nieeuklidesowych a rola intuicji przestrzennej w geometrii
4.1. Filozofia geometrii XIX wieku – przegląd problemów
Warto w pierwszej kolejności przedstawić główne punkty sporne, wokół których toczyła się XIX-wieczna (jak i wcześniejsza) dyskusja nad filozofią geometrii i reprezentacjami przestrzennymi. Są to spór empiryzmu z aprioryzmem, oraz spór o miejsce kategorii przestrzeni w poznaniu matematycznym.
Jedną z głównych płaszczyzn, na których toczyły się spory związane z geometrią i wizualizacjami był więc spór empiryzmu z aprioryzmem. Zauważmy,
że tendencja do traktowania geometrii jako nauki bliższej empirii, niż pozostałe działy matematyki była zawsze obecna w filozofii matematyki. Za empiryczną naturą geometrii przemawiają różne obserwacje. Szukano jej więc w pierwszym rzędzie w ontologii geometrii. Można przy tym wymienić co najmniej trzy główne drogi określania empirycznego przedmiotu geometrii. Po pierwsze, można uznać, iż właściwym przedmiotem geometrii są narysowane, postrzegalne zmysłem wzroku, figury geometryczne (np. w rozumieniu J.S. Milla, o którym więcej piszę w kolejnym rozdziale). Po drugie pojawiał się pogląd, że przedmiotem geometrii są ciała, ruchy i siły leżące u ich podstaw, jak również wielkości, które tym ciałom przysługują. Tego typu poglądy utrzymywał m.in. wspominany tu krótko Łobaczewski. Po trzecie, utrzymywano, że przedmiotem geometrii jest przestrzeń fizyczna. Ta interpretacja była zapewne najczęstsza, jej też w tym rozdziale poświęcę najwięcej uwagi.
Empiryzmu można również szukać wychodząc od charakterystyk poznania geometrycznego. Można tu więc utrzymywać, iż jego źródłem jest empiryczna intuicja, bądź argumentując, iż poznanie geometryczne jest pod pewnym względem podobne do poznania nauk empirycznych. Empiryzmowi przeciwstawiony jest oczywiście aprioryzm, który w XIX wieku występował najczęściej w postaciach nawiązujących do Kanta. Aprioryzm jest jednak również stanowiskiem zróżnicowanym. Może on głosić tezę o wrodzoności źródła poznania geometrycznego, o konieczności, czy absolutnej prawdziwości twierdzeń geometrii, bądź też, po trzecie, o niezależności procesu poznania od doświadczenia.
Zaznaczmy od razu, iż geometrie nieeuklidesowe zmusiły filozofów do uważniejszej analizy kwestii aprioryzmu w geometrii – w szczególności do różnicowania pomiędzy wymienionymi trzema typami aprioryzmu.
Warto od razu stwierdzić, iż nie jest oczywiste, jakie dokładnie konsekwencje dla tego sporu płyną z powstania geometrii nieeuklidesowych.
Geometrie te zmusiły do zrewidowania pewnych postaci empiryzmu oraz powstania nowych, podważyły również aprioryzm w wersji kantowskiej. Jakie dokładnie z ich istnienia należy wyciągnąć wnioski jest dyskusyjne, o czym będzie mowa w poniższym rozdziale.
W sporze empiryzmu z racjonalizmem, jak również i innych rozważaniach dotyczących geometrii, na czoło wysuwa się kategoria przestrzeni. Powstała kwestia, czy przestrzeń jest bytem fizycznym, czy konstrukcją, bądź formą poznawczą, jak chciał Kant? Jeśli tak, to jak owa konstrukcja ma się do świata fizycznego? Jeśli jest w jakimś sensie bytem fizycznym, to czy istnieje niezależnie od ciał, czy też jest w jakiś sposób rozumianą sumą ciał? Przede wszystkim natomiast, jak przestrzeń ma się do poznania geometrycznego? Czy jest jego przedmiotem – a jeśli tak, czy świadczy to o empiryczności geometrii? Jeśli nawet założymy, że przestrzeń nie jest właściwym przedmiotem geometrii, ale w jakiś sposób rozumiane kategorie przestrzenne odgrywają istotną rolę w poznaniu matematycznym – czy wtedy można wciąż utrzymywać, że geometria ma w jakimś sensie naturę empiryczną?
