Definicje i podstawowe własności

Dla grafów bazowo-etykietowalnych bazy łuków wchodzących i wychodzących mogą do-datkowo być rozdzielone jeśli k < 2σ przez separator baz o długości ω = k − 2β = 2σ − k.

Podobnie jak dla grafów etykietowalnych i dowolnie etykietowalnych wprowadzony zo-stanie analogiczny podział na grafy dowolnie bazowo etykietowalne oraz bazowo etykie-towalne.

Definicja 4.1 ([54]). Grafy dowolnie bazowo etykietowalne

Niech α, k, σ > 0, σ ¬ k, β = k − σ, ω = k − 2β będą liczbami całkowitymi. Wtedy skierowany 1-graf G = (V, A) jest grafem (α, k, σ)-dowolnie bazowo etykietowalnym o

25

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 26

wymiarze k, stopniem swobody σ, długością bazy łuku β oraz odległością baz ω, jeśli istnieje funkcja ` : V → {0, . . . , α − 1}^k (nazwana (α, k, σ)-etykietowaniem) taka, że:

1 ) ∀_x∈V `(x) = (l1(x), l₂(x), . . . , l_k(x)),

2 ) istnieje łuk (x, y) pomiędzy wierzchołkami x oraz y wtedy i tylko wtedy gdy ostat-nie β liter etykiety x jest równe pierwszym β literom etykiety y:

(x, y) ∈ A ⇔ (l_σ+1(x), . . . , l_k(x)) = (l₁(y), . . . , l_β(y)).

Etykieta wierzchołka x będzie oznaczana jako [x] = `(x).

Definicja 4.2 ([54]). Grafy bazowo etykietowalne

Niech G = (V, A) będzie grafem dowolnie bazowo etykietowalnym z (α, k, σ)-etykietowaniem `. G jest grafem (α, k, σ)-bazowo etykietowalnym, jeśli funkcja etykie-tująca jest różnowartościowa (etykiety wierzchołków są unikalne).

Notacja. Wprowadzona jest następująca notacja, analogiczna do notacji dla grafów etykietowalnych:

– Lf_k,σ^α oznacza klasę wszystkich grafów (α, k, σ)-dowolnie bazowo etykietowalnych, – L_k,σ^α oznacza klasę wszystkich grafów (α, k, σ)-etykietowalnych,

Z definicji wynika bezpośrednio, żeL_k^α=L_k,1^α orazLf_k^α=Lf_k,1^α .

Poniżej przedstawiono uogólnienie definicji etykiety łuku dla grafów bazowo etykieto-wanych.

Definicja 4.3. Etykieta łuku

Niech graf G = (V, A) będzie grafem (α, k, σ)-dowolnie bazowo etykietowalnym, posia-dającym (α, k, σ)-etykietowanie `. Etykietą łuku a ∈ A nazywamy słowo [a] o długości j = k + σ, które powstało w wyniku dołączenia do etykiety poprzednika ostatnich σ liter etykiety następnika, zatem jeśli a = (x, y), to [a] = ([x], l_k−σ+1(y), . . . , l_k(y)) = (l₁(x), . . . , l_σ(x), [y]). Jednocześnie l_i(a) będzie oznaczać i-tą literę etykiety łuku a.

Notacja. Niech G = (V, A) ∈L^f_k,σ^α będzie grafem posiadającym (α, k, σ)-etykietowanie

`. Dla każdego wierzchołka x ∈ V wyróżnia się następujące fragmenty funkcjonalne:

1. ∆_x = (l₁(x), . . . , l_β(x)) oznacza bazę łuków wchodzących/bazę lewostronną, tj.

pierwsze β liter etykiety [x].

2. δ_x = (l_β+1(x), . . . , l_k(x)) oznacza swobodę łuków wchodzących/swobodę prawo-stronną, tj. ostatnie σ liter etykiety [x].

3. Λ_x = (l_1+σ(x), . . . , l_k(x)) oznacza bazę łuków wychodzących/bazę prawostronną, tj.

ostatnie β liter etykiety [x].

