobacz (13.2)).
Przypominamy również, ze w interwale ∆t może pojawić się nie więcej niż jeden fotoelektron lub nie pojawić się ani jeden z prawdopodobieństwem Q = 1 − P.
Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu M interwałów pojawi się m foto zliczeń, jest równe :
P(m) = Pm QM−m CmM (13.6)
Jest to wzór Bernoulliego z dwumianowymi współczynnikami :
CmM = M(M− 1 ) (M− 2 ) … ( M − m + 1 )/ m! (13.7)
Aby wyrazić współczynnik C poprzez średnią liczbę fotozliczeń m− w czasie T, zróżniczkujemy szereg (13.12) po C [17] : ∞ ∞
Na rysunku 13.3 pokazano przykład rozkładu Poissona dla m− = 10.
Rys. 13.3 Rozkład Poissona dla m− = 10.
Można pokazać, że przy m− → ∞ dyskretny rozkład Poissona przechodzi w ciągły rozkład Gaussa. Faktycznie gaussowska aproksymacja obwiedni rozkładu Poissona ( linia ciągła na rysunku 13.3 ) jest słuszna przy m− >> 1.
Drugi moment rozkładu Poissona (13.16) można znaleźć poprzez drugie różniczkowanie (13.14) po C, skąd otrzymujemy : ∞
< m2 > ≡ΣΣΣΣ m2 P(m) = m− ( 1 + m− ) (13.17)
m=1 tak, ze dyspersja :
σm2 =: < m2 > − < m >2 = m− (13.18)
Analogicznie obliczamy momenty wyższych rzędów – różniczkując po C.
Zauważmy, że [17] :
P(m + 1 ) = ( e−m− m− m−m ) / ( m + 1 ) m! = ( m− / m + 1 ) P(m) (13.19) Niech teraz m− = m~ + 1 wtedy :
P(m~ ) = P(m~ + 1 ) (13.20)
Co powinno mieć miejsce w piku rozkładu Poissona, co oznacza że przy całkowitych wartościach m− maksimum rozkładu Poissona jest osiągane przy m = m− i m = m−− 1, co widać wyraźnie na rysunku 13.3. W przypadku m− = 1 :
P(m) = 1/em! (13.21)
tj. :
P(0) = P(1) ≅ 0,37 ; P(2) ≅ 0,18 ; P(3) ≅ 0,06 ; P(4) ≅ 0,01 (13.22)
Przykładowo, jeśli detektować promieniowanie idealnego lasera o stałej intensywności i średnią wartością energii w czasie T równym hω, to otrzymamy jedno fotozliczenie tylko w 37 przypadkach z 100.
Przypomnijmy, że statystyka fotozliczeń, stanu koherentnego | z > zgodnie z (11.47) jest poissonowska. Zatem,
rozpatrzony przez nas w przybliżeniu półklasycznym proces fotodetekcji światła o stałej intensywności, opisywany przez rozkład Poissona, odpowiada statystyce fotonowej stanu koherentnego. Jeśli kwantowa efektywność detektora równa jest jedności, to każdy foton przekształca się w foto impuls i mamy w tym przypadku pełną tożsamość w pełni kwantowego opisu statystyki fotonowej światła idealnego lasera z półklasycznym opisem procesu detekcji światła o stałej
intensywności. Przypadkowość pojawienia się takiej lub innej liczby fotozliczeń światła o stałej intensywności należy przyjmować jako szum fotodetektora, który nazywamy szumem śrutowym. Jego obecność nakłada zasadnicze ograniczenia na dokładność pomiaru intensywności światła przez fotodetektor, które nazywamy standardową granicą kwantową fotodetekcji. Przykładowo, szum różnicowego fotoprądu na wyjściu układu zrównoważonego detektora homodynowego ( rys. 12.3 ) posiada zerową wartość średnią m− jeśli na wchodzie sygnału jest próżnia. Statystyka fotozliczeń przy tym będzie poissonowską z m− = 0. Odpowiada to opisowi fluktuacji kwadratury próżni. Jeśli jednakże na wejście sygnałowe podamy szum rozpraszania parametrycznego, to możliwe jest zmniejszenie dyspersji szumu śrutowego , tj. będziemy mieli σm2 < m− ( zobacz (13.18)). Taką statystykę z rozkładem prawie poissonowskim nazywamy pseudopoissonowską. Można ją otrzymać również w schemacie bezpośredniej fotodetekcji, kiedy światło skierowane jest bezpośrednio na fotodetektor.