W celu systematyzacji dyskusji, można, za autorem książki omawiającej matematykę Bernharda Riemanna, D. Laugwitzem, wyróżnić trzy ogólne rozumienia terminu „przestrzeń”, które pojawiają się w filozofii geometrii (oraz w niniejszym rozdziale). Są to:
a) przestrzeń fizyczna
b) przestrzeń wyobrażeniowa (Anschauungsraum) c) przestrzeń jako obiekt matematyczny294.
Pierwsza z wymienionych, przestrzeń fizyczna, jest, jak podkreśla D. Laugwitz, wobec nas zewnętrzna. Drugą z nich można z kolei rozumieć jako subiektywną – jako „arenę”, w której postrzegamy obiekty matematyczne w trakcie ich
„wizualizowania”. To rozumienie przestrzeni jest oczywiście najistotniejsze dla tematyki mojej pracy. Przestrzeń tą określa D. Laugwitz kantowskim terminem Anschauungsraum, co można oddać wyrażeniem „przestrzeń wyobrażeniowa”.
Przestrzeń ta może być rozumiana jako aprioryczna, czysta forma zmysłowości – ale również jako jakiegoś rodzaju porządek, zgodnie z którym postrzegamy za
294 Por. Laugwitz, D., Bernhard Riemann, 1826-1866. Wendepunkte in der Auffasung der Mathematik, Birkauser Verlag, Basel-Boston-Berlin 1996, str. 220.
pomocą „wewnętrznego” wzroku obiekty fizyczne (bądź też jeszcze inaczej). Jeśli chodzi o przestrzeń matematyczną, jest to oczywiście zwykły, odpowiednio zdefiniowany obiekt matematyczny. Zwróćmy tutaj uwagę, że geometria euklidesowa nie posługiwała się jednoznacznie zdefiniowanym pojęciem przestrzeni, bądź takim, które odgrywałoby rolę w dowodach np. Elementów Euklidesa. Matematyczne pojęcie przestrzeni w sposób w pełni ścisły, zaczyna funkcjonować wraz z szerzej przez mnie rozpatrywanym podejściem do geometrii B. Riemanna.
Zauważmy, że samo postrzeganie przestrzeni jako obiektu fizycznego (czyli w pierwszym podanym przez mnie jego rozumieniu) tego rodzi pewne wątpliwości. Po pierwsze można zapytać, jaki status wśród obiektów fizycznych ma przestrzeń? Czy jest ona jakimś konkretnym ciałem, czy też sumą ciał? Przede wszystkim jednak problematyczna jest kwestia odpowiedników pojęć geometrycznych po stronie rzeczywistości fizycznej – czyli problem relacji przestrzeni matematycznej oraz przestrzeni fizycznej. Jeśli przestrzeń matematyczna składa się z punktów, odcinków i innych obiektów matematycznych, które pojawiają się w twierdzeniach, to jakie są ich odpowiedniki po stronie przestrzeni fizycznej? Nie wydaje się, by w przestrzeni fizycznej – przynajmniej tej postrzegalnej zmysłowo – można było odnaleźć bezwymiarowe punkty, bądź jednowymiarowe, nieskończone proste. Problem ten jest oczywiści wersją
„tradycyjnego” sporu relacji języka do rzeczywistości wraz z wszystkimi trudnościami z nią związanymi.
Wydaje się, że między innymi te właśnie trudności przyczyniły się do tego, iż termin „przestrzeń” rozumiano często jako byt pośredniczący pomiędzy przestrzenią matematyczną a fizyczną. W ten sposób nadaje się „przestrzeni” status bytu obiektywnego (w przeciwieństwie do Anschauungsraum), ale niekoniecznie tego samego typu co zwyczajne obiekty fizyczne. Filozof geometrii Roberto Torretti zauważa, iż „do końca wieku XIX termin „‟przestrzeń (spatium, Raum) oznaczał niematerialny byt pośredniczący (medium), w którym punkty geometryczne miały być albo aktualnie istniejące, albo tylko potencjalnie pojmowalne (discernible).(…) Problem przestrzeni dotyczył więc ontologicznego
statusu tego bytu pośredniczącego” 295 . Tak rozumiana przestrzeń miała pośredniczyć pomiędzy światem fizycznym a przestrzenią rozumianą jako obiekt matematyczny (mogła zawierać się w jednej z tych dwóch dziedzin). Może ona być rozumiana jako byt fizyczny, ale również jako niefizyczny, bądź w jakimś sensie pośredni, cokolwiek miałoby to oznaczać.
