Sformułowanie zagadnień brzegowych w postaci równań całkowych, w których wprowadza się jednostkow e spadki napięć w przewodach, pozwala otrzymać dla prostych układów torów prądowych analityczne wzory, określające impedancje własne i wzajemne toru. W przypadku złożonego toru prądowego otrzymuje się przybliżone rozwiązania pola elektromagnetycznego w jego przewodach i jego otoczeniu. Impedancje własne i wzajemne są wtedy wyznaczone również w sposób przybliżony.
W rozdziale tym wyprowadzono równania całkowe dla przewodu odosobnionego oraz dla układu N c przewodów równoległych.
2.1. Równanie całkowe dla przewodu odosobnionego
Zakłada się, że przez równoległy do osi Oz przewód odosobniony (rys.2.1) o konduktancji Y i przekroju poprzecznym S płynie, zgodnie ze zwrotem osi Oz, prąd sinusoidalny o pulsacji co i wartości zespolonej 1.
Rys.2.1. Przewód odosobniony z prądem/
Fig.2.1. Separated conductor with current /
W ektor gęstości prądu J(X ) w przewodzie (X e S) jest równoległy do osi Oz, czyli ma jedną składową Ą X ) wzdłuż tej osi. W ektor ten zapisuje się w postaci:
Ą x ) = \ t Ą x ) .
(
2.
1)
Składowa J(X) je st niezależna od współrzędnej z. Rozważany problem je st zatem dwuwymiarowy.
19
-Wektor gęstości prądu spełnia następujący warunek na granicy powierzchni przewodzącej:
Ą x ) n =0 , (2 . la)
gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni S przewodu. Ponadto wektor gęstości prądu spełnia warunek ciągłości
div7(Ar) = 0 . (2. Ib)
Zakładając, że przenikalność magnetyczna przewodu jest równa /Jo, natężenie pola magnetycznego w dowolnym punkcie
X
e R2H(X)
= ——rotA(X)
, (2.2)Mo
gdzie
A
(A) jest wektorowym potencjałem magnetycznym.W analizowanym przypadku przewodu odosobnionego potencjał
A(X)
jest równoległy do osi Oz, czyliA(X)
= l zA(X)
(2.3)i jego składowa A(X) wzdłuż osi Oz określona jest [89, 90, 175] przez skalarne, dwuwymiarowe równanie Poissona
V 2A {X ) = - H 0Ą X ) (2.3a)
w obszarze przewodzącym, tzn. dla X(x, y ) e S, oraz skalarne, dwuwymiarowe równanie Laplace’a
V 2A (X ) = 0 (2.3b)
poza tym obszarem, tzn. dla X(x, y ) e R2\S.
Zagadnienie brzegowe układu równań (2.3a) i (2.3b) polega na wyznaczeniu ich rozwiązania spełniającego określone warunki brzegowe. Spełnienie tych warunków stanowi tutaj podstawową trudność. Zagadnienie to jest stosunkowo łatwe dla odosobnionych przewodów o symetrii geometrycznej (np. przewód walcowy lub rurowy) oraz dla układów przewodów o pewnych szczególnych symetriach geometrycznych (np. układ współosiowy dwóch przewodów rurowych).
Innym sposobem podejścia do zagadnień brzegowych je st sformułowanie ich w postaci układu równań całkowych [90, 175]. Równania całkowe pozwalają w stosunkowo prosty sposób uzyskać spełnienie warunków brzegowych, a samo rozwiązanie zagadnienia brzegowego otrzymuje się przy zastosowaniu metod przybliżonych.
Z drugiego równania Maxwella
rot E ( X ) = -}a>p0H ( X ) (2.4)
20
które jest polem zewnętrznym (pierwotnym, źródłowym) [87, 88, 89, 175].
