Felix Klein o intuicji naiwnej i wzmocnionej w matematyce

Felix Klein był przede wszystkim matematykiem, o filozofii pisał więc rzadko i niewiele. Mimo to sformułował bardzo interesujące filozoficznie stanowisko odnośnie roli intuicji przestrzennej w matematyce (Klein używał tu terminu Anschauung). Jak pisze Roberto Torretti, Klein „wydawał się być przekonanym (he apparently believed), że każdy normalny dorosły człowiek posiada umiejętność tworzenia obrazów geometrycznych zgodnie z ustalonym wzorcem (according to a fixed pattern). Tę umiejętność, bądź jej stosowanie, nazywał intuicją (Anschauung)” ⁴⁰⁰ . Intuicja ta leży u podstaw wiedzy geometrycznej i jest dla niej niezbędna. Ta geometryczna intuicja jest „wrodzonym talentem”, rozwijana jest jednak przez doświadczenie⁴⁰¹. Klein wyróżnia jednak dwa rodzaje intuicji – intuicję naiwną (naive intuition) i „ulepszoną”, czy też

„wzmocnioną” (refined intuition). Ta pierwsza to zwykła, „nieuzbrojona” w pojęcia matematyczne intuicja wzrokowa, za pomocą której postrzegamy narysowane obiekty geometryczne. Jest ona jednak niewystarczająca w celu „jednoznacznego określania pojęć geometrycznych, oraz w celu określenia pewnych wzajemnie sprzecznych twierdzeń geometrycznych”⁴⁰². Aby poradzić sobie z niedokładnością

398 Bolzano, B, Contributions…, str. 222

399 Tamże, str. 224.

400 Torretti, R., Philosophy of Geometry…, str. 147.

401 Tamże, str. 147.

402 Tamże, str. 147.

intuicji fizycznej idealizujemy dane percepcyjne, nadając im „przymusem intelektualnym” dokładność, której ta pierwsza nie może posiadać. W ten sposób, przez kontakt z wyidealizowanymi obiektami geometrycznymi rozwijamy w sobie

„wzmocnioną” intuicję. Wzmocniona intuicja nie jest właściwie intuicją sensu stricte; jest ona władzą poznawczą opartą na pojęciach, i ścisłą i jak zauważa Klein,

„powstaje w wyniku rozwoju logicznego począwszy od aksjomatów, które są traktowane jako absolutnie dokładne prawdy”⁴⁰³. Taka ulepszona intuicja jest potrzebna i konieczna aby określać prawdziwość wspomnianych zdań, z którymi nie radzi sobie naiwna intuicja, ale również aby przeprowadzać dowody euklidesowe. Elementy Euklidesa są dla Kleina w istocie przykładem teorii aksjomatycznej, która – mając korzenie w intuicji naiwnej – budowana jest przy użyciu intuicji ulepszonej; Euklides bowiem, jego zdaniem, “uważnie rozwija swój system opierając się na dobrze sformułowanych aksjomatach, jest w pełni świadomy konieczności dokładnych dowodów itd.”⁴⁰⁴. Aksjomaty nie są przy tym ani arbitralne, ani nie są zdaniami a priori – są idealizacjami danych percepcyjnych, które uzyskujemy dzięki naiwnej intuicji⁴⁰⁵.

Powtórzmy, że według Kleina intuicja naiwna jest konieczna dla rozwoju matematyki. Pisał, iż jest „przekonany, że dla celów badawczych łączenie intuicji z aksjomatami jest zawsze koniecznością”⁴⁰⁶. Podaje następnie wyniki matematyczne – m.in. Sophusa Lie‟go, dotyczące krzywych algebraicznych, czy te występujące w geometrii elementarnej, które według niego nie mogłyby być osiągnięte bez ciągłego udziału intuicji. Przytoczmy tu wypowiedź Kleine‟a dotyczącą geometrii nieeuklidesowych: „uważam, iż rozwijanie geometrycznych rozważań nie jest możliwe, jeżeli nie mam przed samą cały czas rysunku do którego się odnoszą. (…) Czysto obliczeniowa geometria analityczna, która obywa się bez rysunków, nie może być uważana za prawdziwą (genuine) geometrię (…) Aksjomat jest żądaniem, przy pomocy którego w ramach niedokładnej intuicji formułujemy

403 Za: Torretti, R., Philosophy of Geometry…, str. 147.

404 Za: tamże, str. 147

405 Bråting, K., Pejlare J., Visualisations…, str. 348.

406 Za: Torretti, R., Philosophy of Geometry…, str. 148.

dokładne sądy (die Forderung, vermöge deren ich in die ungenaue Anschauung genaue Aussagen hineinlege)”⁴⁰⁷.

