************************************************************************************************
Rozdział 18 Reprezentacja Wignera i tomografia komputerowa
Przy rozpatrywaniu twierdzenia Bella przekonaliśmy się o tym, że efekty kwantowe nie mogą być adekwatnie opisane poprzez żaden zbiór parametrów ukrytych, apriorycznych względem eksperymentu.
Dlatego też maksymalnie informatywnym przedstawieniem układu kwantowego jest jego macierz lub operator gęstości ρ^.
Ale czy nie ma żadnych innych alternatyw ?
Okazuje się, że jest alternatywa – dwuwymiarowy zgodny rozkład współrzędnej i pędu W(q, p ), nazywany reprezentacja Wignera [83].
Całka : ∞
∫
W(q, p ) dp−∞ daje w przypadku stanu czystego funkcje falową w reprezentacji współrzędnościowej ψ(q), a w ogólniejszym przypadku stanu mieszanego mamy :
Przy obrocie ortogonalnego układu współrzędnych { p, q } o kąt θ odpowiedni współrzędnościowy rozkład prawdopodobieństwa ma postać :
U^(θ) = exp( −iθn^ ) – znany już nam operator przesunięcia fazowego (12.4).
Całkowe przekształcenia funkcji Wignera, opisywanej przez prawą część zależności (18.2), reprezentuje sobą przejście od zmiennych q, p do zmiennych q, θ tj. przejście od kartezjańskiego do biegunowego układu współrzędnych. Nazywa się ono przekształceniem Radona [84]. W szczególności przy θ = 0 mamy (18.1), a przy θ = ½ π prawa cześć (18.2) jest równa :
lub ψ(p) w przypadku stanu czystego.
Rozkład pr(q, θ) można mierzyć eksperymentalnie np. w układzie zrównoważonego detektora homodynowego ( rys. 12.3 ), mierząc fazę homodyny θ, jeśli pod q rozumieć kwadratową składową modu promieniowania [85]. Zadaniem tomografii kwantowej jest obliczenie W(p, q) na podstawie takich pomiarów tj. obliczenie odwrotnego przekształcenia Radona.
Rozwiązanie takiego zagadnienia rozpoczniemy od wyjaśnienia własności funkcji Wignera [20].
Wprowadzimy funkcje charakterystyczną :
będącą przekształceniem Fouriera funkcji Wignera.
Dalej rozpatrzymy funkcje o postaci :
W dolnym wierszu powyższej zależności dokonano zamiany zmiennych ( zobacz rys. 18.1 ) :
o jednostkowym jakobianie :
Rys. 18.1 Zamiana zmiennych w (18.5) odpowiada obrotowi układu współrzędnych o kąt θ.
Zgodnie z (18.5) przekształcenie Fouriera rozkładu współrzędnej z uwzględnieniem obrotu układu współrzędnych o kąt θ reprezentuje sobą funkcje charakterystyczna we współrzędnych biegunowych : u = ξ cos(θ) , v = ξ sin(θ).
Zatem, funkcje te posiadają wzajemnie jednoznaczne odpowiedniości.
Jeśli wykorzystamy (18.2), to możemy zapisać :
Gdzie eksponenta została wprowadzona do uśrednionego wyrażenia z zamianą zmiennej q na jej operator q^, ponieważ uśrednianie prowadzimy właśnie po współrzędnej q, a w dolnym wierszu tego wyrażenie dokonano zamiany cyklicznej pod znakiem Tr.
Ponieważ komutator :
jest niezerowy, nie można przedstawić wewnętrznej eksponenty w U^†(θ) exp( −iξq^ ) U^(θ) z operatorem U^† lub U^.
Rozłóżmy ją zatem w szereg potęgowy :
Przy obliczaniu exp( iθn^ ) q^m exp( −iθn^ ) = exp( iθn^ ) q^q^ ... q^ exp( −iθn^ ) dopiszemy między operatorami q^
eksponenty o przeciwnych znakach :
wykorzystaliśmy tutaj (12.12).
