Analiza porównawcza sieci zwykłej

W poprzednim podrozdziale przeprowadzono analizę t-niezmienników sieci częściowo ważonej i przedstawiono wnioski biologiczne. W niniejszym podrozdziale przedstawione zostaną wyniki analizy sieci zwykłej (tj. sieci, w której wszystkie łuki mają wagę 1) ze-stawione z wynikami dla sieci częściowo ważonej. t-niezmienniki dla sieci zwykłej przed-stawia wspomniany zbiór X^o (o mocy 321 elementów). W celu porównania obu wersji sieci nie będzie bezpośrednio analizowany zbiór X^o, ale jego związki z X^q poprzez wspo-mniane zbiory X^q∩ X^o, X^q\X^o oraz X^o\X^q.

W Tabeli B.3 przedstawiono t-niezmienniki wspólne dla obu wersji sieci (tj. zbiór X^q∩X^o), a w TabeliB.4przedstawiono t-niezmienniki obecne tylko w modelu częściowo ważonym. Dla obu tych tabel numery t-niezmienników są zgodne z numerami z Tabeli B.2. Są one posortowane względem miary podobieństwa (dla identycznego sposobu kla-strowania jak dla Tabeli B.2), ale ze względu na inny rozkład odległości wektorów po rozdzieleniu X^q na X^q∩ X^o i X^q\X^o t-niezmienniki nie zachowują monotonicznej ko-lejności jak w TabeliB.2.

W celu porównania wyników nie wykonano dla tych dwóch zbiorów nowego podziału klastrów, lecz oznaczono relacje kolejnych przedziałów t-niezmienników w stosunku do TabeliB.2(tj. jeśli w TabelachB.3 iB.4 zakres t-niezmienników x_a− x_b ma przypisany klaster cⁱ_j/q_jⁱ, to oznacza, że zakres ten należy do klastra c_j w Tabeli B.2, a i jest kolejnym numerem wyodrębnionej tak grupy t-niezmienników). Tabela 8.6 przedstawia zestawienie, w jaki sposób zostały podzielone klastry c₁-c₁₄zbioru X^qw zbiorach X^q∩X^o i X^q\X^o.

Tabela 8.6: Zestawienie klastrów z Tabeli B.2 z odpowiadającymi im przedziałami t-niezmienników w tabelach B.3iB.4.

Klaster z X^q (Ta-bela B.2)

Odpowiadające przedziały w X^q∩ X^o (TabelaB.3)

Odpowiadające przedziały w X^q\X^o (TabelaB.4)

c₁ c¹₁

c₂ c²₂ q¹₂

c₃ c³₃ q³³₃

c4 c⁴₄ q¹¹₄ , q¹⁸₄ , q₄²⁰, q²²₄ c₅ c⁵₅, c⁷₅ q⁵₅, q²⁵₅ , q²⁷₅

c₆ c⁶₆, c¹³₆ q²₆, q⁴₆, q⁶₆, q⁸₆, q₆¹², q¹⁵₆ , q₆²⁶ c₇ c¹⁴₇ , c¹⁶₇ q¹⁰₇

c₈ c⁹₈, c¹⁷₈ q³₈, q⁷₈, q⁹₈, q¹³₈ , q¹⁶₈ , q₈²⁸ c₉ c¹¹₉ q¹⁴₉ , q¹⁷₉

c₁₀ c⁸₁₀, c¹⁰₁₀, c¹²₁₀ q²¹₁₀, q²⁹₁₀ c₁₁ c¹⁹₁₁ q¹⁹₁₁, q³⁰₁₁ c12 c¹⁵₁₂, c¹⁸₁₂ q²³₁₂, q³¹₁₂, q₁₂³⁴ c13 c²⁰₁₃ q²⁴₁₃, q³²₁₃ c14 c²¹₁₄

Klastry c₁ i c₁₄ są w całości w zbiorze X^q∩ X^o, stąd nie posiadają reprezentacji w X^q\X^o. Z obserwacji Tabeli 8.6 można wywnioskować, że t-niezmienniki wspólne dla obu sieci są dużo bardziej podobne do całości klastrów sieci częściowo ważonej, gdyż są one dużo bardziej spójne, a c¹₁-c⁶₆ występują nawet w takiej samej kolejności. Nie można

