Frege o syntetyczności geometrii i czystej naoczności przestrzeni

Gottlob Frege znany jest przede wszystkim z tego, iż położył podwaliny pod logikę predykatów. Arytmetykę uważał Frege za naukę analityczną i wyprowadzalną z logiki. Mimo bronionego konsekwentnie logicystycznego i racjonalistycznego stanowiska, Frege utrzymuje, iż geometria jest nauką syntetyczną, a w poznaniu geometrycznym konieczna jest czysta naoczność przestrzeni. W tym podrozdziale dokonam pogłębionej analizy tego, jak Frege rozumiał syntetyczność geometrii oraz jaki wkład w poznanie geometryczne miała według niego intuicja przestrzenna.

Według Fregego samo wprowadzenie do filozofii podziału na zdania analityczne i syntetyczne było wielką zasługą Kanta, do myśli kantowskiej nawiązuje też wielokrotnie w kontekście tego podziału⁴⁴². Zacytujmy szerszy fragment, w którym Frege definiuje pojęcia analityczności i aprioryczności, pochodzący z jego działa Grundlagen der Arithmetik: Głównym zagadnieniem staje się znalezienie dowodu danego sądu, i prześledzenia go aż do prawd podstawowych.

Jeżeli w trakcie tego procesu napotykamy jedynie ogólne prawa logiki oraz definicje, wtedy prawda jest analityczna (…). Jeżeli jednak nie jest możliwe podanie dowodu bez użycia prawd które nie są ogólnej logicznej natury, lecz należą do jakiejś nauki szczegółowej, wtedy sąd jest syntetyczny. Aby prawda była a posteriori, niemożliwym musi by skonstruowanie jej dowodu bez odwołania się do faktów, tzn. do prawd, które nie mogą być udowodnione i nie są ogólne, jako że zawierają stwierdzenia odnoszące się do konkretnych obiektów. Jeśli, z drugiej strony, dowód może być oparty wyłącznie na ogólnych prawach, które same w

442 Według Fregego, „Wielką zasługą Kanta jest to, iż dokonał rozróżnienia między sądami syntetycznymi a analitycznymi (…) oraz że nazwał prawdy geometryczne syntetycznymi a priori”

(Frege G., Podstawy arytmetyki, (w:) Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych, red. R.

Murawski, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1994, str. 199). Frege podkreśla nawet, że jego myśl nie odbiega zasadniczo od Kanta. Niemiecki logik uważał, że jego filozofia wprowadza jedynie poprawki i udoskonalenia w stosunku do filozofii kantowskiej.

sobie nie potrzebują dowodu ani w ogóle nie mogą być udowodnione, wtedy prawda jest a priori⁴⁴³”.

W pierwszej kolejności omówmy szerzej podział na zdania analityczne i syntetyczne. Analityczność zdania definiuje Frege przez odniesienie do metody jego uzasadnienia, a nie – jak u Kanta – do znaczenia zawartych w nim terminów.

Zdanie analityczne to – najzwięźlej rzecz ujmując – zdanie, które jest wyprowadzane z logiki. Frege nawiązuje tu do kantowskiej charakterystyki zdania analitycznego, jako wypływającego z zasady sprzeczności, choć terminy „logika”

oraz „wyprowadzalny z logiki” oznaczały dla Fregego coś zupełnie innego niż dla Kanta. Fregowska logika różni się bowiem od logiki Kanta zarówno pod względem formalnym, jak i pod względem jej statusu⁴⁴⁴. Z formalnego punktu widzenia Frege był, jak wiadomo, twórcą rachunku predykatów, który ma znacznie szersze możliwości wyrazu niż sylogistyka. Dwaj myśliciele różnili się dodatkowo w kwestii filozoficznej interpretacji statusu logiki. Jak pisze Sullivan, według Kanta logika była dodatkiem do właściwych nauk, czy środkiem pomocniczym (adjunct or auxillaiary) ⁴⁴⁵ . Sąd logiczny natomiast „jest zaledwie formalnym ograniczeniem, z którym zgodność jest tylko koniecznym, ale nigdy samo w sobie wystarczającym warunkiem dla prawdy”. Dla Fregego z kolei, logika jest samodzielną, odrębną nauką, a „jej zasady nie są schematami, ale w pełni zinterpretowanymi, autentycznymi prawdami (genuine truths)”⁴⁴⁶. Odnosi się ona do obiektywnej sfery myśli; w celu opisu, i formalnego ujęcia owej obiektywnej sfery stworzył właśnie w znanej pracy Begriffsschrift („pismo pojęć”) Frege swój system logiczny. Podsumowując, Frege nawiązuje do kantowskiej charakterystyki zdania analitycznego jako wypływającego z zasady sprzeczności, choć

