Rozdział 1. Wizualizacje w matematyce i filozofii greckiej
1.6. Diagramy geometryczne w wybranych fragmentach pism Arystotelesa
Nie będę tu bliżej analizował miejsca reprezentacji przestrzennych w szerszym kontekście filozofii Arystotelesa. Warto zauważyć jednak kilka uwag
114 Przypomnijmy, że w Liście VII pisze Platon, iż reprezentacja przestrzenna odkrywa jakości obiektów, ale nie ich istotę.
metodologicznych, które Arystoteles poczynił odnośnie geometrii, jako nauki korzystającej z diagramów, czy reprezentacji przestrzennych. Arystoteles zauważa więc trudności i zagrożenia związane z rozumowaniami odnoszącymi się do rysunków. W szczególności zwraca uwagę, na to, że pewne cechy diagramów są istotne dla rozumowania, pewne natomiast „przypadkowe”. Taką własnością jest w wielu dowodach geometrycznych długość boków. Pisze więc Arystoteles, że „w rysowaniu figur geometrycznych, choć nam wcale nie zależy na dokładnych wymiarach trójkąta, mimo to rysujemy go ze ściśle określonymi wymiarami”115. Wydaje się, że konieczność korzystania z reprezentacji przestrzennych w geometrii (a taką najpewniej przyjmował) uważał za jej słabość. W Analitykach wtórych pisze Stagiryta o wyższości wiedzy bardziej abstrakcyjnej nad wiedzą mniej abstrakcyjną. Jedną z charakterystyk tej pierwszej jest natomiast mniejsza ilość założeń: „ta nauka jest pewniejsza i wcześniejsza, która się opiera na nielicznych zasadach w porównaniu z nauką, wymagającą dodatkowych elementów, jak np.
arytmetyka w porównaniu z geometrią. Przez „dodatkowe elementy‟ rozumiem to, że np. jedność jest substancją bez położenia, natomiast punkt jest substancją posiadającą położenie; to „położenie‟ jest właśnie dodatkowym elementem”116
„Położenie” obiektów geometrycznych można rozumieć jako ich przestrzenny charakter, to, iż muszą znajdować się „w jakimś miejscu”. Jest to warunek konieczny uprawiania geometrii, który stawia geometrię poniżej arytmetyki.
Dodajmy jednak również, że Arystoteles nie zgodziłby się z pewnością z poglądem, iż przedmiotem geometrii, jej dowodów, definicji, itd., jest sam fizyczny diagram. W Analitykach wtórych czytamy, co następuje: „nie są też hipotezy geometry fałszywe, jak utrzymują niektórzy, twierdząc, że nie wolno się posługiwać fałszem, a geometra posługuje się fałszem, gdy dowodzi, że linia jest długa na jedną stopę, gdy nie jest taka, albo że linia jest prosta, gdy nie jest prosta.
115 Arystoteles, O pamięci i przypominaniu sobie, za: Kulpa, Z., Jednostkowość diagramów, 2006, źródło: http://www.ippt.gov.pl/~zkulpa/diagrams/diagser/tytrob10pdf, str. 55. Jak podkreśla Zenon Kulpa, przekład polski nie do końca oddaje intencji Arystotelesa, który podkreślał, że w wielu dowodach geometrycznych nie korzystamy w żaden istotny sposób z faktu, że bok narysowanego trójkąta ma taką, czy inną długość – jest to fakt w dowodzie w zupełności pomijalny. Ten nacisk na rolę rysunku w dowodzie geometrycznym ma być, według Kulpy, uwzględniony w tłumaczeniu angielskim.
116 Arystoteles, Analityki wtóre, 87a.
Jednakże geometra nie wyciąga wniosku z faktu istnienia konkretnej linii, o której mówi, lecz z tego, co ta linia symbolizuje”117. Stagiryta krytykuje więc pogląd, zgodnie z którym właściwym przedmiotem geometrii są narysowane linie, oraz o nich właśnie prawdziwe są twierdzenia geometrii. Ważnym jest to, co diagram symbolizuje. Pytanie, co dokładnie symbolizuje diagram, a więc w istocie o przedmiot geometrii u Arystotelesa jest odrębnym pytaniem, którym nie będę tu się zajmował.
