Potencjał magnetyczny niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów

3 WEKTOROWY POTENCJAŁ MAGNETYCZNY PRZEWODÓW RUROWYCH

3.2 Potencjał magnetyczny niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów

a stąd

ln ^ 3 L = I l n

P 2

+ f r

^{\ 2}

-2 — c o s (0 ^-0⁾ P

(3 .1 0 )

(3.1 Oa)

i w ro zw in ięciu prawej strony rów nania (3.1 Oa) w szereg Fouriera otrzym uje się dla n e N , ż e

t a ^ - Ż ^ T o o s R « - » ) ] .

\ P W o b ec tego

— — = l n — + — f — 1 co s[« (< 2 >

r * r p n { p j

( 3 .1 1 )

(3 .1 2 )

W tedy zesp o lo n y , w e k to ro w y potencjał m ag n ety czn y dla r < p

A (r ' 0 ) ~

^ f

^{J (p >}

<2>)j

^{ln ~ +}

X n[^j

c o s K 0 ^ 0 ) ] | p d p d 0 . (3 .1 3 ) Jeżeli n ie n ależy o d zm ienn ej 0 , to potencjał m a g n e ty cz n y dla r < p

Ą r ) = \m u0 f

J { p ) p ln - d p .1

Ó-+0 J n

r+ó H

(3 .1 4 )

Z e w z o r ó w (3 .9 ) i (3 .1 4 ) m ożna w y z n a c z y ć z e s p o lo n y potencjał m a g n ety czn y w e w s z y s t

kich obszarach przew od u rurow ego, w którym g ę s to ś ć prądu nie n a leży o d zm iennej 0^.

-D la r > R j z e w zoru (3 .9) otrzym uje się

A i n ( r ) = p0\ n j ] j ( p ) p d p , (3 .1 5 )

r Ą

z którego w ynika, ż e potencjał m agn etyczny w obszarze zew n ętrzn ym przew od u rurow ego jest funkcją zm iennej r w a lc o w e g o układu w spółrzędnych.

D la R \ < r < R.2 ze w zorów (3 .9 ) i (3 .1 4 ) otrzym uje się:

A11 (/•)= lim

s->o

f-8 Ri j

/ i0 l n - J j ( p ) p d p + M0 j j ( p ) p ln d p (3 .1 6 )

D la r < R i , z e w zoru (3 .1 4 ) otrzym uje się:

A , ( r ) = p0^ j ( p ) p ln — d p = co n st , (3 .1 7 )

skąd w ynika, ż e w obszarze w ew n ętrzn ym przew od u rurow ego potencjał m agn etyczn y jest stały, n iezależn y od zm iennej r w a lc o w e g o układu w spółrzędnych.

Jeżeli g ę s to ś ć prądu w p rzew od zie rurow ym je s t g ę sto śc ią prądów w iro w y ch indukow anych przez p o le m agn etyczn e p och od zen ia zew n ętrzn ego, to na o g ó ł (z w yjątkiem układu w s p ó ło s io w e g o ) g ę sto ść ta je st fun kcją d w óch zm ien n y ch p oraz <£ w a lc o w e g o układu w spółrzędnych (j = j ( p , 0 ) ) . W tedy przy w yzn a cza n iu w e k to r o w e g o potencjału m agn etyczn ego n ależy p o słu g iw a ć się w zoram i (3 .8 ) i (3 .1 3 ).

3.2. Potencjał magnetyczny niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów równoległych

W n ie w sp ó ło sio w y m uk ładzie d w ó ch rurow ych p rzew o d ó w ró w n o leg ły ch (ry s.3 .2 ) potencjał m agn etyczn y w o to czen iu przew odu "1 ", w ytw orzony przez prąd /2 przew odu "2 ", w yzn acza się zakładając [53, 70, 93, 177], ż e punkt źró d ło w y Y u m ie sz cz o n y je st na osi przew odu "2". Innym i sło w y zakłada się, że p rzew ód "2" je st p rzew od em n iesk o ń czen ie cienkim .

-Х(г,в)

Rys.3.2. Niewspółosiowy układ dwóch rurowych przewodów równoległych Fig.3.2. Non-coaxial system of two parallel tubular conductors

W tedy potencjał m a g n ety czn y g en ero w a n y przez prąd I2 [53]

gd zie

A ( r , e ) = £ s ł ± ln — , 2л

rh = r2 + d2- 2r d c o s & .

(3 .1 8 )

(3 .1 8 а ) Jeżeli w y zn a cza się ten potencjał w o to czen iu przew od u "1" takim, dla k tórego r < d , to w ted y z e w zoru ( 3 . 18a)

a stąd

= •—ln

d 2 ^{1 + —} ^- 2 — c o s 6 >

(3 -1 9 )

(3 .1 9 а )

i w r o zw in ięciu prawej strony rów nania ( 3 . 19a) w szereg Fouriera otrzym uje się dla n e N , że

ta^ ' - | » & ] cos" e (320)

W o b e c te g o

l n — = b — + Y - ł f - L

rx ï d 1 d cosn & . (3.21)

-P o pod staw ieniu w zoru (3 .2 1 ) do w zoru (3 .1 8 ) w y zn a cza się w ek to r o w y potencjał m agnetyczny w punkcie X(r, 6 ) takim, dla którego r < d

Jeżeli natężen ie pola m agn etyczn ego w punkcie X w y tw o rzo n e przez prąd h w y zn a czy się z prawa przepływ u jako

Я 2 = - ^ - (3 .2 3 )

2* „

i dla r < d je g o sk ład ow e Fbr i Н г в rozw in ie się w szereg Fouriera [1 2 ,1 5 0 ], to okaże się, że są o n e rów ne od p ow ied n im sk ład ow ym o b liczo n y m z e w zoru

H = — r o t A , (3 .2 4 )

w którym przyjm ie się, ż e potencjał m agnetyczn y A m a jed n ą sk ła d o w ą A (r, 0 ) w zd łuż osi O z daną w zo rem (3 .2 2 ).

