5. POLE M AGNETYCZNE W OTOCZENIU O SŁONIĘTYCH TORÓW
5.1. Analityczne wyznaczanie pola magnetycznego
Z aletą m etod analitycznych je st d ostęp ność rozw iązania w form ie jaw n ej w funkcji param etrów a n alizow an ego układu. W dostępnej literaturze d o ty c zą o n e przed e w szy stk im ob liczan ia rozkładu prądów w irow ych indukow anych w o sło n a ch [1 2 , 2 8 , 68, 122, 157, 185,
94
-187], by n astęp n ie o b licz a ć straty m o c y i o d d zia ły w a n ie elek trod yn am iczn e. M etod y te p o leg a ją na analitycznym rozw iązan iu rów nań ró żn iczk o w y ch z w yk orzystan iem m a g n ety czn eg o potencjału w ek to ro w eg o lub b ezp ośred n io natężen ia p ola m a g n ety czn eg o , lub elek try czn eg o . Z azw yczaj dla jednej z tych w ie lk o śc i otrzym uje się rów nan ie H elm h o ltza w środow isk u p rzew od zącym oraz rów nanie L a p la c e’a w pow ietrzu . R ów n an ie to rozw iązuje się m eto d ą ro zd zielen ia zm ien n y ch Fouriera stosując przy tym szereg za ło żeń upraszczających. C z ęsto przyjm uje się, ż e zew n ętrzn e p o le m agn etyczn e H zew je st polem rów nom iern ym [7 8 , 185, 187], p rzez c o pom ija się w rozw iązan iu o g ó ln y m w y ż s z e w yrazy n ie sk o ń cz o n e g o szeregu Fouriera. Zakłada się rów n ież, ż e rozkład prądu w przew od ach fa z o w y ch n ie p o d leg a w p ły w o w i p o la p rzew o d ó w i o sło n sąsied n ich i je s t dany z w y k le jako prąd sk up ion y w postaci p r zew o d ó w n iesk o ń cz en ie cien k ich [1 2 , 4 8 , 49, 53, 66, 92, 157, 177, 178]. Id ealizu je się rów n ież o sło n ę przyjm ując jej gru b ość n iesk o ń czen ie w ie lk ą [5 1 ] lub n iesk o ń czen ie m ałą [4 8 , 67, 157] albo k orzysta się z m etod y o d w zo ro w a ń prądów w irow ych [1 8 5 , 191]. N ieró w n o m ier n o ść ind uk ow an ych prądów w iro w y ch w o sło n ie je s t uw zględnian a [1 2 , 53, 81, 84, 177, 178] lub te ż nie je s t u w zględn ian a [41, 6 3 , 70, 157, 1 6 3 ,1 8 1 ].
D la d ow oln ej g rub ości o sło n y i cien k ic h p r z ew o d ó w fa z o w y ch o b lic z o n o prądy w irow e ind u k ow an e w o sło n a ch linii jed n o fa zo w ej w pracach [1 2 , 147], za ś w lin ii trójfazow ej w pracach [1 4 2 , 148]. N a p o d sta w ie ty ch prac b ęd zie w y z n a c zo n e p o le m a g n ety czn e w otoczen iu ekranow anej lin ii jed n o fa z o w ej oraz w linii trójfazow ej. R o zw a ż a n ia ogranicza się d o o sło n izo lo w a n y ch , g d y ż w te d y w o to czen iu toru prąd ow ego n atężen ie pola m a g n ety czn eg o je st n a jw ięk sze - brak k o m p en su ją ceg o o d d ziaływ an ia p o la w y tw o rzo n eg o przez prądy p ow rotn e w osłonach.
5.1.1. P ole m agnetyczne w otoczeniu jed n o b ieg u n o w eg o , jed n ofazow ego osłoniętego toru p rądow ego
R o zw a ża n y tor prądow y przed staw iono na rys.5.2.