Elipsa nieokreśloności przy tym powinna być zorientowana tak jak to pokazano na rysunku 13.4, który dobrze jest porównać z rysunkiem 12.2. Światło o takich własnościach nazywamy pseudopoissonowskim. Opis jego detekcji nie jest możliwy w przybliżeniu półklasycznym, kiedy skwantowany jest tylko fotoprąd. Należy jeszcze skwantować pole EM, tj.
przyjąć w pełni kwantowy opis.
Rys. 13.4 Wzajemna orientacja na płaszczyźnie fazowej wektora średniej amplitudy i elipsy nieokreśloności dla światła o statystyce pseudopoissonowskiej. Wektor nie koniecznie powinien pokrywać się z osią p. Przedstawiony wariant podano dla wygody porównania z rysunkiem 12.2, gdzie średnia wartość amplitudy jest zerowa. W stanie koherentnym | z > ciało nieokreśloności reprezentuje sobą okrąg, a zespolony wektor średniej amplitudy zawarty jest w wartości zespolonej z.
(* opis na rysunku – wektor średniej amplitudy *)
Zadziwiające jest to, ze pseudopoissonowskie światło jak gdyby zmusza fotoelektrony do bardziej regularnych wybić, niż te by chciały tj. tak jak gdyby wszystkie chwile czasu wybicia były równo prawdopodobne, co prowadzi do rozkładu Poissona. Wydaje się, ze trudno jest wejść do „wewnętrznej kuchni” fotodetektora jednakże światło pseudopoissonowskie właśnie to robi !
Standardowa kwantowa granica detekcji przy tym okazuje się być złamana. O tym jak przygotować takie światło będziemy mówili dokładniej w następnych rozdziałach, jednakże o jednym z najprostszych sposobów możemy powiedzieć już teraz.
Jeśli zdegenerowany wzmacniacz parametryczny tj. nieliniowy kryształ z pompowaniem oświetlimy światłem koherentnym wzdłuż małej osi elipsy nieokreśloności ( np. w przypadku fazy pompowania Φ = 2πm, m = 0, ±1, ±2, ..
ilustrowanym przez rysunek 12.2 ), to na wyjściu otrzymamy światło z nieco mniejszą intensywnością, ale za to z orientacją elipsy nieokreśloności takiej jak na rysunku 13,4. Sęk w tym, że wraz z modułem amplitudy światła przy tym zmniejsza się dyspersja fluktuacji odpowiedniej kwadratury. A to jest właśnie światło pseudopoissonowskie.
Zauważmy ważną własność szumu śrutowego. Wraz ze wzrostem intensywności światła I proporcjonalnie rośnie średnia liczba fotonów m− , a odchylenie średniokwadratowe wzrasta tylko proporcjonalnie do √m−. Ponieważ m− >> √m− przy m− >> 1 wraz ze wzrostem intensywności światła I względny błąd jego pomiaru :
δI/I = √m− / m− (13.23)
zmniejsza się i przy bardzo intensywnych wiązkach ogólnie można go zaniedbać. Jest to najprostszy sposób walki z szumem śrutowym detektora. Niestety sposobu takiego nie można stosować zawsze – badane w eksperymentach optycznych obiekty w bardzo jasnym świetle mogą zostać naruszone, np. żywe komórki, a z drugiej strony moc laserów jest skończona.
W tym sensie czysto kwantowy efekt obniżenia szumu śrutowego przez światło pseudopoissonowskie nie jest zjawiskiem makroskopowym. Istotne znaczenie ma ono tylko w słabych wiązkach z m− ~ 1.
Co jednak oznacza przypadkowy charakter ilości fotozliczeń w przypadku rozpatrzonego wcześniej przykładu
bezpośredniej detekcji promieniowania idealnego lasera o średniej intensywności m− = 1foton w czasie T tj. hω/T ( zobacz (13.22)) ?
Czy znaczy to, że w 37% przypadków w polu istnieje jeden foton lub ani jednego ? A w 18% - dwa ? Jeszcze rzadziej – trzy ( 6% ), a całkiem rzadko ( 1% ) – cztery ?
Innymi słowy, czy istnieje określona wartość mierzalnej wielkości do chwili pomiaru ?