3.3. Potencjał magnetyczny układu Nc przewodów równoległych - metoda analityczno-numeryczna

Jed n ob iegu n ow y, trójfazow y o sło n ię ty tor w ielk o p rą d o w y z rys. 1.5 je st układem sześciu przew od ów rurowych. P rzew ód fa z o w y i je g o o sło n a wybranej fazy je s t układem w sp ó ło sio w y m i dla n ieg o m ożna w y zn a cza ć w e k to ro w e potencjały m agnetyczne - w zory (3 .1 5 ), (3 .1 6 ) i (3 .1 7 ) dla d o w o ln y ch g ę sto śc i prądów w p rzew od zie i osłon ie. D la układu przew ód fa zo w y (lub o sło n a ) wybranej fa zy i p rzew ód fa z o w y (lub o sło n a ) innej fazy trzeba korzystać z e w zoru (3 .2 2 ), tzn., ż e w przew od zie, który je st źródłem potencjału A, nie u w zględ n ia się g ę sto śc i prądu ani też w y m ia ró w p op rzeczn ych te g o przew od u rurow ego (prom ieni w ew n ętrzn eg o i zew n ętrzn ego).

K onduktancja y\ przew od u fa z o w eg o je st na o g ó ł różna o d konduktancji yi osłon y. O prócz tego w pob liżu tak iego toru prąd ow ego m o g ą znajdow ać się inne przew od y c z y też płyty przew od zące. O góln ie je st to w ię c układ N c p rzew o d ó w r ó w n o leg ły c h przed staw ion y na rys.2 .2 .

3.3.1. A proksym acja w ektorow ego potencjału m agnetycznego

R ozw ażan y układ (ry s.2 .2 ) zaw iera N c p rzew o d ó w o d o w o ln y ch przekrojach S i, S2, ..., Sp, ..., S N . P rzez każdy z tych p rzew od ów p łyn ą o d p o w ied n io prądy z es p o lo n e Ą , /2, ..., Ip, ..., I N' . P rzew od y są rów n o leg łe do o s i Oz.

-R ozpatryw an y problem je s t d w u w y m ia ro w y i w ek to ro w y potencjał m a g n ety czn y m a jed n ą sk ła d o w ą w z d łu ż o s i Oz. P oten cjał ten j e s t fun kcją d w ó ch zm ienn ych : x oraz y . W obszarze p rzew o d zą cy m sp ełn ia o n d w u w y m ia r o w e rów nan ie P o isso n a , a p o za tym obszarem d w u w y m ia ro w e rów nan ie L a p la ce’a. P o d sta w o w y m rozw iązan iem ty ch d w ó ch rów nań je s t

4 * ) = — J y ( y ) l n - d x ' d / , (3 .2 5 )

71 s r

gdzie: X = X ( x , y ) - punkt obserw acji, Y = Y(x ' y 0 - punkt źród łow y,

S = Si u S2 u ... u ... S N' - pow ierzch n ia, na której J(Y ) 0 , r - o d le g ło ś ć m ięd zy punktem X(x, y ) a punktem Y(x' , / ) (rys.3.3);

r = J ( x - x ') 2 + ( y - y')2 . (3 .2 5 a )

Rys.3.3. Punkt źródłowy

y(x',y)

oraz punkt obserwacji X(x,

y)

we współrzędnych kartezjańskich Fig.3.3. Surce point Y (x \y ) and observation point X(x,y) in cartesian coordinates

Punkt X e S zaś punkt A 'e R 2; w s z c z e g ó ln o śc i punkt ten m o ż e le ż e ć w ew n ą trz p rzew od u (np. /-tego; rys.3.3).

D la układu N c p r z ew o d ó w w ek to ro w y potencjał m ag n ety czn y w p u n k cie X je st su m ą p o ten cja łó w p o ch o d zą c y ch o d k a żd eg o z p rzew o d ó w

A ( X ) = ^ ] ? f j p ( r ) l n U x ' d / . (3 .2 6 )

71 p=1 s„ r

-N astęp n ie obszar Sp dzieli się na -N j obszarów elem entarnych Spi, Sp2, ..., Sps, ..., przyjmując, ż e w każdym z tych obszarów elem entarnych funkcja g ę sto śc i prądu J p (Y ) jest stała i rów na J ps ( p = 1 , 2 , ..., N c-, 5 = 1 , 2 , ..., N d), tzn., ż e jest równa przybliżonej w artości funkcji J(Y ) w obszarze Sps. W ten sp osób otrzym uje się N = N c N j ob szarów elem entarnych, od których potencjał m agnetyczn y

AL N.

f ^ ln7 dx' d / 0-2i)

p~ 1 s=> sp,

G ęsto ść prądu Jps je st w ie lk o śc ią stałą, w ię c m o że b y ć zapisana przed całk ą w e w zo rze (3.27). Stąd otrzym uje się dla układu N c p rzew od ów

4 * ) = ^ i ; o - 2 «)

p=i 5=1

Jeżeli p -ty p rzew ód je st przew od em od osob n ion ym , to z e w zoru (3 .28) otrzym uje się:

4 * ) = f \ Y JpsFpX * ) - (3 28a)

J=1

W e w zorach (3 .2 8 ) i (3 .2 8 a ) funkcja F p s ( X ) je st funkcją kształtu obszaru elem entarnego Sps i w y zn a cza się j ą z e wzoru:

F M = f ln , 1 d x ' d y ' (3 .2 9 )

i J ( x - x ' Y + ( y - y ' Y

dla X e S d o w o ln ie u sytu ow an ego w zg lęd em obszaru elem en tarn ego Sps.