Ostatecznie z powyższych równań otrzymuje się następujące równanie:
E { X ) + ] 0 A ( X ) = ‘U . (2.7)
W ypadkowe natężenie pola elektrycznego E(X) w przewodzie związane jest z wypadkową gęstością prądu Ą X ) uogólnionym prawem Ohma
E { X ) = & - . (2 .8)
Y
21
-Rozwiązaniem układu równań (2.3a) i (2.3b) jest funkcja zwana logarytmicznym potencjałem magnetycznym obszaru płaskiego S [40, 90, 95]
A (X ) =
f
y ( r ) ln — d x ’d / , * (2.9)Po podstawieniu wzorów (2.8) i (2.9) do równania (2.7) otrzymuje się dla X{x,y) g S
^ ^ - + ] a > ^ - [ j{ Y ) \n — d x 'd y ' = eU. (2.10)
Y 2^-J rn
Równanie (2.10) jest dwuwymiarowym równaniem całkowym Fredholma drugiego rodzaju z jądrem słabo osobliwym [16, 89, 90, 152, 157, 175, 182, 188]. Jak wiadomo [16, 41, 182], ma ono jednoznaczne rozwiązanie dla dowolnej (nie tylko stałej) prawej strony.
W ogólnym przypadku równanie całkowe (2.10) daje się rozwiązać tylko metodami przybliżonymi. Istnieje szereg metod przybliżonego rozwiązywania równań całkowych [90, 112, 175, 188]. Metody sprowadzające równania całkowe do układu liniowych równań algebraicznych to przede wszystkim: metody momentów, Galerkina i kolokacji [90].
W niniejszej pracy proponuje się metodę zbliżoną do metody kolokacji, polegającą na podziale obszaru S przewodu na Nd obszarów elementarnych S, i przyjęciu, że w każdym z tych obszarów funkcja gęstości prądu jest stała i równa J,. Wtedy też potencjał (2.9), a więc całka w równaniu (2.10) zostaje aproksymowana tzw. funkcją kształtu FS(X), którą wyznaczono analitycznie w rozdziale 3, p.3.3.2. Wtedy potencjał
Ąx)
= - ^ J SF ,( X ) , (2 . 11)W układzie jednostek SI prawa strona równania Poissona (2.3a) wyrażona jest w Wb m"3. Zatem zmienne x, y przyjętego tutaj płaskiego prostokątnego układu współrzędnych, występujące w Laplasjanie V2 lewej strony tego równania, wyrażone są w metrach. W konsekwencji odległość rxr określona wzorem (2.9a) również wyrażona jest w metrach. Aby zatem funkcja —-— , logaiytmowana we wzorze (2.9), była
rxr
bezwymiarowa, jej licznik, co należy wyraźnie podkreślić, musi być równy jednostce miary długości.
Obszerne przedstawienie zagadnień dotyczących matematycznej natury wielkości fizykalnych czytelnik znajdzie w pracy [36].
22
-Stąd rów nanie c a łk o w e (2 .1 0 ) sprow adza się d o układu Nd rów nań a lgeb raiczn ych dla X e S ,
~
+
J , F,{X)=<U,( 2 . 12 )
r 2 /r
gdzie: J t - stała w artość g ę sto śc i prądu w ob szarze elem entarnym S(, t = \ ,2, N d - num er /-te g o obszaru elem en tarn ego.
R ów n a n ie ( 2 .1 0 ) zo sta ło zatem p rzyb liżon e uk ładem Nd rów nań a lgeb raiczn ych (2 .1 2 ), g d z ie n iew ia d o m y m i s ą w artości g ę sto śc i prądu w obszarach elem en tarn ych S „ natom iast elem en ty m acierzy w sp ó łc z y n n ik ó w są całkam i p o elem en tach Sj z jądra rów nania c a łk o w eg o . Istnieją przy tym d w a sp o so b y p o d ejścia d o rozw iązan ia ta k ieg o układu równań:
• dla w y m u szen ia n a p ięc io w e g o znane je s t n a p ięcie ‘U na jed n o stk ę d łu gości p rzew od u i w ted y n iezn an e g ę sto śc i prądu J, w y z n a c za s ię z układu (2 .1 2 ) N d rów nań algeb raiczn ych ,
• dla w y m u szen ia p rąd ow ego znany je s t prąd c a łk o w ity I i w te d y układ rów nań (2 . 1 2 ) n a leży u zu p ełn ić r ów n an iem dod atkow ym :
I = (2 .1 3 )
s *-i
otrzym ując Nd + 1 równań algebraicznych.