Ortodoksalna interpretacja teorii kwantowej Bohra mówi, że w ogólnym przypadku – nie, za wyjątkiem tych rzadkich sytuacji, kiedy układ kwantowy znajduje się w stanie własnym operatora wielkości mierzonej, np. przy pomiarze liczby fotonów światła w stanie Foka.
Zadziwiający fakt nie istnienia apriori wartości obserwowanej do chwili jej rejestracji można dowieść eksperymentalnie, o czym możemy się przekonać po przeczytaniu następnego rozdziału.
Nabyte w świecie makroskopowym intuicje zostają przy tym poddane poważnym próbom.
************************************************************************************************
Rozdział 14 Interferencja 3-go rzędu.
W standardowych dwuwiązkowych interferometrach np. Macha –Zehendera ( rys. 2.6 ) harmoniczna zależność
intensywności światła I na wyjściu od różnicy faz Φ1 − Φ2 pojawia się w wyniku dodania zespolonych amplitud dwóch interferujących wiązek :
I ~ | a1 + a2 |2 = | a1 |2 + | a2 |2 + a1a*2 + a*1a2 = | a1 |2 + | a2 |2 + 2 | a1a2 | cos( Φ1 − Φ2 ) (14.1) Składowe interferencyjne a*1a2 i a1a*2 przedstawiają sobą iloczyn dwóch amplitud ( jedna z których jest sprzężona zespolenie ). Taką interferencje można nazwać interferencją drugiego rzędu ( po amplitudzie ). W opisie kwantowym interferencji dwumodowej takie składowe stają się operatorami a^1a^2† i a^1†a^2 na mocy tego, że interferometr przedstawia sobą przyrząd liniowy.
Bywają jednakże i interferometry, w których składa się zbiór wiązek o różnych amplitudach. Jest to np. interferometr lub rezonator Fabry'ego-Perota : z płaskimi równoległymi lustrami lub wielowiązkowe interferometry z lustrami o innej postaci. Ich przewaga nad interferometrami dwuwiązkowymi polega na tym, że są one bardziej czułe na różnice fazowe.
W dalszej kolejności rozpatrzymy pewne przykłady takich interferometrów.
Teraz jednakże ograniczymy się do interferometru trzeciego rzędu, reprezentującego nie tyle układ praktyczny ile przykład teoretyczny, ponieważ pozwala on przeanalizować specyficzne i jednocześnie fundamentalne własności – w MQ
przejawiające się w sposób szczególny, a w teorii pomiarów kwantowych – w konkretny poszczególny sposób.
Schemat takiego eksperymentu interferencyjnego pokazano na rysunku 14.1
Wiązka światła o częstości ω w przeźroczystym nieliniowym krysztale podczas rozpraszania parametrycznego generuje dwie wiązki promieniowania – sygnałową (s) i jałową (i). Oddziaływanie jest niezdegenerowane : wiązki są niekolinearne.
Ponieważ efektywność przekształcenia parametrycznego jest mała, rzędu 10-8 – 10-7, podstawowa część promieniowania przechodzi przez przeźroczysty kryształ, na wyjściu którego otrzymujemy trzy wiązki – w najprostszym przypadku trzy mody p, s, i. We wszystkich trzech składowych pola wnoszone są regulowane przesunięcia fazowe Φp, Φs , Φi po czym ponownie oddziałują one w drugim, dokładnie takim samym nieliniowym krysztale. Realizuje on odwrotne przekształcenie wiązek sygnałowej i jałowej do promieniowania wiązki pompującej o częstości ωp Detektory na wyjściu układu
optycznego rejestrują intensywność wszystkich trzech wiązek.
Efektywny trójmodowy hamiltonian oddziaływania rozpraszania parametrycznego (11.49) pozwala wnioskować, że w przypadku stanu jednofotonowego wiązki pompującej, dokładnego rozwiązania równania Schrödingera (11.51) należy poszukiwać w postaci [22] :
| ψ(t) > = α(t) | 1 >p | 0 >s | 0 >i + β(t) | 0 >p | 1 >s | 1 >i (14.2) Jeśli na wyjściu kryształu mamy jeden foton | 1 >p i próżnie w modzie sygnałowej i jałowej | 0 >s i | 0 >i , to albo ten foton
„rozbija” się na fotony sygnałowy i jałowy | 1 >s i | 1 >i , a w wiązce pompującej pojawia się próżnia | 0 >p ; albo wszystko pozostaje tak jak było. Innych alternatyw nie ma. Przy tym α(0) = 1, a β(0) = 0. Rozważania te są słuszne również dla przekształcenia odwrotnego w drugim krysztale z tą tylko różnicą, że α(t) i β9t) mogą w nim mieć inne warunki początkowe, jednakże w dowolnym przypadku :
| α(t) |2 + | β(t) |2 = 1 (14.3)
inaczej nie będzie spełniony warunek normalizacji dla (14.2) :
< ψ(t) | ψ(t) > = 1
Zwróćmy uwagę na to, ze stan (14.2) nie może być faktoryzowany :
| ψ(t) > ≠ | ψ(t) >p | ψ(t) >s | ψ(t) >i (14.4)
tj. Jest stanem typowo splątanym.