Końcowa eksponenta (18.12) przedstawia sobą operator Weyla :
exp( −iuq^ − ivp^ ) (18.13)
we współrzędnych biegunowych [86].
Zatem, funkcja charakterystyczna :
Jest swojego rodzaju „kwantowym przekształceniem Fouriera” operatora gęstości. Taki ścisły związek pomiędzy macierzą gęstości ρ^ i funkcją charakterystyczną W~(u, v), a zatem i samą funkcją rozkładu Wignera W(q, p), jak przekonamy się dalej jest zależnością wzajemnie jednoznaczną.
W celu obliczenia operatora Weyla wykorzystamy już stosowany wzór operatorowy Bakera-Hausdorfa-Campbella (15.20)
Wtedy przy normalizacji kwadratur, odpowiadającej h = 1, otrzymujemy :
exp( −iuq^ − ivp^ ) = exp( −iuv/2 ) exp( −iuq^) exp( −ivp^ ) (18.16)
Ponieważ :
to operator exp( −ivp^ ) przesuwa stan | q > o wielkość v :
Zatem :
Zamiana zmiennej :
q = x − ½ v (18.20)
daje symetryzacje :
Zatem, znając macierz gęstości ρ^ można jednoznacznie odtworzyć funkcje Wignera :
Całkując po u, otrzymamy δ-funkcje, pomnożoną przez 2π :
dzięki fluktuującej własności o postaci :
Łatwo pokazać, że funkcja Wignera jest rzeczywista :
dla hermitowskiego operatora gęstości ρ^.
Dokonajmy normalizacji o postaci :
Zatem, funkcja Wignera formalnie odpowiada zachowaniu zgodnego rozkładowi prawdopodobieństwa.
Zamieńmy teraz operator gęstości ρ^ na dowolny operator F^ i przemnóżmy dwie funkcje Wignera W1 i W2 odpowiadające dwóm operatorom F^1 i F^2. Otrzymany iloczyn scałkujemy po q i p :
Skąd :
Operatory F^1 i F^2 w przypadku ogólnym nie muszą być hermitowskie. Jednakże przyjmując : F^1 = ρ^ , F^2 = F^ otrzymamy
W czym jest interesująca taka zależność ? Jeśli przyjąć, że WF(q, p) opisuje pewną wielkość fizyczną, to funkcja Wignera odgrywa rolę funkcji zgodnego rozkładu prawdopodobieństwa przy uśrednieniu tak jak w klasycznej fizyce statystycznej.
Przyjmijmy dalej :
F^1 = ρ^1 = | ψ1 > < ψ1 | , F^2 = ρ^2 = | ψ2 > < ψ2 | (18.30) tj. znajdziemy wielkość :
przedstawiającą sobą prawdopodobieństwo, odpowiadające rzutowaniu jednego stanu czystego | ψ1 > na drugi stan czysty
| ψ2 >. Jeśli stany te są ortogonalne, to :
< ψ1 | ψ2 > = 0 (18.32)
Jednakże całka w (18.31) nie może zerować się przy unormowanej zgodnie z (18.26) funkcji Wignera W(q, p) ≥ 0.
To oznacza, że powinna ona niekiedy przyjmować ujemne wartości !
Dlatego też, mówiąc ściśle, należy ją nazwać quasi rozkładem, ponieważ w fizyce klasycznej prawdopodobieństwo, nie może być ujemne. Obszary ujemnych wartości quasi rozkładu Wignera określają obszary nieklasycznego zachowania układu, analogicznie do elementarnych czterowymiarowych prawdopodobieństw (16.14), spotkanych już przy rozpatrywaniu twierdzenia Bella. Obserwowane w eksperymentach naruszenia tego twierdzenia można formalnie uzasadnić ujemnym czterowymiarowym prawdopodobieństwem PAA’BB’ (a, a’, b , b’ ) [ 33, 34].
