Izomorfizm klas

Niech Q oraz W będą klasami grafów. Mówimy, że Q jest izomorficzną podklasą W wtedy i tylko wtedy, gdy każdy graf z klasy Q posiada izomorficzny graf w klasie W , tj.:

|Q| ¬ |W | ∧ ∀_G=(V,A)∈Q∃_{G2=(V2,A2)∈W}∃_{f :V →V2} G−→ G^f ₂ (4.1)

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 34

Jeśli dodatkowo zachodzi odwrotna relacja, tj. jeśli W jest także izomorficzną podklasą Q to mówimy, że klasy Q i W są izomorficzne. Izomorfizm klas oznaczany będzie Q  W . Grafy bazowo etykietowalne mimo dodatkowego parametru długości swobody łuku nie są klasą bardziej liczną od grafów dowolnie etykietowalnych. Twierdzenie 4.3pokazuje, że każdy graf bazowo etykietowalny posiada izomorficzny graf dowolnie etykietowalny.

Twierdzenie 4.3. Niech G = (V, A) ∈ L^f_k,σ^α będzie grafem bazowo etykietowalnym z (α, k, σ)-etykietowaniem `. Graf G posiada izomorficzny graf (α<sub>2</sub>, k<sub>2</sub>)-dowolnie ety-kietowalny, dla którego α<sub>2</sub> = α<sup>β</sup> oraz k<sub>2</sub> = 2. Dodatkowo, jeśli liczba wierzchołków o równoważnych etykietach jest równa 1 (ρ<sub>`</sub>(G) = 1) to G posiada izomorficzny graf (α₂, k₂)-etykietowalny.

Dowód. Twierdzenie oznacza, że długość swobody łuku σ może być zawsze zreduko-wana do jedności. Niech zatem G = (V, A) ∈L^f_k,σ^α . Etykiety w G mogą być odwzorowane do etykiet w grafie G₂= (V₂, A₂) ∈Lf_k^α₂² za pomocą następującego izomorfizmu:

∀_x∈V y = f (x) ∈ V2 ∧ [y] = (l₁(y), l₂(y))

gdzie l₁(y) =

β

X

i=1

li(x)αⁱ⁻¹, l2(y) =

β

X

i=1

lσ+i(x)αⁱ⁻¹, α2 = α^β, k2= 2

Funkcja izomorfizmu f zmienia rozmiar alfabetu z α na α^β, tj. obie litery l₁(y), l₂(y) ∈ {0, . . . , α^β− 1}.

Jeśli liczba wierzchołków z równoważnymi etykietami jest równa 1, tj. ρ_`(G) = 1, to etykiety w grafie G₂ będą unikalne. W takim przypadku G₂∈L_k^α₂².

W przeciwnym wypadku, jeśli ρ_`(G) > 1 to powyższa funkcja przyporządkuje niektó-rym wierzchołkom takie same etykiety, więc G₂∈Lf_k^α₂².

Jeśli G = (V, A) ∈L_k,σ^α (posiada unikalne etykiety), to ρ_`(G) > 1 ⇒ ω > 0. Wynika to z faktu, że powyższy izomorfizm pomija wpływ separatora baz Ω_xna etykietę wierzchołka w grafie G₂.

W przypadku, gdy baza ma zerową długość, tj. β = 0 (co występuje, gdy k = σ = ω), to graf G jest skierowanym grafem pełnym z pętlami własnymi i jest izomorficzny do grafu G₂ w którym wszystkie etykiety mają taką samą wartość równą (0, 0).

Rysunek4.6 pokazuje relacje między różnymi klasami grafów (zarówno z twierdzenia 4.3jak i kolejnych twierdzeń).

Zastosowanie powyższego twierdzenia4.3dla grafów leksykalnych prowadzi do nastę-pującego wniosku:

Wniosek 4.2. Niech G2 ∈Lf_k^α₂² będzie grafem dowolnie etykietowalnym, który jest izo-morficzny do grafu leksykalnego L(α, k, σ), dla którego ω > 0. Zgodnie z twierdzeniem 4.3α2= α^β = α^k−σoraz k₂ = 2. Z uwagi na fakt, że pomijany jest wpływ separatora baz na wartość etykiety, każda etykieta powtarza się α^ωrazy. Jeśli utworzymy podgraf indu-kowany grafu G₂taki, że dla każdego z α^2β różnych zbiorów zawierających wierzchołki o tych samych etykietach usunie się wszystkie wierzchołki poza jednym (tj. łącznie usunie się α^2β(α^ω− 1) wierzchołków), to otrzymany graf będzie grafem de Bruijna B(α₂, k2).

