Aproksymacja gęstości prądu funkcjami sklejanymi

3 WEKTOROWY POTENCJAŁ MAGNETYCZNY PRZEWODÓW RUROWYCH

3.3. Potencjał magnetyczny układu A t przewodów równoległych

3.3.3. Aproksymacja gęstości prądu funkcjami sklejanymi

-3.3.3. A proksym acja gęstości prądu funkcjam i sklejanym i

D ok ład n iejsze w y zn a czen ie lo garytm iczn ego potencjału m a g n e ty czn eg o w p rzew od ach rów noległych i ich otoczen iu otrzym uje się poprzez aproksym ację funkcji g ę sto śc i prądu Ą Y ) funkcjami sklejanym i p ie rw sz eg o stopnia d w ó ch zm iennych: f oraz 77 [16, 44]. W obszarze trójkątnym A'p/ k‘ w w yn ik u interpolacji w artościam i g ę sto śc i prądu J 1’, , J ps > J p , w punktach triangulacji Yp’s , Yp; i Yp; funkcję g ę sto śc i prądu ‘ (Y ) przedstaw ia się następująco:

PS U [ 0 dla

gdzie: 0 < j p ś l , O ś T j ś l - f , s = 1 , 2 , . . . , Nd, P = 1 . 2 , N c,

is.js. k , - w ierzch ołk i trójkąta & ‘ps‘k' .

W tedy w d o w o ln y m pu nkcie _y)e R2 na pod staw ie w zoru (3 .2 7 ) w ektorow y potencjał m agn etyczn y w y tw o rzo n y przez prądy układu N c p rzew o d ó w rów noległych , z których każdy p o d zielo n y je st na Nd trójkątnych o b sza ró w elem entarnych, w yraża się wzorem:

A { x ) = f L £ £

J

J ^ ’k’ ( Y ) \ n - d x ' d y , (3 .6 9 )

p - 1 3 - 1 J i Jj

gd zie r jest dane w zo rem (3 .2 5 a ) oraz (3 .5 0 ).

Z e w zoru (3 .6 9 ) w ynik a, ż e w ek to ro w y potencjał m a g n e ty cz n y ap rok sym ow an y je st w artościam i g ę sto śc i prądu w w ierzch ołk ach trójkątów A lj,Js ‘k’ . W zór ten m ożna także przedstaw ić następująco:

A ( X ) = 4 / Л A ' f - ) > (3 7 °)

/7=1 5=1

g d zie funkcja

A '£ k‘ (X, A ) = F £ -k- (x , 4 ) J'-s (ł£ ) +

+

C-J-k’

( x , A ^ k‘ ) j { i (y /;) + (x,A

■■pi ‘k- ) j k; s (Y*‘ ) (3 .7 1 )

je st przedstaw iona pop rzez w artości g ę sto śc i prądu w punktach triangulacji i funkcje kształtu

-F £ - k- { x , à ‘£ k’ ) = J (l - y - 17)111 - d x ' d y ' = 4 - J- *'

**= -2/1';/'*' J J (l-j-rç)lnrdjd77 , (3.71a)**

0 0

C ‘; J ‘k‘ ( x , A % ' k- ) = J

ąI, J , * i

/ l n — d x ’d y ’

r

/ l n r d f d // (3 .7 1 b )

( ^ » 4 ' ; /' * ' ) =

J

*7 I n - ^ - d x ' d / ^ -2 / 1 ';/'*' J T /I n r d jd r ç . (3 .7 1 c )

*» 0 0

P o le /1 ';/'*' ob licza s ię z e wzoru:

A ';/***= j d e t

1 x ' ,$

P* _{S p s}y"' 1 X,J*

P* S p s (3 .7 2 )

1 _P* _{S p s}^{V f k s}

Jeżeli param etry ^ i rj zam ieni się m iejscam i, to całka (3 .7 1 a ) nie u leg n ie zm ian ie, a to o zn acza, ż e

F $ - k‘ ( x , A W***) = F; ( * , z l ';/'* ') . (3 .7 3 )

Struktura całek ( 3 .7 la ), ( 3 .7 lb ) i (3 .7 1 c ) je s t identyczn a, a różn ią s ię o n e ty lk o perm utacją w sk aźn ik ów . A b y to w yk azać, w p row adza się n o w e w sp ó łrzęd n e param etryczne y i rj' trójkąta A ';/'*’ , których p oczątek zlo k a lizo w a n y je s t w pu nk cie Y k‘ - rys.3.7.

Rys.3.7. Współrzędne parametryczne f \ rj'y/ trójkącie A ';/'* ' Fig.3.7. Parametric coordinates rj' in triangle A 1; / ' '

-W tedy każdy punkt Yps w ew n ątrz trójkąta A';/'*' ap roksym ow any je s t następująco:

(,X p s p i )■

= * £ • + f o ; - * î * V

y'ps = y ' p ś + (y'p's - y ' p k; V + i y p i - y ' p / } t '

(3.74)

gdzie: 0 < ? ' < 1 ,

0 < 7 / ' < 1 - ? '

A proksym ując g ę s to ś ć prądu J(Y) funkcjam i sklejanym i otrzym uje się:

dla K £ A ' ^

" U | o dla y g A - i / ' * ' .