Modelowanie i analiza stresu oksydacyjnego w procesie rozwoju miażdżycy za pomocą

sieci Petriego 132

tego powiedzieć o grupie t-niezmienników charakterystycznych tylko dla sieci częściowo ważonej, które są dużo bardziej „porozcinane” i pomieszane. Najbardziej dotyczy to klastrów c₆ (rozcięty na 7 przedziałów) i c₈ (rozcięty na 6 przedziałów). Klastry, które są rozdzielone na kilka przedziałów zwykle odpowiadają odpowiedzi immunologicznej (i rozwojowi miażdżycy) wskutek działania rodników tlenowych, które mogą działać podobnie w różnych kombinacjach, stąd może występować duże podobieństwo między t-niezmiennikami reprezentującymi różne warianty ich działania – rozdzielenie X^qna dwa podzbiory w takich wypadkach mogło skutkować więc „przetasowaniem” podobnych podprocesów.

Dla zbiorów X^q∩ X^o i X^q\X^o porównanie wyników klastrowania do klastrów z X^q mogło nastąpić w opisany wyżej sposób, gdyż są to de facto te same t-niezmienniki. Na-tomiast zbiór X^o\X^qzawiera t-niezmienniki, które nie występują w X^q, więc porównanie zostanie wykonane poprzez nowe klastrowanie i porównanie cech klastrów.

Zatem dla zbioru X^o\X^q przeprowadzono osobny podział klastrów i dobrano λ = 0, 5 tak, aby uzyskać także 14 klastrów (w celu porównania z analizą dla X^q). Lista tych niezmienników oraz klastrów znajduje się w TabeliB.5, natomiast lista cech wspólnych w Tabeli8.7. Rysunek 8.3przedstawia dendrogram odległości między klastrami.

Tabela 8.7: Cechy klastrów zbioru X^o\X^q.

Klaster Rozmiar (%)

Elementy wspólne klastra Elementy wspólne dla ponad 50% klastra

o₁ 12

Modelowanie i analiza stresu oksydacyjnego w procesie rozwoju miażdżycy za pomocą

sieci Petriego 133

W Tabeli8.7można zauważyć, że podobnie jak dla sieci częściowo ważonej, para m₁i m₁₅ znajduje się we wszystkich t-niezmiennikach w większości klastrów (tutaj w 13 z 14 klastrów). W Tabeli B.5 widać ponadto, że istnieje tylko jeden t-niezmiennik niezawie-rający zbioru m₁ (x^o₁₆₂), jednak wszystkie t-niezmienniki zawierają m₁₅, co pokrywa się z wnioskami dla zbioru X^q o kluczowej roli rodnika hydroksylowego. Podobnie w Tabeli B.4 widać, że m₁₅ znajduje się we wszystkich t-niezmiennikach. Zatem wprowadzone informacje ilościowe nie mają wpływu na ten wniosek.

Można zauważyć, że także pozostałe wnioski są prawdziwe dla obu wersji sieci:

– częściowa niezależność objawów klinicznych (m₂) od rozwoju miażdżycy (m₁₃) jest widoczna także dla klastrów o₃, o₆, o₁₁, o₁₂ (występują niezależnie) oraz o₁₃ i o₁₄ (występują łącznie),

– klaster c₁₄ jest wspólny dla obu wersji sieci (odpowiada mu c²¹₁₄), więc bez zmian zostaje wniosek o możliwości rozwoju miażdżycy w pewnym stopniu niezależnie od wystąpienia stresu oksydacyjnego,

– w o₁, o₂, o₆, o₇, o₈ widać, że odpowiedź immunologiczna z udziałem anionu nad-tlenoazotynowego nie musi być związana z rozwojem miażdżycy (m₁₃),

– wniosek dotyczący możliwości peroksydacji lipidów przez rodniki inne niż hydrok-sylowy wynika także ze zbioru niezmienników wspólnych dla obu sieci (np. t-niezmiennik x₄ zawierający t₂₅ i t₄₆ bez t₆ jest w c²₂ w TabeliB.3).