Dowód. Niech G = L(α, k, σ) = (V, A) będzie grafem leksykalnym. Graf taki ma |V | = α^k wierzchołków oraz |A| = α^k+σ łuków). Graf izomorficzny G₂ = (V₂, A2) ∈Lf_k^α₂² dla

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 35

Rysunek 4.6: Powyższy diagram pokazuje relacje pomiędzy poszczególnymi klasami grafów etykietowalnych, grafami liniowymi oraz sprzężonymi:

1. Na mocy twierdzenia3.7klasa grafów sprzężonych jest równoważna klasie fL2^∞. 2. Na mocy twierdzenia3.6klasa skierowanych grafów liniowych jest równoważna klasie

L2^∞.

3. Na mocy twierdzenia 3.5zachodzi izomorfizm (a) oraz (c).

4. Na mocy twierdzenia 4.4zachodzi izomorfizm (e).

5. Na mocy twierdzenia 4.3 zachodzi izomorfizm (b) oraz (d). Twierdzenie to jest bardziej ogólne niż przedstawiona sytuacja, gdyż dotyczy wszystkich grafów (α, k, σ)-bazowo etykietowalnych, dla których liczba wierzchołków o równoważnych etykietach jest równa 1, tutaj tylko całe klasy są brane pod uwagę. Można bowiem zauważyć, że jeśli G ∈Lk,σ^∞ ∧ ω ¬ 0, to istnieje takie (α, k, σ)-etykietowanie `, że ρ`(G) = 1, więc

spełniony jest warunek twierdzenia.

którego α₂ = α^β oraz k₂= 2 ma:

|V₂| = |V | = α^k= α^βα^k−2βα^β = α₂α^ωα2= α²₂α^ω= α^k₂²α^ω wierzchołków oraz

|A₂| = |A| = α^k+σ = α^kα^σ = α^k₂²α^ωα^σ = α^k₂²α^ωα^β+ω= α^k₂²⁺¹α^2ω

łuków. Dysponując alfabetem o mocy α₂ i etykietą o długości k₂ można uzyskać α^k₂² unikalnych etykiet. Oznacza to, że każda etykieta w grafie G₂ = (V₂, A₂) powtarza się α^ω razy.

Jeśli utworzymy podgraf indukowany grafu G₂ taki, że dla każdego z α^2β różnych zbiorów zawierających wierzchołki o tych samych etykietach usunie się wszystkie wierz-chołki poza jednym, to otrzymamy graf G₃ = (V₃, A3), który jest grafem (α₂, k2 )-etykietowalnym.

Graf G₃ jest pełnym grafem (α₂, k₂)-etykietowalnym, gdyż posiada |V₃| = α^k₂² wierz-chołków oraz |A₃| = α^k₂²⁺¹ łuków. Zgodnie z definicją 3.23, graf G₃ jest więc grafem de Bruijna B(α₂, k2).

Jeśli dla grafu dowolnie etykietowalnego G zachodzi ρ(G) > 1, to na pewno nie będzie miał izomorficznego grafu etykietowalnego, gdyż jego graf odwrotnie sprzężony jest mul-tigrafem. Jednak z uwagi na możliwość wystąpienia separatora baz w grafach bazowo etykietowalnych można dowieść, że każdy graf dowolnie bazowo etykietowalny posiada izomorficzny graf bazowo etykietowalny.

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 36

Twierdzenie 4.4. Niech graf dowolnie bazowo etykietowalny G = (V, A) ∈L^f_k,σ^α posiada (α, k, σ)-etykietowanie `. Wtedy dla G istnieje izomorficzny graf bazowo etykietowalny G<sub>2</sub> = (V<sub>2</sub>, A<sub>2</sub>) ∈L<sub>k</sub><sup>α</sup><sub>2</sub><sup>2</sup><sub>,σ2</sub> taki, że α<sub>2</sub> = max{α<sup>β</sup>, m}, m = ρ<sub>`</sub>(G), k₂ = 3 oraz σ₂= 2.

