Funkcja kształtu

Funkcja kształtu (3 .2 9 ) zależy o d pod ziału pow ierzch n i Sp na e lem en ty Sps oraz od funkcji aproksym ujących kształt tych pow ierzchni. O b licz en ie ca łek ( 3 .2 9 ) w każdym z ob szarów elem entarnych m oże b yć w y k on an e nu m eryczn ie [1 7 5 ], stosując o d p o w ied n ie w zo ry na kwadraturę, lub też o b licza się j e analitycznie w p ierw szym całk ow aniu , zaś w drugim całkow aniu nu m erycznie [133, 172].

W niniejszej pracy całk i (3 .2 9 ) o b licza się an alityczn ie w u k ład zie w sp ółrzęd nych prostokątnych lub w a lco w y ch . R o zw ią za n ie przedstaw ia się ja k o kom binację funkcji standardowych. U zysk u je się przez to du że u p roszczen ie o b liczeń , c o znaczn ie skraca czas ob liczeń n u m eryczn ych im pedancji, g ę sto śc i prądu i n atężen ia pola m ag n ety czn eg o w osło n ięty ch torach prądow ych. M a to sz czeg ó ln e zn a czen ie w przypadku, g d y punkt X leży w obszarze elem entarnym Sps. W tedy całka (3 .2 9 ) je s t całk ą n iew ła śc iw ą , c o zn aczn ie utrudnia całk ow an ie nu m eryczn e w prow adzając w kon sekw en cji d u że b łęd y o b liczeń .

36

-Z azw yczaj p o w ierzch n ię Sp p rzew od u d zieli się na obszary elem en tarn e prostokątne, w y c in k ó w k o ło w y ch oraz trójkątne. W dalszej k o lejn o ści b ę d zie zatem o b liczo n a funkcja kształtu dla tych trzech p o d sta w o w y ch sp o so b ó w dyskretyzacji p ow ierzch n i p rzew od ów .

3 .3 .2 .I. P rostokątny ob szar elem en tarn y

P odziału obszaru p r z ew o d zą c e g o Sp na prostokątny elem entarne Sps dok onu je się dla p rzew o d ó w , których przekroje p o p rzeczne są naturalnym i prostokątam i (prostok ątne szyn y zb io rcze i prostokątne pak iety sz y n o w e) lub te ż dają się przed staw ić za p o m o c ą prostok ątów (p rzew o d y sz y n o w e z ło ż o n e z c e o w n ik ó w ) [1 1 , 13, 14].

Rys.3.4. Prostokątny obszar elementarny Fig.3.4. Rectangular elementary area

G dy obszar elem en tarn y je s t prostokątem o bok ach Ax„, A y n, k tórego p o ło żen ie ok reślon e je s t p rzez je g o dolne, le w e naroże, tj. przez punkt Y„(x'n,y'H) - rys.3 .4 , funkcję kształtu

o b licza się następującym w zo rem [1 1 , 13, 14]:

yn+Ay,

F ( X J n, A x n, A y n) = Ą

_y'n

J

I I _<

| l n | ( x ' - x )2 + ( y ' - ^ ) 2 ] d x ' d y . (3 .3 0 )

W w yn ik u p ierw szeg o całk ow an ia ( 3 .3 0 ) otrzym uje się:

y'„+Ayn

F ( X , Y n, A x n, A y „ ) = ~ ( x ' „ - x + A x n) J ln \ y ' - y)2 + ( x ’„ - x + A x „ f ] d y ' + /m

y'n+Ayn

^ ( x ’n - x ) J l n \ y ' - y f + { x ' - x )2] d y ' + A x nA y n

y.n

- [ i y ' ~ y ) arctg X" X' + A X " d y ' +

f

( y ' - y ) a r c t g — — - d y ' . (3 .3 1 )

y - y y - y

y>t

37

-D rugie całk ow anie m ożna w yk on ać rów nież a nalitycznie otrzym ując:

f { x , y , X'n ,y '„ , A x n, A y n) = Y A x n A y „ - f ( x , y , x'n + A x „ , y'„ + A y „ ) +