Ciekawą obserwacją jest fakt, że w częściach t-niezmienników charakterystycznych dla poszczególnych wersji (wrażliwych w pewien sposób na wprowadzone dane ilościowe) peroksydacja lipidów następuje zawsze z udziałem rodnika hydroksylowego (pojawienie się zbioru MCT m₁₅, który występuje we wszystkich t-niezmiennikach).

Dla wszystkich powyższych rozważań należy zaznaczyć, że klastry same w sobie nie dostarczają dodatkowej wiedzy dziedzinowej (tak jak wspomniano w rozdziale6.4), ale pozwalają na łatwiejsze określenie cech wspólnych grup podprocesów występujących w badanym modelu oraz ich zidentyfikowanie. Powyższa analiza porównawcza miała więc na celu sprawdzenie wpływu częściowej informacji ilościowej na możliwość formułowania podobnych wniosków dotyczących modelu. Dla obu wersji sieci można było sformułować identyczne wnioski biologiczne.

Jednak nie dla każdej sieci i nie każdego wartościowania wag na łukach wnioski, które można wyciągnąć na podstawie analizy strukturalnej muszą być takie same. Wynika to z faktu, że zmiany wag na łukach powodują zmiany w zbiorze t-niezmienników, który może, ale nie musi prowadzić do takich samych wniosków.

Modelowanie i analiza stresu oksydacyjnego w procesie rozwoju miażdżycy za pomocą

Rysunek 8.3: Dendrogram dla klastrów (zbioru X^o\X^q) opisanych szczegółowo w tabelachB.5,8.7. Linia fioletowa oznacza odcięcie λ = 0, 5 umożliwiające uzyskanie 14

klastrów tak jak dla zbioru X^q.

Rozdział 9

Podsumowanie

Celem niniejszej rozprawy było pokazanie zastosowań teorii grafów w dwóch aspektach związanych z modelowaniem i analizą procesów biochemicznych i biologicznych.

Pierwszy aspekt związany jest z grafami etykietowalnymi i grafami de Bruijna oraz ich uogólnieniem i zastosowaniem. Grafy etykietowalne (w tym grafy DNA) wprowadzone w pracy [7] wykorzystane zostały w algorytmie asemblacji łańcuchów DNA dla jego spektrum otrzymanego z eksperymentu SBH. W rozdziale4rozszerzono definicje grafów dowolnie etykietowalnych, etykietowanych oraz grafów de Bruijna i wprowadzono trzy klasy grafów:

– grafy dowolnie bazowo-etykietowalne (Definicja4.1), – grafy bazowo-etykietowalne (Definicja4.2),

– grafy leksykalne (Definicja4.4).

Wykonana została szczegółowa analiza matematycznych własności tych grafów. Na potrzeby tej analizy wprowadzono ponadto definicje:

– 3.24oraz 4.3– etykiety łuku, – 3.25oraz 4.5– etykiety ścieżki, – 4.6– sekwencji leksykalnej,

– 4.7– wierzchołków równoważnych, – 4.8– wierzchołków słabo-równoważnych.

W wyniku analizy własności sformułowano i wykazano następujące twierdzenia:

– 4.1– o etykietowaniu wierzchołków równoważnych,

– 4.2 – o zamknięciu klasy grafów leksykalnych ze względu na operator grafu linio-wego, które jest uogólnieniem twierdzenia dla grafów de Bruijna z pracy [105], – 4.3 – o izomorfizmie grafów bazowo-etykietowalnych i grafów

dowolnie-etykietowalnych,

– 4.4 – o izomorfizmie grafów dowolnie etykietowalnych i bazowo-etykietowalnych,

135

Podsumowanie 136

– 4.5 – o redukcji długości etykiety łuku dla przypadku podzielności jej długości przez długość swobody łuku,

– 4.6– o izomorfizmie grafów leksykalnych i grafów de Bruijna w przypadkach ana-logicznych do Twierdzenia4.5,

– 4.7– o braku izomorfizmu grafów leksykalnych i grafów de Bruijna w innych przy-padkach niż w twierdzeniu4.6,

– 4.8– o redukcji długości etykiety, które stanowi uogólnienie Twierdznia 3.5 – 4.9– o istnieniu cyklu Hamiltona w każdym grafie leksykalnym (dowód częściowo

na mocy Lematu 4.1 o istnieniu cyklu Hamiltona w pewnych transformacjach grafów de Bruijna),

– 4.10– o NP-zupełności problemu podgrafu leksykalnego.