Zapytajmy więc, jaka jest relacja roli intuicji i roli pojęć w poznaniu matematycznym? Prawdziwa geometria nie może obyć się więc bez intuicji, która konstytuuje treść twierdzeń matematycznych. Jak piszę Brating i Pejlare,

„aksjomaty i logika nadają teorii szkielet/strukturę (skeleton), ale to intuicja ożywia teorie”.

Klein zdaje sobie oczywiście sprawę z ograniczeń intuicji. Jak pisze, zdarzają się sytuacje, w przypadku których „wnioski wyprowadzone przy pomocy czysto logicznego rozumowania wychodzącego z dokładnych definicji nie mogą być zweryfikowane przez intuicję”⁴⁰⁸. Potwierdzają one konieczność formułowania ścisłych definicji i przeprowadzania ścisłych dowodów.

Wydaje się, że można zauważyć podobieństwa pomiędzy filozofią Kleina a empiryzmem Riemanna. Nachdenken, podobnie jak wzmocniona intuicja, są władzami poznawczymi „nadbudowanymi” nad doświadczeniem fizycznym. Dla Riemanna wszelkie sądy mają przy tym charakter hipotetyczny, dla Kleina natomiast pojęcia matematyczne są idealizacjami. Nadają one jednak danym zmysłowym postać, dzięki której możliwe staje się formułowanie twierdzeń i ich ścisłe dowodzenie. Warto podkreślić, iż według Kleina posiadamy naturalną, silną tendencję do idealizacji danych percepcyjnych; jesteśmy na przykład skłonni postrzegać linię jako prostą, bądź powierzchnię jako gładką nawet jeśli takie nie są⁴⁰⁹. Percepcja nie ma więc dla Kleina charakteru zasadniczo odmiennego od poznania pojęciowego. Postrzegamy obiekty fizyczne w taki sposób, który niejako

„nasuwa” wyidealizowaną, quasi-matematyczną konceptualizację danych zmysłowych (można przy tym oczywiście zadać pytanie, na ile postrzegania prostej jako 1-wymiarowej ma źródła w tym, że już posiadamy określone pojęcia matematyczne, czy też jest od nich niezależne, tzn. w pewnym sensie wrodzone).

Wspomnijmy jeszcze w kilku słowach o koncepcji metodologii Felixa Kleina oraz jej relacji do powyższych uwag. F. Klein preferował intuicyjny styl

407 Klein, F., Zur Nicht-Euklidischen Geometrie, za: Torretti, R., Philosophy of Geometry..., str. 149.

408 Tamże, str. 149.

409 Torretti, R., Philosophy of Geometry…, str. 147.

rozumowania, tzn. taki, w którym badanym pojęciom towarzyszą reprezentacje przestrzenne. Taki styl uprawiania matematyki nie był – według Kleina – słabością, czy zubożeniem matematyki; nie „odciągał” umysłu od właściwego przedmiotu matematyki, jak chciał tego Platon czy Leibniz. Przeciwnie –

„mieszana” – „pojęciowo-intuicyjna” metodologia czyni poznanie matematyczne bardziej wartościowym, ożywia je i wzbogaca.

Warto w tym miejscu wspomnieć, że do ok. połowy XIX żywa była kontrowersja dotycząca stosowania metod algebraicznych w geometrii. Jej wyrazem było pojawienie się w geometrii całego metodologicznego nurtu, który je odrzucał oraz postulował powrót do metod czysto geometrycznych. Nurt ten rozpoczął francuski matematyk Gaspard Monge (1746-1818) wraz z uczniami. Tak uprawiana geometria była z czasem nazywana geometrią syntetyczną – w przeciwieństwie do geometrii analitycznej, która korzystała z narządzi algebry⁴¹⁰. Zwolennicy syntetycznego podejścia do geometrii unikali „algebraicznego sformułowania relacji geometrycznych, które okazały się tak owocne od czasu ukazania się Geometrié Kartezjusza” – choć nie mieli oczywiście na celu w zupełności z nich zrezygnować⁴¹¹. W zamian dążono do stosowania metod czysto geometrycznych. Tak różnicę między tymi podejściami do geometrii charakteryzuje Klein: „geometria syntetyczna bada figury jako takie, bez odwoływania się do formuł, podczas gdy geometria analityczna używa w sposób