Aby przekonać się w słuszności rozwiązania (14.2), podstawimy go do równania (11.51) :
ih ( α• | 100 > + β• | 011 > ) = ih ½ χ(2) ( α | 011 > − β | 100 > ) (14.5) gdzie : | 100 > = | 1 >p | 0 >s | 0 >i , | 011 > = | 0 >p | 1 >s | 1 >i
skąd :
{ α• = − ½ χ(2) β (14.6)
{ β• = ½ χ(2) α
Rys. 14.1 Schemat eksperymentu interferencyjnego dowodzącego nieistnienie apriori określonej liczby fotonów w polu między dwoma nieliniowymi kryształami ( kwadraty ). Na wejście podawane są pojedyncze fotony | 1 >p o częstości ωp Prawdopodobieństwo foto zliczeń na detektorze i jest proporcjonalne do 1 + cos ( Φs + Φi − Φp ), co świadczy o jednoczesnej obecności pola we wszystkich trzech kanałach tj. jako obecności minimum trzech fotonów.
Jednakże energia jednego fotonu wejściowego jest wystarczająca tylko dla połowy energii trzech fotonów !
Rozwiązanie takiego nieliniowego układu równań różniczkowych dogodnie jest przedstawić w postaci macierzowej :
gdzie Γ = ½ χ(2) t, a czas oddziaływania t określony jest jako czas przelotu fotonu przez nieliniowy kryształ.
Przy tym zakłada się, że dla wybranych kierunków propagacji mod w krysztale spełniony jest warunek synchronizacji fazowej tj. wszystkie trzy mody propagują się synchronicznie przy spełnieniu zasady zachowania pędu (11.3).
Macierz przekształcenia stanu pola w krysztale, jest równa :
Przejdźmy teraz do opisu przesunięć fazowych w modach. Zgodnie z (12.9) różnica fazowa θ prowadzi do tego, ze operator anihilacji a^ mnoży się przez exp(−iθ ). Z dwóch składowych (14.2) niezerowy wynik po działaniu operatora a^ p Będzie tylko dla składowej | 1 00 >, zatem należy pomnożyć przez exp(−iΦp ). Analogicznie drugą składową | 011>
mnożymy przez exp[ −i( Φs − Φs )]. Macierz przekształcenia przy tym będzie diagonalna :
Zatem, ogólne działanie układu optycznego interferometru przedstawionego na rysunku 14.1 opisywane jest przez macierz
D = D(Γ2 ) D(Φ ) D(Γ1 ) (14.10)
Gdzie indeksy 1, 2 odnoszą się odpowiednio do pierwszego i drugiego nieliniowego kryształu.
Ponieważ w stanie wejściowym :
na wyjściu drugiego nieliniowego kryształu będzie stan (14.2) ze współczynnikami :
Prawdopodobieństwo zsynchronizowania detektorów w odpowiednich kanałach jest równe :
Zatem, zgodnie z (14.12), (14.13) :
Pp = Cp [ 1 − vp cos(Φ )] (14.16)
Ps = Pi = Cs [ 1 − vs cos(Φ )] (14.17)
gdzie wprowadza się tzw. widzialność interferencji :
i fazę interferencji :
Φ = Φs + Φi − Φp (14.20) Współczynniki Cp i Cs są równe :
Zatem, prawdopodobieństwo ujawnienia fotonów w kanałach opisywane jest przez zależności harmoniczne (14.16) i (14.17) od fazy (14.20), zawierającej opóźnienia fazowe we wszystkich trzech kanałach. Dlatego można je nazwać zależnościami interferencyjnymi, a samo opisywane zjawisko – interferencją trzeciego rzędu [22] lub interferencją trójwiązkową.