3.3.2. F unkcja kształtu

Funkcja kształtu (3 .2 9 ) zależy o d pod ziału pow ierzch n i Sp na e lem en ty Sps oraz od funkcji aproksym ujących kształt tych pow ierzchni. O b licz en ie ca łek ( 3 .2 9 ) w każdym z ob szarów elem entarnych m oże b yć w y k on an e nu m eryczn ie [1 7 5 ], stosując o d p o w ied n ie w zo ry na kwadraturę, lub też o b licza się j e analitycznie w p ierw szym całk ow aniu , zaś w drugim całkow aniu nu m erycznie [133, 172].

W niniejszej pracy całk i (3 .2 9 ) o b licza się an alityczn ie w u k ład zie w sp ółrzęd nych prostokątnych lub w a lco w y ch . R o zw ią za n ie przedstaw ia się ja k o kom binację funkcji standardowych. U zysk u je się przez to du że u p roszczen ie o b liczeń , c o znaczn ie skraca czas ob liczeń n u m eryczn ych im pedancji, g ę sto śc i prądu i n atężen ia pola m ag n ety czn eg o w osło n ięty ch torach prądow ych. M a to sz czeg ó ln e zn a czen ie w przypadku, g d y punkt X leży w obszarze elem entarnym Sps. W tedy całka (3 .2 9 ) je s t całk ą n iew ła śc iw ą , c o zn aczn ie utrudnia całk ow an ie nu m eryczn e w prow adzając w kon sekw en cji d u że b łęd y o b liczeń .

-Z azw yczaj p o w ierzch n ię Sp p rzew od u d zieli się na obszary elem en tarn e prostokątne, w y c in k ó w k o ło w y ch oraz trójkątne. W dalszej k o lejn o ści b ę d zie zatem o b liczo n a funkcja kształtu dla tych trzech p o d sta w o w y ch sp o so b ó w dyskretyzacji p ow ierzch n i p rzew od ów .

3 .3 .2 .I. P rostokątny ob szar elem en tarn y

P odziału obszaru p r z ew o d zą c e g o Sp na prostokątny elem entarne Sps dok onu je się dla p rzew o d ó w , których przekroje p o p rzeczne są naturalnym i prostokątam i (prostok ątne szyn y zb io rcze i prostokątne pak iety sz y n o w e) lub te ż dają się przed staw ić za p o m o c ą prostok ątów (p rzew o d y sz y n o w e z ło ż o n e z c e o w n ik ó w ) [1 1 , 13, 14].

Rys.3.4. Prostokątny obszar elementarny Fig.3.4. Rectangular elementary area

G dy obszar elem en tarn y je s t prostokątem o bok ach Ax„, A y n, k tórego p o ło żen ie ok reślon e je s t p rzez je g o dolne, le w e naroże, tj. przez punkt Y„(x'n,y'H) - rys.3 .4 , funkcję kształtu

o b licza się następującym w zo rem [1 1 , 13, 14]:

yn+Ay,

F ( X J n, A x n, A y n) = Ą

_y'n

I I _<

| l n | ( x ' - x )2 + ( y ' - ^ ) 2 ] d x ' d y . (3 .3 0 )

W w yn ik u p ierw szeg o całk ow an ia ( 3 .3 0 ) otrzym uje się:

y'„+Ayn

F ( X , Y n, A x n, A y „ ) = ~ ( x ' „ - x + A x n) J ln \ y ' - y)2 + ( x ’„ - x + A x „ f ] d y ' + /m

y'n+Ayn

^ ( x ’n - x ) J l n \ y ' - y f + { x ' - x )2] d y ' + A x nA y n

y.n

- [ i y ' ~ y ) arctg X" X' + A X " d y ' +

f

( y ' - y ) a r c t g — — - d y ' . (3 .3 1 )

y - y y - y

y>t

-D rugie całk ow anie m ożna w yk on ać rów nież a nalitycznie otrzym ując:

f { x , y , X'n ,y '„ , A x n, A y n) = Y A x n A y „ - f ( x , y , x'n + A x „ , y'„ + A y „ ) +

+ f { x , y , x ' n, y ' n + A y n) + f ( x , y , x ' n + A x n, y ' „ ) - f ( x , y , x ’n, y ' n) - - g { x , y , x ' „ + A x n, y ' n + A y „ ) + g ( x , y , x'n, y ' „ + A y n) +

+ g { x , y , x ' „ + A x „ , y ' n) - g ( x , y , x'n, y ' „ ) - h ( x , y , x'n + A x „ , y'n + A y n) +

+ h ( x , y , x ' „ , y ' „ + A y n) + h ( x , y , x'n + A x n, y ' „ ) - h ( x , y , x'„,y'n) , (3 .3 2 )

gd zie fun kcje/ , g oraz h dane są wzoram i:

f ( x , y , x ' , y ' ) = - U x - x ' ) ( y - y ' ) \ n j --- — — --- , (3 .3 3 )

2 |(-)

+ { y - y )

I

g ( x , y , x ' , y ’) = - ^ - ( y - y')2 arctg X X (3 .3 4 )

z

y y

h ( x , y , x ' , y ' ) = y ( x - x ' ) 2 arctg (3 35)

Całki (3 .3 3 ), (3 .3 4 ) i (3 .3 5 ) są całkam i n iew ła ściw y m i a le zb ieżn ym i. Fakt ten należy o d p ow ied n io u w zg lęd n ić przy konstruow aniu programu o b licze n io w eg o .