(3 .7 5 )

W tedy fun kcje kształtu w ystęp u jące w e w z o rz e (3 .7 1 ) dla tych sam ych zm ienn ych w ęzło w y ch J ’’s , J p S i J kp\ o b licza się następująco:

i - / ’ i

F ‘p-J-k-{ x ,A

;-/'') = -2/1 £/■' J J j r 'l n r

d y ' d r f , 0 o

1- / ' 1

C " ' k’ ( x , A % ‘k- ) = - 2 4 / ' * ' j j 77’łn r d ^ ' d / 7’, 0 o

1- /' 1

Dp;l,J’ { x , A

£ /'* ') = -2/1 £/'*'

J J ( l - / - J 7 ,) l n r d ^ ,d77’,

o o

gdzie tym razem

= \r\ = \ak + a k, f ' +a kjTi

(3 .7 6 )

(3 .7 6 a )

(3 .7 6 b )

(3 .7 7 )

Porów nując w zo ry ( 3 .7 6 ) i (3 .7 6 a ) otrzym uje się:

C 1p •si^k• ( X , A = F/'*'"' ( X ,/1 > /'* ') . (3 .7 8 )

' •

i i k P rzen osząc p oczątek param etrycznego układu w sp ółrzęd n ych j " , 77" trójkąta A ; / ’ ' do punktu Ypss i w yk on u jąc a n a lo g iczn ie operacje ja k p o w y że j otrzym uje się:

D ^ ( x , A ps) = F pk/ ’J‘ . (3 .7 9 )

-Z atem stw ierd za się, ż e struktura całek (3 .7 1 a ), (3 .7 1 b ) i (3 .7 1 c ) je st identyczn a, a różn ią się o n e tylk o perm utacją w sk a źn ik ó w . W tedy funkcję A p’/ ’k‘ ( x , A £ /'* ') z e w zo ru (3 .7 1 ) w yraża się w zorem :

4 / ' * ' ( X ’ A ¥ * ’ ) = FP - ,k’ Ą . f e ) +

+ ( X , A W A ) ( y j i ) + F k/ l,J‘ ( X . /1 > /•* •) J kp- ( r k; ) . (3 .8 0 )

A b y zatem w y z n a c z y ć p rzy b liżo n ą w artość funkcji A ( X ) w y sta rczy w sp o só b o g ó ln y o k reślić fun kcję Fp ‘, J,k,[ x , A j j / A j , w yk on u jąc p o d w ó jn e ca łk o w a n ie w e w z o rz e (3 .7 1 a ) lub ( 3 .7 6 ) (łatw iej te g o d ok onać w e w z o rz e (3 .7 6 )). N atom iast funkcje F j ‘k,>‘ ( x , A £ / A j i

Fp/ ' ' J’ ( x , A p /'* ') otrzym uje s ię p op rzez o d p o w ied n ią perm utację w sk a ź n ik ó w { / ,7 , A ,}

trójkąta A ‘,pJ/ k’ w funkcji F ^ J,k,[ x , A £ / ' * ' ) . P rzedstaw iając w z ó r ( 3 .8 0 ) w postaci:

X £ ' * ) . / £ (3 .8 1 )

z,*r,

t.*z.

w ek to ro w y potencjał m a g n ety czn y ( 3 .7 0 ) w d o w o ln y m p u n k cie X(x, y ) e R2 w yraża się następ ującym w zorem :

= Z W ‘ ( x . A Z ‘ z‘ ) / 2 , . (3 .8 2 )

t , * Z ,

S u m o w a n ie w e w z o rz e ( 3 .8 2 ) p o num eracji trójk ątów A ^ ''2' m o ż e b y ć zastąp ion e su m ow an iem p o num eracji p u n k tó w Yp (« / = 1, 2 , ..., W\ W - liczb a w ę z łó w sieci triangulacyjnej p -te g o przew od u ), b ęd ących w ęzła m i sie ci triangulacyjnej p ow ierzch n i Sp.

W tedy w zó r (3 .8 2 ) m a postać:

a w = ^ ' Z ' Z f pu, (x -a ? )j z > (3 83>

p - 1 u>=\

g d zie J p je st g ę sto śc ią prądu w punk cie X p , zaś

f; ( x ,a ; ) = X Fp:M ( x , A ;■>■*’ ) (3 .8 3 a )

oraz A wp je s t zbiorem trójk ątów m ających w sp ó ln y w ie rz ch o łe k w pu nk cie Yp :

A " = ( & £ • * ': w e { r , t , z , } } . (3 .8 3 b )

-O znacza to, ż e g ę sto ść prądu J p pojaw i się przy su m ow an iu w e w z o r z e ( 3 .8 3 ) ty le razy, ile jest trójkątów o w sp óln ym w ierzch ołk u Yp .