W ostatniej części rozdziału dokonam podsumowania kilku głównych charakterystyk greckiej matematyki, oraz filozofii matematyki, w zakresie stosowania przez nią diagramów. Obok podsumowania dokonanych już analiz, wspomnę o kilku kwestiach po raz pierwszy. Poniższe podsumowanie ma więc na celu oddanie ogólnego obrazu roli diagramów w poznaniu matematycznym w matematyce greckiej.
1) Ogromna większość twierdzeń i dowodów zapisanych w greckich dziełach matematycznych (w szczególności geometrycznych) odwołuje się do diagramów.
Tekstu często nie można zrozumieć bez diagramu, ponieważ poszczególne kroki dowodowe do niego się odnoszą.
2) Mimo, że nie wszystkie (znane nam) rozumowania greckie odnoszą się do rysunków,
Grecy mieli tendencję do geometryzowania problemów matematycznych. Jak pisze Asper, „grecka matematyka jest prawie wyłącznie geometryczna”118
3) To, czy figury geometryczne jako takie można rozumieć jako przedmiot rozumowań geometrycznych jest w pewnym stopniu dyskusyjne. Wydaje się, że dla większości matematyków przedmiot matematyki można w większym stopniu
117 Tamże, 76b-77a.
118 Asper, M., The two cultures…, str. 114.
scharakteryzować jako analizę diagramu niż jako przekształcanie formuł. O ile jednak każdy diagram jest obiektem jednostkowym, a przedmiotem rozumowań były obiekty abstrakcyjne, raczej niż empiryczne, nie oznacza to empiryzmu w starożytnej filozofii geometrii119.
4) Grecka matematyka dążyła do ideału wiedzy ogólnej i oderwanej od empirii120. Wielu greckich matematyków wyraźnie oddzielał zastosowania matematyki od matematyki „czystej” 121 . Dowód dotyczy w matematyce antycznej wyidealizowanych, abstrakcyjnych obiektów, nie polega na przykład na mierzeniu konkretnych własności rzeczywistych obiektów122. Empirycznego charakteru nie miała władza poznawcza, którą dziś nazwalibyśmy intuicją przestrzenną, ani też geometria nie wykazywała cech nauki empirycznej jako nauka o przestrzeni fizycznej.
5) Matematycy greccy nie opierali się na wizualnych danych (visual evidence) jako materiale dowodowym. W dojrzałej matematyce greckiej nie było miejsca na
„odczytywanie” faktów z diagramu, wnioskowanie na bazie wizualnie postrzegalnych własności diagramu. Potwierdza to fakt, iż dowodzone były nawet
„wizualnie oczywiste” twierdzenia. Można tu podać przykład Archimedesa, który za pomocą wyrafinowanego rozumowania pokazuje, że obwód wielokąta opisanego
119 Wydaje mi się, iż dyskusyjnym jest, czy Grecy uważali rysunki za tylko pewną formę reprezentacji obiektów matematycznych (jedną z możliwych). Wydaje się, że trójkąt był dla nich w pierwszym rzędzie trójkątem postrzegalnym zmysłem wzroku, a nie zbiorem punktów, czy jakkolwiek inaczej, pozawizualnie, określonym obiektem matematycznym.
120 Nie ulega również wątpliwości, że Grecy dążyli do ideału nauki obiektywnej, Spisana grecka matematyka posiadała wiele cech charakterystycznych dla matematyki współczesnej – bezosobowy styl, w którym pisane były teksty matematyczne, standaryzacja języka i technik dowodowych, wyłączanie kontekstu odkrycia (por. Asper, M., The two cultures…, str. 118, 126). W ten sposób tworzone były „autonomiczne teksty, tzn. teksty, które były w stanie wykluczyć same w sobie wszystkie nieporozumienia, były w stanie zmusić czytelników do konsensusu poprzez zrozumienie (realizing) prawdy matematycznej” (tamże, str. 126). Nie powodu aby nie sądzić, iż również diagram grał w tak rozumianej nauce, istotną rolę.
121 Istnieje słynna anegdota, zgodnie z którą Euklides miał zaoferować dwa obole i odesłać osobę, która chciała uczyć się geometrii dla zysku. Dodajmy, iż uważa się czasem, iż na oddalenie matematyki od zastosowań (przynajmniej w deklaracjach) miała wpływ filozofia Platona.
122 Asper, M., The two cultures…, str. 118.
na okręgu ma zawsze dłuższy obwód, niż ów okrąg123. Archimedes podaje tutaj ścisły dowód, mimo, że aby się o tym przekonać wystarczy rzucić okiem na poniższy diagram:
Rys. 4.