2.2. Równania całkowe dla układu Nc przewodów równoległych
Jed n ob iegu n ow y, tró jfa zo w y o sło n ię ty tor w ielk o p rą d o w y z rys. 1.5 w raz z ew en tualnym i, u m ieszczo n y m i w je g o są sied ztw ie, inn ym i przew od am i lub p łytam i p rzew o d zą cy m i m oże b yć traktow any w przypadku o g ó ln y m ja k o układ N c p r z ew o d ó w ró w n o leg ły ch o różn ych konduktancjach yp ( p = 1 , 2 , . . . , N e) - rys.2 .2 .
Rys.2.2. Układ Nc przewodów równoległych Fig.2.2. System o f Nc parallel conductors
23
-Przekroje p r zew o d ó w określone są przez S1 , S 2 , . . . , S ;, , . . . , S W . P rzez każdy z tych p rzew od ów płyną, zg o d n ie z e zw rotem o si O z , od p o w ied n io prądy z esp o lo n e
Л>/2 ■
W uk ładzie N c p rzew od ów z prądami Ip zach odzi w zajem n e od d zia ły w a n ie pól elektrom agnetycznych [1 1 3 , 175, 182]. W w yn ik u te g o odd ziaływ an ia w y p a d k o w y w ek tor g ęsto ści prądu w każdym z p rzew od ów , w o g óln ym przypadku, z a le ży o d prądu w ła sn eg o i od prądów w przew odach sąsiednich . W ektor ten spełnia warunki (2. la ) i ( 2 . Ib). Jest on rów n oległy d o o si O z, ma je d n ą sk ła d o w ą УДА), c zy li d \ a .X e SP
J p ( X ) = l z J p { X ) . (2 .1 4 )
S k ładow a J/^Х) jest n iezależn a o d w spółrzędnej z, c zy li rozw ażany problem je st d w uw ym iarow y.
W d o w o ln y m pu nk cie X (x ,y) e R2 w ektorow y potencjał m agnetyczny A ( X ) jest sumą w ek torow ą potencjałów A P(X ) generow an ych przez k ażd ą z g ę sto śc i prądu J P(Y), tj.
A ( X ) = ' £ A P( X ) . (2 .1 5 )
p-i
W a n alizow an ym przypadku układu N c p rzew o d ó w rów n o leg ły ch potencjał A ( X ) jest rów n oległy d o osi O z, czy li w yraża się w zo re m (2 .3 ), a je g o sk ładow a A ( X ) w zd łu ż osi O z
A ( X ) = ^ A P( X ) , (2 .1 5 a )
p= 1
g d zie potencjał AP( X ) gen erow an y je s t przez g ę s to ś ć prądu JP(Y ) i w yraża s ię wzorem :
A P { X ) = % - f y , ( y ) l n — d x ' d / , (2 15b)
2л ( fyry
ър g d zie У ( х ',У ) e S „ p = 1 ,2 , . . . , N e .
W ew nątrz /-teg o przew od u ( / = 1, 2 , ..., N c), tzn. dla X (x ,y) 6 Si z równania (2 .4 a ) otrzym uje się, an alogiczn ie do przew od u od o so b n io n eg o , następujące równanie:
E1{ X ) + ] C0A ( X ) = % , (2 .1 6 )
w którym w y p a d k o w e natężenie pola elektrycznego
(2 .1 6 a ) У i
g d zie J { X ) je s t w y p a d k o w ą g ę sto śc i prądu, z a ś A ( X ) je s t całk ow itym potencjałem m agnetycznym ok reślon ym w zorem ( 2 .1 5a).
24
26
-C ałk ow ita g ę s to ś ć prądu w £ -tym p rzew o d zie w,
J t ( y ) = ^ J J kp{ y ) = J u ( Y ) + Y j J d Y ) , ( 2 .2 3 )
p= 1 5=1
5 */
gdzie: ./*/(}') - g ę sto ść prądu w.fc-tym p rzew o d zie p och od ząca od prądu h ,
Jks(Y) - g ę sto ść prądu w k -tym p r zew o d zie p och od ząca od prądu Is (s *1, s = l , 2 , . . . J f
c-l)-Stąd drugi sk ładnik z prawej strony w zo ru (2 .2 1 )
N '-\ Nc K - l Nc- 1 K - \
ź 2 X ( * ) = $ > * ( * ) , (2 .2 4 )
k
=1 /»=1 fc=l jfc=l 5=1k*l k*l k*l s*l
g d z ie
A U ( X ) = ^ ~ f j H( r ) l n J - d x ' d y . (2 .2 4 a )
2* SJ O t
J M = -£L f j j r ) l n — d x ' d y .