410 Zwolennicy podejścia syntetycznego byli przekonani o większej wartości poznawczej metod korzystających z diagramów. Warto przytoczyć główny argument, mający wykazać wyższość tego podejścia do geometrii, ma on bowiem mocno epistemologiczny wydźwięk. Twierdzi się tu więc, że

„w szeregu algebraicznych przekształceń danej formuły, niemożliwym może być prześledzenie szeregu geometrycznych kroków, którym formalne przekształcenia powinny odpowiadać”⁴¹⁰. I dalej w słowach jednego ze zwolenników podejścia syntetycznego, Chaslesa, „czy jest więc w filozoficznych i elementarnych (basic) badaniach danej nauki wystarczającym wiedzieć, iż coś jest prawdziwe, jeśli się nie wie dlaczego takim jest, oraz jakie ma ono miejsce w szeregu prawd, do którego należy?” (Chasles, M., Aperçu historique sur l‟origine et le développement des méthodes en Géométrie, za: Epple, M. Styles of argumentation..,, str. 180). Kryje się tu idea, że analityczne (czy algebraiczne) uzasadnienie nie ukazuje istoty rozumowania, która jest związana z przekształceniami na wizualnie postrzegalnych figurach. O ile rysunki pokazują dlaczego dane twierdzenie jest prawdziwe, można też powiedzieć, iż dostarczają wyjaśnienia dla tej prawdziwości. Metody algebraiczne wydają się poza tym dla Chasles podejrzane, niewiarygodne. Są prawie jak sztuczki, które odciągają umysł od istoty rzeczy (por. tamże, str. 180). Dodajmy, iż spór analitycznej i syntetycznej tradycycji w geometrii jest echem wspominanej przez mnie XVII-wiecznej dyskusji nad statusem poznawczym algebry.

411 Epple, M. Styles of argumentation.., str. 178.

niesprzeczny tych formuł, które można zapisać po przyjęciu odpowiedniego układu współrzędnych”⁴¹². Sam F. Klein był przeciwny zarówno pierwszemu, jaki drugiemu puryzmowi metodologicznemu. Niemiecki matematyk podkreślał wagę, oraz wymienność, obu podejść do praktyki matematycznej. Felix Klein podkreślał również, iż różnica pomiędzy wspomnianemu metodologiami utraciła z czasem na znaczeniu, ponieważ „sposoby rozumowania stosowane przez każdą ze stron stopniowy wyewoluowały do bardzo podobnych form”⁴¹³.

Warto tu dodać, za Moritzem Epplem, iż matematyka staje się, według Kleina, dzięki takiej „mieszanej” metodologii w pewnym sensie ogólniejsza. Epple podkreśla, że ogólność rozumie się w kontekście aksjomatycznego ujęcia matematyki. Tu wiąże się ona z minimalizacją założeń wyjściowych oraz pozbawieniem pojęć matematycznych z góry nadanej interpretacji. Geometryczne systemy aksjomatyczne są więc ogólniejsze w tym sensie, że poszczególne geometrie są tylko fragmentem szerszego systemu aksjomatycznego, a dana

„wizualna” interpretacja jedynie jednym ze sposobów interpretacji podstawowych, pewną konkretyzacją. Z drugiej strony, w ramach wizji matematyki Kleina, „tym co miało pokazać ogólne znaczenie prezentowanych idei, było właśnie zagęszczenie kontekstu rozumowania, bogata różnorodność dyskutowanych tematów i punktów widzenia”⁴¹⁴.

Dodajmy, iż według Kleina intuicja (tu używał terminu Anschauung) jest przydatna w wielu działach matematyki, nie tylko w geometrii. Klein podkreślał m.in. rolę intuicji w analizie matematycznej, szczególnie w pierwszym okresie jej rozwoju.

Przejdźmy dalej do ujęcia wizualizacji w empiryzmie J.S. Milla.

412 Klein, Elementary mathematics from a higher standpoint, za: Epple, str. 180.

413 Klein, Erlanger Programm, za: Klein, str. 181.

414 Epple, M. Styles of argumentation.., str. 183.