Twierdzenia te doprowadziły także do następujących wniosków:

– 4.1– o zależności między liczbą wierzchołków równoważnych, słabo równoważnych oraz maksymalną liczbą równoległych łuków w multigrafie,

– 4.2– o zależności między grafem leksykalnym, dla którego separator baz jest nie-zerowy oraz grafami de Bruijna.

W wyżej wymienionych twierdzeniach pokazano różne rodzaje izomorfizmu między grafami. Wykazano, że grafy bazowo-etykietowalne są izomorficzne z grafami dowol-nie bazowo-etykietowalnymi, grafami dowoldowol-nie etykietowalnymi oraz z całą klasą grafów sprzężonych. Nie rozszerzają więc liczności tych klas o nowe grafy, ale stanowią najbar-dziej uniwersalną reprezentację etykietowania grafów sprzężonych.

Inaczej wygląda przypadek grafów leksykalnych, które stanowią właściwą nadklasę grafów de Bruijna jednocześnie zachowując wiele ich własności. W twierdzeniach4.6i4.7 pokazano, że izomorfizm między grafami leksykalnymi (dla których σ > 1) a grafami de Bruijna zachodzi tylko w przypadku, gdy długość etykiety k jest podzielna przez długość swobody σ, więc grafy de Bruijna są szczególnym przypadkiem grafów leksykalnych.

Wprowadzone zostało pojęcie sekwencji leksykalnej, która jest uogólnieniem sekwen-cji de Bruijna. Sekwencje leksykalne zostały niezależnie zdefiniowane w pracy [42] jako aparat matematyczny dla problemu Frobeniusa w wolnym monoidzie. Ponadto, kon-cepcja sekwencji leksykalnych została wykorzystana w rozdziale 5 w ramach algorytmu budowy bibliotek oligonukleotydów. W pracy [51] zaprezentowano także teoretyczny wariant sekwencjonowania SBH, dla którego modelem matematycznym byłyby grafy bazowo-etykietowalne w sposób analogiczny do grafów DNA dla zwykłego SBH.

Przedstawione wyżej podsumowanie dotyczy rozdziału 4, który wprowadził jedno-cześnie matematyczne podstawy dla rozważań z rozdziału 5, w którym przedstawiono algorytm budowy bibliotek oligonukleotydów. Problem stanowiący motywację dla tego algorytmu był inspirowany m. in. problemem optymalnego kodowania instancji dla kom-puterów DNA i sprowadza się do wygenerowania biblioteki oligonukleotydów o zadanej długości i liczbie elementów, które wzajemnie między sobą mają minimalną tendencję do hybrydyzacji. Sam problem jest jednak ciekawy pod względem matematycznym w ujęciu sekwencji de Bruijna i sekwencji leksykalnych. Sprowadza się bowiem to wygene-rowania sekwencji, która w stosunku do sekwencji leksykalnej/de Bruijna ma dodatkowo usuniętą relację komplementarności między oknami. Produktem algorytmu jest łańcuch wewnętrznie antykomplementarny, który jest zmodyfikowaną sekwencją leksykalną po-zbawioną podłańcuchów o zadanej długości, które są między sobą komplementarne.

Na potrzeby algorytmu wprowadzono następujące definicje:

Podsumowanie 137

– 5.1– relacja komplementarności, – 5.2– relacja antykomplementarności, – 5.3– komplementarny palindrom, – 5.4– okno kontrolne,

– 5.5– okno antykomplementarne.