Interesujące jest to, że z pomocą quasi rozkładu Wignera można ilościowo ocenić „czystość” stanu układu kwantowego, obliczając następującą wielkość :
W stanie czystym ρ^ = | ψ> < ψ | zatem :
Tr ( | ψ > < ψ | | ψ > < ψ | ) = 1 (18.34)
A w stanie mieszanym :
ρ^ = ΣΣΣΣ pm | ψm > < ψm | (18.35)
m i
Tr ( ρ^2 ) = ΣΣΣΣ pm2 ≤ ΣΣΣΣ pm = 1 (18.36)
m m
tj. im mniejsza wartość (18.33), tym stan układu jest dalszy od stanu czystego.
Ocenić ”czystość” stanu możemy również obliczając entropie von Neumanna :
S =: − Tr ( ρ^ ln(ρ^ ) ) (18.37)
Jest ona użyteczna z tego powodu, że jeśli mamy dwa niesplątane podukłady, tak że ich ogólna macierz gęstości może być sfaktoryzowana :
ρ^ = ρ^1 ρ^2 (18.38)
to ich ogólna entropia stanowi sumę :
S = S1 + S2 (18.39)
Ponieważ :
Pewnym niedostatkiem entropii von Neumanna jest to, że trudno ją obliczyć. Musimy stosować rozkład logarytmu w szereg potęgowy, przykładowo przy − 1 < x ≤ 1 :
Analogicznie :
skąd otrzymujemy :
ponieważ ρ^ można rozłożyć zgodnie z (18.35) i dla każdego pm zapisujemy :
i dalej :
skąd wynika (18.44).
Dla stanu czystego entropia von Neumanna :
Spur = 0 (18.48)
A w pozostałych przypadkach :
Przejście odwrotne od funkcji Wignera do macierzy gęstości ρ^ realizujemy np. poprzez obliczenie jej elementów macierzowych :
gdzie Waa’ (q, p) – wignerowskie przedstawienie wektora | a > < a’ |, analogiczne do (18.29), gdzie w miejsce operatora F^
podstawiamy powyższy projektor.
Wzór (18.50) jeszcze raz potwierdza odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną między ρ^ i W(q, p).
Aby ocenić górną granicę kwadratu moduły quasi rozkładu Wignera, wykorzystamy nierówność Cauchy’ego- Schwarza :
ma to miejsce dla stanu czystego ρ^ = | ψ > < ψ |.
W przypadku stanu mieszanego z pomocą rozkładu (18.35) otrzymamy to samo.
Zatem :
| W(q, p) | ≤ 1/π (18.52)
Jest to bardzo ważne ograniczenie, które nie pozwala, w szczególności, być quasi rozkładem W(q, p) funkcji δ, tak jak byłoby to w przypadku dokładnie znanych składowych kwadraturowych, odpowiadających współrzędnej i pędowi, co jest również następstwem zasady nieokreśloności Heisenberga.
Teraz omówimy zagadnienie tomografii kwantowej – obliczeniu macierzy gęstości ρ^ na podstawie wyników pomiarów quasi rozkładu W(q, p).
Fundamentalnym ograniczeniem MQ jest niemożliwość zauważenia jednocześnie obiektu kwantowego w całej jego pełni.
W istocie jest to jedno ze sformułowań zasady komplementarności Bohra. Dlatego najważniejsze zadaniem pomiarów kwantowych – obliczenie macierzy gęstości ρ^ - nie może być zrealizowane za pomocą jednokrotnego pomiaru, ponieważ jeden pomiar jest tylko projekcją stanu kwantowego na jeden z wersorów bazy operatora mierzonej obserwabli.
W pomiarze kwantowym następuje jakby materializacja wartości wielkości mierzonej, która to do pomiaru nie istniała, z zespolonej – nie mierzalnej wprost funkcji falowej ( w przypadku stanu czystego układu ).
Jest to swojego rodzaju analogia do materializacji wyobrażeń świata duchowego. W nauce i technice taka materializacja realizowana jest zgodnie ze schematem : idea → konstrukcja → przyrząd [87].