Rys.5.2. Jednobiegunowy, osłonięty, jednofazowy tor prądowy Fig.5.2. Single-phase isolated-phase busduct
95
-Zakłada się, ż e przew ód fa zo w y fazy B jest n ie sk o ń czen ie cienk i. W ek torow y potencjał m agnetyczny w y tw o rzo n y przez prąd Ib w y zn a c zo n o w p. 3 .2 - w zó r (3 .2 2 ). W tedy z definicji potencjału A ob licza się sk ład ow e natężenia pola m a g n e ty cz n eg o H ™ w otoczen iu osłony „a” fazy ,A "
<S1)
/1=1 v '
oraz
<5ia>
n=\ ^ '
W ó w c za s natężen ie p ola m agn etyczn ego
H % = \ r H zZ + h H % e ■ (5 Ib)
T o p ole m agn etyczne indukuje w o sło n ie fazy A prądy w iro w e, które z k olei w obszarze III są źród łem pola m a g n ety czn eg o o d d ziaływ an ia zw ro tn eg o H ™ Z atem dla r > R 4 pole m agnetyczne w y p a d k o w e jest su m ą w ek to ro w ą pola i pola m agn etyczn ego H A od d ziaływ an ia zw ro tn eg o o słon y
H Z = H % + H ” . (5 .2 )
N a tężen ie p ola elek try czn eg o £ “ o d d ziaływ an ia z w ro tn eg o o sło n y w obszarze III ma tylko jed n ą sk ła d o w ą w zd łu ż o si O z i sp ełnia skalarne rów nan ie L a p la ce ’a
V2£ “ (/-,ć>) = 0 . (5 .3 )
Stosując m etod ę ro zd zielen ia zm ien n ych p oszu kuje się rozw iązania rów nania (5 .3 ) w postaci
£ ; M = / . W /2 M . (5-3a)
gdzie.
f , { r ) = C y + C 2r p (5 .3 b )
oraz
f 2( 0 ) = C 3 cosPO + C 4 sin PO , (5 ■ 3c)
gd zie jest stałą r o zd zielenia zm ien n ych , zaś C \, C2, C3i C4 są d o w oln ym i stałym i.
Z e w zg lęd u na to, ż e natężen ie p ola elek trycznego je st ograniczon e, n ależy przyjąć, że C i = 0 .
Z w arun ków zagadnienia (ry s.5 .2 ) w ynik a ponadto, ż e przy z m ia n ie kąta z + 0 na - 0 natężen ie pola elek try czn eg o nie m oże zm ien iać znaku, w ię c stała C4 = 0 . Stała P m usi być
96
Stałe B„, C n, D„ i F„ w y zn a cza się z następujących w aru n k ów b rzeg o w y ch { j l = :
= / / " = /*>):
• dla r = R 4
dla r = R 3
H Z ( R 4 , e ) = H ' J B( R 4 , 0 )
,
H " , (R3 ,& ) = H'a b(R3 , 0 ) .
N a po d sta w ie p rzed sta w io n eg o układu rów nań w y zn a cza się m ięd zy inn ym i stałą
(5 .1 0 )
(5.10a)
(5 .1 Ob)
g d z ie
f n = 3t*+, ( j j m R 3)k ( F > m R 4 )U j£„+i(a/-J m R ] ,M -v ß m R 4)
U P i n R * )
^/J+l(VI
m R 3 ]k J [y/I
m R 4 ] (5 .1 0 c ) P od staw iając w zó r (5. lOb) do (5 .5 ) otrzym uje się w y p a d k o w e natężen ia pola m a g n ety czn eg o2 nr ^«=i
j
* b
' 2 n r L j
1 m R ,
m R . Ra
R . 1
ipiR4 + 2 n y / ] / „ ) sin nO
-R .
f ] ^ 4 + 2 « V j
f n ) c o s n O . (5 .1 1 )C ałk ow ite natężen ie pola m a g n ety czn e g o w pu nk cie X ( r ,
0)
o to czen ia zew n ętrzn ego (r > Rą) rozpatrywanej o sło n yH'»{r,O)=H‘l{r,O)+H™{r,0)
, (5 .1 2 )g d z ie H'Jh ( r , 0 ) je st natężeniem p o la m a g n e ty cz n eg o w ła sn eg o prądu fa z o w e g o Ia i w y n o si
5.1.2. P o le m a g n e ty c z n e w o to c ze n iu fa z y A
D la je d n o b ieg u n o w e g o , p łask iego, z izolo w a n y m i o słon am i, tr ó jfa z o w eg o toru prądow ego zew n ętrzne p ole m agn etyczn e w otoczen iu o sło n y „a” fazy , /1 ” w ytw orzon e jest przez prądy fa zo w e Ib i l e - rys.5.3.