W układach w ielo p rzew o d o w y ch p rzew o d y jak rów n ież ich w yb ran e obszary m o g ą być p od zielon e na prostokąty elem entarne o różn ych w ym iarach . W ten sp o só b m ożn a z a g ęszcza ć siatkę podziału w w ybranych obszarach, tzn. w takich, w których zjaw iska nask órkow ości i zbliżenia u w id aczn iają s ię w sp osób silny.

3.3.2.2. O bszar elem en tarn y przew odu w alcow ego i rurow ego

D la p rzew o d ó w w a lc o w y ch lub rurow ych obszar elem entarny m o ż e b y ć w ybrany jak o w ycin ek p ierścien ia - rys.3.5

Rys.3.5. Obszar elementarny przewodu walcowego lub rurowego Fig.3.5 Elementary area of a cylindrical or tubular conductor

38 ró w n o cześn ie p od ział na prostokątne obszary elem entarne oraz na w ycink i pierścienia.

Bardziej u n iw ersalnym pod ziałem obszaru p rzew o d zą ceg o je st je g o pod ział na trójkątne obszary elem entarne - rys.3.6.

-Rys.3.6.

Fig.3.6.

Podział p-tego przewodnika na trójkąty elementarne A a ) sieć triangulacyjna, b) trójkąt elementarny AfJ

Division of the p-conductor into elementary triangles A^ ; a) triangulation system, b) triangle &ps

Taki pod ział p o w ierzch n i S^, przew od n ik a na s trójk ątów elem en tarn ych Aps stan ow i sie ć triangulacyjną u tw orzon ą przez punkty: Yps, Yps 6 Sp, zw an e punktami triangulacyjnym i - rys.3.6.

K ażd y punkt Yps w ew n ątrz s -te g o trójkąta Aps m o że b yć ap roksym ow an y lin io w o punktam i w ierzch o łk o w y m i te g o trójkąta, tzn., ż e zbiór tych p u n k tów je st dany przez:

x'p* = x 'p , + {x % ~ * p , ) f + (x p’ ~ x p* h

*■ ;;/ = - ( v ; J : (3 .4 2 )

g d z ie n o w e zm ien n e / i ij

0 < ^ < 1 ; 0 < v < l - / . (3 .4 3 )

O zn acza to, ż e zbiór rp w szy stk ich p u n k tów pow ierzchn i Sp /»-tego przew od u został p rzyb liżon y zbiorem p u nk tów

(3 .4 4 )

g d z ie rp je st zbiorem w szy stk ich trójk ątów triangulacji p ow ierzch n i Sp.

U '

Z rys.3.6b w ektor r je st funkcją z m ien n y ch j i tj:

r = ai+aJJf+aUcT] ,

(3 .4 5 )

-gdzie wektory:

aij ~~(pps ~ xps

^{) ^ x}

(yps ~ yps

^—

aijx l x

⁺

&ijy ^y aik ~ faps ~ Xps ^ iy ps ~ y ps)^-z ~ aikx^x

⁺

aiky ^y

E lem ent ró żn iczk o w y p o w ierzchn i w n o w y ch w sp ółrzęd n ych

d S

p

= d x'p d y'p =

dx'ps dx'ps d f &n fy'ps dy'p,

ôf drj

d f d t ] = a ÿ x a , t d ? d r ] = 2 A psd f d r ] ,

gdzie

2 A p = det

1 x p s y ' p s

1 x pi y'pi

1 x ps y %

(3.46)

(3 .4 7 )

(3 .4 8 )

Przy p o w y ższy c h ozn a czen ia ch funkcja kształtu ( 3 .2 9 ) przyjm uje postać:

l-r 1

Fp, ( x , r pl,Y l „ Y kp) = - 2 A p,

J

| ln |a , + a ijf + a ikĄ d f d r ] (3 .4 9 ) o o

G dy punkt X e Aps, to całka (3 .4 9 ) je st całk ą n iew ła ściw ą , lecz z b ieżn ą w sen sie Cauchy’e g o i n ieza leżn ą przy całk ow an iu od p o ło żen ia punktu X w przestrzeni R2 oraz dającą się przed staw ić za p o m o c ą funkcji standardow ych.

Z e w zoru (3 .4 5 ) o b licza się kwadrat m odułu w ektora

r

r 2 = r?

+ 2 « rt • («, +

at] f)r) + \ a , + a vf\

Jest to w ielo m ia n kw adratow y zm iennej tj,którego w yróżn ik

A =

(ai +a<j?)\

W zór (3 .5 0 ) m ożna przedstaw ić w postaci:

(3 .5 0 )

(3 .5 1 )

tj +

a,k • (a , + a , j ? ) a,k x {a , + a u afk

(3 .5 2 )

P ierw sze c a łk o w a n ie w e w z o rz e (3 .4 9 ) w yk on u je się w z g lęd em zm ienn ej tj p rzez zam ian ę

-Ilorazy w ystęp u jące w składniku czw artym i piątym prawej strony w zoru (3 .6 1 b ) p rzed staw iają się w zoram i:

и , a , t + a7

— = t J Ł—

h

(3 6 5 )