443 Frege, Podstawy arytmetyki, za: deJong, W., Analytic/Synthetic distinction and the classical model of science

444 Dyskusyjne jest, na ile Frege nawiązuje tu rzeczywiście do myśli Kanta. Przypomnijmy, że u Kanta zdania konieczne – a więc również wszystkie analityczne – miały być „wyprowadzalne” z zasady sprzeczności. Być może do tej idei nawiązywał Frege definiując zdania analityczne jako wyprowadzane z logiki. Wtedy „wyprowadzalność z zasady sprzeczności” byłaby synonimem dla

„wyprowadzalności z logiki”. O roli zasady sprzeczności jednak Frege (o ile mi wiadomo) nie pisze, jej znaczenia jako inspiracji dla takiej a nie innej filozofii logiki można jedynie się domyślać.

445 Sullivan, Frege‟s Logic, w: Handbook of the History of Logic, str. 670.

446 Tamże, str. 680.

Zdanie syntetyczne jest więc zdaniem, które nie jest wyprowadzane z logiki. Ma to ogólnie mówiąc swoje źródło w tym, iż poznanie geometryczne wypływa z czystej intuicji (naoczności) przestrzeni. W Podstawach arytmetyki pisze Frege, iż Kant „nazywając prawdy geometryczne syntetycznymi i a priori odsłonił ich prawdziwą istotę”⁴⁴⁷. Frege pisze tam również, że „wszystko (…) co geometryczne musi być w swym pochodzeniu oparte na intuicji (anschaulich)”⁴⁴⁸. Także aksjomaty geometryczne mają swoje źródło w czystej intuicji. Niemiecki logik trzymał się tego poglądu konsekwentnie przez całe życie. Piętnaście lat po napisaniu powyżej zacytowanego zdania Frege, w liście do Hilberta wciąż podkreśla, że „intuicja przestrzeni” jest „pozalogiczną podstawą” aksjomatów geometrycznych⁴⁴⁹. W tekście z 1921 roku pt.: Źródła poznania matematycznego i zmatematyzowanych nauk przyrodniczych Frege wyróżnia trzy możliwe źródła poznania:

1) Poznanie zmysłowe, 2) Logiczne źródło poznania,

3) Geometryczne źródło poznania⁴⁵⁰.

Poznanie geometryczne wyróżnia się tym, że wypływa z czystej intuicji – czy też czystej naoczności przestrzeni. Obiektywne poznanie analityczne jest poznaniem czysto rozumowym, poznaniem, które nie musi powoływać się na żadne elementy pozalogiczne, czyli w szczególności naocznościowe. Z powyższych rozważań można wnioskować, iż jeśli w dowodzie zdania, poddanemu dokładnej analizie, jak pisze Frege – bez „skoków” omijających niektóre z kroków rozumowania, nie musimy się powoływać na intuicje, dane naoczne, czy czyste naoczności, jest ono analityczne. Zdania syntetyczne natomiast charakteryzują się tym, że ich dowód opiera się – i musi się opierać – na prawach pozalogicznych: „pochodzą one bądź z doświadczenia zmysłowego, jak w wypadku twierdzeń nauk empirycznych, bądź z

447 Frege, G., Podstawy arytmetyki, str. 199.

448 Tamże, str. 181.

449 Por. Merrick, T., What Frege Meant…, str. 44.

450 Frege, F., Erkentnnisquellen der Mathematik und der mathematischen Wissenschaften, w: Frege:

Schriften zur Logik, F.Meiner, Hamburg 1971, str. 227.

intuicji przestrzeni, jak w przypadku twierdzeń geometrii”⁴⁵¹. Uznając intuicję przestrzeni za źródło poznawcze konieczne dla poznania geometrycznego, Frege wyraźnie nawiązuje do Kanta używając tego samego terminu co on, tzn.