+ f { x , y , x ' n, y ' n + A y n) + f ( x , y , x ' n + A x n, y ' „ ) - f ( x , y , x ’n, y ' n) - - g { x , y , x ' „ + A x n, y ' n + A y „ ) + g ( x , y , x'n, y ' „ + A y n) +

+ g { x , y , x ' „ + A x „ , y ' n) - g ( x , y , x'n, y ' „ ) - h ( x , y , x'n + A x „ , y'n + A y n) +

+ h ( x , y , x ' „ , y ' „ + A y n) + h ( x , y , x'n + A x n, y ' „ ) - h ( x , y , x'„,y'n) , (3 .3 2 )

gd zie fun kcje/ , g oraz h dane są wzoram i:

f ( x , y , x ' , y ' ) = - U x - x ' ) ( y - y ' ) \ n j --- — — --- , (3 .3 3 )

2 |(*-*)

+ { y - y )

I

g ( x , y , x ' , y ’) = - ^ - ( y - y')2 arctg X X (3 .3 4 )

z

y y

h ( x , y , x ' , y ' ) = y ( x - x ' ) 2 arctg (3 35)

Całki (3 .3 3 ), (3 .3 4 ) i (3 .3 5 ) są całkam i n iew ła ściw y m i a le zb ieżn ym i. Fakt ten należy o d p ow ied n io u w zg lęd n ić przy konstruow aniu programu o b licze n io w eg o .

W układach w ielo p rzew o d o w y ch p rzew o d y jak rów n ież ich w yb ran e obszary m o g ą być p od zielon e na prostokąty elem entarne o różn ych w ym iarach . W ten sp o só b m ożn a z a g ęszcza ć siatkę podziału w w ybranych obszarach, tzn. w takich, w których zjaw iska nask órkow ości i zbliżenia u w id aczn iają s ię w sp osób silny.

3.3.2.2. O bszar elem en tarn y przew odu w alcow ego i rurow ego

D la p rzew o d ó w w a lc o w y ch lub rurow ych obszar elem entarny m o ż e b y ć w ybrany jak o w ycin ek p ierścien ia - rys.3.5

Rys.3.5. Obszar elementarny przewodu walcowego lub rurowego Fig.3.5 Elementary area of a cylindrical or tubular conductor

38 ró w n o cześn ie p od ział na prostokątne obszary elem entarne oraz na w ycink i pierścienia.

Bardziej u n iw ersalnym pod ziałem obszaru p rzew o d zą ceg o je st je g o pod ział na trójkątne obszary elem entarne - rys.3.6.

40

-Rys.3.6.

Fig.3.6.

Podział p-tego przewodnika na trójkąty elementarne A a ) sieć triangulacyjna, b) trójkąt elementarny AfJ

Division of the p-conductor into elementary triangles A^ ; a) triangulation system, b) triangle &ps

Taki pod ział p o w ierzch n i S^, przew od n ik a na s trójk ątów elem en tarn ych Aps stan ow i sie ć triangulacyjną u tw orzon ą przez punkty: Yps, Yps 6 Sp, zw an e punktami triangulacyjnym i - rys.3.6.

K ażd y punkt Yps w ew n ątrz s -te g o trójkąta Aps m o że b yć ap roksym ow an y lin io w o punktam i w ierzch o łk o w y m i te g o trójkąta, tzn., ż e zbiór tych p u n k tów je st dany przez:

x'p* = x 'p , + {x % ~ * p , ) f + (x p’ ~ x p* h

*■ ;;/ = - ( v ; J : (3 .4 2 )

g d z ie n o w e zm ien n e / i ij

0 < ^ < 1 ; 0 < v < l - / . (3 .4 3 )

O zn acza to, ż e zbiór rp w szy stk ich p u n k tów pow ierzchn i Sp /»-tego przew od u został p rzyb liżon y zbiorem p u nk tów

(3 .4 4 )

g d z ie rp je st zbiorem w szy stk ich trójk ątów triangulacji p ow ierzch n i Sp.