Takie, ogólniejsze, spojrzenie na problem przestrzeni pozwala utrzymywać pogląd o jej obiektywnym istnieniu i jej statusie jako przedmiotu geometrii. Od odpowiedzi na pytania o naturę tego bytu pośredniczącego (jako przedmiotu geometrii) w dużym stopniu zależy kwestia empiryzmu w geometrii. Poniższy dłuższy fragment z dzieła Torrettiego dobrze podsumowuje tendencję wyprowadzania empirycznej natury geometrii z fizycznego natury przestrzeni, jako jej przedmiotu: „pojęcie (the conception) przestrzeni jako bytu pośredniczącego, który zawiera wszystkie punkty, które są przedmiotem twierdzeń geometrii w naturalny sposób motywuje pogląd, zgodnie z którym geometria jest nauką opisującą własności przestrzeni (science of space). Jeśli założyć, że przestrzeń w jakiś sposób istnieje w rerum natura, nieuniknionym prawie jest myślenie o geometrii jako o nauce przyrodniczej, która określa swój przedmiot w kolejnych przybliżeniach, pod kierunkiem i przy kontroli doświadczenia (under the direction and control of experience)”296
Wróćmy jednak do ważniejszego dla mojej pracy pojęcia przestrzeni wyobrażeniowej. Pojawia się tu pytanie: jak owa przestrzeń ma się do intuicji przestrzennej? U Kanta kategorie te zostały w zasadzie utożsamione: czysta naoczność przestrzeni to właśnie intuicja – Anschauung (pamiętając podział na intuicję – naoczność – czystą i empiryczną). Takie podejście, choć reprezentowane nie tylko przez Kanta, nie jest oczywiście jedynym. Wydaje się, że różnicę pomiędzy tymi dwoma kategoriami epistemologicznymi można przedstawić następująco: „intuicja przestrzenna” to w ogólności władza poznawcza, a w związku z tym również źródło poznania geometrycznego. Przestrzeń wyobrażeniową można wtedy rozumieć jako sposób przedstawiania sobie obiektów
295 Torretti, R., Philosophy of Geometry..., str. 25.
296 Tamże, str. 33-34.
geometrycznych, wewnętrzną, subiektywną formę w jakiej dokonujemy tego przedstawienia, czy też „porządek naszych wrażeń zmysłowych”. Mimo tej różnicy, znaczenia tych pojęć są w wielu kontekstach zbliżone. Jeśli przyjmiemy istnienie zarówno wspomnianej władzy poznawczej, jak i subiektywnej formy poznawczej, to każda intuicja przestrzenna wydaje się być dokonywana w przestrzeni wyobrażeniowej. Zwroty „przedstawić sobie w przestrzeni wyobrażeniowej” oraz „przedstawić sobie za pomocą intuicji przestrzennej” mają wtedy bardzo zbliżone znaczenie. Uważam więc, iż w wielu kontekstach nie zachodzi potrzeba odróżniania między omawianymi pojęciami, będę ich więc używał wymiennie.
Na koniec tego podrozdziału chciałbym poczynić jeszcze jedną uwagę.
Jeden z dominujących problemów XIX-wiecznej filozofii geometrii związany był z kwestią, który system geometryczny w sposób adekwatny opisuje przestrzeń fizyczną. Aby odpowiedzieć na pytanie „czy geometria X jest prawdziwa o przestrzeni?” nie trzeba bowiem korzystać z wizualizacji, rozwiązania tego problemu należy szukać w rozważaniach ogólnofilozoficznych, bądź też w eksperymencie (jak chcieli niektórzy XIX-wieczni filozofowie). Można jednak doszukiwać się związku pomiędzy tym zagadnieniem a problematyką wizualizacji w następujący sposób: jeśli przestrzeń fizyczną uznać za przedmiot geometrii, same wizualizacje – jako środki używane w celu poznania przestrzeni fizycznej – muszą pozostawać z nią w jakimś istotnym związku. Aby przybliżyć naturę tego związku, należałoby rozstrzygnąć, w jakiej relacji pozostaje przestrzeń wyobrażeniowa i przestrzeń fizyczna. Tak postawiony problemy wydają się jednak dosyć niejasny;
wychodzi się tu również z założenia, iż przedmiotem geometrii jest przestrzeń fizyczna (które w dalszej części pracy odrzucam). Mimo to, będę nawiązywał do tego zagadnienia, gdyż jest ono kluczowe dla zrozumienia XIX-wiecznej filozofii geometrii, jak również zagadnienia roli intuicji przestrzennej w poznaniu matematycznym.
W dalszej kolejności przyjrzę się, w jaki sposób dyskusje nad piątym postulatem Euklidesa wiążą się z wizualizacjami w geometrii.