Anschauung.

W jaki sposób korzystamy jednak w poznaniu geometrycznym z czystej intuicji? Czy nawiązują do niej poszczególne kroki dowodowe, a jeśli tak to które?

Interpretacja myśli Fregego nie jest w tym miejscu łatwa. W pierwszej kolejności warto wskazać, jakiej roli intuicja przestrzenna na pewno nie gra na gruncie filozofii matematyki Fregego. Zwróćmy więc uwagę, iż istotnym aspektem filozofii logiki Fregego była nowa koncepcja zdania. Zrywa on z podmiotowo-orzecznikową koncepcją, proponując w zamian traktować zdanie jako funkcję zdaniową. Frege nie wyróżnia w sądzie podmiotu orzeczenia, co więcej, według Arkadiusza Guta, „oczyszczenie logiki z rozróżnienia podmiotu i predykatu jest – w opinii Fregego – bodaj najważniejszym elementem jego nowej logiki”⁴⁵². W sądzie orzekamy, czy dane przedmioty spełniają funkcję n-argumentową. W szczególności funkcją 1-argumentową jest pojęcie, rozumiane jako obiektywnie istniejące⁴⁵³. Prawdziwość takiego sądu uzależniona jest od tego, czy pod dane pojęcie „podpada” przedmiot (zbiór takich przedmiotów rozumiany jest wtedy jako ekstensja pojęcia). Nie ma tu oczywiście miejsca na dalsze szczegóły odnośnie fregowskiej logiki. Zauważmy tu jedynie, że na gruncie fregowskiej koncepcji logiki nie można stwierdzić, iż w geometrycznym sądzie syntetycznym dane pojęcie łączone jest z innym za pomocą odwołania do czystej naoczności, rozszerzając w ten sposób wiedzę. Dodatkowo, Frege w ogóle nie wiązał poznania syntetycznego z poznaniem rozszerzającym wiedzę. Również niektóre zdania analityczne – w szczególności zdania arytmetyki – rozszerzają, zdaniem Fregego, wiedzę⁴⁵⁴.

451 Tuchańska, B., Koncepcje wiedzy apriorycznej i analitycznej a status logiki i matematyki, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1995, str. 82.

452 Gut, A., Gottlob Frege i problemy filozofii współczesnej, Wydawnictwo KUL, Lublin 2005, str.

163.

453 Por. tamże, str. 113.

454 Według Fregego, „Kant w sposób oczywisty nie doceniał wartości sądów analitycznych” (Frege, G., Podstawy arytmetyki, str. 198). Wynikało to ze zbyt wąskiej definicji pojęcia królewieckiego filozofa. Frege sprzeciwia się więc ujmowaniu pojęć, jako określonych przez „przyporządkowane

O pełną charakterystykę fregowskiej interpretacji czystej naoczności (intuicji) przestrzeni jednak bardzo trudno. Jak pisze historyk filozofii T. Burge,

„Frege nie daje dokładnego wyjaśnienia, jak intuicja pomaga „ugruntować‟ naszą wiedzę”⁴⁵⁵. Z pewnością traktuje on ją jako władzę poznawczą posiadającą charakter pozapojęciowy i pozalogiczny. Jak dalej podkeśla Burge, można uznać, iż , „Frege, podobnie jak Kant, wiąże źródło (capacity for) czystej naoczności (przynajmniej u ludzi) ze zmysłowością – zdolnością posiadania doświadczeń zmysłowych”⁴⁵⁶. Frege nie wyjaśnia jednak bliżej (jak starał się to zrobić Kant), jaką rolę intuicja pełni w rozumowaniach w geometrii i poznaniu geometrycznym w ogóle. W szczególności, jak podkreśla T. Burge, „Frege nie daje (…) dokładnego wyjaśnienia tego, jak jego przekonanie o aprioryczności geometrii jest kompatybilne z jej ich zależnością od czystej intuicji – władzy poznawczej wytwarzającej reprezentacje jednostkowe”⁴⁵⁷.