Rys.5.3. Osłona „a” fazy ,yt” w zewnętrznych polach magnetycznych i H % £ Fig.5.3. Enclosure „a" of the phase in externale magnetic fields H ZJ £ and I I
W u k ład zie z rys.5.3 o d le g ło ści
r£g = r 2 + d 2 - 2 r d c o s 0 (5 .1 4 )
oraz
r 2c = r2 + 4d 2 - 4 r d c o s 0 . ( 5 . 14a)
W yzn aczając dla p o w y ższy c h o d le g ło ści w e k to ro w y potencjał m agn etyczn y zg o d n ie z p .3 .2 , a następnie postępując tak jak w p .5 .1 .1 , w y zn a cza się w y p a d k o w e natężen ie pola m agn etyczn ego
100
-D la za sila n ia sy m etry czn eg o m oduły prądów fa z o w y ch
W = W = | / c | = | / |
oraz m ięd zy ich fazam i po czą tk o w y m i za ch o d zi zw iązek:
a B = a A + 2 4 0 ° = a r + 1 2 0 ° .
W ted y
g d z ie
oraz
I B + 2 ' nl c = | 7 K exp [j ( « 4 + £ „ ) ] ,
A n = ^ j 1 - 2 " " + 4 _"
> / 3 ( 2 " - l )
% „ — 1 8 0 + arctg -2 " + l
P od staw iając ( 5 .1 7 ) do w zoru (5 .1 5 ) otrzym uje się:
H Z = - l r ~ Y i A „ t x p \ } { a A + £ „ ) ]
/7=1
1 / 1 **
- 1« — X ^ " e x p l j ^ + 4 , , ) ]
r - \ n
m R . —
1
^ 4 + 2 « V j / „ ) sin n 6-\ d j m R . — 1 im R 4 + 2 « V I / „ ) C O S /J Ö .
(5 .1 6 )
(5 .1 6 a )
(5 .1 7 )
(5 .1 7 a )
(5 .1 7 b )
(5 .1 8 )
C ałk ow ite natężenie p ola m a g n ety czn eg o w pu nk cie X (r, 9) o to czen ia z ew n ętrzn eg o (r > Rą) o sło n y „a” fa z y „ A ” je s t su m ą w ek to ro w ą w ektora H Aw - w z ó r (5 .1 8 ) i w ektora natężen ia pola m ag n ety czn eg o w ła sn eg o prądu fa z o w e g o Ia - w zory (5 .1 3 ) i ( 5 . 13a).
101
-5.1.3. P o le m a g n e ty c z n e w o to c ze n iu fa z y B
Z ew nętrzne p ole m agn etyczne w otoczen iu o sło n y „6” fazy „B” w ytw orzon e jest przez prądy fa zo w e IA i I c - rys.5.4.
Rys.5.4. Osłona „b” fazy „B" w zewnętrznych polach magnetycznych H g A i H%ę Fig.5.4. Enclosure „b” of the phase ,Ji” in extemale magnetic fields H g A and H ZgrJ
W uk ładzie z rys.5.4 o d leg ło ści
oraz
= r 2 + d 2 + 2 r d c o s 0
r \ c = r 2 + d 2 - 2 r d c o s 0 .
D la (5 .1 9 ) otrzym uje się w rozw in ięciu w szereg Fouriera funkcji
( - I ) '\n f \ n r
d n \ d
/7=1
C O S /J Ö .
W tedy w ek to ro w y potencjał m agn etyczn y w y tw o rz o n y przez prąd Ia
n \ d cos n 6
(5 .1 9 )
(5 .1 9 a )
(5 .2 0 )
(5.21)
102
D la sym etrii prądow ej