4. λ_x = (l₁(x), . . . , l_σ(x)) oznacza swobodę łuków wychodzących/swobodę lewostronną, tj. pierwsze σ liter etykiety [x].

5. Ω_x=







ω > 0 : ω liter pomiędzy bazą łuków wchodzących i bazą łuków wychodzących

ω ¬ 0 : puste słowo oznacza separator baz.

Dodatkowo powyższe fragmenty w kontekście łuku a = (x, y) ∈ A będą oznaczone w następujący sposób:

1. Baza łuku a: base(a) = Λ_x= ∆_y.

2. Swoboda lewostronna łuku a: lef t(a) = λ_x.

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 27

3. Swoboda prawostronna łuku a: right(a) = δ_y.

Zgodnie z powyższą notacją etykieta każdego wierzchołka może być przedstawiona na dwa sposoby: [x] = (λ_x, Λ_x) = (∆_x, δ_x). Jeśli ω = 0 wtedy dodatkowo [x] = (∆_x, Λ_x), natomiast jeśli ω > 0 to [x] = (∆_x, Ωx, Λx).

W przypadku łuków podział etykiety łuku jest jednoznaczny: [a] = (lef t(a), base(a), right(a)).

Przy pomocy notacji fragmentów funkcjonalnych etykiet wierzchołków można zdefi-niować warunek istnienia łuku w grafie dowolnie bazowo etykietowalnym G = (V, A) ∈ Lf_k,σ^α w następujący sposób:

∀_x,y∈V (x, y) ∈ A ⇔ Λ_x = ∆_y

Rysunek 4.1 przedstawia różnice pomiędzy funkcjonalnymi fragmentami etykiety wierzchołków w zależności od różnych wartości odległości baz ω. Różnice te można pod-sumować w następujący sposób:

– ω > 0 - bazy Λ_x oraz ∆_x są oddzielone przez Ω_x, – ω = 0 - bazy Λ_x oraz ∆_x przylegają do siebie,

– ω < 0 - bazy Λ_x oraz ∆_x zachodzą na siebie na |ω| literach.

Grafy leksykalne mogą być zdefiniowane analogicznie do grafów de Bruijna dla definicji 4.2:

Definicja 4.4 ([54]). Grafy leksykalne

Jeśli graf (α, k, σ)-bazowo etykietowalny ma dokładnie α^k wierzchołków (i tym samym α^k+σ łuków), to nazywany jest grafem leksykalnym L(α, k, σ) o wymiarze k i swobodzie σ.

W przypadku grafów de Bruijna, gdy k = 1 to nałożenie między etykietą poprzednika i następnika wynosi zero i graf jest skierowanym grafem pełnym z pętlami własnymi.

Dla grafów leksykalnych przypadek ten występuje także gdy parametr β = 0, co ma miejsce gdy k = σ = ω. Łatwo zauważyć, że na mocy definicji 4.4 grafy de Bruijna są także grafami leksykalnymi (B(α, k) = L(α, k, 1)). Niektóre grafy leksykalne dla których σ > 1 są izomorficzne z innymi grafami de Bruijna (co jest pokazane np. we wniosku4.6), jednak w ogólnym przypadku grafy leksykalne są właściwą nadklasą grafów de Bruijna.

Przykładowo, dla grafu L(2, 5, 2) nie istnieje izomorficzny graf de Bruijna:

 L(2, 5, 2) = (V, A) : |V | = 2⁵, |A| = 2⁵⁺²= 2⁷ B(α, k) = (VB, AB) : |VB| = α^k, |AB| = α^k+1 ⇒

 α^k= 2⁵ α^k+1= 2⁷ ⇒

 α = 4 k = 2.5

Długość etykiety w grafie musi być oczywiście wartością całkowitą, co stoi w sprzecz-nością z możliwością znalezienia izomorfizmu między L(2, 5, 2) a jakimkolwiek grafem de Bruijna. Na rysunku 4.2 pokazano przykładowy graf leksykalny L(2, 3, 2) oraz jego graf odwrotnie sprzężony. Na rysunku4.3pokazano graf L(4, 3, 2), na którym widać jak wierzchołki grupują się w klastry ze względu na wspólne bazy łuków wchodzących oraz wychodzących.