а \аъ} + ал\

oraz

". _ а? + аь*

_{— i} _{I .}

n t X i

_{(3 .6 6 )}

\a 3 f + a 4l

W ykorzystując p o w y ż s z e p od staw ienia fun kcję kształtu ( 3 .6 1 ) przedstaw ia się p op rzez su m ę algeb raiczn ą o d p o w ied n ich całek /3, /4, /5, U i /7, tzn.

gdzie:

F p s ( x , Y ; „ Y3s , Y ks ) = - Ap, ( / 3 - / 4 - / , + / 6 ~ / 7) , (3 .6 7 )

/3 =

f

ln L2 + a 2 )d f , (3 .6 7 a )

0 1

/4 = f — ln (m,2 + a2 )d f , (3 .6 7 b ) 0

/ , = f 2 ^ 2 d jg , (3 .6 7 c )

i a *

I6 = f — a r c t g — d f , (3 .6 7 d )

J a lk a

o ,K

/ 7 = f — arctg — d ? . (3 .6 7 d )

J a.k a

o lK

W ykorzystując m etod y o b licze n ia ca łek z prac [5, 54, 153] i w zo ry z pracy [6 0 ] o b licza się an alityczn ie całki /3, /4, /5, Ą , /7 (p rzed staw ion o j e w załączn ik u Z l ) i w ted y fun kcję kształtu Fpj przedstaw ia się ja k o kom b in ację funkcji standardow ych.

-3.3.3. A proksym acja gęstości prądu funkcjam i sklejanym i

D ok ład n iejsze w y zn a czen ie lo garytm iczn ego potencjału m a g n e ty czn eg o w p rzew od ach rów noległych i ich otoczen iu otrzym uje się poprzez aproksym ację funkcji g ę sto śc i prądu Ą Y ) funkcjami sklejanym i p ie rw sz eg o stopnia d w ó ch zm iennych: f oraz 77 [16, 44]. W obszarze trójkątnym A'p/ k‘ w w yn ik u interpolacji w artościam i g ę sto śc i prądu J 1’, , J ps > J p , w punktach triangulacji Yp’s , Yp; i Yp; funkcję g ę sto śc i prądu ‘ (Y ) przedstaw ia się następująco:

PS U [ 0 dla

gdzie: 0 < j p ś l , O ś T j ś l - f , s = 1 , 2 , . . . , Nd, P = 1 . 2 , N c,

is.js. k , - w ierzch ołk i trójkąta & ‘ps‘k' .

W tedy w d o w o ln y m pu nkcie _y)e R2 na pod staw ie w zoru (3 .2 7 ) w ektorow y potencjał m agn etyczn y w y tw o rzo n y przez prądy układu N c p rzew o d ó w rów noległych , z których każdy p o d zielo n y je st na Nd trójkątnych o b sza ró w elem entarnych, w yraża się wzorem:

A { x ) = f L £ £

J

J ^ ’k’ ( Y ) \ n - d x ' d y , (3 .6 9 )

p - 1 3 - 1 J i Jj

gd zie r jest dane w zo rem (3 .2 5 a ) oraz (3 .5 0 ).

Z e w zoru (3 .6 9 ) w ynik a, ż e w ek to ro w y potencjał m a g n e ty cz n y ap rok sym ow an y je st w artościam i g ę sto śc i prądu w w ierzch ołk ach trójkątów A lj,Js ‘k’ . W zór ten m ożna także przedstaw ić następująco:

A ( X ) = 4 / Л A ' f - ) > (3 7 °)

/7=1 5=1

g d zie funkcja

A '£ k‘ (X, A ) = F £ -k- (x , 4 ) J'-s (ł£ ) +

+

C-J-k’

( x , A ^ k‘ ) j { i (y /;) + (x,A

■■pi ‘k- ) j k; s (Y*‘ ) (3 .7 1 )

je st przedstaw iona pop rzez w artości g ę sto śc i prądu w punktach triangulacji i funkcje kształtu

-F £ - k- { x , à ‘£ k’ ) = J (l - y - 17)111 - d x ' d y ' = 4 - J- *'

**= -2/1';/'*' J J (l-j-rç)lnrdjd77 , (3.71a)**

0 0

C ‘; J ‘k‘ ( x , A % ' k- ) = J

ąI, J , * i

/ l n — d x ’d y ’

r

/ l n r d f d // (3 .7 1 b )

( ^ » 4 ' ; /' * ' ) =

J

*7 I n - ^ - d x ' d / ^ -2 / 1 ';/'*' J T /I n r d jd r ç . (3 .7 1 c )

*» 0 0

P o le /1 ';/'*' ob licza s ię z e wzoru:

A ';/***= j d e t

1 x ' ,$

P* _{S p s}y"' 1 X,J*

P* S p s (3 .7 2 )

1 _P* _{S p s}^{V f k s}

Jeżeli param etry ^ i rj zam ieni się m iejscam i, to całka (3 .7 1 a ) nie u leg n ie zm ian ie, a to o zn acza, ż e

F $ - k‘ ( x , A W***) = F; ( * , z l ';/'* ') . (3 .7 3 )

Struktura całek ( 3 .7 la ), ( 3 .7 lb ) i (3 .7 1 c ) je s t identyczn a, a różn ią s ię o n e ty lk o perm utacją w sk aźn ik ów . A b y to w yk azać, w p row adza się n o w e w sp ó łrzęd n e param etryczne y i rj' trójkąta A ';/'*’ , których p oczątek zlo k a lizo w a n y je s t w pu nk cie Y k‘ - rys.3.7.