Maksymalny kontrast obrazu interferencyjnego tj. maksymalna granica pomiędzy interferencyjnymi minimum i maksimum będzie zachodziła przy jednostkowej jasności v. W kanałach s i i możemy to łatwo osiągnąć – wystarczy wziąć jednakowe nieliniowe kryształy z Γ1 = Γ2. Wtedy zgodnie z (14.19) vs = 1. W kanale pompującym p – sprawa jest bardziej złożona, ponieważ vp = 1 przy Γ1 = Γ2 = ¼ π, co wymaga bardzo wysokiej efektywności oddziaływania parametrycznego
niemożliwej przy pompowaniu jedno fotonowym.
Dla obserwacji efektu interferencyjnego wystarczy tylko jeden detektor np. w kanale s. Przy tym jasność jednostkowa będzie miała miejsce również w przypadku małej efektywności przekształcenia parametrycznego tj. przy dowolnych Γ1 = Γ2, w tym i przy Γ1 = Γ2 << 1. Zatem, rozpatrywany eksperyment jest w pełni możliwy do realizacji.
Oczywiście trzeba przy tym umieć przygotować jednofotonowy stan wiązki pompującej. Idealny laser tutaj nie pomoże, ponieważ nawet przy średniej intensywności 1 foton w czasie obserwacji T liczba zarejestrowanych fotonów od jednej realizacji pomiaru do drugiej fluktuuje zgodnie z poissonowskim prawem od zera do czterech i więcej, zgodnie z (13.22).
Piękny sposób przygotowania stanu jednofotonowego zaproponował D. N. Kłyszko z wykorzystaniem cały czas tego samego rozpraszania parametrycznego. Schemat takiego układu pokazano na rysunku 14.2.
Moc lasera pompującego nie jest duża, tak aby kreacja par fotonowych w toku parametrycznego rozpraszania następowała wystarczająco rzadko inaczej mogą się one nakładać na siebie. Operator ewolucji (11.54) w pierwszym rzędzie rozkładu eksponenty przymałym jej argumencie ma postać :
U^( t − t0 ) = I^ − iH^ ( t − t0 )/ h (14.23)
Rys. 14.2 Schemat przygotowania stanu jednofotonowego : jeden z fotonów pary skorelowanej ( górny ) rejestrowany jest przez detektor, który zgodnie z sygnałem elektronicznym, uruchamia włącznik, który z kolei przepuszcza drugi foton ze skorelowanej pary. Następnie włącznik ponownie szybko zostaje wyłączony.
Małość argumentu eksponenty związana jest z małością czynnika ½iχ(2)E hamiltonianu (11.64) w przybliżeniu zadanego pompowania. Jeśli na wejściu nieliniowego kryształu w modach sygnałowym i jałowym są próżnie | 0 >s | 0 >i , to na wyjściu :
| ψ( t − t0 ) > = U^( t − t0 ) | 0 >s | 0 >i ≈ | 0 >s | 0 >i + Γ E | 1 >s | 1 >i (14.24) Przypomnijmy, że Γ = ½χ(2)t.
Zatem, mamy próżnie i parę fotonową | 1 >s | 1 >i. Czynnik :
ΓE << 1 (14.25)
inaczej pary fotonowe będą kreowane zbyt często i mogą się pokrywać. Z drugiej strony, spełnienie (14.25) gwarantuje adekwatność pierwszego rzędu teorii zaburzeń tj. ograniczenie członem liniowym (14.23) rozkładu eksponenty (11.54).
Ponieważ efektywność kwantowa η detektora na rysunku 14.2 może być mniejsza niż 100%, niektóre pary fotonowe
| 1 >s | 1 >i będzie on przepuszczał. Obecność składowej próżniowej | 0 >s | 0 >i w (14.24) nie wpływa na pracę detektora, ponieważ :
n^s | 0 > = a^†
s a^s | 0 > = n^i | 0 > = a^†
i a^i | 0 > = 0 (14.26)
Aby odciąć “przepuszczone” przez detektor pary i wszystkie możliwe postronne zaburzenia w drugim kanale urządzenia z rys. 14.2 umieszczono włącznik przepuszczający tylko foton pary zarejestrowanej przez detektor. Po włączniku mamy zagwarantowaną obecność jednego fotonu w znanej chwili pojawienia się impulsu fotozliczenia.
Foton taki kierowany jest na wejście układu interferencyjnego z rysunku 14.1. Następnie oczkujemy pojawienia się kolejnego fotonu.