(2 .2 4 b )P od staw iając w z o ry (2 .2 2 ) i (2 .2 4 ) d o w zoru (2 .2 1 ) otrzym uje się:
£ A p ( X ) = A u ( x ) + ^ A M / j r A M + ^ r ] T aJ x ) . (2 .2 5 )
p=1 k=1 £=1 /t=l 5=1
k*l k*l k*l s*l
O statecznie, p o pod staw ieniu w z o r ó w ( 2 .2 0 ) i ( 2 .2 5 ) do w zoru (2 .1 9 ), otrzym uje się równanie:
% = l ^ + ]c0A u { x ) + i ( ^ A u ( x ) + !^ ^ 1 +
1 *=i k-1 Yi
k*l k*I
Nc-\ Nc-\ (2 .2 6 )
+ j ®2 > * ( * ) + j « 2 ; 2 ] i 4 b (jr ).
*=; *=i 1=i
k*l s*l
P ie rw sz e trzy sk ład niki prawej strony rów nan ia (2 .2 6 ) z a le żą o d prądu /*; p o zo sta łe o d prądu h (k*l). P ierw szy sk ład nik reprezentuje p o le elek tryczn e w y w o ła n e p rzep ływ em prądu h D rugi składnik reprezentuje p o le elek tryczn e indukcji g en ero w a n e p rzez g ę s to ś ć Ju. T rzeci składnik je s t p o lem indukcji g en ero w a n y m p rzez prądy w ir o w e ind u k ow an e w p rzew od ach są sied n ich p rzez p rzem ien n e p o le m a g n ety czn e prądu //. Składniki czw arty i p iąty reprezentują prądy w ir o w e in d u k ow ane w /-tym p r zew o d zie p rzez przem ien n e p o le m a g n ety czn e prądu /*. Składnik ostatni je s t p olem ind ukcji g en ero w a n y m p rzez prąd
27
-W śród potencjałów w ch o d zą cy ch w skład te g o ostatn iego składnika je st ró w nież potencjał zw iązan y z prądem /* (dla s= k ) i w o b ec te g o zach odzi pytan ie o je d n o c z esn e istnien ie w składnikach czw artym , piątym i szó sty m e lem en tó w z a leżn y ch o d w yb ran ego prądu h . O tóż istnienie w ostatnim składniku potencjału z a le ż n e g o o d prądu h nie p o cią g a z a so b ą istnienia podobnych (za leżn y ch od /*) ele m en tó w w członach czw artym i piątym . J eżeli dla X e S / potencjał (s=k)
Ak3(x )=
c o n s t , (2 .2 7 )to z g o d n ie z e w zorem ( 2 .2 ) p o le m agn etyczn e w pu nk cie X e S i je s t rów n e zero.
W k on sek w en cji w /-tym p rzew o d zie n ie m a prądów w iro w y ch za le żn y ch o d prądu /*, a to oznacza, ż e w składnikach czw artym i piątym znikają elem en ty za le żn e o d prądu /*, ale w składniku szó sty m nie zn ik a potencjał (2 .2 7 ).
W przypadkach sz c ze g ó ln y ch istn ien ie, p o szc z e g ó ln y c h e le m en tó w w składnikach prawej strony rów nania (2 .2 6 ), jak ró w n ież ca ły ch sk ład n ik ów z a le ży od konfiguracji w zajem nej przew od ów , stanu prąd ow ego w przew od ach oraz od zakresu p o czy n io n y ch założeń up raszczających, p o le g a ją c y c h , na zanied byw an iu lub n ie zja w isk zb liż en ia m ięd zy przew odam i.
R ów n an ie (2 .2 6 ) je st sz c ze g ó ln ie przydatne, jak to zostanie pokazane w rozdziale 4, przy w yznaczan iu im pedancji w ła sn y ch i w zajem n ych p rzew o d ó w rurowych.