Dla grafów leksykalnych można uogólnić również pojęcie etykiety drogi w grafie oraz sekwencji de Bruijna.

Definicja 4.5. Etykieta drogi

Niech graf G = (V, A) będzie grafem (α, k, σ)-dowolnie bazowo etykietowalnym oraz

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 28

Rysunek 4.1: Zestawienie własności fragmentów funkcjonalnych etykiet wierzchołków dla grafów dowolnie bazowo etykietowalnych dla poszczególnych zakresów odległości baz ω. Obszar ciemniejszy oznacza bazę łuku (prawostronną po stronie poprzednika i lewostronną po stronie następnika). Poszczególne długości opisane są następującymi

parametrami:

|Λx| = |∆x| = |Λy| = |∆y| = β

|λx| = |δx| = |λy| = |δy| = σ

|Ωx| = |Ωy| = ω

Rysunek 4.2: a ) Przykładowy graf leksykalny L(2, 3, 2), b ) Graf odwrotnie sprzężony grafu a ).

niech r_m = (a₁, . . . , am) będzie skierowaną drogą w tym grafie (a₁, . . . , am ∈ A). Ety-kietą drogi [r_m] nazywamy słowo o długości j = k + mσ, które powstało w wyniku połączenia etykiety pierwszego łuku, oraz swobód prawostronnych kolejnych łuków w drodze. Zatem:

[r_m] = ([a₁], right(a₂), . . . , right(a_m)) Definicja 4.6. Sekwencja leksykalna

Niech L(α, k, σ) = (V, A) będzie grafem leksykalnym oraz niech r_m= (a₁, . . . , am) (gdzie m = α^k+σ) będzie obwodem Eulera tego grafu. Wtedy etykieta tego obwodu [r_m] jest

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 29

Rysunek 4.3: Przykładowy graf leksykalny L(4, 3, 2). Wierzchołki pogrupowane są w klastry, które mają takie same bazy łuków wchodzących oraz łuków wychodzących (symbol A/C oznacza, że w danym klastrze A jest bazą łuków wchodzących, a C jest

bazą łuków wychodzących).

sekwencją leksykalną rzędu k + σ z przesunięciem σ. Każde podsłowo tej etykiety o długości k + σ zaczynające się na pozycji podzielnej przez σ jest unikalne.

Sekwencje leksykalne zostały zdefiniowane podczas prac nad algorytmem budowy bi-bliotek (który jest opisany w rozdziale5) jako sekwencja, którą można uzyskać bez usu-wania z grafu leksykalnego łuków komplementarnych. Praca [54] opisująca same grafy leksykalne została przesłana do recenzji 1 kwietnia 2010. Autor zauważył że idea równo-ważna do sekwencji leksykalnych została niezależnie zdefiniowana w pracy [99] opubliko-wanej 8 kwietnia 2010 na portalu arxiv.org (następnie kontynuowano opis tych sekwencji w pracy [43]). Sekwencje leksykalne zostały w tej pracy nazwane m-przesuniętymi se-kwencjami de Bruijna (m-shift de Bruijn sequences). Motywacją ich zdefiniowania był problem Frobeniusa w wolnym monoidzie [42,100].

Rysunek 4.4 przedstawia graf L(2, 3, 2) i zbudowaną na jego obwodzie Eulera przy-kładową sekwencję leksykalną.

Poniżej przedstawiono opublikowane w pracy [54] własności grafów bazowo etykieto-walnych (z wyłączeniem definicji4.8oraz wniosku4.1, które nie były publikowane w tej pracy).