Rys.3.7. Współrzędne parametryczne f \ rj'y/ trójkącie A ';/'* ' Fig.3.7. Parametric coordinates rj' in triangle A 1; / ' '

-W tedy każdy punkt Yps w ew n ątrz trójkąta A';/'*' ap roksym ow any je s t następująco:

(,X p s p i )■

= * £ • + f o ; - * î * V

y'ps = y ' p ś + (y'p's - y ' p k; V + i y p i - y ' p / } t '

(3.74)

gdzie: 0 < ? ' < 1 ,

0 < 7 / ' < 1 - ? '

A proksym ując g ę s to ś ć prądu J(Y) funkcjam i sklejanym i otrzym uje się:

dla K £ A ' ^

" U | o dla y g A - i / ' * ' .

(3 .7 5 )

W tedy fun kcje kształtu w ystęp u jące w e w z o rz e (3 .7 1 ) dla tych sam ych zm ienn ych w ęzło w y ch J ’’s , J p S i J kp\ o b licza się następująco:

i - / ’ i

F ‘p-J-k-{ x ,A

;-/'') = -2/1 £/■' J J j r 'l n r

d y ' d r f , 0 o

1- / ' 1

C " ' k’ ( x , A % ‘k- ) = - 2 4 / ' * ' j j 77’łn r d ^ ' d / 7’, 0 o

1- /' 1

Dp;l,J’ { x , A

£ /'* ') = -2/1 £/'*'

J J ( l - / - J 7 ,) l n r d ^ ,d77’,

o o

gdzie tym razem

= \r\ = \ak + a k, f ' +a kjTi

(3 .7 6 )

(3 .7 6 a )

(3 .7 6 b )

(3 .7 7 )

Porów nując w zo ry ( 3 .7 6 ) i (3 .7 6 a ) otrzym uje się:

C 1p •si^k• ( X , A = F/'*'"' ( X ,/1 > /'* ') . (3 .7 8 )

' •

i i k P rzen osząc p oczątek param etrycznego układu w sp ółrzęd n ych j " , 77" trójkąta A ; / ’ ' do punktu Ypss i w yk on u jąc a n a lo g iczn ie operacje ja k p o w y że j otrzym uje się:

D ^ ( x , A ps) = F pk/ ’J‘ . (3 .7 9 )

-Z atem stw ierd za się, ż e struktura całek (3 .7 1 a ), (3 .7 1 b ) i (3 .7 1 c ) je st identyczn a, a różn ią się o n e tylk o perm utacją w sk a źn ik ó w . W tedy funkcję A p’/ ’k‘ ( x , A £ /'* ') z e w zo ru (3 .7 1 ) w yraża się w zorem :

4 / ' * ' ( X ’ A ¥ * ’ ) = FP - ,k’ Ą . f e ) +

+ ( X , A W A ) ( y j i ) + F k/ l,J‘ ( X . /1 > /•* •) J kp- ( r k; ) . (3 .8 0 )

A b y zatem w y z n a c z y ć p rzy b liżo n ą w artość funkcji A ( X ) w y sta rczy w sp o só b o g ó ln y o k reślić fun kcję Fp ‘, J,k,[ x , A j j / A j , w yk on u jąc p o d w ó jn e ca łk o w a n ie w e w z o rz e (3 .7 1 a ) lub ( 3 .7 6 ) (łatw iej te g o d ok onać w e w z o rz e (3 .7 6 )). N atom iast funkcje F j ‘k,>‘ ( x , A £ / A j i

Fp/ ' ' J’ ( x , A p /'* ') otrzym uje s ię p op rzez o d p o w ied n ią perm utację w sk a ź n ik ó w { / ,7 , A ,}

trójkąta A ‘,pJ/ k’ w funkcji F ^ J,k,[ x , A £ / ' * ' ) . P rzedstaw iając w z ó r ( 3 .8 0 ) w postaci:

X £ ' * ) . / £ (3 .8 1 )

z,*r,

t.*z.

w ek to ro w y potencjał m a g n ety czn y ( 3 .7 0 ) w d o w o ln y m p u n k cie X(x, y ) e R2 w yraża się następ ującym w zorem :

= Z W ‘ ( x . A Z ‘ z‘ ) / 2 , . (3 .8 2 )

t , * Z ,

S u m o w a n ie w e w z o rz e ( 3 .8 2 ) p o num eracji trójk ątów A ^ ''2' m o ż e b y ć zastąp ion e su m ow an iem p o num eracji p u n k tó w Yp (« / = 1, 2 , ..., W\ W - liczb a w ę z łó w sieci triangulacyjnej p -te g o przew od u ), b ęd ących w ęzła m i sie ci triangulacyjnej p ow ierzch n i Sp.

W tedy w zó r (3 .8 2 ) m a postać:

a w = ^ ' Z ' Z f pu, (x -a ? )j z > (3 83>

p - 1 u>=\

g d zie J p je st g ę sto śc ią prądu w punk cie X p , zaś

f; ( x ,a ; ) = X Fp:M ( x , A ;■>■*’ ) (3 .8 3 a )

oraz A wp je s t zbiorem trójk ątów m ających w sp ó ln y w ie rz ch o łe k w pu nk cie Yp :

A " = ( & £ • * ': w e { r , t , z , } } . (3 .8 3 b )

-O znacza to, ż e g ę sto ść prądu J p pojaw i się przy su m ow an iu w e w z o r z e ( 3 .8 3 ) ty le razy, ile jest trójkątów o w sp óln ym w ierzch ołk u Yp .