Z drugiej strony można argumentować, iż dane wizualne nie były bez znaczenia jako pewne heurystyczne wsparcie dowodó. Asper podkreśla na przykład, że diagram miał na celu „dodanie siły logicznej dowodowi za pomocą wizualnych danych (visual evidence)”124.
6) Diagram, mimo, iż jest w swojej istocie obiektem konkretnym, służył Grekom do dowodzenia twierdzeń ogólnych. Wydaje się, że matematycy greccy byli świadomi problemów i utrudnień związanych z dowodzeniem twierdzeń ogólnych na podstawie jednostkowych rysunków.
7) Dużą rolę diagramu w matematyce greckiej można częściowo wiązać z relatywnie słabo rozwiniętą algebrą. Jak podkreślają W. Noel i R. Netz, charakterystyczną cechą greckiej matematyki był na przykład brak równań, zapisywanych i przekształcanych w takiej postaci, jak równania używane współcześnie125. Według Noela i Netza, dla starożytnych Greków to nie równania
123 Tamże, str. 116.
124 Tamże, str. 119.
125 Por. Netz, R., Noel, W., Kodeks Archimedesa..., 82. Grecy posługiwali się oczywiście relacją równości, oraz znali jej podstawowe własności, o czym mowa już była przy okazji omawiania Elementów Euklidesa.
służyły przekazywaniu wiedzy, prawd matematycznych – czyniły to rysunki; w istocie, „dzisiejsza nauka to nauka „równaniowa‟, natomiast nauka starożytna była
„rysunkowa‟”126. Brak dostępnych nam środków logicznych można też wiązać z rolą intuicji przestrzennej w niektórych dowodach: „konstruowanie niezależnych od intuicji przestrzennej obiektów geometrycznych, nie było możliwe aż do czysto aksjomatycznej konstrukcji liczb rzeczywistych w XIX w.”127. Dodajmy, że z drugiej strony można uznać, iż mogła mieć miejsce zależność odwrotna – zbyt silna tendencja do wizualnego reprezentowania obiektów matematycznych spowodowała, iż rozwój algebry został zahamowany.
8) Jak podkreślają niektórzy współcześni historycy matematyki – w szczególności cytowany tu już R. Netz – diagramy nie miały na celu tylko towarzyszenie tekstowi matematycznemu, obrazowaniu go. Były one same źródłem informacji, metodą podania, czy prezentacji, założeń poszczególnych twierdzeń. Noel i Netz twierdzą, iż rysunki były przez matematyków greckich świadomie traktowane jako ujmujące założenia poszczególnych rozumowań: „rysunki nie są rodzajem ilustracji, służącej do łatwiejszego zrozumienia wywodów, ale dostarczają nam podstawowych informacji. Podają dane do twierdzenia, mówiąc, która litera oznacza który obiekt”128.
9) W wielu przypadkach diagram ma ukierunkować myśl na odpowiednie kroki dowodu, być ilustracją dla metody; niekoniecznie miał natomiast być wierną kopią przedmiotu, którego dotyczy twierdzenie, czy też choćby charakteryzować się strukturalnym doń podobieństwem. Potwierdzeniem tego może być choćby dowód twierdzenia III.3. w Elementach. Jest to ono wykazane przy pomocy dowodu „nie wprost”, a rozumowanie wsparte jest rysunkiem nieistniejącej figury129! Figura ta, jak podkreśla Ken Saito, adekwatnie przedstawia założenia dowodu nie wprost130.
126 Tamże, str. 82.
127 Saito, K., Reading ancient…, str. 806.
128 Netz, R., Noel, W., Kodeks Archimedesa..., str. 86. Więcej o tej funkcji diagramów Reviel Netz pisze w książce The shaping of deduction in greek mathematics: A study of cognitive history
129 Por. Saito, K., Reading ancient…, str. 822.
130 Por. Saito, K., Reading ancient…, str. 824.
10) Dodajmy na koniec, iż w filozofii matematyki starożytnej Grecji nie pojawia się pojęcie intuicji. Oczywiście nie dziwi to, o ile słowo to wywodzi się z języka łacińskiego. Można oczywiście szukać analogii pomiędzy pojęciem intuicji a grecką episteme, czy dianoia. Wydaje się jednak, iż należy stwierdzić, iż w filozofii greckiej nie był obecny spór o rolę intuicji w poznaniu matematycznym, w takiej przynajmniej postaci, w jakiej obecny jest w filozofii współczesnej.