Wiele uwag Fregego wskazuje, iż intuicja jest w pierwszym rzędzie konieczna do sformułowania aksjomatów geometrii. To o nich pisze najczęściej, jako prawdach geometrii, które wywodzą się z czystej intuicji. Być może więc Frege zgodziłby się, iż aksjomaty wywodzą się z intuicji przestrzeni, a pozostałe prawdy geometrii, wyprowadzane z tych aksjomatów, uzyskiwane są już za pomocą metod dedukcyjnych. Czysta intuicja motywowałaby wtedy wybór tych, a nie innych aksjomatów, jednocześnie stanowiąc pewne ich uprawomocnienie. Tak

cechy charakterystyczne (beigeordnete Merkmale)”, jest to według niego jeden z najmniej owocnych sposobów definiowania pojęć (tamże, str. 198). Owocna definicja pojęcia nie charakteryzuje go przez określenie zespołu cech, które mają odpowiadać jego desygnatom. Taka definicja pozwoliłaby łatwo stwierdzić, czy zbiór cech odpowiadających jednemu pojęciu zawiera się w zbiorze odpowiadającym innemu i czyniłaby przez to zdania analityczne mało wartościowymi poznawczo; zdania analityczne tymczasem, jako zdania obiektywnie prawdziwe, taką wartość poznawczą posiadają. Tak pisze o tym Frege:„Bardziej owocne definicje pojęć wytyczają granice, które dotąd nie były jeszcze dane. Nie widać z góry, co da się z nich wywnioskować; nie wyciąga się przy tym ze skrzyni czegoś, co już wcześniej tam się włożyło. Wnioski takie poszerzają naszą wiedzę i powinno się je, za Kantem, uważać za syntetyczne. Mogę one być jednakże udowodnione w sposób czysto logiczny, są więc analityczne. W rzeczywistości są one zawarte w definicjach, ale tak, jak rośliny w nasionach, a nie jak belki w budynku”(tamże, str. 199).W przypadku zdań, które zdefiniowane są w sposób – a w taki sposób zdefiniowanych jest, jak wydaje się sądzić Frege, wiele pojęć arytmetyki, wniosek jest zawarty w definicji w drugim sensie („jak rośliny w nasionach”).

Frege interpretuje również Burge, pisząc, iż niemiecki filozof „wydawał się przyznawać czystej intuicji rolę (at least) w uprawomocnianiu aksjomatów geometrii”⁴⁵⁸.

Warto tu wspomnieć o jeszcze jednej kontrowersji, która wiąże się z powyższą problematyką, a mianowicie z pytaniem o obiektywność geometrii.

Pojęcie obiektywności odgrywało centralną w filozofii Fregego. Jak wspominałem, logika (a wraz z nią arytmetyka) odnosi się do obiektywnej sfery myśli. Frege w wielu miejscach wyraźnie oddziela subiektywne przedstawienia od obiektywnych pojęć. Przedstawienie „należy do treści (…) świadomości” osoby je posiadającej, jest ono również „zindywidualizowane do jednego nosiciela”⁴⁵⁹. Pojęcia istnieją, z drugiej strony, niezależnie od naszego poznania, są odkrywane i nie są ufundowane w naoczności⁴⁶⁰.