A by zatem ze w zoru (3 .8 3 ) w y zn a czy ć w ek torow y potencjał m agn etyczn y w d ow oln ym punkcie X(x, y ) e R2 układu N c p rzew o d ó w ró w n o leg ły ch , n a leży up rzednio o k reślić w sposób o g ó ln y funkcję kształtu Fp‘J ’k'

[x ,A

£ / A ) oraz g ęsto śc i prądów J " w w ęzła ch sieci triangulacyjnej.

Funkcje kształtu w ystęp u jące w e w zo rze (3 .8 0 ) o b licza się w sp o só b o g ó ln y z e w zoru (3.76). W celu up roszczen ia zapisu w dalszej czę śc i opracow ania b ęd zie p om in ięty indeks

„prim” w ozn a czen iu zm ien n y ch param etrycznych 7 'oraz indeks „s” przy /,, j , i ks.

Z rys.3 .7 w y zn a cza się w ek tor

r = a k + a klf + a kjT] (3 .8 4 )

i w ted y całk ę (3 .7 6 ) przedstaw ia się następująco:

’7 1

F ;ik(x,Yipi,Y i„Y k pi)=-2A ps J | /ln |

ak + a kl?+akjri\dfd7] . (3 .8 5 ) o o

N a pod staw ie w zoru (3 .8 4 ) kwadrat m odułu w ektora r

= Irl2

⁼^{a 2}^kjr]2^{+ 2}^akj^•(ak + akif)n+ \ak + akl} \ ^{(3 .8 6 )}

Jest to w ielo m ia n kw adratow y zm iennej 77, którego w yróżnik

A = - 4 \ a k ! Ą a k + a k, j ) | < 0 .

W zór (3 .8 6 ) m ożna przedstaw ić w postaci:

2 2

r = a k, T] + Okj ■ {a k + a k< ? )

a l

(3 .8 7 )

(3 .8 8 )

P ierw sze ca łk ow an ie w e w z o rz e (3 .8 5 ) w yk on u je się w z g lęd em zm ienn ej r\ pop rzez zam ianę zm ien n ych pod staw iając za

n +

a k j^'{a k + a k ,?)

(3 .8 9 )

skąd otrzym uje się:

du = a*,d77 (3.90)

-gdzie:

h = f — ln(wf + a 2) d f , (3.109a)

/ 4

= +flr

^d ^ ; (3.109b)

o Uk>

/ s = f

^{2 ^} ² Ul^f d f ,

(3.109с)

J Cllri

r 2a z w

/ 6 =

J

- a r c t g — d ^ , ( 3 .1 09d )

0 # ^

1 _

r 2 ^ w.

= J — a r c t g - ^ - d / . (3 .1 0 9 e )

W ykorzystując m etod y o b licza n ia ca łek z prac [5, 54, 153] i w z o ry z pracy [6 0 ] o b licz a się a n alityczn ie całk i / 3 , / 4 , / 5, / 6 i / 7 (przedstaw iono je w załączniku Z 2 ) i w ted y funkcję kształtu (3 .1 0 9 ) przed staw ia się ja k o kom b inację funkcji standardow ych.

G ęsto śc i prądu J t { X ) w d o w o ln y m p u n k cie X e S, /-te g o p rzew od u zw iązan a je s t z w ek to ro w y m p oten cjałem m agn etycznym ró w n a n iem (2 .1 6 ). Przy aproksym acji potencjału w e k to r o w e g o w zorem ( 3 .8 3 ) rów nanie to m a następującą postać:

M x ) + j ^ _ j £ ' £ F * ( x , A “ )j ; = % ,

(3.110)

y ^ p=1 »=1

gdzie: / = 1, 2 , .. ., N c .

Jeżeli punkt X = X " ( v = 1, 2, ..., W), tzn., g d y je s t o n w ę z łe m sieci triangulacyjnej p o w ierzch n i Si l-teg o przew odu, p o w y ż s z e rów nan ie zap isu je się następująco:

i v w / \

± _ + ш о _

^{( з . ш )}

Y ^ p=\ 1

g d z ie J \ je s t g ę sto śc ią prądu w p u n k cie X ".

Z apisując rów nania typu (3 .1 1 1 ) dla k ażd ego punktu w ę z ło w e g o układu N c p rz ew o d ó w otrzym uje się układ N CW rów nań algeb raiczn ych z niezn anym i g ę sto śc ia m i prądów w w ęzła ch sie ci tria n g u la cy jn ej-P o rozw iązaniu te g o układu rów nań z e w zo ru ( 3 .8 3 ) w y zn a cza się w ek to ro w y potencjał m a g n ety czn y w d o w o ln y m p u n k cie Z e R 2 .