Twierdzenie 4.1. Niech G = (V, A) będzie grafem sprzężonym oraz x, y ∈ V . Jeśli zachodzi zależność:

N⁺(x) ∩ N⁺(y) 6= ∅ oraz N⁻(x) ∩ N⁻(y) 6= ∅

to x oraz y będą miały te same etykiety dla dowolnego (α, k, σ)-etykietowania, dla którego ω = 2σ − k ¬ 0.

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 30

Rysunek 4.4: Graf L(2, 3, 2) na którym zaznaczono przebieg obwodu Eulera. Następ-nie etykiety łuków tego obwodu połączono w etykietę obwodu, która jest sekwencją leksykalną rzędu 5 z przesunięciem 2. Sekwencja ma długość σα^j+ j − σ = 67, gdzie

j = k + σ.

Dowód. Na mocy twierdzenia 3.2wiemy, że w G zachodzi zależność:

N⁺(x) ∩ N⁺(y) 6= ∅ ⇒ N⁺(x) = N⁺(y)

Dodatkowo, na mocy twierdzenia 3.3 wiemy, że jeśli N⁻(x) ∩ N⁻(y) 6= ∅ to G nie jest grafem liniowym. Można zauważyć że poniższa zależność zachodząca dla grafów sprzężonych, która jest zdefiniowana dla łuków wychodzących:

∀_u,v∈VN⁺(u) ∩ N⁺(v) 6= ∅ ⇒ N⁺(u) = N⁺(v) będzie prawdziwa również dla łuków wchodzących.

Załóżmy bowiem, że v₁, v₂, v₃, v₄ ∈ V oraz {(v₁, v₃), (v₂, v₃), (v₂, v₄)} ⊂ A. Zbiór następników N⁺(v₁) jest więc równy zbiorowi następników N⁺(v₂) co implikuje, że

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 31

(v₁, v4) ∈ A. W związku z tym N⁻(v₃) = N⁻(v₄). Zatem dla grafów sprzężonych zacho-dzi także następująca zależność:

∀_u,v∈VN⁻(u) ∩ N⁻(v) 6= ∅ ⇒ N⁻(u) = N⁻(v)

Skoro G jest grafem sprzężonym oraz N⁻(x) ∩ N⁻(y) 6= ∅, to na mocy powyższej ob-serwacji zachodzi równość N⁻(x) = N⁻(y). Dodatkowo, zgodnie z definicją grafu bazowo etykietowalnego wiemy, że dla dowolnego (α, k, σ)-etykietowania zachodzą następujące zależności między bazami łuków, a zbiorami poprzedników/następników:

– N⁺(x) = N⁺(y) ⇔ Λ_x = Λ_y – N⁻(x) = N⁻(y) ⇔ ∆_x = ∆_y

Podstawiając powyższe obserwacje do warunku twierdzenia otrzymujemy zależność:

N⁺(x) ∩ N⁺(y) 6= ∅ ∧ N⁻(x) ∩ N⁻(y) 6= ∅^⇔ (Λ_x= Λ_y ∧ ∆_x = ∆_y) Ostatecznie, jeśli bazy łuków wchodzących i wychodzących są przyległe lub zachodzą na siebie, tj. ω = 2σ − k ¬ 0, to (Λ_x= Λ_y ∧ ∆_x= ∆_y) ⇔ [x] = [y], co kończy dowód.

Zliczając wierzchołki, które spełniają warunek powyższego twierdzenia 4.1 możemy zdefiniować liczbę wierzchołków, które muszą otrzymać identyczne etykiety dla dowol-nego (α, k, σ)-etykietowania dla którego ω = 2σ − k ¬ 0.

Definicja 4.7. Liczba wierzchołków równoważnych grafu sprzężonego Niech G = (V, A) będzie grafem sprzężonym. Wtedy

ρ(G) = max

x∈V

n  

ny ∈ V : N⁺(x) ∩ N⁺(y) 6= ∅ ∧ N⁻(x) ∩ N⁻(y) 6= ∅^o  o

oznacza liczbę wierzchołków równoważnych.