Termin „intuicja” należy przy tym wiązać w przypadku poglądów Fregego na pewno z tym, co subiektywne oraz przestrzenne. Frege często podkreśla bowiem, że wiedza obiektywna, obiektywność w ogóle jest ideą funkcjonującą poza przestrzennością, oraz że nauka obiektywna nie może opierać się na przestrzenności. Tak pisze o tym Frege: „obiektywność rozumiem jako oznaczającą to, co jest niezależne od wrażeń zmysłowych, intuicji i wyobraźni oraz od wszelkiej konstrukcji obrazów mentalnych z pamięci oraz wcześniejszych wrażeń zmysłowych”⁴⁶¹. Podobnie relację między tym, co postrzegane za pomocą intuicji a tym, co obiektywne widzi Teri Merrick we wspominanym tu już artykule What Frege Meant When He Said: Kant is Right about Geometry. Przypomina tam, iż według Fregego intuicje są subiektywne, a właśnie subiektywne idee są z reguły znacząco odmienne u poszczególnych ludzi – w przeciwieństwie do idei obiektywnych, które są takie same dla wszystkich⁴⁶². Pojawia się tu znów problem, który nie znajduje w pisamach Fregego jednoznacznego rozwiązania.

Kończąc uwagi o filozofii geometrii Fregego, poddam analizie dłuższy fragment z Grundlagen, w którym Frege tłumaczy, w jaki sposób jednostkowy

458 Tamże, str. 39.

459 Gut, A., Gottlob Frege…, str. 103.

460 Por, tamże, str. 104-105.

461 Frege, G., za: Merrick, T., What Frege Meant… , str. 45.

462 Por. tamże, str. 45.

rysunek może w geometrii stanowić uzasadnienie sądu ogólnego. Pisze on co następuje: „przedstawiane za pomocą intuicji punkty, proste, powierzchnie nie są w rzeczywistości w ogóle jednostkowe, stąd mogą być traktowane jako reprezentujące całość gatunku⁴⁶³”. Nietrudno dostrzec, iż w tym fragmencie Frege umniejsza jednostkowy charakter obiektów geometrycznych, próbując w efekcie przekonać czytelnika, że „przedmioty (obiekty) czystej intuicji w wyobraźni geometrycznej nie są w sposób autentyczny jednostkowe (genuinly particular)”⁴⁶⁴. Autor Grundlagen der Arithmetik wydaje się więc twierdzić, iż przedstawienia poszczególnych prostych, czy kwadratów są nieodróżnialne i mogą w ten sposób być traktowane jako reprezentujące szerszą klasę obiektów. Zwróćmy uwagę, iż jest to nieco inne rozwiązanie problemu jednostkowości rysunku niż wszystkie z analizowanych dotychczas. Frege nie twierdzi, jak Lebniz, iż wizualne własności diagramu są zupełnie nieistotne dla rozumowania. Różni się również od Kanta, który podkreślał jednostkowość diagramów, podkreślając jednocześnie aprioryczność aktu konstrukcji ⁴⁶⁵. Frege odmawia w ogóle reprezentacjom przestrzennym natury jednostkowej. Takie podejście usuwa problemy filozoficzne związane z jednostkowością diagramów (związanych m.in. z empirycznością rozumowań opartych na diagramach). Z drugiej strony pozostają problemy metodologiczne – czy i w jaki sposób uprawnieni jesteśmy wnioskować na podstawie wizualnych własności diagramów oraz, skąd wiadomo jaką dokładnie klasę obiektów reprezentuje dany element na rysunku? Tymi kwestiami Frege się już bliżej nie zajmuje.

Podsumowując, według Fregego geometria opiera się na specyficznym, geometrycznym, źródle poznania, które nazywa za Kantem czystą naocznością (intuicją) przestrzeni, z tego źródła wypływa nadto nasza znajomość aksjomatów.

Zdania geometrii są syntetyczne, co dla Fregego oznacza, iż dla ich uzasadnienia nie wystarczą same prawa logiki, zatem konieczne jest więc odwołanie do mającej charakter pozapojęciowy i pozalogiczny intuicji przestrzennej. Trudno jednak

463 Frege, Podstawy arytmetyki, za: Burge, str. 31.

464 Burge, str. 32.

465 Według cytowanego tu często Burgego, Frege w tym momencie zasadniczo oddala sie od filozofii geometrii Kanta (zob. Berge,, str. 34).

dokładnie określić, jaką odgrywa ona rolę w rozumowaniach geometrycznych.

Problem jednostkowości diagramów rozwiązuje z kolei Frege postulując ogólny (a nie jednostkowy) charakter przedstawionych na rysunku obiektów geometrycznych.