Przeprowadzono szczegółową analizę parametrów algorytmu i jego własności mate-matycznych. Osiągnięte wyniki teoretyczne zostały zweryfikowane za pomocą ekspery-mentów obliczeniowych, których wyniki zamieszczono w tabelach5.1,5.2,5.3,5.4. Eks-perymenty obliczeniowe zostały przygotowane w oparciu o aplikację napisaną w języku Java z modułem wizualizacyjnym opartym na bibliotece JUNG [66]. Różne warianty parametrów algorytmu oraz ich wypływ na wyniki pokazano dzięki temu na rysunkach 5.1– 5.8.

Rozważania teoretyczne oraz eksperyment obliczeniowy wykazały (Tabela5.4), że naj-lepsze wyniki z punktu widzenia zastosowań algorytmu dają grafy de Bruijna. Wyniki osiągnięte dla grafów leksykalnych, które nie są grafami de Bruijna (σ > 1) były zbliżone do losowych z punktu widzenia obranej funkcji pomiaru jakości łańcucha wynikowego (tj.

wystąpienia okna antykomplementarnego z przesunięciem 1 w łańcuchu wynikowym).

Przypadek, gdy σ > 1 pozostaje jednak ciekawym matematycznym rozszerzeniem kon-cepcji algorytmu dla grafów de Bruijna. Zdefiniowano także możliwości tworzenia tablic decyzyjnych dla grafów leksykalnych oraz wykazano, że niektóre zestawienia zbioru baz łuków i tablic decyzyjnych mogą prowadzić do rozspójnienia grafu. W związku z tą ob-serwacją zdefiniowano warunek dla tablic decyzyjnych, który utrzymuje spójność grafu bez względu na wybór zbioru baz łuków.

Inspiracją dla zaprojektowania tego algorytmu był problem optymalnego kodowa-nia instancji dla komputerów DNA, minimalizujący hybrydyzacje między oligonukleoty-dami, które nie powinny hybrydyzować. Z uwagi na fakt, że algorytm może generować jedynie łańcuchy o konkretnych maksymalnych długościach, a przyrost tych długości jest skokowy i wykładniczy, otrzymane łańcuchy mogą być dalej optymalizowane i za-proponowano sposoby takiej optymalizacji.

Pierwsza część pracy skupia się więc na wprowadzeniu i analizie własności matema-tycznych grafów bazowo-etykietowalnych i leksykalnych oraz ich zastosowaniu w algoryt-mie budowy bibliotek oligonukleotydów. Wprowadzono wiele nowych pojęć, twierdzeń i dowodów, które uzupełniają teorię grafów w tym obszarze.

W drugiej części pracy teoria grafów została wykorzystana do modelowania i analizy procesów biologicznych i biochemicznych przy użyciu sieci Petriego. Głównym celem było wykorzystanie metod matematycznych i obliczeniowych w celu analizy sieci Petriego modelującej regulację metabolizmu żelaza w organizmie ludzkim na osi regulacyjnej hepcydyna-hemojuwelina, a także drugiej sieci opisującej procesy związane ze stresem oksydacyjnym w procesie miażdżycy.

Wykonana analiza miała służyć lepszemu zrozumieniu modelowanych procesów oraz postawieniu wniosków biologicznych. Oba modele sieci Petriego zostały w większości przygotowane przez dr n. med. D. Formanowicz w formie opublikowanej w pracach [22, 25,26], a następnie w pewnym zakresie zmodyfikowane na potrzeby niniejszej rozprawy.

Dla obu modeli wykonana została analiza strukturalna, w tym analiza niezmienników miejsc i tranzycji. Następnie obliczono zbiory MCT, a t-niezmienniki zgrupowano w klastry i określono ich znaczenie biologiczne.

Podsumowanie 138

Dla sieci modelującej oś regulacyjną hepcydyhemojuwelina wyciągnięto m. in. na-stępujące wnioski biologiczne:

– zarówno matryptaza-2 jak i furyna biorą udział we wszystkich procesach, w których następuje cięcie m-HJV do s-HJV,

– cięcie m-HJV do s-HJV za pomocą matryptazy-2 jest zależne od poziomu żelaza w organizmie,

– hipoksja wpływa na podwyższenie poziomu żelaza przez osłabenie ekspresji HAMP, – regulacja ekspresji hepcydyny może mieć ograniczoną wrażliwość na wysoki poziom

żelaza w komórkach innych niż hepatocyty.