Ponieważ kreacja par fotonowych następuje wystarczająco rzadko, a kreacja wtórnych par w kryształach nieliniowych trójwiązkowego interferometru jeszcze rzadziej, dla rejestracji zależności interferencyjnej (14.17) należy cierpliwie czekać.
Prowadząc pierwsze eksperymenty związane z obserwacją interferencji pojedynczych fotonów na dwóch szczelinach na wyniki trzeba było czekać kilka lat, ponieważ nie znano układu przedstawionego na rysunku 14.2, a pojedyncze fotony zbierane były od bardzo słabego źródła termicznego, na tyle słabego, aby prawdopodobieństwo pojawienia się w miejsce jednego – dwóch fotonów było jak najmniejsze.
Wskazane przyczyny pchnęły eksperymentatorów [23] do obserwacji interferencji trójwiązkowej nie z pojedynczymi fotonami na wejściu, a ze światłem laserowym. Harmoniczna zależność interferencyjna (14.17) została przez nich otrzymana z jasnością vs = vi nieco mniejszą od jedności. Problem w tym, że bardzo trudno jest pozbyć się szumów w
„zerach” interferencji gdzie Ps = Pi = 0. A właśnie takie „zera” są interesujące z punktu widzenia interpretacji eksperymentu. Jednakże nie wybiegajmy zbytnio naprzód.
Spróbujmy najpierw zinterpretować wynik w ramach modelu poglądowego z apriori określoną liczbą fotonów w trójmodowym polu pomiędzy nieliniowymi kryształami ( rys. 14.1). Apriori w tym przypadku oznacza – do chwili zadziałania któregokolwiek z detektorów. Dla uproszczenia ich efektywność kwantową η przyjmiemy równą jedności.
W pierwszej prób zabieramy drugi nieliniowy kryształ, co odpowiada Γ2 = 0. Przy tym opóźnienia fazowe w kanałach nie wpływają na wyniki detekcji i obserwujemy foto zliczenia albo jednocześnie w obu kanałach s i i , albo pojedyncze zliczenia w kanale p. Alternatywa druga oczywiście zajdzie się znacznie częściej. Jednakże nigdy nie będzie jednocześnie trzech fotozliczeń we wszystkich trzech kanałach, ponieważ energia fotonu na wejściu nie jest na to wystarczająca. Obraz ten jest zgodny z trywialnym stwierdzenie, ze na wejściu pierwszego nieliniowego kryształu istnieje przemiennie jeden foton wiązki pompującej | 1 >p , albo para fotonów – sygnałowego | 1 >s i jałowego | 1 >i.
Stan kwantowy (14.2) przy tym jest interesujący dlatego, że pole trójmodowe posiada określoną energię hωp chociaż ogólna liczba fotonów :
np+s+i =: np + ns + ni (14.27)
przy αβ ≠ 0 nie ma dokładnie określonej wartości :
< ψ(t) | n^p+s+i | ψ(t) > = | α |2 + 2| β |2 = 1 + | β |2 (14.28)
< ψ(t) | ∆n^2p+s+i | ψ(t) > = | αβ |2 (14.29)
tj. Dyspersja fluktuacji ogólnej liczby fotonów jest niezerowa.
Póki co jest to w pełni zgodne z prostym założeniem, że w polu pojawiają się to po jednym, to po dwa fotony.
W następnym rozdziale przeanalizujemy iloczyny nieokreśloności kwantowych ∆n^p+s+i ∆Cpsi , gdzie Cpsi – kosinus fazy (14.20) Φ = Φp − Φs − Φi Póki co przejdziemy do opisu drugiej serii zapytań.
Przywracamy w układzie z rysunku 14.1 drugi nieliniowy kryształ z Γ2 = Γ1. Przy tym wszystkie trzy fazy Φp ,Φs ,Φi wpływają na prawdopodobieństwo fotozliczeń zgodnie z (14.16), (14.17) i (14.20).
Interferencja z jednostkową jasnością vs = vi = 1 opisywana jest przez prawo :
Ps = Pi ~ 1 + cos(Φ) (14.30)
Świadczące o tym, że zmieniając opóźnienie fazowe dowolnej składowej pola Φp ,Φs lub Φi można całkowicie stłumić
Świadczące o tym, że zmieniając opóźnienie fazowe dowolnej składowej pola Φp ,Φs lub Φi można całkowicie stłumić