Dowód. Niech G₃ = (V₃, A₃) ∈ Lf_k^α₃³_,σ3 będzie grafem izomorficznym do grafu G oraz posiada etykietowanie zgodne z funkcją opisaną w dowodzie twierdzenia 4.3. Zatem α3 = α^β, k₃ = 2, oraz σ₃ = 1. Graf G₃ jest izomorficzny z grafem G₂, gdyż można odwzorować wierzchołki następującą funkcją f : V₃→ V₂:

∀_x∈V3 y = f (x) ∈ V2 ∧ [y] = (l₁(y), l₂(y), l₃(y)) gdzie

l₁(y) = l₁(x)

l₂(y) ∈ {0, . . . , m − 1} jest literą, która zapewnia unikalność etykiety l3(y) = l₂(x)

Dla danego etykietowania ` wartość m będzie maksymalną liczbą wierzchołków w gra-fie G₃, która otrzyma taką samą etykietę. Zgodnie z twierdzeniem4.1minimalna możliwa wartość m dla jakiegokolwiek etykietowania G będzie równa liczbie wierzchołków, które muszą otrzymać w G₃ taką samą etykietę, czyli będzie równa liczbie wierzchołków rów-noważnych w G (ω₃ = 2σ₃ − k₃ = 0, więc spełniony jest warunek tego twierdzenia).

Oznacza to, że m_min = ρ(G).

Poniżej przedstawiono twierdzenie o izomorficzności pewnych podklas grafów dowolnie bazowo etykietowalnych i dowolnie etykietowalnych.

Twierdzenie 4.5. Jeśli σ|k (σ jest dzielnikiem k), k 6= σ, α2 = α^σ oraz k₂= _σ^k, wtedy Lf_k,σ^α L^f_k^α₂² oraz L_k,σ^α  L_k^α₂².

Dowód. Niech σ|k, k 6= σ oraz G = (V, A) ∈ L^f_k,σ^α . Etykiety w grafie G mogą być odwzorowane na etykiety w grafie G₂ = (V₂, A2) ∈L^f_k^α₂² przez funkcję f : V → V₂:

∀_x∈V y = f (x) ∈ V₂ ∧ [y] = (l₁(y), l₂(y), . . . , l_k2(y))

gdzie l_i(y) =

σ

X

j=1

l_(i−1)σ+j(x) α^j−1, α₂ = α^σ, k₂= k σ.

Funkcja f odwzorowująca wierzchołki jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i zmienia rozmiar alfabetu α na α^σ. Długość etykiety po jej zastosowaniu skraca się σ-krotnie.

Odwzorowany jest zatem graf dowolnie bazowo etykietowalny G w inny dowolnie bazowo etykietowalny graf G₂ ∈Lf_k^α₂²_,1. Na mocy definicji klasy Lf_k^α₂²_,1 oraz Lf_k^α₂² są identyczne.

Powyższe rozumowanie byłoby takie same, gdyby G ∈L_k,σ^α oraz G₂∈L_k^α₂², gdyż funkcja zachowuje własność unikalności lub nieunikalności etykiety.

Zastosowanie twierdzenia4.5dla grafów leksykalnych będzie miało szczególne znacze-nie, wyrażone w twierdzeniu4.6.

Twierdzenie 4.6. Każdy graf leksykalny L(α, k, σ), dla którego σ|k, posiada izomor-ficzny graf B(α^σ,^k/σ).

Dowód. Niech G = L(α, k, σ) = (V, A). Graf ten posiada |V | = α^k wierzchołków oraz

|A| = α^k+σ łuków. Zatem na mocy twierdzenia 4.5 izomorficzny graf G₂ = (V₂, A2) ∈ L_k^α₂² (α₂= α^σ, k₂ =^k/σ) posiada:

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 37

|V₂| = |V | = α^k= (α^σ)^k/σ = α^k₂² wierzchołków oraz

|A₂| = |A| = α^k+σ = α^σα^k= α₂α^k = α₂α^k₂² = α^k₂²⁺¹

łuków. Z powyższego wynika, że G₂ jest pełnym grafem (α₂, k2)-etykietowalnym, który na mocy definicji 3.23jest także grafem de Bruijna B(α₂, k2).

Twierdzenie 4.6 może być uzupełnione Twierdzeniem 4.7, które izomorfizm między grafami leksykalnymi i grafami de Brujna ogranicza wyłącznie do przypadków wskaza-nych w Twierdzeniu 4.6.

Twierdzenie 4.7. Niech L(α, k, σ) będzie grafem leksykalnym, dla którego σ 6 |k. Graf ten nie posiada izomorficznego grafu de Bruijna.