Można zauważyć, że liczba wierzchołków równoważnych w grafie sprzężonym G jest związana z maksymalną liczbą łuków równoległych w multigrafie, który jest grafem odwrotnie przężonym do G. Mianowicie, jeśli H = (A, U ) jest grafem sprzężonym grafu G = (V, A), tj. H = L(G) to G jest p-grafem, dla którego p ­ ρ(H). Wynika to z faktu, że jedynie równoległe łuki w między dwoma wierzchołkami w multigrafie mogą implikować identyczne zbiory następników i poprzedników w H. Jednocześnie zachodzi nierówność p ­ ρ(H), gdyż jeśli najwięcej łuków równoległych przechodzi między parą wierzchołków x, y ∈ V taką, że x nie ma żadnych łuków wchodzących, tj. |(v1, v2) ∈ A : v₂ = x| = 0, to wierzchołki w H odpowiadające łukom między x a y nie będą także miały łuków wchodzących. Podobna sytuacja miałaby miejsce jeśli wierzchołek y nie miałby żadnych następników. Obserwacje te prowadzą do zdefiniowania miary, która uwzględnia takie przypadki:

Definicja 4.8. Liczba wierzchołków słabo równoważnych grafu sprzężonego Niech G = (V, A) będzie grafem sprzężonym. Wtedy

φ(G) = max

x∈V

n  

ny ∈ V : N⁺(x) = N⁺(y) ∧ N⁻(x) = N⁻(y)^oo oznacza liczbę wierzchołków słabo równoważnych.

W powyższej zależności równość między zbiorami następników x i y i oraz zbiorami ich poprzedników jest warunkiem ogólniejszym niż część wspólna w przypadku definicji

Grafy bazowo-etykietowalne i leksykalne 32

Rysunek 4.5: Przykład zależności pomiędzy liczbą łuków równoległych w multigrafie, oraz liczbą wierzchołków równoważnych i wierzchołków słabo równoważnych w jego grafie sprzężonym. W górnej części jest 3-graf G, a w dolnej jego graf sprzężony H.

Dla grafu H ρ(H) = 2 (wierzchołki e oraz f oznaczone na czerwono) oraz φ(H) = 5 (wierzchołki i, j, k, l, m oznaczone na szaro). Widać, że wierzchołki i, j są topologicznie nierozróżnialne z wierzchołkami k, l, m, które reprezentują łuki równoległe między E i I w grafie G. Dla tego grafu zachodzi więc nierówność ostra: φ(H) > p > ρ(H). Podobnie

nierozróżnialne są wierzchołki a, b, c, d.

4.7, gdyż obejmuje przypadki gdy zbiory te są zbiorami pustymi. Można zauważyć więc, że nierówność dotycząca związku liczby wierzchołków słabo równoważnych grafu G z liczbą równoległych łuków w multigrafie odwrotnie sprzężonym do G będzie skierowana w drugą stronę, gdyż w grafie G może istnieć np. dowolnie duża liczba łuków, które mają wspólny wierzchołek początkowy oraz inne wierzchołki końcowe, które nie mają żadnych następników. Wierzchołki odpowiadające takim łukom są w grafie sprzężonym są nie-rozróżnialne w stosunku do wierzchołków odpowiadających wielu łukom równoległych, których następnik nie ma łuków wychodzących. Sytuację taką przedstawia rysunek4.5.

Rozumowanie to prowadzi do następującego wniosku:

Wniosek 4.1. Niech G będzie p-grafem, a H będzie jego grafem sprzężonym. Zachodzi wtedy nierówność:

φ(H) ­ p ­ ρ(H)

Liczba wierzchołków równoważnych oraz wierzchołków słabo równoważnych jest cechą grafu niezależną od jego etykietowania. Możemy jednak zdefiniować podobną miarę dla konkretnego etykietowania w następujący sposób:

W dokumencie Grafy etykietowalne i sieci Petriego w analizie procesów biochemicznych i biologicznych (Stron 32-39)