Niemożliwość przeprowadzenia szczegółowego i pełnego, ze względu na informatywność, jednokrotnego pomiaru nie nakłada ograniczeń na wielostronne i wzajemnie dopełniające się badania ansamblu obiektów, przygotowanych w identycznych stanach kwantowych, lub jednego obiektu zachowującego niezmienione swoje podstawowe własności w przeciągu chwili czasu jego badania. Analogiczną sytuacje mięliśmy w medycynie : kiedy nie można bezpośrednio
„zaglądać” do organów żywego organizmu, to diagnozę stawia się na podstawie informacji pośrednich, np. na podstawie tomografii. Organizm prześwietla się promieniami Roentgena lub innymi w wielu kierunkach i za pomocą takich projekcji i komputera buduje się przestrzenne wyobrażenie wewnętrznych organów ciała.
Takie projekcje mamy mierząc pr(q, θ) przy różnych wartościach θ ( rys. 18.2). Greckie słowo τoµoσ oznacza cięcie.
Obracając płaszczyznę projekcji, otrzymujemy cały ich zbiór.
Rys. 18.2 Obrót płaszczyzny daje nam różne rzutowania, na podstawie których odtwarzamy trójwymiarowy rozkład.
Ponieważ pr~(ξ, θ) = W~( ξ cos(θ), ξ sin(θ) ( zobacz (18.5)), to otrzymujemy :
Jest to właśnie podstawowy wzór tomografii kwantowej : na podstawie „cieni” tj. rozkładów kwadratury przy różnych θ, obliczamy funkcje Wignera, a na jej podstawie macierz gęstości.
Dla uproszczenia obliczeń komputerowych wprowadzamy jądro o postaci :
Zatem :
Jądro można przekształcić następująco :
Podobnie jak δ-funkcja Diraca, jądro K(x) należy do klasy funkcji uogólnionych tj. posiada sens tylko w postaci jądra całkowego. Aby go obliczyć dodamy do x małą, czysto urojoną poprawkę iε. Wtedy :
Nieskończenie mała urojona część iε zmienia nieco kontur całkowania poniżej osi rzeczywistej. Taka regularyzacja jest równoważna wartości całki w sensie Cauchy’ego. Oznaczymy tę wartość jako P i zapiszemy :
K(x) = ∂/∂x P/x = − P/x2 (18.58)
Przy tym odwrotne przekształcenie Radona przyjmuje postać :
Obliczenia z użyciem komputera funkcji Wignera są możliwe, oczywiście w skończonych granicach całkowania wymagają jednakże określonej filtracji nieregularności funkcji podcałkowej :
Indeks „c” oznacza obcięcie ( cut ) granic, które nakładamy na nieskończone granice całkowania. Przybliżona część (18.60) zapisana jest dlatego aby uniknąć nieregularności w punkcie x = 0. Jest to dobre przybliżenie w przypadku | kcxc | = 1, gdzie xc oznacza granicę w przedziałach której prowadzona jest regularyzacja.
Wybór kc zależny jest od struktury W(q, p), która powinna być bez szybkich oscylacji, wnoszonymi przez funkcje trygonometryczne. Wielkość kc powinna być poniżej progu pojawienia się takich oscylacji.
Wybierając kc budujemy K(x), tak jak na rysunku 18.3
Na rysunku tym, obliczenia prowadzone były bez wykorzystania przybliżonego rozkładu w prawej części (18.60).
Następnie obliczamy W(q, p) zgodnie z (18.55) z jądrem K( q cos(θ) + p sin(θ)). Splot po x przy tym lepiej jest obliczać poprzez przekształcenie Fouriera, gdzie przekształcenie całkowe splotu przekształca się prosto w iloczyn przekształceń Fouriera.
Jeśli taka przybliżona metoda z jakiś powodów nie jest odpowiednia, to należy obliczyć całkę potrójną (18.53).
Rys. 18.3 Wykres jądra K(x) dla kc = 3.