Dowód. Niech G = L(α, k, σ) = (V, A) oraz σ 6 |k. Załóżmy, że graf ten posiada izomor-ficzny graf de Bruijna B(α₂, k2) = (V₂, A2). Wtedy muszą zachodzić poniższe równości:

(L(α, k, σ) : |V | = α^k ∧ |A| = α^k+σ

B(α2, k2) : |V₂| = α₂^k2 ∧ |A₂| = α₂^k+1 ⇒

(α^k= α₂^k2 α^k+σ = α₂^k2+1 Zatem:

α^k+σ = α₂^k2+1 ⇒ α^kα^σ = α₂^k2α₂ ⇒ α₂ = α^σ

Podstawiając zależność α₂ = α^σ do równania dla liczby wierzchołków otrzymujemy więc:

α^k= (α^σ)^k2 ⇒ α^k= α^{σ k2} ⇒ k = σk₂

Wartość k₂ musi być oczywiście liczbą całkowitą, stąd jeśli σ 6 |k, to izomorficzny graf de Bruijna nie istnieje.

Rysunek4.7pokazuje izomorficzne grafy L(2, 4, 2) oraz B(4, 2), których etykiety odpo-wiadają sobie zgodnie z powyższym twierdzeniem. Natomiast Rysunek 4.8 przedstawia najmniejszy liniowy graf leksykalny L(2, 5, 2), który nie posiada izomorficznego grafu de Bruijna (tj. σ > 1, ω = 2σ − k ¬ 0 oraz σ 6 |k).

Poniższe twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia3.5 dla grafów dowolnie etykie-towalnych.

Twierdzenie 4.8. Niech k > σ + 1. Wtedy zachodzi zależność L^f_k,σ^∞ ⊆L^f_k−1,σ^∞ .

Dowód. Niech G = (V, A) ∈ L^f_k,σ^∞ gdzie k > σ + 1. Można założyć bez zmniejszania ogólności rozumowania, że etykiety w grafie G są słowami nad alfabetem Σ = {0, . . . , α−

1}. Wtedy G −→ G^f ₂ oraz G₂ = (V₂, A₂) ∈Lf_k^α₂²_,σ2 (β₂ i ω₂ odpowiadają wartościom k₂ i σ2), gdzie funkcja odwzorowująca ma postać:

α₂ = α², k₂ = k − 1, σ₂= σ (⇒ β₂ = β − 1, ω₂= ω + 1)

∀_x∈V y = f (x) ∈ V₂ ∧ l_i(y) = αl_i(x) + l_i+1(x)

Ta funkcja skraca długość etykiety, konkretnie skraca długość baz o 1, zachowuje stopień swobody oraz zwiększa odległość między bazami o 1. Dowodzi to, że L^f_k,σ^∞ ⊆ Lf_k−1,σ^∞ . Dla grafów bazowo etykietowalnych zawieranie się tych klas nie jest jednak

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 38

Rysunek 4.7: Izomorficzne grafy L(2, 4, 2) oraz B(4, 2). Transformacja etykiet została przeprowadzona zgodnie z dowodem twierdzenia4.6.

ostre (w twierdzeniu 3.5klasy grafów nie są równe), gdyż dla ω = 2σ − k > 0 zostanie dowiedzione, że Lf_k,σ^∞ =Lf_k−1,σ^∞ .

Sytuacja taka jest równoważna sytuacji, gdyL_k,σ^∞ ⊆L^f_k+1,σ^∞ dla k > ω > 1. Niech G = (V, A) ∈Lf_k,σ^∞ gdzie k > ω > 1. Podobnie jak w pierwszej części dowodu możemy założyć bez utraty ogólności rozumowania, że etykiety w grafie G są słowami nad alfabetem

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 39

ABBAA

ABABA

ABBAB BABAB

AABBA BBABA

BBABB AABBB BABAA

BBBAB

BBBAA

AAAAA

AAAAB BAAAB

BAAAA

ABAAB BBAAB

ABAAA BBAAA

ABBBB

ABBBA AABAB

BABBA AABAA

BABBB

ABABB

BBBBA AAABA

BBBBB

AAABB BAABB

BAABA

Rysunek 4.8: Graf L(2, 5, 2) – najmniejszy graf leksykalny, dla którego σ > 1, który jest jednocześnie grafem liniowym (ω ¬ 0) i nie posiada izomorficznego grafu de Bruijna.

Σ = {0, . . . , α − 1}. Wtedy G−→ G^f ₂ oraz G₂ = (V₂, A2) ∈L^f_k^α₂²_,σ2 gdzie:

α₂= α², k₂ = k + 1, σ₂ = σ, β₂= β + 1, ω₂= ω − 1,

∀_x∈V y = f (x) ∈ V2 ∧ l_i(y) =







l_i(x) if i ∈ {1, . . . , β} ∪ {σ + 1, . . . , k}

0 if i ∈ {β + 1, k + 1}

αli−1(x) + l_i(x) if i ∈ {β + 2, . . . , σ}

Powyższe odwzorowanie dodaje dodatkową literę za bazą łuków wchodzących oraz przed bazą łuków wychodzących (litera musi być wszędzie taka sama, tutaj zapropono-wano wartość 0) oraz skracana jest długość separatora baz.

