Aksjomatyzacja geometrii a wizualizacje

Finalnym efektem rozwoju geometrii nieeuklidesowych były badania nad ujęciem nowo powstałych geometrii w ramach systemów aksjomatycznych.

Badania związane z aksjomatyzacją geometrii nabrały rozmachu w końcu XIX wieku. Wcześniejszy rozwój geometrii – teoria n-rozmaitości Riemanna, a następnie teoria grup przekształceń Sophusa Liego (1842-1899) i Kleina – dostarczały bardzo szerokiego i abstrakcyjnego systemu pojęciowego w ramach którego można było dokonać uporządkowania i klasyfikacji obiektów geometrycznych³⁷⁰. Szereg matematyków dążyło do syntezy XIX-wiecznych wyników geometrycznych za pomocą metody aksjomatyczno – dedukcyjnej.

370 Należałoby tu również wspomnieć o pracach Beltramiego, który w mojej pracy dotychczas się nie pojawił.

Można wymienić dwie główne postaci, które przyczyniły się do tego procesu – byli to Moritz Pasch (1843-1930), oraz przede wszystkim David Hilbert³⁷¹. Ten ostatni podał pełny układ geometrycznych pojęć pierwotnych oraz aksjomatów ich dotyczących, udowodnił również niesprzeczność swojego systemu – przy założeniu niesprzeczności arytmetyki³⁷². Nie ma tu miejsca na omawianie tego procesu.

Spróbujmy więc ogólnie ocenić, co aksjomatyzacja geometrii oraz przytoczmy kilka ważniejszych głosów w tej kwestii.

Główną tendencją, która towarzyszyła aksjomatyzacji geometrii było pozbawienie jej rozumowań odniesienia do intuicji przestrzennych. Szerzej można powiedzieć o traktowaniu pojęć matematyczny jako symboli pozbawionych znaczenia, w szczególności treści intuicyjnych, czy przestrzennych, które w przypadku geometrii z pewnością stanowią jego istotny składnik. Dodajmy, że proces pozbawiania pojęć matematycznych towarzyszących im przestrzennych intuicji był stopniowy. W kierunku tym podążały już praca B. Riemanna i F.

Kleina. Nawet Moritz Pasch nie miał jeszcze na celu zupełnego wyeliminowania intuicji przestrzennych z badań nad geometrią – podstawowymi pojęciami, przy pomocy których budował swojej aksjomatyczne ujęcie geometrii były pojęcia punktu, przestrzeni, czy styczności (incidence), a więc pojęcia odwołujące się do intuicji przestrzennej – sam Pasch zresztą umiejscawiał swoją pracę w tradycji geometrii syntetycznej³⁷³. Mimo to, już Pasch postulował, aby rozumowania geometryczne odbywały się na sposób czysto formalny. Pisze on co następuje:

„jeżeli geometria ma być rzeczywiście nauką dedukcyjną, to proces wyprowadzania [twierdzeń] musi być całkowicie niezależny od znaczenia pojęć czy figur geometrycznych. Jedyną rzeczą, która ma tu znaczenie, są relacje zachodzące pomiędzy poszczególnymi pojęciami ustalone za pomocą twierdzeń i definicji³⁷⁴”.

371 Można tu dodać, że na prace Pascha wpłynęły prace matematyków włoskich, jak Giuseppe Veronese, czy Giuseppe Peano (zob. Murawski, R., Filozofia matematyki…, str. 198). O filozofii matematyki Hilberta szeroko pisze polska filozof matematyki Ewa Piotrowska.

372 Por. Lubomirski, A., Henri Poincarégo..., str. 45.

373 Epple, M. Styles of argumentation in late 19^th century geometry, w: Analysis and Synthesis in Mathematics, red. M. Otte, M. Panza, Kluwer Dordrecht, Boston, London 1997, str. 181.

374 Pasch, za: Murawski, R., Filozofia matematyki…, str. 198.

Kulminacją tendencji, którą dążyła do wyrugowania elementów intuicyjnych w rozumowaniach geometrycznych było podejście Davida Hilberta.