A by zatem ze w zoru (3 .8 3 ) w y zn a czy ć w ek torow y potencjał m agn etyczn y w d ow oln ym punkcie X(x, y ) e R2 układu N c p rzew o d ó w ró w n o leg ły ch , n a leży up rzednio o k reślić w sposób o g ó ln y funkcję kształtu Fp‘J ’k'

[x ,A

£ / A ) oraz g ęsto śc i prądów J " w w ęzła ch sieci triangulacyjnej.

Funkcje kształtu w ystęp u jące w e w zo rze (3 .8 0 ) o b licza się w sp o só b o g ó ln y z e w zoru (3.76). W celu up roszczen ia zapisu w dalszej czę śc i opracow ania b ęd zie p om in ięty indeks

„prim” w ozn a czen iu zm ien n y ch param etrycznych 7 'oraz indeks „s” przy /,, j , i ks.

Z rys.3 .7 w y zn a cza się w ek tor

r = a k + a klf + a kjT] (3 .8 4 )

i w ted y całk ę (3 .7 6 ) przedstaw ia się następująco:

’7 1

F ;ik(x,Yipi,Y i„Y k pi)=-2A ps J | /ln |

ak + a kl?+akjri\dfd7] . (3 .8 5 ) o o

N a pod staw ie w zoru (3 .8 4 ) kwadrat m odułu w ektora r

= Irl2

⁼^{a 2}^kjr]2^{+ 2}^akj^•(ak + akif)n+ \ak + akl} \ ^{(3 .8 6 )}

Jest to w ielo m ia n kw adratow y zm iennej 77, którego w yróżnik

A = - 4 \ a k ! Ą a k + a k, j ) | < 0 .

W zór (3 .8 6 ) m ożna przedstaw ić w postaci:

2 2

r = a k, T] + Okj ■ {a k + a k< ? )

a l

(3 .8 7 )

(3 .8 8 )

P ierw sze ca łk ow an ie w e w z o rz e (3 .8 5 ) w yk on u je się w z g lęd em zm ienn ej r\ pop rzez zam ianę zm ien n ych pod staw iając za

n +

a k j^'{a k + a k ,?)

(3 .8 9 )

skąd otrzym uje się:

du = a*,d77 (3.90)

-gdzie:

h = f — ln(wf + a 2) d f , (3.109a)

/ 4

= +flr

^d ^ ; (3.109b)

o Uk>

/ s = f

^{2 ^} ² Ul^f d f ,

(3.109с)

J Cllri

r 2a z w

/ 6 =

J

- a r c t g — d ^ , ( 3 .1 09d )

0 # ^

1 _

r 2 ^ w.

= J — a r c t g - ^ - d / . (3 .1 0 9 e )

W ykorzystując m etod y o b licza n ia ca łek z prac [5, 54, 153] i w z o ry z pracy [6 0 ] o b licz a się a n alityczn ie całk i / 3 , / 4 , / 5, / 6 i / 7 (przedstaw iono je w załączniku Z 2 ) i w ted y funkcję kształtu (3 .1 0 9 ) przed staw ia się ja k o kom b inację funkcji standardow ych.

G ęsto śc i prądu J t { X ) w d o w o ln y m p u n k cie X e S, /-te g o p rzew od u zw iązan a je s t z w ek to ro w y m p oten cjałem m agn etycznym ró w n a n iem (2 .1 6 ). Przy aproksym acji potencjału w e k to r o w e g o w zorem ( 3 .8 3 ) rów nanie to m a następującą postać:

M x ) + j ^ _ j £ ' £ F * ( x , A “ )j ; = % ,

(3.110)

y ^ p=1 »=1

gdzie: / = 1, 2 , .. ., N c .

Jeżeli punkt X = X " ( v = 1, 2, ..., W), tzn., g d y je s t o n w ę z łe m sieci triangulacyjnej p o w ierzch n i Si l-teg o przew odu, p o w y ż s z e rów nan ie zap isu je się następująco:

i v w / \

± _ + ш о _

^{( з . ш )}

Y ^ p=\ 1

g d z ie J \ je s t g ę sto śc ią prądu w p u n k cie X ".

Z apisując rów nania typu (3 .1 1 1 ) dla k ażd ego punktu w ę z ło w e g o układu N c p rz ew o d ó w otrzym uje się układ N CW rów nań algeb raiczn ych z niezn anym i g ę sto śc ia m i prądów w w ęzła ch sie ci tria n g u la cy jn ej-P o rozw iązaniu te g o układu rów nań z e w zo ru ( 3 .8 3 ) w y zn a cza się w ek to ro w y potencjał m a g n ety czn y w d o w o ln y m p u n k cie Z e R 2 .

4. IMPEDANCJE JEDNOBIEGUNOWEGO TORU

W dokumencie Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowych osłonietych torów wielkoprądowych (Stron 24-28)