Dowiedzione zostanie, że każdy graf leksykalny posiada cykl Hamiltona. W tym celu potrzebny będzie poniższy lemat.

Lemat 4.1. Na mocy wniosku 4.2 wiemy, że każdy graf leksykalny dla którego ω > 0 może być zredukowany do grafu de Bruijna o długości etykiety równej 2. W niniejszym lemacie rozpatrywane będzie postępowanie odwrotne, tj. kopiowanie wierzchołków w takim grafie de Bruijna. Przyjmijmy więc, że:

1 ) G⁽¹⁾= (V, A) = B(α, k) jest grafem de Bruijna i k = 2,

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 40

2 ) V_i =ⁿv₁ⁱ, vⁱ₂, . . . , v_αⁱk

ojest kopią V oraz V⁽ⁿ⁾ jest multizbiorem, który jest sumą n kopii V : V⁽ⁿ⁾=

n

S

i=1

Vi

więc ∀_x∈V ⁿv ∈ V⁽ⁿ⁾: [v] = [x]^o= n^

3 ) G⁽ⁿ⁾ = ^V⁽ⁿ⁾, A^(n) ∈ Lf_k^α jest grafem dowolnie etykietowalnym, w którym A⁽ⁿ⁾ jest zbiorem indukowanym przez nałożenia etykiet w V⁽ⁿ⁾zgodnie z definicją3.20.

Wtedy dla każdego n ­ 1 graf G⁽ⁿ⁾posiada cykl Hamiltona.

Dowód. Każdy graf de Bruijna posiada cykl Hamiltona na mocy twierdzenia3.4oraz4.2 (gdyż można znaleźć cykl Hamiltona w B(α, k) przy użyciu obwodu Eulera w B(α, k − 1)).

Zatem G⁽¹⁾ = B(α, k) posiada cykl Hamiltona. Na mocy indukcji matematycznej wystarczy więc pokazać, że można skonstruować cykl Hamiltona w grafie G⁽ⁿ⁾posiadając cykl Hamiltona w grafie G⁽ⁿ⁻¹⁾.

Niech więc H(G⁽ⁿ⁻¹⁾) = ^v₁, . . . , v_(n−1)αk

 będzie cyklem Hamiltona w grafie G⁽ⁿ⁻¹⁾ = (V⁽ⁿ⁻¹⁾, A⁽ⁿ⁻¹⁾). Cykl Hamiltona w grafie G⁽ⁿ⁾ konstruujemy w następujący sposób:

1 ) tworzymy kopię V_n=ⁿv₁ⁿ, vⁿ₂, . . . , v_αⁿk

ozbioru V ,

2 ) wybieramy dowolny wierzchołek startowy i przechodzimy przez cykl H(G⁽ⁿ⁻¹⁾) dodając do cyklu wierzchołki ze zbioru V_n w następujący sposób:

– jeśli bieżący wierzchołek v_c ma identyczne litery w etykiecie ([v_c] = (l₁, l₁)) wtedy, jeśli istnieje wierzchołek v_iⁿ∈ V_nto takiej samej etykiecie ( [v_iⁿ] = [v_c]), to wstawiamy go do cyklu bezpośrednio po wierzchołku v_c i usuwamy ze zbioru V_n,

– jeśli bieżący wierzchołek v_cma różne litery w etykiecie ([v_c] = (l₁, l₂) i l₁6= l₂) wtedy jeśli istnieje para wierzchołków v_iⁿ, vⁿ_j ∈ V_n o etykietach [vⁿ_i] = (l₂, l1) i [v_jⁿ] = (l₁, l₂) to wstawiamy do cyklu podścieżkę ^v_iⁿ, v_j^n bezpośrednio po wierzchołku v_c i usuwamy vⁿ_i oraz v_jⁿ ze zbioru V_n.

Rysunek 4.9 pokazuje sposób konstrukcji cyklu zgodny z tym lematem dla grafów G⁽¹⁾= B(2, 2), G⁽²⁾ oraz G⁽³⁾.

W dokumencie Grafy etykietowalne i sieci Petriego w analizie procesów biochemicznych i biologicznych (Stron 40-47)