U '

Z rys.3.6b w ektor r je st funkcją z m ien n y ch j i tj:

r = ai+aJJf+aUcT] ,

(3 .4 5 )

41

-gdzie wektory:

aij ~~(pps ~ xps

^{) ^ x}

(yps ~ yps

^—

aijx l x

⁺

&ijy ^y aik ~ faps ~ Xps ^ iy ps ~ y ps)^-z ~ aikx^x

⁺

aiky ^y

E lem ent ró żn iczk o w y p o w ierzchn i w n o w y ch w sp ółrzęd n ych

d S

p

= d x'p d y'p =

dx'ps dx'ps d f &n fy'ps dy'p,

ôf drj

d f d t ] = a ÿ x a , t d ? d r ] = 2 A psd f d r ] ,

gdzie

2 A p = det

1 x p s y ' p s

1 x pi y'pi

1 x ps y %

(3.46)

(3 .4 7 )

(3 .4 8 )

Przy p o w y ższy c h ozn a czen ia ch funkcja kształtu ( 3 .2 9 ) przyjm uje postać:

l-r 1

Fp, ( x , r pl,Y l „ Y kp) = - 2 A p,

J

| ln |a , + a ijf + a ikĄ d f d r ] (3 .4 9 ) o o

G dy punkt X e Aps, to całka (3 .4 9 ) je st całk ą n iew ła ściw ą , lecz z b ieżn ą w sen sie Cauchy’e g o i n ieza leżn ą przy całk ow an iu od p o ło żen ia punktu X w przestrzeni R2 oraz dającą się przed staw ić za p o m o c ą funkcji standardow ych.

Z e w zoru (3 .4 5 ) o b licza się kwadrat m odułu w ektora

r

r 2 = r?

+ 2 « rt • («, +

at] f)r) + \ a , + a vf\

Jest to w ielo m ia n kw adratow y zm iennej tj,którego w yróżn ik

A =

^x

(ai +a<j?)\

W zór (3 .5 0 ) m ożna przedstaw ić w postaci:

(3 .5 0 )

(3 .5 1 )

tj +

a,k • (a , + a , j ? ) a,k x {a , + a u afk

(3 .5 2 )

P ierw sze c a łk o w a n ie w e w z o rz e (3 .4 9 ) w yk on u je się w z g lęd em zm ienn ej tj p rzez zam ian ę

44

-Ilorazy w ystęp u jące w składniku czw artym i piątym prawej strony w zoru (3 .6 1 b ) p rzed staw iają się w zoram i:

и , a , t + a7

— = t J Ł—

h

(3 6 5 )

а \аъ} + ал\

oraz

". _ а*? + аь

_{— i I .}

n t X i

_{(3 .6 6 )}

\a 3 f + a 4l

W ykorzystując p o w y ż s z e p od staw ienia fun kcję kształtu ( 3 .6 1 ) przedstaw ia się p op rzez su m ę algeb raiczn ą o d p o w ied n ich całek /3, /4, /5, U i /7, tzn.

gdzie:

F p s ( x , Y ; „ Y3s , Y ks ) = - Ap, ( / 3 - / 4 - / , + / 6 ~ / 7) , (3 .6 7 )

1

/3 =

f

ln L2 + a 2 )d f , (3 .6 7 a )

0 1

/4 = f — ln (m,2 + a2 )d f , (3 .6 7 b ) 0

/ , = f 2 ^ 2 d jg , (3 .6 7 c )

i a *

I6 = f — a r c t g — d f , (3 .6 7 d )

J a lk a

o ,K

/ 7 = f — arctg — d ? . (3 .6 7 d )

J a.k a

o lK

W ykorzystując m etod y o b licze n ia ca łek z prac [5, 54, 153] i w zo ry z pracy [6 0 ] o b licza się an alityczn ie całki /3, /4, /5, Ą , /7 (p rzed staw ion o j e w załączn ik u Z l ) i w ted y fun kcję kształtu Fpj przedstaw ia się ja k o kom b in ację funkcji standardow ych.

?

45

W dokumencie Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowych osłonietych torów wielkoprądowych (Stron 19-24)