4. IMPEDANCJE JEDNOBIEGUNOWEGO TORU WIELKOPRĄDOWEGO

O słon y je d n o b ie g u n o w e g o , p ła sk ieg o toru w ielk o p rą d o w e g o z rys. 1.2 łą cz o n e są najczęściej z z iem ią na ich koń cach r y s .l.3 b oraz z osłonam i in n ych faz - rys. 1.5. O słony m ogą te ż b y ć łą cz o n e m ięd zy so b ą w punktach pośredn ich - rys. 1.4. W tedy w osłonach popłyną w zd łu żn e prądy pow rotn e (rys. 1.5), w y w o ła n e siłam i elektrom otoryczn ym i indukcji w zajem n ych m ięd zy o sło n ą a p rzew od em rob oczym w łasnej fa zy oraz m ięd zy o sło n ą a przewodam i rob oczym i i o słon am i faz sąsiedn ich. A b y p r aw id łow o w yk on ać ob licze n ia pola m agn etyczn ego w o to czen iu ta k ieg o toru (ró w n ież o b licz en ia term iczne i d y n a m iczn e) należy znać w artości tych prądów w zd łu żn ych . W tedy k o n ieczn e staje się w y zn a czen ie im pedancji w łasn ych p rzew o d ó w fa z o w y ch i o s ło n oraz w szy stk ich in d u kcyjności w zajem n ych , czy li w y zn a czen ie param etrów elektryczn ych schem atu za stęp cz eg o p rzed staw ionego na rys. 1 .6 . N a leży przy tym u w zg lę d n ić zjaw isk a n ask órk ow ości i zb liżen ia. W pierw szej k olejn ości, na pod staw ie rów nania ca łk o w e g o w yp ro w a d zo n eg o w rozd ziale 2 , zostaną zdefin iow ane im pedancje w ła sn e i w za jem n e w przypadku o g ó ln y m układu Afc p r z ew o d ó w rów noległych .

4.1. Impedancja własna przewodu odosobnionego

R ów n an ie ca łk o w e (2 .1 0 ) dla p rzew od u o d o so b n io n eg o w ią ż e prąd / z jed n o stk o w y m spadkiem nap ięcia w przew odzie. W o b ec te g o zostan ie o n o w yk orzystan e d o w yzn aczen ia im pedancji jed n ostk ow ej przew odu od o so b n io n eg o .

P odstaw iając w z ó r (2 .9 ) do rów nania (2 .1 0 ) otrzym uje się:

% = ^ ^ + j e o A ( X ) . (4 .1 )

N astęp n ie rów nan ie (4 .1 ) m n oży się przez sp rzężon ą w artość

J ' ( x )

i całk uje w obszarze S, czyli

J %

**J*(x) iS**

= —

J

j { X ) r ( * > 1 5 + j a j

A ( x ) r ( x ) d S

. (4.2)

s ^ s s

Jed n ostk ow e nap ięcie % = const. (reprezentuje o n o zew n ętrzn e, b e z w iro w e p o le elektryczne), zaś

= (4.3)

-4.2. Impedancje własne i wzajemne układu Nc przewodów równoległych

W rozd ziale 2 z równania (2 .1 6 ) dla układu N c p rzew od ów rów n oległych otrzym ano

58 Dla prądu przemiennego o zespolonej wartości skutecznej

i częstotliwości pozwalającej na pominięcie prądów przesunięcia Maxwella gęstość prądu w przewodzie rurowym otrzymuje się z równania Helmholtza w postaci następującego wzoru [17, 91, 110, 114] :

Ą r \

_ V ~j

m I

^ (VI

mRi

k (V~j

m r ) ~

j

S i j j 1 ] ™R\

K (VI

mr)

- rezystancję na jednostkę długości przewodu rurowego z uwzględnieniem zjawiska naskórkowości

- indukcyjność własną na jednostkę długości przewodu rurowego z uwzględnieniem

zjawiska naskórkowości

prądu

jest rozwiązaniem ogólnym jednowymiarowego równania Helmholtza i można

zapisać ją następująco, [17, 91, 110, 114]:

-Tak w y z n a c zo n y potencjał m agn etyczn y p od staw ia się d o rów nania (4 . 1 0 ) z jed n oczesn ym w y k o rzy sta n iem ( 4 .11 ). N astęp nie tak otrzym ane rów nanie zapisuje się dla d w ó ch w arunków b r z eg o w y c h - dla p o w ierzch n i w ew n ętrznej i zew n ętrznej p rzew od u , w yk orzystu jąc n ie za le żn o ść nap ięcia 6i l o d zm iennej r. O trzym uje się w ten sp osób następujące rów nania : - dla r = R \

Ъ = - C r f o i F . T)m R i ) + - C 23C0 ( V M ) + j o i4 n (R l ) , (4 .2 7 )

У r

- dla r = R2

Ы m R 2) + l - C2X0(y[] m R 2) + i a A11 ( R 2 ) . (4 .2 8 )

Z tak otrzym an ego układu rów nań w y zn a cza się stałe C \ i C i.

(4 .2 9 )

c ^ i ń E 7 _ » з ) „ , и з о »

g d z ie : С = X0( j ] m R 2)} , m R l ) + j3C, { f j m R x) j0 m R 2 )

-- j V ~ T m R 2\n -- j -- [łI, ( V -- I m R i К i f i m R2) - Si i f ~ i mRi к (Vj m R 2 )].

к2

Z esp o lo n a w artość skuteczna prądu / w ynosi:

I = J y ( / - ) r d r d ć ) = j ] f i S o i f - l m r ) + C2^X0( j ] m r ^ r d r d & . (4 .3 1 )

0// o//

P o w yk onan iu całk ow an ia i pod staw ieniu stałych C i i C2 prąd ten w yraża się ja k o funkcję n ap ięcia 6lt :

1 = ^ ^ mR>^ ^ mRl^ S l m R l ^ ^ mR]^ (4 32)

lub też

1 = 9*11, (4 .3 3 )

g d z ie C^jest adm itancją je d n o s tk o w ą przew od u ru row ego

^ ⁼ mR[ ^{^ ^} mRl ^{( ^}

^{m R i}

^K № ⁾¹ ^{(4 34)}

J ed n o stk o w a im pedancja p rzew od u rurow ego

Z = ? T \ (4 .3 5 )

która po w yk onan iu o d p o w ied n ich przek ształceń w yraża się w zo rem (4 .2 4 ).

W dokumencie Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowych osłonietych torów wielkoprądowych (Stron 17-0)