Wielki niemiecki matematyk dążył do aksjomatyzacji geometrii w taki sposób, aby wszelkie jej rozumowania można było sprowadzić do operacji na symbolach. Jak ponoć sam kiedyś powiedział - powinno się zawsze móc mówić o stołach, krzesłach i kuflach, zamiast o punktach, liniach i powierzchniach³⁷⁵. Celu swój osiągnął w epokowej pracy Grundlagen der Geometrie. W pracy tej do przekształceń na symbolach zostały sprowadzone takie operacje, jak wspomniane

„nakładanie” na siebie figur geometrycznych, jak również wszelkie rozumowania odwołujące się do rysunków. Wprowadzony został tu również aksjomat ciągłości, który zapewniał np. że dwa okręgi są do siebie stycznie w dokładnie jednym punkcie. Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii) stały się więc symbolem usunięcia z rozumowań geometrycznych bezpośrednich odwołań do intuicji przestrzennej. Jak pisze Murawski, „przyjmuje się zazwyczaj, że wraz z dziełem Hilberta nastąpiło ostateczne i całkowite zerwanie geometrii z rzeczywistością empiryczną. Geometria stała się matematyką czystą. Aksjomaty przestały być prawdami oczywistymi czy koniecznymi”³⁷⁶.

Moritz Pasch, David Hilbert, jak i ich zwolennicy byli zgodni, iż z zasady, odwołania do rysunków czy diagramów w rozumowaniach matematyków nie są nigdy konieczne. Przestrzenne reprezentacje obiektów matematycznych były do przyjęcia jedynie w kontekście odkrycia, jako heurystyki, czy środki pomocnicze, ale miały zostać wyeliminowane z procesu rozumowania. Paolo Mancosu podkreśla tu, iż „wizualizacje wydawały się tracić swoją siłę w kontekście uzasadniania, będąc jednocześnie dopuszczane w kontekście odkrycia, i jako coś, co upraszcza poznanie, nie mogąc go ugruntować”³⁷⁷. Pasch pisze tu np., że rysunek „w sposób istotny zwiększa rozumienie relacji, o których mówi twierdzenie oraz konstrukcji dowodu. Co więcej, jest on owocnym narzędziem odkrycia takich relacji czy konstrukcji. Jeżeli jednak nie obawiamy się poświęcenia czasu i wysiłku, można te rysunki opuścić w dowodzie każdego twierdzenia;

375 Gray, J, Worlds Out of Nothing…, str. 254.

376 Murawski, R., Filozofia matematyki…, str. 200.

377 Mancosu, P., Visualization in Logic…, str,. 14.

twierdzenia jest w istocie dopiero wtedy naprawdę udowodnione, gdy dowód jest w zupełności niezależny od rysunków”³⁷⁸. W Grundlagen der Geometrie, natomiast wspomina Hilbert, że jego rozumowania będą często korzystały z rysunków, ale

„nigdy nie będą na nich polegać (niemals auf sie verlassen)”³⁷⁹.

Należy tu dodać, iż Hilbert – mimo, iż pokazywał zbędność intuicji przestrzennych w rozumowaniach matematycznych – nie odrzucał idei, iż intuicja przestrzenna stanowi źródło poznania geometrycznego. Zauważa o tym m.in.

Ulrich Majer, podkreślając, iż „zadanie „ustanowienia (establishing) aksjomatów geometrii‟ musi, zgodnie z poglądem Hilberta, odwoływać się (have recourse to) naszej „intuicji przestrzennej‟ oraz poddawać tę intuicję analizie logicznej przy pomocy metody aksjomatycznej, w celu odnalezienia logicznych zależności pomiędzy aksjomatami”.³⁸⁰

W kolejnym podrozdziale dokonam podsumowania rozważań związanych z XIX wieczną geometrią i filozofią geometrią dla kwestii roli wizualizacji w poznaniu matematycznym, jak również dla kantowskiej filozofii geometrii.

4.8. Konsekwencje rozwoju geometrii nieeuklidesowych dla