Dla drugiej sieci, która opisuje zjawisko stresu oksydacyjnego w procesie miażdżycy wyciągnięto następujące wnioski biologiczne:

– rodnik hydroksylowy jest kluczowym związkiem indukującym zjawisko stresu oksy-dacyjnego,

– dla procesów prowadzących do pęknięcia blaszki miażdżycowej i pojawienia się ostrych objawów klinicznych miażdżycy nie jest wymagana peroksydacja lipidów przy udziale rodnika hydroksylowego; peroksydacja lipidów może następować pod wpływem innych rodników tlenowych, więc brak dostępności rodnika hydroksylo-wego nie będzie powodował zahamowania procesu miażdżycy,

– procesy rozwoju miażdżycy mogą zachodzić także w pewnym stopniu bez wystą-pienia stresu oksydacyjnejgo,

– procesy prowadzące do pęknięcia blaszki miażdżycowej i pojawienia się ostrych ob-jawów klinicznych mogą być częściowo niezależne od rozwoju miażdżycy, w związku z czym wczesne zmiany miażdżycowe mogą przechodzić bezobjawowo i dopiero za-awansowany stan chorobowy może prowadzić do objawów i powikłań,

– nie zawsze odpowiedź immunologiczna z udziałem anionu nadtlenoazotynowego (ON OO^–) musi być związana z rozwojem miażdżycy.

Ponadto, na podstawie analizy porównawczej sieci częściowo ważonej i zwykłej stwierdzono, że wprowadzenie informacji ilościowej ma wpływ na liczbę i wsparcie t-niezmienników, ich rozkład podobieństwa i pozycje w klastrach, ale sformułowane wyżej wnioski mogą być wyciągnięte dla obu wersji sieci.

Wspólnym aspektem zagadnień poruszanych w tej pracy jest wykorzystanie modeli grafowych jako narzędzi badawczych oraz matematycznych. Modele grafowe są po-wszechną reprezentacją wszystkich problemów, w których możliwe jest określenie pew-nych relacji zachodzących między opisywanymi przez te problemy obiektami. Stanowią zarówno formalną podstawę reprezentacji wielu realnych problemów obliczeniowych, jak i mniej formalne reprezentacje dowolnych relacji, np. powiązań społecznych, czy różnych układów hierarchicznych.

W niniejszej rozprawie z jednej strony wykorzystano sieci Petriego, które mają struk-turę grafową jak i rozszerzono definicje istniejących grafów etykietowalnych jako pod-stawę reprezentacji danych do algorytmu budowy bibliotek oligonukleotydów. W ramach poszczególnych rozdziałów wskazane zostały także dalsze potencjalne obszary badawcze (np. Problem 5.3, możliwość rozbudowania sieci Petriego dla obu modeli) oraz mocne i słabe strony omawianych rozwiązań. W rozprawie osiągnięto następujące założone cele:

Podsumowanie 139

– zdefiniowano i przeanalizowano własności nowych klas grafów bazowo-etykietowalnych i leksykalnych (będących uogólnieniem grafów bazowo-etykietowalnych i grafów de Bruijna),

– zdefiniowano i przeanalizowano algorytm budowy bibliotek oligonukleotydów anty-komplementarnych oparty na grafach i sekwencjach leksykalnych (będących uogól-nieniem sekwencji de Bruijna),

– przeanalizowano sieć Petriego modelującą oś regulacyjną hepcydyna-hemojuwelina oraz przedstawiono wnioski biologiczne,

– przeanalizowano sieć Petriego modelującą stres oksydacyjny w procesie rozwoju miażdżycy oraz przedstawiono wnioski biologiczne,

– wykonano analizę porównawczą wpływu modyfikacji ilościowych (w sieci Petriego modelującej stres oksydacyjny w procesie rozwoju miażdżycy) na wyniki analizy strukturalnej.

Dodatek A

Ilustracje kastrów w sieci z

W dokumencie Grafy etykietowalne i sieci Petriego w analizie procesów biochemicznych i biologicznych (Stron 138-147)